2016年秋苏科版八年级上2.2轴对称的性质同步练习含答案

第二章
2.2
轴对称的性质
一．选择题（共13小题）
1．（2016 南充）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（　　）
A．AM=BM
B．AP=BN
C．∠MAP=∠MBP
D．∠ANM=∠BNM
2．（2016 厦门）已知△ABC的周长是l，BC=l﹣2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（　　）
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
3．（2016 天津）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠DAB′=∠CAB′
B．∠ACD=∠B′CD
C．AD=AE
D．AE=CE
4．（2016 海南）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（　　）
A．6
B．6
C．2
D．3
5．（2016 聊城）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　）
A．115°
B．120°
C．130°
D．140°
6．（2016 宿迁）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（　　）
A．2
B．
C．
D．1
7．（2016 呼伦贝尔）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（　　）
A．
B．
C．4
D．5
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．两个全等三角形一定关于某条直线对称
C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称
D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称
9．如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合．若此时=，则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为（　　）
A．1：3
B．1：4
C．1：6
D．1：9
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距离记为h2016，到BC的距离记为h2016．若h1=1，则h2016的值为（　　）
A．
B．1﹣
C．
D．2﹣
11．如图，将正方形纸片剪掉阴影部分后，可以折叠成一个底面为正方形且带盖的长方体包装盒，若该包装盒的底面边长为2，高为1，则原正方形纸片的边长为（　　）
A．3
B．5
C．2+
D．4
12．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
13．将一个无盖正方体纸盒展开（如图1），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图2），则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是（　　）
A．
B．
C．
D．
　
二．填空题（共6小题）
14．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=______cm．
15．（2016 苏州）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．
16．（2016 吉林）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为______（用含a的式子表示）．
17．（2016 黄冈校级自主招生）将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数为______．
18．矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于______．
19．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A正好与CD上的F点重合，若△FDE的周长为16，△FCB的周长为28，则FC的长为______．
　
三．解答题（共4小题）
20．作出△ABC关于直线m的对称图形．
21．（2016 哈尔滨）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
23．如图1，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
（1）请你帮小萍求出x的值．
（2）参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，AD=4．请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）
　
参考答案
一．选择题（共13小题）
1．（2016 南充）如图，直线MN是四边形AMBN的对称轴，点P是直线MN上的点，下列判断错误的是（　　）
A．AM=BM
B．AP=BN
C．∠MAP=∠MBP
D．∠ANM=∠BNM
【分析】根据直线MN是四边形AMBN的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论．
【解答】解：∵直线MN是四边形AMBN的对称轴，
∴点A与点B对应，
∴AM=BM，AN=BN，∠ANM=∠BNM，
∵点P时直线MN上的点，
∴∠MAP=∠MBP，
∴A，C，D正确，B错误，
故选B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
　
2．（2016 厦门）已知△ABC的周长是l，BC=l﹣2AB，则下列直线一定为△ABC的对称轴的是（　　）
A．△ABC的边AB的垂直平分线
B．∠ACB的平分线所在的直线
C．△ABC的边BC上的中线所在的直线
D．△ABC的边AC上的高所在的直线
【分析】根据条件可以推出AB=AC，由此即可判断．
【解答】解：∵l=AB+BC+AC，
∴BC=l﹣2AB=AB+BC+AC﹣2AB，
∴AB=AC，
∴△ABC中BC边中线所在的直线是△ABC的对称轴，
故选C．
【点评】本题考查对称轴、三角形周长、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据条件推出AB=AC，属于中考常考题型．
　
3．（2016 天津）如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠DAB′=∠CAB′
B．∠ACD=∠B′CD
C．AD=AE
D．AE=CE
【分析】根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．
【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BAC=∠CAB′，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAB′，
∴AE=CE，
所以，结论正确的是D选项．
故选D．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
　
4．（2016 海南）如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿着直线AD对折，点C落在点E的位置．如果BC=6，那么线段BE的长度为（　　）
A．6
B．6
C．2
D．3
【分析】根据折叠的性质判定△EDB是等腰直角三角形，然后再求BE．
【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，∠CDA=∠ADE=45°，
∴∠CDE=∠BDE=90°，
∵BD=CD，BC=6，
∴BD=ED=3，
即△EDB是等腰直角三角形，
∴BE=BD=×3=3，
故选D．
【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解．
　
5．（2016 聊城）如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，若∠2=40°，则图中∠1的度数为（　　）
A．115°
B．120°
C．130°
D．140°
【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，根据三角形内角和定理求出∠CFB'=50°，进而解答即可．
【解答】解：∵把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A′处，点B落在点B′处，
∴∠BFE=∠EFB'，∠B'=∠B=90°，
∵∠2=40°，
∴∠CFB'=50°，
∴∠1+∠EFB'﹣∠CFB'=180°，
即∠1+∠1﹣50°=180°，
解得：∠1=115°，
故选A．
【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等．
　
6．（2016 宿迁）如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE．若AB的长为2，则FM的长为（　　）
A．2
B．
C．
D．1
【分析】根据翻折不变性，AB=FB=2，BM=1，在Rt△BFM中，可利用勾股定理求出FM的值．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，AB=2，过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，
∴FB=AB=2，BM=1，
则在Rt△BMF中，
FM=，
故选：B．
【点评】此题考查了翻折变换的性质，适时利用勾股定理是解答此类问题的关键．
　
7．（2016 呼伦贝尔）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为PQ，则线段BQ的长度为（　　）
A．
B．
C．4
D．5
【分析】设BQ=x，则由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，根据中点的定义可得BD=3，在Rt△BQD中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设BQ=x，由折叠的性质可得DQ=AQ=9﹣x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△BQD中，x2+32=（9﹣x）2，
解得：x=4．
故线段BQ的长为4．
故选：C．
【点评】此题考查了翻折变换（折叠问题），折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强．
　
8．下列说法中，正确的是（　　）
A．关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B．两个全等三角形一定关于某条直线对称
C．面积相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称
D．周长相等的两个三角形一定关于某条直线之间对称
【分析】认真阅读各选项提供的已知条件，根据轴对称的性质对个选项逐一验证，其中选项A是正确的．
【解答】解：A、关于某条直线对称的两个图形能够完全重合，所以关于某条直线对称的两个三角形是全等三角形，正确；
B、全等三角形不一定关于某直线对称，错误；
C、面积相等的两个三角形不一定关于某条直线之间对称，错误；
D、周长相等的两个三角形不一定关于某条直线之间对称，错误；
故选A
【点评】主要考查了轴对称的性质；找着每个选项正误的具体原因是正确解答本题的关键．
　
9．如图，点M、N分别在矩形ABCD边AD、BC上，将矩形ABCD沿MN翻折后点C恰好与点A重合．若此时=，则△AMD′的面积与△AMN的面积的比为（　　）
A．1：3
B．1：4
C．1：6
D．1：9
【分析】由=，可知，易证AN=AM，得到，于是可求出△AMD′的面积与△AMN的面积的比．
【解答】解：根据折叠的性质，AN=CN，∠ANM=∠CNM，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠CNM=∠AMN，
∴∠ANM=∠AMN，
∴AM=AN，
∵=，
∴，
∴，
∴△AMD′的面积：△AMN的面积=1：3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了图形的折叠问题、等高的三角形面积比等于底的比，把△AMD′的面积与△AMN的面积的比转化为边的比，运用等高的三角形面积比等于底的比这一性质是解决问题的关键．
　
10．如图，将△ABC沿着过AB中点D的直线折叠，使点A落在BC边上的A1处，称为第1次操作，折痕DE到BC的距离记为h1；还原纸片后，再将△ADE沿着过AD中点D1的直线折叠，使点A落在DE边上的A2处，称为第2次操作，折痕D1E1到BC的距离记为h2；按上述方法不断操作下去…，经过第2016次操作后得到的折痕D2015E2015到BC的距离记为h2016，到BC的距离记为h2016．若h1=1，则h2016的值为（　　）
A．
B．1﹣
C．
D．2﹣
【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA1⊥BC，得到AA1=2，求出h1=2﹣1=1，同理h2=2﹣，h3=2﹣×=2﹣，于是经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣，求得结果h2016=2﹣．
【解答】解：连接AA1．
由折叠的性质可得：AA1⊥DE，DA=DA1，
又∵D是AB中点，
∴DA=DB，
∴DB=DA1，
∴∠BA1D=∠B，
∴∠ADA1=2∠B，
又∵∠ADA1=2∠ADE，
∴∠ADE=∠B，
∴DE∥BC，
∴AA1⊥BC，
∴AA1=2，
∴h1=2﹣1=1，
同理，h2=2﹣，h3=2﹣×=2﹣
…
∴经过第n次操作后得到的折痕Dn﹣1En﹣1到BC的距离hn=2﹣．
∴h2016=2﹣．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，平行线等分线段定理，找出规律是解题的关键．
　
11．如图，将正方形纸片剪掉阴影部分后，可以折叠成一个底面为正方形且带盖的长方体包装盒，若该包装盒的底面边长为2，高为1，则原正方形纸片的边长为（　　）
A．3
B．5
C．2+
D．4
【分析】如图，由题意，△CDE，△DBF都是等腰直角三角形，分别求出CD，DB即可解决问题．
【解答】解：如图，由题意，△CDE，△DBF都是等腰直角三角形，
∵CE=DE=1，
∴CD=，∵DF=2，
∴DB=AC=，
∴AB=AC+CD+DB=3，
故选A．
【点评】本题考查翻折变换、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会看懂图形，搞清楚已知条件，属于中考常考题型．
　
12．如图所示，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】找出题中的折叠规律，利用正方形纸片按照此方法沿虚线减下，展开即可得到剩下的图形．
【解答】解：由题意可知：减去的部分为四个等腰直角三角形的斜边构成的正方形，
又原图是正方形，所以剩下的图形为大正方形除去一个小正方形．
故选B．
【点评】本题通过折叠变换考查正多边形的有关知识，及学生的逻辑思维能力．解答此类题最好动手操作，易得出答案．
　
13．将一个无盖正方体纸盒展开（如图1），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片）拼成一个正方形（如图2），则所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】本题考查了拼摆的问题，仔细观察图形的特点作答．
【解答】解：由图可得，所剪得的直角三角形较短的边是原正方体棱长的一半，而较长的直角边正好是原正方体的棱长，
所以所剪得的直角三角形较短的与较长的直角边的比是1：2．
故选A．
【点评】本题考查了剪纸的问题，难度不大，以不变应万变，透过现象把握本质，将问题转化为熟悉的知识去解决，同时考查了学生的动手和想象能力．
　
二．填空题（共6小题）
14．将一张矩形纸片折叠成如图所示的图形，若AB=6cm，则AC=　6　cm．
【分析】延长原矩形的边，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACB，根据翻折变换的性质可得∠1=∠ABC，从而得到∠ABC=∠ACB，再根据等角对等边可得AC=AB，从而得解．
【解答】解：如图，延长原矩形的边，
∵矩形的对边平行，
∴∠1=∠ACB，
由翻折变换的性质得，∠1=∠ABC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AC=AB，
∵AB=6cm，
∴AC=6cm．
故答案为：6．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记各性质是解题的关键，难点在于作出辅助线．
　
15．（2016 苏州）如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为　2　．
【分析】作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，首先根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形判定△BDE是边长为4的等边三角形，从而根据翻折的性质得到△B′DE也是边长为4的等边三角形，从而GD=B′F=2，然后根据勾股定理得到B′G=2，然后再次利用勾股定理求得答案即可．
【解答】解：如图，作DF⊥B′E于点F，作B′G⊥AD于点G，
∵∠B=60°，BE=BD=4，
∴△BDE是边长为4的等边三角形，
∵将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE，
∴△B′DE也是边长为4的等边三角形，
∴GD=B′F=2，
∵B′D=4，
∴B′G===2，
∵AB=10，
∴AG=10﹣6=4，
∴AB′===2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了翻折变换的性质，解题的关键是根据等边三角形的判定定理判定等边三角形，难度不大．
　
16．（2016 吉林）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠B=30°，点D（不与B，C重合）是BC上任意一点，将此三角形纸片按下列方式折叠，若EF的长度为a，则△DEF的周长为　3a　（用含a的式子表示）．
【分析】由折叠的性质得出BE=EF=a，DE=BE，则BF=2a，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=BF=a，即可得出△DEF的周长．
【解答】解：由折叠的性质得：B点和D点是对称关系，DE=BE，
则BE=EF=a，
∴BF=2a，
∵∠B=30°，
∴DF=BF=a，
∴△DEF的周长=DE+EF+DF=BF+DF=2a+a=3a；
故答案为：3a．
【点评】本题考查了翻折变换的性质、含30°角的直角三角形的性质、三角形周长的计算；熟练掌握翻折变换的性质，由含30°角的直角三角形的性质得出DF=a是解决问题的关键．
　
17．将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，若∠C=120°，∠A=26°，则∠A′DB的度数为　112°　．
【分析】利用三角形的内角和为180°求出∠B，从而根据平行线的性质可得∠ADE=∠B，再由折叠的性质得出∠ADE=∠A'DE，利用平角的知识可求出∠A′DB的度数．
【解答】解：∵∠C=120°，∠A=26°，
∴∠B=180°﹣（∠A+∠C）=34°，
又∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B=34°，
根据折叠的性质可得∠ADE=∠A'DE，
∴∠A'DE=∠ADE=∠B=34°，
∴∠A′DB=180°﹣∠ADE﹣∠A'DE=112°．
故答案为：112°．
【点评】本题考查折叠的性质，注意掌握折叠前后对应角相等，另外解答本题需要用到三角形的内角和定理及平行线的性质，也要注意对这些基础知识的掌握．
　
18．矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折痕为EF，则重叠部分△AEF的面积等于　　．
【分析】要求重叠部分△AEF的面积，选择AF作为底，高就等于AB的长；而由折叠可知∠AEF=∠CEF，由平行得∠CEF=∠AFE，代换后，可知AE=AF，问题转化为在Rt△ABE中求
AE．
【解答】解：设AE=x，由折叠可知，EC=x，BE=4﹣x，
在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即32+（4﹣x）2=x2，
解得：x=
由折叠可知∠AEF=∠CEF，
∵AD∥BC，
∴∠CEF=∠AFE，
∴∠AEF=∠AFE，即AE=AF=，
∴S△AEF=×AF×AB=××3=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应角相等．
　
19．如图，平行四边形ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE折叠，使点A正好与CD上的F点重合，若△FDE的周长为16，△FCB的周长为28，则FC的长为　6　．
【分析】根据翻折不变性以及平行四边形的性质，由BF+BC+CF=28，BF=AB=DF+FC，BC=AD=ED+EF，进行等量代换即可解决．
【解答】解：∵△BEF是由△BEA翻折，
∴EA=EF，BF=BA，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AE+DE=EF+ED，AB=BF=DC=DF+CF，
∵CF+BC+BF=28，DE+EF+DF=16
∴CF+DE+EF+DF+CF=28，
∴2CF+16=28，
∴CF=6，
故答案为6．
【点评】本题考查翻折变换、平行四边形的性质，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会整体代入的数学思想，属于中考常考题型．
　
三．解答题（共4小题）
20．作出△ABC关于直线m的对称图形．
【分析】直接利用轴对称图形的性质得出对应点的位置，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：△A′B′C′即为所求．
【点评】此题主要考查了作轴对称变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
21．（2016 哈尔滨）图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AC的两个端点均在小正方形的顶点上．
（1）如图1，点P在小正方形的顶点上，在图1中作出点P关于直线AC的对称点Q，连接AQ、QC、CP、PA，并直接写出四边形AQCP的周长；
（2）在图2中画出一个以线段AC为对角线、面积为6的矩形ABCD，且点B和点D均在小正方形的顶点上．
【分析】（1）直接利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案；
（2）直接利用网格结合矩形的性质以及勾股定理得出答案．
【解答】解：（1）如图1所示：四边形AQCP即为所求，它的周长为：4×=4；
（2）如图2所示：四边形ABCD即为所求．
【点评】此题主要考查了轴对称变换以及矩形的性质、勾股定理等知识，正确应用勾股定理是解题关键．
　
22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
【分析】（1）直接利用关于x轴对称点的性质得出各对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2（﹣3，﹣1），B2（0，﹣2），C2（﹣2，﹣4）．
【点评】此题主要考查了轴对称变换和平移变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
　
23．如图1，在△ABC中，已知∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，DC=3，求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四边形AEGF是正方形．设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
（1）请你帮小萍求出x的值．
（2）参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC=30°，AD⊥BC于D，AD=4．请你按照小萍的方法画图，得到四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）
【分析】（1）正方形AEGF的边长是x．则BG=EC﹣BE=x﹣2，CG=FG﹣CF=x﹣3，在直角△BGC中利用勾股定理即可得到关于x的方程，即可求解；
（2）可以证明△AEF是等边三角形，△EFG是等腰三角形，作出底边上的高，利用三角函数即可求解EG，根据△BGC的周长是：BG+GC+BC=BG+GC+BD+CD=BG+GC+BE+CF=2EG即可求解．
【解答】解：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，
D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，
得到四边形AEGF是正方形，
根据对称的性质可得：BE=BD=2，CF=CD=3，
设AD=x，则正方形AEGF的边长是x，
则BG=EG﹣BE=x﹣2，CG=FG﹣CF=x﹣3，
在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x﹣2）2+（x﹣3）2=52，
解得：x=6或﹣1（舍去）．
故边长是6；
（2）作GM⊥EF于点M．
根据对称的性质可得：AE=AF=AD=4，
∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠DAC，
又∵∠BAC=30°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=4，∠AEF=∠AFE=60°，
∴∠GEF=∠GFE=30°，
则EG=GF，
∴EM=EF=2，
∴EG==，
∴△BGC的周长是：BG+GC+BC=BG+GC+BD+CD=BG+GC+BE+CF=2EG=．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．