3.2 用频率估计概率-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·长兴月考）在一个不透明的袋子中放入15个红球和若干个白球（球除了颜色不同外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，估计袋中白球有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中有x个白球，则
解得x=10
故答案为：B.
【分析】频率=，利用这个公式建立方程求解即可。
2．（2024九上·深圳开学考）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得．
故答案为：A．
【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案.
3．（2025九上·上城期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.80 B．0.79 C．0.78 D．0.77
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是0.78；
故选C．
【分析】根据频率稳定性定理：用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可．
4．（2023九上·衢江期中）为了解某地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高
人数 59 261 557 123
根据统计，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：样本中身高不低于的概率，
估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是．
故答案为：C．
【分析】先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
5．（2023九上·鼓楼期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下，
∴、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意；
、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意；
、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，不符合题意；
、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据折线统计图可得实验的频率稳定在和之间，即可得到概率逐项判断解题．
6．“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 550 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法中错误的是（ )
A．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
B．转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68
D．如果转动转盘3 000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约为900
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、∵转动转盘20次，不一定有6次获得“文具盒”，它是随机事件，结果不确定，∴A不正确，符合题意；
B、∵大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，∴B正确，不符合题意；
C、∵由B可知再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，∴C正确，不符合题意；
D、∵指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据表格中数据并利用频率的定义逐项分析判断即可.
7．（2024九上·威县期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
次数
e频率
A．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B．掷一枚一元的硬币，正面向上
C．在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由表格可知，频率逐渐稳定于，
掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为，故A不符合要求；
掷一枚一元的硬币，正面向上的概率为，故B不符合要求；
在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率为，故C符合要求；
有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率为，故D不符合要求；
故答案为：C
【分析】由表格可知，频率逐渐稳定于，然后求各选项中事件的概率，即可求出答案.
8．（2024九上·自贡期末）种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全．某种业公司培育成功了两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培有环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 200 500 800 1500 3000
A 出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
B 出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面在三个推断：
①当实验种子数员为200时，两种种子的出芽率均为0.98，所以两种新五米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.96：
③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会离于种子．
其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为200，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加，B种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计B种子发芽的概率是0.97．故②推断合理．
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率约为0.97、B种子的出芽率约为0.96，可能会高于B种子，故③合理；
故答案为：C．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解。
二、填空题
9．（2025九上·兰溪月考）某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的菜种数/粒 800 1600 2400 3200 4000
发芽的频率 0.954 0.946 0.951 0.950 0.948
由此可以估计这批菜种发芽的概率为 （精确到0.01）.
【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量越多，用于估计概率越准确，实验的菜种数4000最多，
∴估计这批菜种发芽的概率为0.95.
故答案为：0.95.
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得.
10．七（1）班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有6个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个．
【答案】2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，得黄球的频率近似稳定在，故黄球的个数为个，
故答案为：2．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
11．（2024九上·深圳期末）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了200次，其中有50次揽到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
【答案】30
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸了200次，其中有50次摸到黑球，
∴摸到黑球的频率是
设口袋中大约有x个白球，则，解得：．
经检验符合题意.
故答案为：30．
【分析】根据题意求出摸到黑球的频率，再由题意列出方程，解出即可．
12．（2023九上·福田期中）在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是 ．
【答案】8
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题可得摸到黄色乒乓球的频率为
∴估计
∴ 盒子中的黄色乒乓球的个数=20×=8个
故答案为：8.
【分析】根据摸到黄色乒乓球的频率估计摸到黄色乒乓球的概率，根据概率计算公式可得结果.
13．（2024九上·福田月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
【答案】
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的，
∴黑色阴影区域的面积是，
故答案为：．
【分析求出】点落在黑色阴影的概率为，再利用“阴影部分的面积=总面积×概率”列出算式求解即可.
三、解答题
14．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程试验n次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表．
摸球试验次数n 10 100 150 200 500 ……
摸到白球的频数m 2 22 31 39 101 ……
摸到白球的频率p 0.200 0.220 0.207 0.195 0.202 ……
（1）观察上表，可以推测，摸一次球，摸到白球的概率为
（2）请你估计盒子里白球的个数．
（3）若往盒子中同时放人x个白球和y个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，求y与x之间的函数关系式．
【答案】（1）0.2
（2）解：根据题意可得：盒子里白球个数为5×0.2＝1
（3）解：根据题意得：，
整理得：y与x之间的函数关系式为y＝3x 1
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）∵摸到白球的频率为（0.200＋0.220＋0.207＋0.195＋0.202）÷5≈0.2，
∴摸一次摸到白球的概率为0.2，
故答案为：0.2；
【分析】（1）结合表格中的数据列出算式求出频率的平均值即可；
（2）利用“频率、频数”之间的关系列出算式求解即可；
（3）利用概率公式列出算式，再化简即可.
15．（2025九上·南湖月考）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据。
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250
（1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 （保留2位小数）；
（2）估计袋中白球的个数；
（3）若小强同学有放回地连续两次摸球，用面树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率.
【答案】（1）0.25
（2）解：设袋子中白球的个数为x，
根据题意，得：
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
∴估算袋中白球的个数为3；
（3）解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，
∴两次都摸出白球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
故答案为： 0.25；
【分析】(1)利用频数÷总数=频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率；
(2)设袋子中白球的个数为x，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案；
(3)先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可.
16．（2024九上·青龙期末）某种子培育基地用A，B，C，D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为，根据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．
（1）D型号种子的粒数是______；
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广．
【答案】（1）500
（2）解：型号种子有粒，其发芽率为，
故型号种子的发芽数是粒，据此可补全统计图，如图；
（3）解：型号发芽率为，
型号发芽率为，
型号发芽率为，
已知型号发芽率为，比较可知型号的种子发芽率最高；
故应选型号的种子进行推广．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：型号种子占的比例为：，
∴型号种子有粒，
故答案为：500；
【分析】（1）求出D号种子所占百分比，再根据D号种子发芽数即可求出D号种子总数.
（2）型号种子有粒，其发芽率为，故型号种子的发芽数是粒，据此可补全统计图.
（3）分别求出另外三种种子的发芽率，比较这四种种子的发芽率，选发芽率最高的推广．
（1）分析扇形图可知：型号种子占的比例为：，即型号种子有粒，
故答案为：500；
（2）型号种子有粒，其发芽率为，故型号种子的发芽数是粒，据此可补全统计图，如图；
（3）型号发芽率为，
型号发芽率为，
型号发芽率为，
已知型号发芽率为，比较可知型号的种子发芽率最高；
故应选型号的种子进行推广．
17．（2024九上·上城期中）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 59 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到）
（2）试估算口袋中红球有多少个？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两个球颜色不同的概率是多少？
【答案】（1）0.6；
（2）解：由（1）得摸到白球的概率为0.6，
∴摸到红球的概率为，
∴可估计口袋中红球的个数为：（个）；
（3）解：由（2）得红球2个，白球3个，画树状图如下：
∴共有20种等可能的结果数，其中两个球颜色不同的结果有12种，
∴两个球颜色不同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6.
【分析】（1） 根据统计数据直接得到答案；
（2）大量重复实验时，事件发生的频率固定在某个位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，则可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，于是估计摸到白球的概率为，则摸到红球的概率为，然后即可求出红球的个数；
（3）先由（2）求出红球、白球的个数，然后利用树状图法得到所有的等可能结果数，从而得两个球颜色不同的结果数，进而根据概率公式求解.
（1）解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；
（2）由（1）知摸到白球的概率为，则摸到红球的概率为，所以可估计口袋中红球的个数为：（个）；
（3）由（2）得：红球2个，白色球3个，画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两个球颜色不同占12种，
所以两个球颜色不同的概率．
18．（2024九上·西湖月考）有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域．
（1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表：
实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000
白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000
落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33
请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________．
（2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为，黑色扇形的圆心角为，转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
【答案】（1）
（2）解：白色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之一，黑色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之二，
把一个圆平均分成三份；
设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1、黑2，
画树状图：
共有9种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种，
一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据表格数据可知：随实验次数增加，落在白色区域频率接近，
故转动该转盘指针落在白色区域的概率为；
【分析】（1）利用频率估计概率求解；
（2）画出树状图，得到所有情况和符合条件的情况数，再利用概率公式求解．
（1）解：根据表格数据可知：随实验次数增加，落在白色区域频率接近，
故转动该转盘指针落在白色区域的概率为；
（2）解：白色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之一，黑色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之二，因此，把一个圆平均分成三份；
设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1、黑2，可得下面的图表：
树状图为：
从树状图可知：共有9种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种，
一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为．
19．（2021九上·恩施期末）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
【答案】（1）解：∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）=；
（2）解：
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（抽到的都是合格品）==；
（3）解：∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴=0.95，
解得：x=16．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【分析】此题考查了统计图的综合应用，涉及知识点有利用频率估计概率和概率公式的应用.
20．（2024九上·深圳期中）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 295 a 604
落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604
（1）完成上述表格，其中_____，_____；
（2）请估计当很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是_____；（本小问结果全部精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是_____°；
（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率．
【答案】（1），
（2）；
（3）
（4）解：树状图如下：
共有9种等可能情况，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的情况有3种，
故甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】 解：（1） 由题意可得，；
；
故答案为：，；
（2）估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；
故答案为：；；
（3），所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是．
【分析】（1）根据频率的定义即可求得a，b的值；
（2）根据试验次数越大，频率会逐步的接近于某一个数值，即可得出答案；
（3）首先求得“洗衣粉”的概率，进一步用360°×概率。即可得出答案；
（4）画出树状图，根据树状图分析可分析所有机会均等的结果，以及甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的结果，根据概率计算公式即可得出答案。
（1）解： 由题意可得，；
；
故答案为：，；
（2）解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；
故答案为：；；
（3）解：，
所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是．
（4）解：树状图如下：
共有9中等可能情况，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的情况有3种，
故甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为．
1 / 13.2 用频率估计概率-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·长兴月考）在一个不透明的袋子中放入15个红球和若干个白球（球除了颜色不同外其余都相同），如果从袋子里摸出一个球记录下颜色后放回，经过多次重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.6，估计袋中白球有（ ）
A．5个 B．10个 C．15个 D．25个
2．（2024九上·深圳开学考）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025九上·上城期末）在学习了“用频率估计概率”这一节内容后，某课外兴趣小组利用计算器进行模拟试验来探究“6个人中有2个人同月过生日的概率”，他们将试验中获得的数据记录如下：
试验次数 100 300 500 1000 1600 2000
“有2个人同月过生日”的次数 80 229 392 779 1251 1562
“有2个人同月过生日”的频率 0.8 0.763 0.784 0.779 0.782 0.781
通过试验，该小组估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是（ ）
A．0.80 B．0.79 C．0.78 D．0.77
4．（2023九上·衢江期中）为了解某地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下：
身高
人数 59 261 557 123
根据统计，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于的概率是（ ）
A．0.32 B．0.55 C．0.68 D．0.87
5．（2023九上·鼓楼期中）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（ ）
A．掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”
B．掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是
C．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”
D．袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球
6．“十一”长假期间，某玩具超市设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，开展有奖购买活动，顾客购买玩具就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应奖品．下表是该活动的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000
落在“铅笔”区域的次数m 68 108 140 355 550 690
落在“铅笔”区域的频率 0.68 0.72 0.70 0.71 0.70 0.69
下列说法中错误的是（ )
A．转动转盘20次，一定有6次获得“文具盒”
B．转动转盘一次，获得“铅笔”的概率大约是0.70
C．再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68
D．如果转动转盘3 000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约为900
7．（2024九上·威县期末）某小组做“当试验次数很大时，用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，表格如下，则符合这一结果的试验最有可能是（ ）
次数
e频率
A．掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”
B．掷一枚一元的硬币，正面向上
C．在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球
D．有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5
8．（2024九上·自贡期末）种子被称作农业的“芯片”，关系到国家粮食安全．某种业公司培育成功了两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培有环境中分别实验，实验情况记录如下：
种子数量 200 500 800 1500 3000
A 出芽率 0.98 0.94 0.96 0.98 0.97
B 出芽率 0.98 0.95 0.94 0.97 0.96
下面在三个推断：
①当实验种子数员为200时，两种种子的出芽率均为0.98，所以两种新五米种子出芽的概率一样；
②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.96附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子出芽的概率是0.96：
③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会离于种子．
其中合理的是（ ）
A．①②③ B．①② C．②③ D．①③
二、填空题
9．（2025九上·兰溪月考）某农场引进一批新菜种，播种前在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示：
试验的菜种数/粒 800 1600 2400 3200 4000
发芽的频率 0.954 0.946 0.951 0.950 0.948
由此可以估计这批菜种发芽的概率为 （精确到0.01）.
10．七（1）班同学设计用频率去估计概率的试验如下：在一个不透明的口袋中，装有6个球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，统计了黄球出现的次数，绘出的统计图如图所示，则袋子中黄球的个数最可能是 个．
11．（2024九上·深圳期末）从一个不透明的口袋中随机摸出一球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了200次，其中有50次揽到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
12．（2023九上·福田期中）在一个不透明的盒子中有20个大小相同的乒乓球，这些乒乓球除颜色外都相同，将盒中的乒乓球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回盒中，不断重复这一过程，共摸了1000次球，发现有400次摸到黄色乒乓球，估计这个盒子中的黄色乒乓球的个数是 ．
13．（2024九上·福田月考）近几年，二维码逐渐进入了人们的生活，成为广大民众生活中不可或缺的一部分．小刚将二维码打印在面积为16的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为 ．
三、解答题
14．在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共5个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复上述过程试验n次，下表是小明“摸到白球”的频数、频率统计表．
摸球试验次数n 10 100 150 200 500 ……
摸到白球的频数m 2 22 31 39 101 ……
摸到白球的频率p 0.200 0.220 0.207 0.195 0.202 ……
（1）观察上表，可以推测，摸一次球，摸到白球的概率为
（2）请你估计盒子里白球的个数．
（3）若往盒子中同时放人x个白球和y个黑球，从盒子中随机取出一个白球的概率是0.25，求y与x之间的函数关系式．
15．（2025九上·南湖月考）王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据。
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 0.250
（1）根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 （保留2位小数）；
（2）估计袋中白球的个数；
（3）若小强同学有放回地连续两次摸球，用面树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率.
16．（2024九上·青龙期末）某种子培育基地用A，B，C，D四种型号的小麦种子共2000粒进行发芽实验，从中选出发芽率高的种子进行推广．通过实验得知，C型号种子的发芽率为，根据实验数据绘制了图1和图2两幅尚不完整的统计图．
（1）D型号种子的粒数是______；
（2）请你将图2的统计图补充完整；
（3）通过计算说明，应选哪一个型号的种子进行推广．
17．（2024九上·上城期中）在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共5个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的次数 59 96 116 295 484 601
摸到白球的频率
（1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______；（精确到）
（2）试估算口袋中红球有多少个？
（3）请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两个球颜色不同的概率是多少？
18．（2024九上·西湖月考）有一个圆形转盘，分黑色、白色两个区域．
（1）某人转动转盘，对指针落在黑色区域或白色区域进行了大量试验，得到数据如下表：
实验次数n（次） 10 100 2000 5000 10000 50000 100000
白色区域次数m（次） 3 34 680 1600 3405 16500 33000
落在白色区域频率 0.3 0.34 0.34 0.32 0.34 0.33 0.33
请你利用上述实验，估计转动该转盘指针落在白色区域的概率为___________．
（2）若该圆形转盘白色扇形的圆心角为，黑色扇形的圆心角为，转动转盘两次，请用画树状图或列表的方法求指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率．
19．（2021九上·恩施期末）4件同型号的产品中，有1件不合格品和3件合格品．
（1）从这4件产品中随机抽取1件进行检测，求抽到的是不合格品的概率；
（2）从这4件产品中随机抽取2件进行检测，求抽到的都是合格品的概率；
（3）在这4件产品中加入x件合格品后，进行如下试验：随机抽取1件进行检测，然后放回，多次重复这个试验，通过大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，则可以推算出x的值大约是多少？
20．（2024九上·深圳期中）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是此次活动中的一组统计数据：
转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000
落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 295 a 604
落在“可乐”区域的频率 0.6 0.61 0.6 b 0.59 0.604
（1）完成上述表格，其中_____，_____；
（2）请估计当很大时，频率将会接近_____，假如你去动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是_____；（本小问结果全部精确到0.1）
（3）转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是_____°；
（4）在这次购物中，甲、乙两人随机从“微信”、“支付宝”、“银行卡”（依次用、、表示）三种支付方式中各选一种方式进行支付．请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设袋中有x个白球，则
解得x=10
故答案为：B.
【分析】频率=，利用这个公式建立方程求解即可。
2．【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得．
故答案为：A．
【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由表格可知，估计“6个人中有2个人同月过生日”的概率（精确到0.01）大约是0.78；
故选C．
【分析】根据频率稳定性定理：用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．据此进行求解即可．
4．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：样本中身高不低于的概率，
估计抽查该地区一名九年级男生的身高不低于的概率是．
故答案为：C．
【分析】先计算出样本中身高不低于的频率，然后根据利用频率估计概率求解．
5．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据折线统计图可知，随着试验次数的增多概率稳定在以上，以下，
∴、掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”的概率是，不符合题意；
、掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时朝上的面点数是的概率是，符合题意；
、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“石头”的概率是，不符合题意；
、袋子中有个白球和个黄球，只有颜色上的区别，从中随机取出一个球是黄球的概率是，不符合题意；
故答案为：．
【分析】根据折线统计图可得实验的频率稳定在和之间，即可得到概率逐项判断解题．
6．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：A、∵转动转盘20次，不一定有6次获得“文具盒”，它是随机事件，结果不确定，∴A不正确，符合题意；
B、∵大量重复试验中频率稳定在0.7左右，故用频率估计指针落在“铅笔”区域的频率大约是0.70，∴B正确，不符合题意；
C、∵由B可知再转动转盘100次，指针落在“铅笔”区域的次数不一定是68次，∴C正确，不符合题意；
D、∵指针落在“文具盒”区域的概率为0.30，转动转盘3000次，指针落在“文具盒”区域的次数大约有3000×0.3＝900次，∴D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据表格中数据并利用频率的定义逐项分析判断即可.
7．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由表格可知，频率逐渐稳定于，
掷一个质地均匀的骰子，向上的面点数是“6”的概率为，故A不符合要求；
掷一枚一元的硬币，正面向上的概率为，故B不符合要求；
在一个不透明的袋子里有2个红球和3个黄球，它们除了颜色外都相同，从中任取一球是红球的概率为，故C符合要求；
有三张扑克牌，分别是3，5，5，背面朝上洗匀后，随机抽出一张是5的概率为，故D不符合要求；
故答案为：C
【分析】由表格可知，频率逐渐稳定于，然后求各选项中事件的概率，即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：①在大量重复实验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为200，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理．
②随着实验种子数量的增加，B种子发芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计B种子发芽的概率是0.97．故②推断合理．
③在同样的地质环境下播种，A种子的出芽率约为0.97、B种子的出芽率约为0.96，可能会高于B种子，故③合理；
故答案为：C．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摇摆，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解。
9．【答案】0.95
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量越多，用于估计概率越准确，实验的菜种数4000最多，
∴估计这批菜种发芽的概率为0.95.
故答案为：0.95.
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得.
10．【答案】2
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，得黄球的频率近似稳定在，故黄球的个数为个，
故答案为：2．
【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.
11．【答案】30
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵摸了200次，其中有50次摸到黑球，
∴摸到黑球的频率是
设口袋中大约有x个白球，则，解得：．
经检验符合题意.
故答案为：30．
【分析】根据题意求出摸到黑球的频率，再由题意列出方程，解出即可．
12．【答案】8
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：由题可得摸到黄色乒乓球的频率为
∴估计
∴ 盒子中的黄色乒乓球的个数=20×=8个
故答案为：8.
【分析】根据摸到黄色乒乓球的频率估计摸到黄色乒乓球的概率，根据概率计算公式可得结果.
13．【答案】
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，
∴他在纸内随机掷点，点落在黑色阴影的概率为，
∴黑色阴影区域的面积是正方形纸片的，
∴黑色阴影区域的面积是，
故答案为：．
【分析求出】点落在黑色阴影的概率为，再利用“阴影部分的面积=总面积×概率”列出算式求解即可.
14．【答案】（1）0.2
（2）解：根据题意可得：盒子里白球个数为5×0.2＝1
（3）解：根据题意得：，
整理得：y与x之间的函数关系式为y＝3x 1
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：（1）∵摸到白球的频率为（0.200＋0.220＋0.207＋0.195＋0.202）÷5≈0.2，
∴摸一次摸到白球的概率为0.2，
故答案为：0.2；
【分析】（1）结合表格中的数据列出算式求出频率的平均值即可；
（2）利用“频率、频数”之间的关系列出算式求解即可；
（3）利用概率公式列出算式，再化简即可.
15．【答案】（1）0.25
（2）解：设袋子中白球的个数为x，
根据题意，得：
解得：x=3，
经检验x=3是分式方程的解，
∴估算袋中白球的个数为3；
（3）解：画树状图得：
∵共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况，
∴两次都摸出白球的概率为
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：（1）观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右，
∴估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25；
故答案为： 0.25；
【分析】(1)利用频数÷总数=频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率；
(2)设袋子中白球的个数为x，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案；
(3)先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可.
16．【答案】（1）500
（2）解：型号种子有粒，其发芽率为，
故型号种子的发芽数是粒，据此可补全统计图，如图；
（3）解：型号发芽率为，
型号发芽率为，
型号发芽率为，
已知型号发芽率为，比较可知型号的种子发芽率最高；
故应选型号的种子进行推广．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；利用频率估计概率
【解析】【解答】（1）解：型号种子占的比例为：，
∴型号种子有粒，
故答案为：500；
【分析】（1）求出D号种子所占百分比，再根据D号种子发芽数即可求出D号种子总数.
（2）型号种子有粒，其发芽率为，故型号种子的发芽数是粒，据此可补全统计图.
（3）分别求出另外三种种子的发芽率，比较这四种种子的发芽率，选发芽率最高的推广．
（1）分析扇形图可知：型号种子占的比例为：，即型号种子有粒，
故答案为：500；
（2）型号种子有粒，其发芽率为，故型号种子的发芽数是粒，据此可补全统计图，如图；
（3）型号发芽率为，
型号发芽率为，
型号发芽率为，
已知型号发芽率为，比较可知型号的种子发芽率最高；
故应选型号的种子进行推广．
17．【答案】（1）0.6；
（2）解：由（1）得摸到白球的概率为0.6，
∴摸到红球的概率为，
∴可估计口袋中红球的个数为：（个）；
（3）解：由（2）得红球2个，白球3个，画树状图如下：
∴共有20种等可能的结果数，其中两个球颜色不同的结果有12种，
∴两个球颜色不同的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.6，
故答案为：0.6.
【分析】（1） 根据统计数据直接得到答案；
（2）大量重复实验时，事件发生的频率固定在某个位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，则可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，于是估计摸到白球的概率为，则摸到红球的概率为，然后即可求出红球的个数；
（3）先由（2）求出红球、白球的个数，然后利用树状图法得到所有的等可能结果数，从而得两个球颜色不同的结果数，进而根据概率公式求解.
（1）解：当n很大时，摸到白球的频率将会接近；
（2）由（1）知摸到白球的概率为，则摸到红球的概率为，所以可估计口袋中红球的个数为：（个）；
（3）由（2）得：红球2个，白色球3个，画树状图为：
共有20种等可能的结果数，其中两个球颜色不同占12种，
所以两个球颜色不同的概率．
18．【答案】（1）
（2）解：白色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之一，黑色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之二，
把一个圆平均分成三份；
设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1、黑2，
画树状图：
共有9种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种，
一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：（1）根据表格数据可知：随实验次数增加，落在白色区域频率接近，
故转动该转盘指针落在白色区域的概率为；
【分析】（1）利用频率估计概率求解；
（2）画出树状图，得到所有情况和符合条件的情况数，再利用概率公式求解．
（1）解：根据表格数据可知：随实验次数增加，落在白色区域频率接近，
故转动该转盘指针落在白色区域的概率为；
（2）解：白色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之一，黑色扇形的圆心角为，占一个圆的三分之二，因此，把一个圆平均分成三份；
设白色扇形区域为白，黑色扇形区域为黑1、黑2，可得下面的图表：
树状图为：
从树状图可知：共有9种等可能的结果，其中指针一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的有4种，
一次落在白色区域，另一次落在黑色区域的概率为．
19．【答案】（1）解：∵4件同型号的产品中，有1件不合格品，
∴P（不合格品）=；
（2）解：
共有12种情况，抽到的都是合格品的情况有6种，P（抽到的都是合格品）==；
（3）解：∵大量重复试验后发现，抽到合格品的频率稳定在0.95，
∴抽到合格品的概率等于0.95，
∴=0.95，
解得：x=16．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】（1）用不合格品的数量除以总量即可求得抽到不合格品的概率；
（2）利用独立事件同时发生的概率等于两个独立事件单独发生的概率的积即可计算；
（3）根据频率估计出概率，利用概率公式列式计算即可求得x的值；
【分析】此题考查了统计图的综合应用，涉及知识点有利用频率估计概率和概率公式的应用.
20．【答案】（1），
（2）；
（3）
（4）解：树状图如下：
共有9种等可能情况，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的情况有3种，
故甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为．
【知识点】频数与频率；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】 解：（1） 由题意可得，；
；
故答案为：，；
（2）估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；
故答案为：；；
（3），所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是．
【分析】（1）根据频率的定义即可求得a，b的值；
（2）根据试验次数越大，频率会逐步的接近于某一个数值，即可得出答案；
（3）首先求得“洗衣粉”的概率，进一步用360°×概率。即可得出答案；
（4）画出树状图，根据树状图分析可分析所有机会均等的结果，以及甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的结果，根据概率计算公式即可得出答案。
（1）解： 由题意可得，；
；
故答案为：，；
（2）解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是；
故答案为：；；
（3）解：，
所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是．
（4）解：树状图如下：
共有9中等可能情况，其中甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的情况有3种，
故甲、乙两人恰好都选择同一种支付方式的概率为．
1 / 1
