4.1 成比例线段-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·金华月考）已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故A不符合题意；
故B符合题意；
故C不符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答.
2．（2023九上·大埔期中）下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
3．（2024九上·肃南期末）已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
【分析】先设，（），再根据比例的性质计算求解即可。
4．（2021九上·金山期末）已知，那么下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，
∴3a=2b，
A：由以上解释易知A不符题意；
B：，即，不符题意；
C： ，即，符合题意；
D：，即3a=4b，不符题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例的基本性质即可得出答案。
5．（2024九上·上海市月考）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、
，
∵是线段，
，
，
故A选项正确；
B、若满足此时
，
，
，故B选项错误；
C、已知线段m，且m≠0，所以m＞0；当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即故C选项错误；
D、若满足此时，故D选项错误.
故答案为： A.
【分析】根据比例线段的定义及性质逐一判断可得答案.
6．（2024九上·洞口开学考）已知，并且，则函数图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三象限
C．第二、三、四象限 D．第一、四象限
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；比例的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以
所以，
①当a+b+c不等于0时，，
所以3=p+1，解得：则，
直线经过一、二、三象限（如图）．
②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1，
则y=-x-1，
直线y=-x-1经过二、三、四象限（如图），
综上：的图像一定经过二、三象限；
故答案为：B
【分析】将等式加1可得，分情况讨论：①当a+b+c不等于0时，，可得3=p+1，解方程可得p，即，根据一次函数图象性质即可求出答案；②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1，则y=-x-1，根据一次函数图象性质即可求出答案.
7．（2024九上·沙坪坝开学考）若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
又，
∴
故选：D．
【分析】先根据分式的基本性质得出b=3a，d=3c，f=3e，然后代入，结合分式的基本性质即可求解.
8．（2024九上·六安月考）如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
解得，，舍去，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到，进而解一元二次方程即可求解。
二、填空题
9．（2025九上·成都月考）若实数x、y、z满足，则k的值为 .
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵x+y+z≠0
∴
故答案为：.
【分析】根据已知，由等比性质可得：，整理，得，根据x+y+z≠0，即可得出答案.
10．（2024九上·龙华期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
设，
，
故答案为：．
【分析】
根据比例的性质；设，代入计算即可解答．
11．（2025九上·杭州开学考）已知，则 ．
【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：由得，，
整理得，
．
故答案为：．
【分析】利用两内项之积等于两外项之积可将方程化为，解该二元一次方程，用含y的式子表示出x，从而代入待求式子约分化简即可.
12．（2025九上·海曙期末）已知abc≠0，且，则k的值为 .
【答案】1或
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由已知得，
∴当 时，得
当 时，则
∴k的值为1或
故答案为：1或
【分析】根据已知条件得出( 再把三式相加得出 然后分两种情况讨论， 即可得出k的值.
13．（2024九上·青羊期中）已知实数a、b、c满足，则的值为 ．
【答案】6
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，则，
．
故答案为：6.
【分析】由等比性质，可设，然后将a、b、c都用字母k的式子表示出来，进而将a、b、c代表的式子代入待求式子，根据整式加减法法则计算可得答案.
三、解答题
14．（2024九上·济南高新技术产业开发月考）已知线段a，b，c满足，且．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
【答案】（1）解：设，则，，，
又∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴，
解得或（舍去），
∴线段．
【知识点】比例的性质；比例线段；开平方（求平方根）
【解析】【分析】
（1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值，解答即可；
（2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长，解答即可．
（1）解：设，则，，，
又∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴，
解得或（舍去），
∴线段．
15．（2023九上·杭州期中）已知，
（1）求；
（2）若2a+b+2c=-30，求a，b，c的值．
【答案】（1）解：设，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴3；
（2）解：由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵2a+b+2c=-30，
∴2×2k+3k+2×4k=-30，
解得：k=-2，
∴a=-4，b=-6，c=-8．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）设，把a，b，c用k表示，再代入约分约掉k即可；
（2）由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入2a+b+2c=-30，得关于k的一元一次方程，解之得k的值，再代入a＝2k，b＝3k，c＝4k，即可求得 a，b，c的值．
16．（2024九上·临江期末）已知，，，是的三边，且，，求的面积.
【答案】解：设，
∴，，，
又∵，∴，
∴，∴，，
又∵，
∴，、为两条直角边
∴，即的面积为6.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；比例的性质
【解析】【分析】根据题意先求出，，， 再根据， 求出k=3，最后根据勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
17．（2023九上·青龙期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计多高？
【答案】解：如图所示，雕像高为，上部为，下部为．
由题可知．设下部，则，
，
去分母得，，
，
解得，（舍），
检验，方程解为，
答：它的下部应设计为高．
【知识点】分式方程的实际应用；比例线段
【解析】【分析】列分式方程解实际问题，设下部BC的长后，根据题意所给的比例（）列方程，求得BC长，注意分式方程需检验。
18．（2023九上·渠县期中）已知，且．
（1）求的值．
（2）若，是方程的两根，求的值．
【答案】（1），∴，，，
∴；
（2）∵，
∴一元二次方程为，
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根式，
∵，是方程的两根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；比例的性质
【解析】【分析】本题考查比例的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式.（1）根据，利用比例线段的性质可得：，，，再代入k的进行式进行化简，可求出k的值；
（2）根据方程先找出a，b，c的值，再根据方程有两个实数根，利用根的判别式进行计算可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，，利用完全平方公式变形可得：，将，代入式子进行计算可求出答案.
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.1成比例线段（1） 同步练习）如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．
（1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽；
（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．
【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)，
可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm
（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 ，
由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0.
∵a>b，
∴a－b≠0，
∴x＝0，
又∵x>0，
∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。
（2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。
20．【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”.如图①，△ABC 与△ABD 是以 AB 为 公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质如下：连结DC 并延长，交AB 于点E，则
【问题解决】如图②，在△ABC 中，D 为BC的中点，E为 AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F，连结DF.
（1）找出以 BF 为公共边的所有“共边三角形”.若△ABC 的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积.
（2）求证：
（3） 若将“D为BC 的中点”改为“BD ： DC=2：3”，则AF：CF= .
【答案】（1）解：由题意，得以BF 为公共边的“共边三角形”为△ABF 和△DBF，△ABF 和△CBF，△DBF 和△CBF.由“共边三角形”的性质，得
∵D，E 分别为BC，AD的中点，
∵△ABC 的面积为45，
（2）证明：由“共边三角形”的性质，得
由(1)，知
（3）2：5
【知识点】三角形的面积；比例线段
【解析】【解答】(3)由“共边三角形”的性质，得 CF=2：5.
故答案为：2：5.
【分析】(1)根据“共边三角形”的概念可求解，则有 进而问题可求解；
(2)由(1)及题意可进行求解；
(3)由题意易得进而问题.可进行求解.
1 / 14.1 成比例线段-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·金华月考）已知4x＝3y（y≠0），则下面结论成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023九上·大埔期中）下列各组中的四条线段成比例的是( )
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
3．（2024九上·肃南期末）已知，则代数式的值是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021九上·金山期末）已知，那么下列等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．．
5．（2024九上·上海市月考）已知线段、、、、，如果，，那么下列各式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·洞口开学考）已知，并且，则函数图像一定经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三象限
C．第二、三、四象限 D．第一、四象限
7．（2024九上·沙坪坝开学考）若且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·六安月考）如图，点B在线段AC上，且，设AC＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025九上·成都月考）若实数x、y、z满足，则k的值为 .
10．（2024九上·龙华期中）若，则 ．
11．（2025九上·杭州开学考）已知，则 ．
12．（2025九上·海曙期末）已知abc≠0，且，则k的值为 .
13．（2024九上·青羊期中）已知实数a、b、c满足，则的值为 ．
三、解答题
14．（2024九上·济南高新技术产业开发月考）已知线段a，b，c满足，且．
（1）求线段a，b，c的长；
（2）若线段k是线段a，b的比例中项，求线段k的长．
15．（2023九上·杭州期中）已知，
（1）求；
（2）若2a+b+2c=-30，求a，b，c的值．
16．（2024九上·临江期末）已知，，，是的三边，且，，求的面积.
17．（2023九上·青龙期中）在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为，那么它的下部应设计多高？
18．（2023九上·渠县期中）已知，且．
（1）求的值．
（2）若，是方程的两根，求的值．
19．（2018-2019学年数学浙教版九年级上册4.1成比例线段（1） 同步练习）如图，在一块长为a(cm)，宽为b(cm)(a>b)的矩形黑板的四周，镶上宽为x(cm)的木板，得到一个新的矩形．
（1）试用含a，b，x的代数式表示新矩形的长和宽；
（2）试判断原矩形的长、宽与新矩形的长、宽是不是比例线段，并说明理由．
20．【新知探究】有一条公共边的两个三角形称为“共边三角形”.如图①，△ABC 与△ABD 是以 AB 为 公共边的“共边三角形”.“共边三角形”的性质如下：连结DC 并延长，交AB 于点E，则
【问题解决】如图②，在△ABC 中，D 为BC的中点，E为 AD 的中点，BE 的延长线交AC 于点F，连结DF.
（1）找出以 BF 为公共边的所有“共边三角形”.若△ABC 的面积为45，分别求出这些“共边三角形”的面积.
（2）求证：
（3） 若将“D为BC 的中点”改为“BD ： DC=2：3”，则AF：CF= .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：
故A不符合题意；
故B符合题意；
故C不符合题意；
故D不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据比例的性质进行计算，逐一判断即可解答.
2．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴设，（），
∴，
故答案为：．
【分析】先设，（），再根据比例的性质计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵a：b=2：3的两内项是b、2，两外项是a、3，
∴3a=2b，
A：由以上解释易知A不符题意；
B：，即，不符题意；
C： ，即，符合题意；
D：，即3a=4b，不符题意；
故答案为：C．
【分析】根据比例的基本性质即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：A、
，
∵是线段，
，
，
故A选项正确；
B、若满足此时
，
，
，故B选项错误；
C、已知线段m，且m≠0，所以m＞0；当分子分母同时加上一个正数，分数变大，即故C选项错误；
D、若满足此时，故D选项错误.
故答案为： A.
【分析】根据比例线段的定义及性质逐一判断可得答案.
6．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；比例的性质
【解析】【解答】解：因为，
所以
所以，
①当a+b+c不等于0时，，
所以3=p+1，解得：则，
直线经过一、二、三象限（如图）．
②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1，
则y=-x-1，
直线y=-x-1经过二、三、四象限（如图），
综上：的图像一定经过二、三象限；
故答案为：B
【分析】将等式加1可得，分情况讨论：①当a+b+c不等于0时，，可得3=p+1，解方程可得p，即，根据一次函数图象性质即可求出答案；②当a+b+c=0时，p+1=0，解得p=-1，则y=-x-1，根据一次函数图象性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴b=3a，d=3c，f=3e，
又，
∴
故选：D．
【分析】先根据分式的基本性质得出b=3a，d=3c，f=3e，然后代入，结合分式的基本性质即可求解.
8．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根；比例的性质
【解析】【解答】解：，
，
，
解得，，舍去，
故答案为：C
【分析】先根据题意得到，进而解一元二次方程即可求解。
9．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵
∴
∴
∵x+y+z≠0
∴
故答案为：.
【分析】根据已知，由等比性质可得：，整理，得，根据x+y+z≠0，即可得出答案.
10．【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
设，
，
故答案为：．
【分析】
根据比例的性质；设，代入计算即可解答．
11．【答案】
【知识点】分式的值；比例的性质
【解析】【解答】解：由得，，
整理得，
．
故答案为：．
【分析】利用两内项之积等于两外项之积可将方程化为，解该二元一次方程，用含y的式子表示出x，从而代入待求式子约分化简即可.
12．【答案】1或
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由已知得，
∴当 时，得
当 时，则
∴k的值为1或
故答案为：1或
【分析】根据已知条件得出( 再把三式相加得出 然后分两种情况讨论， 即可得出k的值.
13．【答案】6
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：设，则，
．
故答案为：6.
【分析】由等比性质，可设，然后将a、b、c都用字母k的式子表示出来，进而将a、b、c代表的式子代入待求式子，根据整式加减法法则计算可得答案.
14．【答案】（1）解：设，则，，，
又∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴，
解得或（舍去），
∴线段．
【知识点】比例的性质；比例线段；开平方（求平方根）
【解析】【分析】
（1）设，然后用k表示出a、b、c，再代入求解得到k，即可得到a、b、c的值，解答即可；
（2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解，即可求出线段k的长，解答即可．
（1）解：设，则，，，
又∵，
∴，
解得，
∴，，；
（2）解：∵线段k是线段a，b的比例中项，
∴，
解得或（舍去），
∴线段．
15．【答案】（1）解：设，
则a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∴3；
（2）解：由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，
∵2a+b+2c=-30，
∴2×2k+3k+2×4k=-30，
解得：k=-2，
∴a=-4，b=-6，c=-8．
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）设，把a，b，c用k表示，再代入约分约掉k即可；
（2）由（1）得：a＝2k，b＝3k，c＝4k，代入2a+b+2c=-30，得关于k的一元一次方程，解之得k的值，再代入a＝2k，b＝3k，c＝4k，即可求得 a，b，c的值．
16．【答案】解：设，
∴，，，
又∵，∴，
∴，∴，，
又∵，
∴，、为两条直角边
∴，即的面积为6.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；比例的性质
【解析】【分析】根据题意先求出，，， 再根据， 求出k=3，最后根据勾股定理和三角形的面积公式计算求解即可。
17．【答案】解：如图所示，雕像高为，上部为，下部为．
由题可知．设下部，则，
，
去分母得，，
，
解得，（舍），
检验，方程解为，
答：它的下部应设计为高．
【知识点】分式方程的实际应用；比例线段
【解析】【分析】列分式方程解实际问题，设下部BC的长后，根据题意所给的比例（）列方程，求得BC长，注意分式方程需检验。
18．【答案】（1），∴，，，
∴；
（2）∵，
∴一元二次方程为，
∵，，，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根式，
∵，是方程的两根，
∴，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；比例的性质
【解析】【分析】本题考查比例的性质，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，完全平方公式.（1）根据，利用比例线段的性质可得：，，，再代入k的进行式进行化简，可求出k的值；
（2）根据方程先找出a，b，c的值，再根据方程有两个实数根，利用根的判别式进行计算可得：，利用一元二次方程根与系数的关系可得：，，利用完全平方公式变形可得：，将，代入式子进行计算可求出答案.
19．【答案】（1）解：由原矩形的长、宽分别为a(cm)，b(cm)，木板宽为x(cm)，
可得新矩形的长为(a＋2x)cm，宽为(b＋2x)cm
（2）解：假设两个矩形的长与宽是成比例线段，则有 ，
由比例的基本性质，得ab＋2bx＝ab＋2ax，∴2(a－b)x＝0.
∵a>b，
∴a－b≠0，
∴x＝0，
又∵x>0，
∴原矩形的长、宽与新矩形的长、宽不是比例线段．
【知识点】比例线段
【解析】【分析】（1）根据已知，观察图形，可得出新矩形的长和宽。
（2）假设两个矩形的长与宽是成比例线段，列出比例式，再利用比例的性质得出x=0，即可判断。
20．【答案】（1）解：由题意，得以BF 为公共边的“共边三角形”为△ABF 和△DBF，△ABF 和△CBF，△DBF 和△CBF.由“共边三角形”的性质，得
∵D，E 分别为BC，AD的中点，
∵△ABC 的面积为45，
（2）证明：由“共边三角形”的性质，得
由(1)，知
（3）2：5
【知识点】三角形的面积；比例线段
【解析】【解答】(3)由“共边三角形”的性质，得 CF=2：5.
故答案为：2：5.
【分析】(1)根据“共边三角形”的概念可求解，则有 进而问题可求解；
(2)由(1)及题意可进行求解；
(3)由题意易得进而问题.可进行求解.
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