1.1 线性变换与二阶矩阵 课件1

课件28张PPT。第一节 线性变换与二阶矩阵1.线性变换
(1)在平面直角坐标系xOy内，很多几何变换具有下列形式：
①，其中系数a,b,c,d均为常数，我们把形如①的几何变换叫做线性变换，①式叫做这个线性变换的坐标变换公
式.P′(x′,y′)是P(x,y)在这个线性变换作用下的像.
(2)常见的平面变换：恒等变换、_____变换、_____变换、反
射变换、_____变换、_____变换.旋转切变投影伸缩2.二阶矩阵的概念及与向量的乘法
(1)矩阵的概念
①由4个数a,b,c,d排成的正方形数表______称为二阶矩阵，数________称为矩阵的元素.在二阶矩阵中,横的叫行,竖的叫列,通常用大写英文字母A,B,C，…表示.
②特殊矩阵
零矩阵:________ ,记为0；二阶单位矩阵_________,记为E2.a,b,c,d(2)二阶矩阵相等
若 A=B,则____________________.
(3)二阶矩阵与向量的乘积
设 则 =__________ .a1=a2,b1=b2,c1=c2,d1=d23.线性变换的基本性质
设A是一个二阶矩阵， 是平面上的任意两个向量，λ，λ1，λ2是任意实数.直线(或一点)判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”).
(1)式子x′=2x2+y是线性表达式.( )
(2)二阶矩阵既是一个数,也是一个代数式.( )
(3)如果两个二阶矩阵的元素是一样的,那么这两个矩阵相等.( )
(4)对于旋转变换 ( )
(5)二阶矩阵A与平面向量 的乘积仍然是一个平面向量.
( )【解析】(1)错误.线性表达式都是关于x,y的一次式,故错误.
(2)错误.二阶矩阵仅仅是一个包含两行、两列的数表，它既不
是数，也不是代数式.
(3)错误.两个矩阵相等，不但要求元素相同，而且要求元素的
位置一样.
(4)正确. 表示顺时针旋转 表示逆时针旋转
两种变换是一个变换.(5)正确.
二阶矩阵与向量的乘积仍然是向量.
答案:(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 考向1 二阶矩阵与平面向量的乘法
【典例1】已知在一个二阶矩阵M的变换作用下，点A(1,2)变成了点A′(4,5)，点B(3，－1)变成了点B′(5,1)．
(1)求矩阵M.
(2)若在矩阵M的变换作用下，点C(x,0)变成了点C′(4，y)，求x，y.【思路点拨】(1)首先设出矩阵M,再利用二阶矩阵与平面向量的乘法构造方程组，再解方程组求出矩阵M.
(2)利用矩阵M与平面向量的乘法列出关于x,y的方程组,解方程组求x,y.
【规范解答】
【互动探究】试求在本例中矩阵M的变换作用下,点P(1,1)变成的点P′的坐标.
【解析】由本例解答可知
所以P′的坐标为(3,3).【拓展提升】 二阶矩阵与向量乘法应用的三个解题步骤
此类问题一般涉及变换前的坐标,变换后的坐标,变换矩阵三个元素
(1)设:设出所求的量.
(2)列:利用二阶矩阵与平面向量的乘法构造方程或方程组.
(3)解：解方程或方程组求未知元素.
【提醒】列方程或方程组时,要分清变换前,后的坐标防止代入错误.【变式备选】
考向2 线性变换前后的曲线方程的求法
【典例2】(2013·福州模拟)已知矩阵 把点(1，1)变换成点(2，2)，
(1)求a,b的值.
(2)求曲线C：x2+y2=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程.
【思路点拨】(1)利用矩阵与向量的乘法列出关于a,b的方程组,解方程组求出a,b.(2)设出要求曲线的任意点的坐标及变换前的对应点坐标,利用代入法求曲线的方程.【规范解答】
(2)设曲线C上任一点M′(x0,y0)在矩阵A的变换作用下为点
M(x,y).
∵M′在曲线C上
故所求曲线方程为
【拓展提升】 线性变换前后的曲线方程的求法
(1)已知变换前的曲线方程、变换矩阵，求变换后的曲线方程：
由线性变换 代入变换前的方
程，即可得到关于x′,y′的方程，即为所求.(2)已知变换后的曲线方程、变换矩阵，求变换前的曲线的方
程：将线性变换 直接代入到变换后的曲线方
程，整理得到关于x,y的方程，即为所求.
(3)求变换前或后曲线方程的共同特点是将坐标代入已知的曲
线方程，求未知的曲线的方程，其实质是代入法求曲线方程.
【提醒】在利用线性变换代入求曲线方程的过程中要分清坐标是变换前的，还是变换后的，避免代入时出现错误.【变式训练】二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)．
(1)求矩阵M.
(2)设直线l在变换M作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程．(2)任取直线l上一点P(x，y)经矩阵M变换后为点P′(x′，y′)．
所以直线l的方程为(x+2y)－(3x+4y)=4，
即x+y+2=0．考向3 变换矩阵的求法
【典例3】已知圆x2+y2=1在矩阵 对应的变换作用下变为椭圆 求矩阵A.
【思路点拨】利用线性变换表示出x′,y′，代入到变换后的椭圆方程，可得到变换前的圆的方程，再利用此方程与已知方程相等求a,b的值.【规范解答】设P(x,y)为圆上的任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为另一个点P′(x′,y′),
又点P′(x′,y′)在椭圆
由已知条件可知，x2+y2=1,
所以a2=9,b2=4.
因为a＞0,b＞0,所以a=3,b=2，即【拓展提升】 求系数的一般思路
对于同一条曲线，在同一个坐标系中，其曲线的方程只能有一种形式，如果利用不同的方法求出两个曲线方程，则这两个曲线方程就是相同的，即两个曲线方程的对应系数相等.利用这个关系可以列出方程组，求相应的系数的值.【变式训练】已知a，b∈R，若 所对应的变换TM把直线l：3x－2y＝1变换为自身，试求实数a，b的值．
【解析】在直线l上任取一点P(x，y)，设点P在TM的变换下变为点P′(x′，y′)，
所以点P′(－x＋ay，bx＋3y).∵点P′在直线l上，
∴3(－x＋ay)－2(bx＋3y)＝1，
即(－3－2b)x＋(3a－6)y＝1，
∵方程(－3－2b)x＋(3a－6)y ＝1即为直线l的方程3x－2y＝1，