3.1 用树状图或表格求概率-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2023九上·息烽月考）某人有红、白、蓝三条长裤和红、白、蓝三件衬衣，他从中任意拿一条长裤和一件衬衣，恰好颜色配套的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·甘州期末）一次抛掷两枚相同的硬币，则这两枚硬币都是正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动甲、乙两个转盘，则两个转盘停止后，指针(若在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域)都不落在“1”区域的概率是( )
A． B． C． D．
4．（2024九上·龙岗月考）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·广水期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·永春月考）孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率为( )
A． B． C． D．
8．（2024九上·杭州期末）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025九上·成都月考）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，确定了“DeepSeek”“豆包”“Kimi”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是 .
10．（2023九上·惠阳期中）如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ．
11．（2025九上·杭州月考）某超市为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物满 100 元就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准A、B、C区域（注：图中已用不同的阴影表示），顾客就可以分别获得 80 元、30 元、10 元的购物券．若转盘被等分成 20 个扇形，其中A区域 2 个，B区域 3 个，C区域 5 个，则获得 30 元购物券的概率是 ．
12．看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如下表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为 10，8，6.若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 .
下等马 中等马 上等马
齐 王 6 8 10
田 忌 5 7 9
13．（2024九上·武侯期中）从这四个数中任取一个作为的值，再从余下的三个数中任取一个作为的值，则不等式组有整数解的概率是 ．
三、解答题
14．（2025九上·义乌期中）某校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 ▲ 名；补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率．
15．（2025九上·义乌期中） 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
（1）小明赢的事件是 ．（选填：必然事件，随机事件或不可能事件．
（2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
16．（2025九上·坪山月考）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位，甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车。
（1）甲停在A区的概率是 .
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙停在相同区域的概率。
17．（2025九上·杭州月考）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
18．（2024九上·江门期末）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀．
（1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是________．
（2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率．
19．（2024九上·徐州期末）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________；
（2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
20．（2024九上·盘州期末）“绿电”即绿色电力，是指在其生产过程中，二氧化碳排放量为零或趋近于零，相较于火力发电，对环境冲击影响较低的电力．绿电的主要来源为太阳能、风力、生物质能、地热等．为了解风力发电机每转动一圈的发电量（记为），现对不同功率的风力发电机每转动一圈的发电量进行了随机调查，调查结果全部收回后进行整理，绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：
每台风力发电机转动一圈发电量频数分布表
发电量千瓦时 频数 频率
4 0.08
8
0.36
14
6 0.12
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：_▲_，并将频数分布直方图补充完整；
（2）在某次综合与实践活动中，九（1）班学生为了进一步学习绿电的相关知识，收集到太阳能路灯、太阳能光伏板、风力发电、氢能源汽车的图片各一张，将其制成为除内容外都相同的四张卡片，他们将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求出抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车的概率．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，恰好颜色配套的由3种情况，
∴恰好颜色配套的概率是：．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图可知： 共有9种等可能的结果，恰好颜色配套的由3种情况，然后根据概率公式计算即可求解．
2．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解：由题意可得：
∴总可能发生的情况有4种，两个都朝上是1种，故两个都是正面向上的概率为：，
故答案为：B；
【分析】首先根据树状图进行分析，得出所有机会均等的结果，以及所关注事件的结果，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中指针都不落在“1”区域的结果数为2，
所以指针都不落在“1”区域的概率
故答案为：A .
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出指针都不落在“1”区域的结果数，然后根据概率公式计算.
4．【答案】A
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：落在，，三个区域中的豆子数的比等于，，的面积比．
“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值，
故答案为：A．
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
5．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下．
开关一 开关二 S1 S2 S3
S1 S2，S1 S3，S1
S2 S1，S2 S3，S2
S3 S1，S3 S2，S3
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故答案为：B．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画图如下：
共有4种情况，而出现高茎的有3种结果，
∴子二代豌豆中含遗传因子D的概率是，
故答案为：D
【分析】先画出遗传图解，再分别求出所有情况数与符合条件的性质，然后利用概率公式求解．
7．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
二一 2 3 5
2 (2，3) (2，5)
3 (3，2) (3，5)
5 (5，2) (5，3)
由表，可知共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有(3，5)，(5，3)，共2种，∴和是偶数的概率为
故答案为：B.
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案.
8．【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
C D E
A (A，C) (A，D) (A，E)
B (B，C) (B，D) (B，E)
共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种．
他选择从口进入，从口离开的概率为，
故答案为：A．
【分析】列表得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式解题．
9．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设“Deepseek”“豆包”“Kimi”三个主题分别用A、B、C表示，画出树状图，
一共有9种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有3种，
∴她们恰好选中一个主题的概率为，
故答案为：.
【分析】设“Deepseek”“豆包”“Kimi”三个主题分别用A、B、C表示，画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中个主题，她们恰好选中一个主题的结果有3种，然后用概率公式求解即可.
10．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵ 由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形， 其中黑色等腰直角三角形瓷砖有3块，
∴蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是，
故答案为：．
【分析】先由图数出瓷砖的块数及黑色瓷砖的块数，再利用概率公式求解．
11．【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵转盘被等分成 20 个扇形，其中A区域 2 个，B区域 3 个，C区域 5 个，
∴获得30元购物券的概率为：，
故答案为：．
【分析】根据概率公式，用B区域的份数比上总份数即可求出获得30元购物券的概率．
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，因此当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛.当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下表：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
由表，可知共有 6种等可能出现的对阵情况，其中只有一种对阵情况田忌能赢得比赛，
∴ P(田忌能赢得比赛)
故答案为： .
【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，表中数在前的是a的取值，在后的是b的取值，
， 1， 2，
， ， 2，
，1 ，1 ，1
， ， ，
总的结果数有种，其中满足不等式有整数解的结果数有4种，分别是a取时，b可以取1与2，a取时，b可以取1与2，所以不等式组有整数解的概率是；
故答案为：．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意用表格列举出所有等可能的结果数，由表可知：总的结果数有12种，其中满足不等式有整数解的结果数有4种，从而根据概率公式求解即可.
14．【答案】（1）解：；
选择“足球”的人数为 (名)。
条形如图：
（2）解：扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)本次被调查的学生人数为 (名)。
故答案为： 100.
【分析】(1)用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可.
(2)用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以 即可.
(3)画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案.
15．【答案】（1）随机事件
（2）解：这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
【知识点】事件的分类；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机事件；
【分析】
（1）共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，所以小明胜的概率为，即可求解；
（2）先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平.
16．【答案】（1）
（2）解：(2)解：分别将A、B两个停车区域的空车位记为
A1，A2 ，B1，B2，B3.
A1 A2 B1 B2 B3
A1 （A2，A1） （B1，A1） （B2，A1） （B3，A1）
A2 （A1，A2） （B1，A2） （B2，A2） （B3，A2）
B1 （A1，B1） （A2，B2） （B2，B1） （B3，B1）
B2 （A1，B2） （A2，B2） （B1，B2） （B3，B2）
B3 （A1，） （A2，B3） （B1，B3） （B2，B3）
由表可知所有可能出现的结果有20种，它们每种出现的可能性相同。
所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件A）的结果有8种，
所以P(A)=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
甲停在A区的概率是
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出满足“甲、乙两人停在相同区域”的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．【答案】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为
（2）解：这个游戏不公平，对小明有利，理由如下：
小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵小丽从正面分别写上、、的三种卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果数，而能抽到的只有1种等可能的结果数，
∴小丽取出的卡片恰好是的概率为．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）采用列表法列举出所有等可能的结果数，由表可知共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，然后根据概率公式分别求得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可．
（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
18．【答案】（1）
（2）解：由题意，列表如下：
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共12种等可能的结果，其中两张内容均为物理变化的有，或，共2种情况，
∴．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是；
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式进行计算即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出小华抽到两张内容均为物理变化的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是；
故答案为：；
（2）由题意，列表如下：
， ， ，
，
， ，
， ，
，
， ， ，
共12种等可能的结果，其中两张内容均为物理变化的有，或，共2种情况，
∴．
19．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意得，选到的概率为
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算解题；
（2）根据列表法得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）由题意得，选到的概率为
故答案为：
（2）列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
20．【答案】（1）解：
补全频数分布直方图如图所示
（2）解：将太阳能路灯、太阳能光伏板、风力发电、氢能源汽车卡片分别记为，列表如下：
则一共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车有两种
（抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车）．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）根据题意可得：频数总和为4÷0.08=50，
∴a=8÷50=0.16，b=50×0.36=18，
补全频数分布直方图如图所示：
故答案为：0.16.
【分析】（1）先利用“”的频数和频率求出频数总和，再求出a、b的值并作出条形统计图即可；
（2）先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
1 / 13.1 用树状图或表格求概率-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2023九上·息烽月考）某人有红、白、蓝三条长裤和红、白、蓝三件衬衣，他从中任意拿一条长裤和一件衬衣，恰好颜色配套的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，恰好颜色配套的由3种情况，
∴恰好颜色配套的概率是：．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出树状图，然后由树状图可知： 共有9种等可能的结果，恰好颜色配套的由3种情况，然后根据概率公式计算即可求解．
2．（2024九上·甘州期末）一次抛掷两枚相同的硬币，则这两枚硬币都是正面向上的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】
解：由题意可得：
∴总可能发生的情况有4种，两个都朝上是1种，故两个都是正面向上的概率为：，
故答案为：B；
【分析】首先根据树状图进行分析，得出所有机会均等的结果，以及所关注事件的结果，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
3．如图，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，同时转动甲、乙两个转盘，则两个转盘停止后，指针(若在分隔线上，则重新转动，直至转到其中一块区域)都不落在“1”区域的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画树状图为：
共有6种等可能的结果，其中指针都不落在“1”区域的结果数为2，
所以指针都不落在“1”区域的概率
故答案为：A .
【分析】画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出指针都不落在“1”区域的结果数，然后根据概率公式计算.
4．（2024九上·龙岗月考）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：落在，，三个区域中的豆子数的比等于，，的面积比．
“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值，
故答案为：A．
【分析】先求出所有符合条件的图形的面积，再求出总面积，最后利用概率公式求解即可.
5．（2024九上·广水期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关、、中的两个，能让灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下．
开关一 开关二 S1 S2 S3
S1 S2，S1 S3，S1
S2 S1，S2 S3，S2
S3 S1，S3 S2，S3
由上表可知共有6种等可能的结果，能让灯泡发光的结果有2种．
所以能让灯泡发光的概率是．
故答案为：B．
【分析】先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
6．（2024九上·永春月考）孟德尔被誉为现代遗传学之父，他通过豌豆杂交实验，发现了遗传学的基本规律．如图，纯种高茎豌豆和纯种矮茎豌豆杂交，子一代都是高茎豌豆，子一代种子种下去，自花传粉，获得的子二代豌豆由DD、Dd、dd三种遗传因子控制．由此可知，子二代豌豆中含遗传因子D的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：画图如下：
共有4种情况，而出现高茎的有3种结果，
∴子二代豌豆中含遗传因子D的概率是，
故答案为：D
【分析】先画出遗传图解，再分别求出所有情况数与符合条件的性质，然后利用概率公式求解．
7．哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.在质数2，3，5中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
二一 2 3 5
2 (2，3) (2，5)
3 (3，2) (3，5)
5 (5，2) (5，3)
由表，可知共有6种等可能的结果，其中和是偶数的结果有(3，5)，(5，3)，共2种，∴和是偶数的概率为
故答案为：B.
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及和是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案.
8．（2024九上·杭州期末）如图是某旅游景点的两个入口和三个出口，小华随机选一个入口进景区，游玩后任选一个出口离开，则他选择从口进入，从口离开的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：列表如下：
C D E
A (A，C) (A，D) (A，E)
B (B，C) (B，D) (B，E)
共有6种等可能的结果，其中他选择从口进入，从口离开的结果有∶．共1种．
他选择从口进入，从口离开的概率为，
故答案为：A．
【分析】列表得到所有等可能的结果，然后找出符合要求的结果数，根据概率公式解题．
二、填空题
9．（2025九上·成都月考）随着科技的飞速发展，AI人工智能应运而生，多种AI软件崭露头角，某班级为更好地了解AI软件，计划举办手抄报展览，确定了“DeepSeek”“豆包”“Kimi”三个主题，若小红和小明从中随机选择其中一个主题，则她们恰好选中一个主题的概率是 .
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设“Deepseek”“豆包”“Kimi”三个主题分别用A、B、C表示，画出树状图，
一共有9种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中一个主题，她们恰好选中一个主题的结果有3种，
∴她们恰好选中一个主题的概率为，
故答案为：.
【分析】设“Deepseek”“豆包”“Kimi”三个主题分别用A、B、C表示，画出树状图，共有9种等可能的结果，其中小红和小明从中随机选择其中个主题，她们恰好选中一个主题的结果有3种，然后用概率公式求解即可.
10．（2023九上·惠阳期中）如图是由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形，一只蚂蚁在上面自由爬动，那么蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵ 由8块全等的等腰直角三角形黑白瓷砖镶嵌而成的正方形， 其中黑色等腰直角三角形瓷砖有3块，
∴蚂蚁停留在黑色瓷砖上的概率是，
故答案为：．
【分析】先由图数出瓷砖的块数及黑色瓷砖的块数，再利用概率公式求解．
11．（2025九上·杭州月考）某超市为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（如图），并规定：顾客购物满 100 元就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准A、B、C区域（注：图中已用不同的阴影表示），顾客就可以分别获得 80 元、30 元、10 元的购物券．若转盘被等分成 20 个扇形，其中A区域 2 个，B区域 3 个，C区域 5 个，则获得 30 元购物券的概率是 ．
【答案】
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：∵转盘被等分成 20 个扇形，其中A区域 2 个，B区域 3 个，C区域 5 个，
∴获得30元购物券的概率为：，
故答案为：．
【分析】根据概率公式，用B区域的份数比上总份数即可求出获得30元购物券的概率．
12．看了《田忌赛马》的故事后，小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上、中、下三个等级的三匹马记分如下表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为 10，8，6.若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 .
下等马 中等马 上等马
齐 王 6 8 10
田 忌 5 7 9
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强，因此当齐王的三匹马出场顺序为10，8，6时，田忌的马按5，9，7的顺序出场，田忌才能赢得比赛.当田忌的三匹马随机出场时，双方马的对阵情况如下表：
齐王的马 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下 上中下
田忌的马 上中下 上下中 中上下 中下上 下上中 下中上
由表，可知共有 6种等可能出现的对阵情况，其中只有一种对阵情况田忌能赢得比赛，
∴ P(田忌能赢得比赛)
故答案为： .
【分析】列表得出所有等可能的情况，田忌能赢得比赛的情况有1种，再由概率公式求解即可。
13．（2024九上·武侯期中）从这四个数中任取一个作为的值，再从余下的三个数中任取一个作为的值，则不等式组有整数解的概率是 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下，表中数在前的是a的取值，在后的是b的取值，
， 1， 2，
， ， 2，
，1 ，1 ，1
， ， ，
总的结果数有种，其中满足不等式有整数解的结果数有4种，分别是a取时，b可以取1与2，a取时，b可以取1与2，所以不等式组有整数解的概率是；
故答案为：．
【分析】此题是抽取不放回类型，根据题意用表格列举出所有等可能的结果数，由表可知：总的结果数有12种，其中满足不等式有整数解的结果数有4种，从而根据概率公式求解即可.
三、解答题
14．（2025九上·义乌期中）某校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 ▲ 名；补全条形统计图；
（2）求出扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数；
（3）学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率．
【答案】（1）解：；
选择“足球”的人数为 (名)。
条形如图：
（2）解：扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数为
（3）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中甲和乙同学同时被选中的结果有2种，
∴甲和乙同学同时被选中的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：(1)本次被调查的学生人数为 (名)。
故答案为： 100.
【分析】(1)用选择“篮球”的人数除以其所占百分比，可得本次被调查的学生总人数；求出选择“足球”的人数，再补全条形统计图即可.
(2)用选择“排球”的人数除以本次被调查的学生总人数再乘以 即可.
(3)画树状图得出所有等可能的结果数，以及甲和乙同学同时被选中的结果数，再利用概率公式可得出答案.
15．（2025九上·义乌期中） 小明和小亮用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次，若两次数字之和为奇数，则小明胜；若两次数字之和为偶数，则小亮胜．
（1）小明赢的事件是 ．（选填：必然事件，随机事件或不可能事件．
（2）这个游戏对双方公平吗？通过画树状图或列表的方式说说你的理由．
【答案】（1）随机事件
（2）解：这个游戏对双方不公平．理由如下：
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
又∵，
∴这个游戏对双方不公平．
【知识点】事件的分类；游戏公平性；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）共有种等可能的结果数：、、、、、、、、，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，
∴小明胜的概率为，小亮胜的概率为，
∵小明和小亮获胜是随机事件，
∴小明赢的事件是随机事件，
故答案为：随机事件；
【分析】
（1）共有种等可能的结果数，其中两次数字之和为奇数的结果数，两次数字之和为偶数的结果数为，所以小明胜的概率为，即可求解；
（2）先画树状图展示所有种等可能的结果数，再找出两次数字之和为奇数的结果数和两次数字之和为偶数的结果数，再利用概率公式计算出小明胜的概率和小亮胜的概率，然后通过比较概率大小判断这个游戏对双方是否公平.
16．（2025九上·坪山月考）如图，某景区停车场有A，B两个停车区域，其中，A区剩余2个空车位，B区剩余3个空车位，甲、乙两辆车随机停入这5个空车位中，每个车位只能停一辆车。
（1）甲停在A区的概率是 .
（2）请用列表或画树状图的方法，求甲、乙停在相同区域的概率。
【答案】（1）
（2）解：(2)解：分别将A、B两个停车区域的空车位记为
A1，A2 ，B1，B2，B3.
A1 A2 B1 B2 B3
A1 （A2，A1） （B1，A1） （B2，A1） （B3，A1）
A2 （A1，A2） （B1，A2） （B2，A2） （B3，A2）
B1 （A1，B1） （A2，B2） （B2，B1） （B3，B1）
B2 （A1，B2） （A2，B2） （B1，B2） （B3，B2）
B3 （A1，） （A2，B3） （B1，B3） （B2，B3）
由表可知所有可能出现的结果有20种，它们每种出现的可能性相同。
所有的结果中，满足“甲、乙两人停在相同区域”（记为事件A）的结果有8种，
所以P(A)=
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
甲停在A区的概率是
故答案为：
【分析】（1）根据概率公式即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出满足“甲、乙两人停在相同区域”的结果，再根据概率公式即可求出答案.
17．（2025九上·杭州月考）有三张背面完全相同的卡片，它们的正面分别写上、、，把它们的背面朝上洗匀后，小丽先从中抽取一张，然后小明从余下的卡片中再抽取一张．
（1）直接写出小丽取出的卡片恰好是的概率；
（2）小刚为他们设计了一个游戏规则：若两人抽取卡片上的数字之积是有理数，则小丽获胜；否则小明获胜．你认为这个游戏规则公平吗？若不公平，则对谁有利？请说明理由．
【答案】（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为
（2）解：这个游戏不公平，对小明有利，理由如下：
小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性；概率公式
【解析】【解答】（1）解：∵小丽从正面分别写上、、的三种卡片中随机抽取一张，共有3种等可能的结果数，而能抽到的只有1种等可能的结果数，
∴小丽取出的卡片恰好是的概率为．
【分析】（1）根据概率公式求解即可；
（2）采用列表法列举出所有等可能的结果数，由表可知共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，然后根据概率公式分别求得小丽获胜的概率和小明获胜的概率，比较大小，判断公平性即可．
（1）解：小丽取出的卡片恰好是的概率为．
（2）解：小丽和小明抽取卡片的所有可能列表如下：
小丽 小明 数字之积
∴共有6种等可能结果，其中积是有理数的有2种，不是有理数的有4种，
∴小丽获胜的概率，小明获胜的概率，
∵，
∴这个游戏不公平，对小明有利．
18．（2024九上·江门期末）物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在活动课上制作了四张卡片，这四张卡片除图片内容不同外，没有其他区别．将这四张卡片放置于暗箱中摇匀．
（1）小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是________．
（2）小华从暗箱中随机抽取两张，用列表法或画树状图法求小华抽到两张内容均为物理变化的卡片的概率．
【答案】（1）
（2）解：由题意，列表如下：
， ， ，
， ， ，
， ， ，
， ， ，
共12种等可能的结果，其中两张内容均为物理变化的有，或，共2种情况，
∴．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是；
故答案为：；
【分析】（1）利用概率公式进行计算即可求出答案.
（2）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出小华抽到两张内容均为物理变化的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：小明从暗箱中随机抽取一张，抽中A卡片的概率是；
故答案为：；
（2）由题意，列表如下：
， ， ，
，
， ，
， ，
，
， ， ，
共12种等可能的结果，其中两张内容均为物理变化的有，或，共2种情况，
∴．
19．（2024九上·徐州期末）化学实验课上，王老师带来了（镁）、（铝）、（锌）、（铜）四种金属，这四种金属分别用四个相同的不透明容器装着，让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气．（根据金属活动顺序可知：可以置换出氢气，而不能置换出氢气）
（1）小明从四种金属中随机选一种，则选到（镁）的概率为________；
（2）小明和小红分别从四种金属中随机选一种金属分别进行实验，请用列表或画树状图的方法，求二人所选金属均能置换出氢气的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：由题意得，选到的概率为
故答案为：；
【分析】（1）根据概率公式计算解题；
（2）根据列表法得到所有等可能结果，然后找出符合要求的结果数，利用概率公式计算解题．
（1）由题意得，选到的概率为
故答案为：
（2）列表如下：
由表格知共有16种等可能的结果，其中二人所选金属均能置换出氢气的结果有：，，，，，，，，，共种，
二人所选金属均能置换出氢气的概率为．
20．（2024九上·盘州期末）“绿电”即绿色电力，是指在其生产过程中，二氧化碳排放量为零或趋近于零，相较于火力发电，对环境冲击影响较低的电力．绿电的主要来源为太阳能、风力、生物质能、地热等．为了解风力发电机每转动一圈的发电量（记为），现对不同功率的风力发电机每转动一圈的发电量进行了随机调查，调查结果全部收回后进行整理，绘制成如下不完整的频数分布表和频数分布直方图：
每台风力发电机转动一圈发电量频数分布表
发电量千瓦时 频数 频率
4 0.08
8
0.36
14
6 0.12
请根据图表中提供的信息，解答下列问题：
（1）填空：_▲_，并将频数分布直方图补充完整；
（2）在某次综合与实践活动中，九（1）班学生为了进一步学习绿电的相关知识，收集到太阳能路灯、太阳能光伏板、风力发电、氢能源汽车的图片各一张，将其制成为除内容外都相同的四张卡片，他们将这四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法，求出抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车的概率．
【答案】（1）解：
补全频数分布直方图如图所示
（2）解：将太阳能路灯、太阳能光伏板、风力发电、氢能源汽车卡片分别记为，列表如下：
则一共有12种等可能结果，其中抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车有两种
（抽到的两张卡片正面的图片恰好是太阳能路灯和氢能源汽车）．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）根据题意可得：频数总和为4÷0.08=50，
∴a=8÷50=0.16，b=50×0.36=18，
补全频数分布直方图如图所示：
故答案为：0.16.
【分析】（1）先利用“”的频数和频率求出频数总和，再求出a、b的值并作出条形统计图即可；
（2）先利用列表法或树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
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