4.2 平行线分线段成比例-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，AC=10，则AE的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
2．（2025九上·上城期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
3．（2024九上·衡阳期中）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（ ）
A．7 B． C．8 D．
4．（2025九上·成都月考）如图所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
5． 如图，△ABC的中线AD，BE 相交于点F，过点 E 作EG∥AD 交BC 于点G，则 EG： AF的值是( )
A． B． C． D．
6．（2025九上·西湖期末）如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．9
7．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
8．（2024九上·青秀开学考）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2025九上·成都月考）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=3，BC=4，EF=8，则DE= .
10．（2025九上·象山月考）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0"刻度线重合，O点落在“3"刻度线上，CD与"5"刻度线重合，若测得AB=50cm，则CD的长是 .
11．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD=4：1，BC=10，则CE的长为 .
12．（2024九上·开州月考）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为 ．
13．（2024九上·杭州期末）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则 若，则
三、解答题
14．（2024九上·上城期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且．
（1）如果，求的长；
（2）如果，，求的长．
15．（2024九上·衡阳月考）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长．
16．（2024九上·钟山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求证：四边形ABCD时菱形；
（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若，求．
17．（2023九上·平山月考）如图1，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框（）在地面上留下2米长的影子（），窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米.
（1）求窗户的高度（的长）；
（2）如图2，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长.
18．（2023九上·浦东期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O．过点D作，交AC于点F．
（1）联结OE，若，求证：；
（2）若且，求证：．
19．
（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，，连结AD与BE相交于点F，求的值．
小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题，小明的解法是：
解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图2）．∵CH∥BE，D是BC的中点，
∴.∵CH∥FE，，
∴.∴
小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图3）．小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图4）．请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答．
（2）如图5，OABC中，点D，E分别在BC，AC上，，，连结AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，求△ABF和四边形CDFE的面积．
20．（2024九上·朝阳开学考）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作．交的延长线于．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴
∵AD=2，BD=3，AC=10，
∴
∴AE=4.
故选：D.
【分析】根据平行线分线段成比例由DE//BC得到，然后根据比例的性质可求出AE.
2．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：C．
【分析】如果两条直线被一组平行线所截，那么所截的对应线段成比例，据此建立方程，求解即可.
3．【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，
解得：；
故答案为：D．
【分析】由平行线分线段成比例定理得，数据代入求解即可.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，EF/AB.
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，BD=EF
∵DE//BC，
∴，，
∵EF/AB，
∴，，
∴
故选：C.
【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案.
5．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中线
【解析】【解答】解： 连接DE.
∵ △ABC 的中线AD，BE 相交于点 F，
∴ AE=EC，BD=
即 AD，
故答案为： C.
【分析】连接DE，根据中位线定理及三角形的相似可以得到AF=2FD，再根据ED//AD得，即可求解.
6．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于，
∵，
∴，即，
∴，
故选：C．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理计算即可．
7．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
8．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．不一定成立，故D符合题意．
【分析】根据作图得出，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据平行线分线段成比例得出，可得，即可求出答案.
9．【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵a//b//c，
∴
即
∴DE =6.
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案.
10．【答案】cm
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由题意点O与AB的距离为3，点O与CD的距离为2，
∵AB||CD
∴
即有，得CD=cm.
故答案为：cm.
【分析】直接由平行线分线段成比例列出比例方程，求解方程即可得结果.
11．【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的中点
【解析】【解答】解：过点D作DH//AE交BC于H，
∴，
∵D是AC的中点，BF：FD=4：1，BC=10，
∴CD=DA，BF=4FD.
∴，，
∴CH=HE，BE=4EH，
∴BE=2CE，
∴10=BC=BE+CE=2CE+CE，
∴
即CE的长为，
故答案为：.
【分析】过点D作DH//AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到BE=2CE，计算即可.
12．【答案】3
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由翻折可知
∴O是的中点，
∵点D为边BC的中点，O是的中点，
∴是的中位线，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据折叠性质可得再根据三角形中位线定理可得 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】90°；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵△ADC沿直线AD翻折得到△ADC'，
∴AD垂直平分线段CC'，DC=DC’，
∴∠DOC=90°，
∵AD为BC上的中线，
∴DB=DC=DC'，
∴∠CC'B=90°，
∴∠DOC =∠CC'B，
∴AD//BC'，
∵DC=DB，CO=OC'，
∴，
设OD=m，则BC'=2m，
∵BC'//OA，
∴BC'：OA=BE：AE=3：4，
∴，
∴，
∵BC'//AD，
∴，
∵BE：AE=3：4，
∴可以假设BE=3k，AE=4k，则AB=7k，
∴，
∴，
∴.
故答案为：90°，.
【分析】证明BC'//AD，，设OD=m，则BC'=2m，利用平行线分线段成比例定理求出，再求出BF：AF=6：11，设BE=3k，AE=4k，则AB=7k，求出EF可得结论.
14．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到的值，然后设，则，由的长得到关于的方程并解之即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即的长为5．
15．【答案】解：∵，
，
∵，
∴，，
∵，
，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】先利用两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例建立方程求出EF=6，然后根据BE=BF+EF，算出BE的长，进而再根据平行线分线段成比例定理建立方程求出CE的长.
16．【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=BC
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：如图，过点O作OF∥BC，交CD于点F ，
∵ OB=OD ，
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴在Rt△OCB中，
OC=，OB=
由勾股定理可得BC=10 ，
∴OF=，
∵，
，
∴CM=OC=6，
∵ 点B，C，M在同一条直线上
∴OF∥CM
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形 ，结合AB=BC ，由菱形的判定定理即可求解；
（2）过点O作OF∥BC，交CD于点F ，由平行线分线段成比例可得，根据菱形的性质以及勾股定理得到OC、OB、BC的值，进而求的OF的值，结合以及外角性质可得，从而得到CM=OC=6，再根据平行线分线段成比例得到，代入数据进行计算即可求解.
17．【答案】（1）解：由题意得，，∴.
∵，∴，即，解得.
答：窗户的高度为1.5米；
（2）解：由（1）知，∴. ∵，，∴.
∵，∴，即，解得，∴.
答：的长为0.9米.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先求出OA=1.6，再根据平行线分线段成比例求出 ， 最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出OD的值，再根据平行线分线段成比例求出 ， 最后求BE的长即可。
18．【答案】（1）解：∵，，
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形ABED为平行四边形
又∵
∴四边形ABED为矩形
∴，
又∵
∴
，
∴
，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例求证。由，，得到，得比例式：，根据已知的OF AD=EC AO，得比例式：，于是有，则；
（2）根据矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例求证。先证明四边形ABED为矩形，得，根据ASA证明，得到，根据得到比例式，又，得到，即可证明.
19．【答案】（1）解：选小英辅助线的添法.
或选小聪辅助线的添法.
.
（2）解：如图，作DG//BE交AC于.
∵
∵
∵
∵∴
∵∴
∴
∵AE：EC=2：3，
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）小明的解法： 过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H ，先推出D为HF的中点，根据平行线分线段成比例定理：求出，从而知道的值
小英的解法：先根据得出EG=FG，再根据平行线分线段成比例定理，求出的值
（2）作DG//BE交AC于，再根据得出
由 △ABC的面积为45，，根据高相等时，面积之比等于底之比，先求出 △ABD的面积为45，再求出 △ABF和△BDF的面积，再根据AE：EC=2：3，求出 △BEC的面积，最后用割补法求出 四边形CDFE的面积．
20．【答案】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于，
，，，
，
，
，
；
（2）
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（2）解：，，，
，
平分，
，即，
，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，再根据直线平行性质可得，，则，即，即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得，再根据角平分线性质可得，代值计算可得，再根据勾股定理可得，再根据三角形周长即可求出答案.
1 / 14.2 平行线分线段成比例-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，AC=10，则AE的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】比例的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，
∴
∵AD=2，BD=3，AC=10，
∴
∴AE=4.
故选：D.
【分析】根据平行线分线段成比例由DE//BC得到，然后根据比例的性质可求出AE.
2．（2025九上·上城期末）如图，点，在直线上，点，在直线上，且，若，，，，则的值为（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：；
故答案为：C．
【分析】如果两条直线被一组平行线所截，那么所截的对应线段成比例，据此建立方程，求解即可.
3．（2024九上·衡阳期中）如图，已知直线，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，，，，（ ）
A．7 B． C．8 D．
【答案】D
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，
解得：；
故答案为：D．
【分析】由平行线分线段成比例定理得，数据代入求解即可.
4．（2025九上·成都月考）如图所示，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE//BC，EF/AB.
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE=BF，BD=EF
∵DE//BC，
∴，，
∵EF/AB，
∴，，
∴
故选：C.
【分析】用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案.
5． 如图，△ABC的中线AD，BE 相交于点F，过点 E 作EG∥AD 交BC 于点G，则 EG： AF的值是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中线
【解析】【解答】解： 连接DE.
∵ △ABC 的中线AD，BE 相交于点 F，
∴ AE=EC，BD=
即 AD，
故答案为： C.
【分析】连接DE，根据中位线定理及三角形的相似可以得到AF=2FD，再根据ED//AD得，即可求解.
6．（2025九上·西湖期末）如图，五线谱由等距离的五条平行横线组成，现有一条截线与五线谱交于点，，．若线段，则线段的长为（ ）
A． B．2 C．3 D．9
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：如图，过点作过点的横线于，交过点的横线于，
∵，
∴，即，
∴，
故选：C．
【分析】
直接应用平行线分线段成比例定理计算即可．
7．（2022九上·义乌期中）如图，已知AD为△ABC中BC边上的中线，过重心G作GE∥AC，交BC于点E，DE＝2，则BC的长为（ ）
A．12 B．8 C．6 D．4
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：∵G是重心，
∴DG：DA＝1：3，
∵GE∥AC，
∴DE：DC＝DG：DA＝1：3，
∵DE＝2，
∴CD＝6，
∴BC＝2CD＝12，
故答案为：A.
【分析】根据重心定义可得DG：DA＝1：3，根据平行线分线段成比例定理得DE：DC＝DG：DA，进而代入数据即可算出CD，最后根据中点定义可得BC的长.
8．（2024九上·青秀开学考）如图，在中，是边的中点．按下列要求作图：
①以点为圆心、适当长为半径画弧，交线段于点，交于点；
②以点为圆心、长为半径画弧，交线段于点；
③以点为圆心、长为半径画弧，交前一条弧于点，点与点在直线同侧；
④作直线，交于点．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：A．根据作图可知：一定成立，故A不符合题意；
B．∵，
∴，
∴一定成立，故B不符合题意；
C．∵是边的中点，
∴，
∵，
∴，
∴一定成立，故C不符合题意；
D．不一定成立，故D符合题意．
【分析】根据作图得出，再根据直线平行判定定理可得，则，再根据平行线分线段成比例得出，可得，即可求出答案.
二、填空题
9．（2025九上·成都月考）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB=3，BC=4，EF=8，则DE= .
【答案】6
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵a//b//c，
∴
即
∴DE =6.
故答案为：6.
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入数据进行计算即可得到答案.
10．（2025九上·象山月考）如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面AB垂直放置，其中AB与“0"刻度线重合，O点落在“3"刻度线上，CD与"5"刻度线重合，若测得AB=50cm，则CD的长是 .
【答案】cm
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：由题意点O与AB的距离为3，点O与CD的距离为2，
∵AB||CD
∴
即有，得CD=cm.
故答案为：cm.
【分析】直接由平行线分线段成比例列出比例方程，求解方程即可得结果.
11．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，D是AC的中点，点F在BD上，连接AF并延长交BC于点E，若BF：FD=4：1，BC=10，则CE的长为 .
【答案】
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；线段的中点
【解析】【解答】解：过点D作DH//AE交BC于H，
∴，
∵D是AC的中点，BF：FD=4：1，BC=10，
∴CD=DA，BF=4FD.
∴，，
∴CH=HE，BE=4EH，
∴BE=2CE，
∴10=BC=BE+CE=2CE+CE，
∴
即CE的长为，
故答案为：.
【分析】过点D作DH//AE交BC于H，根据平行线分线段成比例定理得到BE=2CE，计算即可.
12．（2024九上·开州月考）如图，中，点D为边BC的中点，连接AD，将沿直线AD翻折至所在平面内，得，连接，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若，，则AD的长为 ．
【答案】3
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由翻折可知
∴O是的中点，
∵点D为边BC的中点，O是的中点，
∴是的中位线，
∴ ，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
【分析】根据折叠性质可得再根据三角形中位线定理可得 ，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2024九上·杭州期末）如图，在中，，为上的中线，将沿直线翻折得到，与交于点，连接与，分别交于点，，连接，则 若，则
【答案】90°；
【知识点】翻折变换（折叠问题）；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵△ADC沿直线AD翻折得到△ADC'，
∴AD垂直平分线段CC'，DC=DC’，
∴∠DOC=90°，
∵AD为BC上的中线，
∴DB=DC=DC'，
∴∠CC'B=90°，
∴∠DOC =∠CC'B，
∴AD//BC'，
∵DC=DB，CO=OC'，
∴，
设OD=m，则BC'=2m，
∵BC'//OA，
∴BC'：OA=BE：AE=3：4，
∴，
∴，
∵BC'//AD，
∴，
∵BE：AE=3：4，
∴可以假设BE=3k，AE=4k，则AB=7k，
∴，
∴，
∴.
故答案为：90°，.
【分析】证明BC'//AD，，设OD=m，则BC'=2m，利用平行线分线段成比例定理求出，再求出BF：AF=6：11，设BE=3k，AE=4k，则AB=7k，求出EF可得结论.
三、解答题
14．（2024九上·上城期中）如图，已知直线分别截直线于点A，B，C，截直线于点D，E，F，与相交于点M．且．
（1）如果，求的长；
（2）如果，，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：；
（2）解：∵，，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，代入已知线段长度即可得到的长；
（2）根据平行线分线段成比例定理得到的值，然后设，则，由的长得到关于的方程并解之即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∴，，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即的长为5．
15．（2024九上·衡阳月考）如图，在中，D，E，F分别是，上的点，且，，，，求和的长．
【答案】解：∵，
，
∵，
∴，，
∵，
，
∴．
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】先利用两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例建立方程求出EF=6，然后根据BE=BF+EF，算出BE的长，进而再根据平行线分线段成比例定理建立方程求出CE的长.
16．（2024九上·钟山期末）如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求证：四边形ABCD时菱形；
（2）延长BC至点M，连接OM交CD于点N，若，求．
【答案】（1）证明：∵ 在四边形ABCD中，OA=OC，OB=OD
∴ 四边形ABCD是平行四边形
∵ AB=BC
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
（2）解：如图，过点O作OF∥BC，交CD于点F ，
∵ OB=OD ，
∴
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC，BD互相垂直平分，
∴在Rt△OCB中，
OC=，OB=
由勾股定理可得BC=10 ，
∴OF=，
∵，
，
∴CM=OC=6，
∵ 点B，C，M在同一条直线上
∴OF∥CM
∴ ，
∴ .
【知识点】三角形外角的概念及性质；勾股定理；菱形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形 ，结合AB=BC ，由菱形的判定定理即可求解；
（2）过点O作OF∥BC，交CD于点F ，由平行线分线段成比例可得，根据菱形的性质以及勾股定理得到OC、OB、BC的值，进而求的OF的值，结合以及外角性质可得，从而得到CM=OC=6，再根据平行线分线段成比例得到，代入数据进行计算即可求解.
17．（2023九上·平山月考）如图1，阳光（平行光线）通过窗户照到厂房内，竖直窗框（）在地面上留下2米长的影子（），窗框影子的一端到窗下墙脚的距离为3.6米，窗口底边与地面的距离为1.2米.
（1）求窗户的高度（的长）；
（2）如图2，随着平行光线照射角度的变化，窗框影子的一端沿向右移动到，米，另一端恰好移动到厂房的另一墙脚，求的长.
【答案】（1）解：由题意得，，∴.
∵，∴，即，解得.
答：窗户的高度为1.5米；
（2）解：由（1）知，∴. ∵，，∴.
∵，∴，即，解得，∴.
答：的长为0.9米.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）先求出OA=1.6，再根据平行线分线段成比例求出 ， 最后计算求解即可；
（2）根据题意先求出OD的值，再根据平行线分线段成比例求出 ， 最后求BE的长即可。
18．（2023九上·浦东期中）如图，在直角梯形ABCD中，，，对角线AC、BD相交于点O．过点D作，交AC于点F．
（1）联结OE，若，求证：；
（2）若且，求证：．
【答案】（1）解：∵，，
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：∵，，
∴四边形ABED为平行四边形
又∵
∴四边形ABED为矩形
∴，
又∵
∴
，
∴
，
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
【知识点】矩形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例求证。由，，得到，得比例式：，根据已知的OF AD=EC AO，得比例式：，于是有，则；
（2）根据矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例求证。先证明四边形ABED为矩形，得，根据ASA证明，得到，根据得到比例式，又，得到，即可证明.
19．
（1）如图1，已知△ABC中，D是BC的中点，E是AC上一点，，连结AD与BE相交于点F，求的值．
小英、小明和小聪各自经过独立思考，分别得到一种添加辅助线的方法从而解决了问题，小明的解法是：
解：过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H（如图2）．∵CH∥BE，D是BC的中点，
∴.∵CH∥FE，，
∴.∴
小英添加的辅助线是：过点D作DG∥BE交AC于点G（如图3）．小聪添加的辅助线是：过点A作AM∥BE交CB的延长线于点M（如图4）．请你在小英和小聪辅助线的添法中选择一种完成解答．
（2）如图5，OABC中，点D，E分别在BC，AC上，，，连结AD与BE相交于点F，已知△ABC的面积为45，求△ABF和四边形CDFE的面积．
【答案】（1）解：选小英辅助线的添法.
或选小聪辅助线的添法.
.
（2）解：如图，作DG//BE交AC于.
∵
∵
∵
∵∴
∵∴
∴
∵AE：EC=2：3，
【知识点】三角形的面积；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【分析】（1）小明的解法： 过点C作CH∥BE交AD的延长线于点H ，先推出D为HF的中点，根据平行线分线段成比例定理：求出，从而知道的值
小英的解法：先根据得出EG=FG，再根据平行线分线段成比例定理，求出的值
（2）作DG//BE交AC于，再根据得出
由 △ABC的面积为45，，根据高相等时，面积之比等于底之比，先求出 △ABD的面积为45，再求出 △ABF和△BDF的面积，再根据AE：EC=2：3，求出 △BEC的面积，最后用割补法求出 四边形CDFE的面积．
20．（2024九上·朝阳开学考）阅读与计算，请阅读以下材料，并完成相应的问题．
角平分线分线段成比例定理，如图1，在中，平分，则．下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过作．交的延长线于．
任务：
（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）填空：如图3，已知中，，，，平分，则的周长是______．
【答案】（1）证明：如图2，过作．交的延长线于，
，，，
，
，
，
；
（2）
【知识点】勾股定理；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】（2）解：，，，
，
平分，
，即，
，
，
的周长．
故答案为：．
【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理得到，再根据直线平行性质可得，，则，即，即可求出答案.
（2）根据勾股定理可得，再根据角平分线性质可得，代值计算可得，再根据勾股定理可得，再根据三角形周长即可求出答案.
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