4.4 探索三角形相似的条件-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·义乌期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·象山月考）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·西湖月考）已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·金华月考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C．6.18cm D．
5．（2025九上·兰溪月考）如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似，且平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的，则FO：EO的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025九上·宝安月考）如图，CD是斜边AB上的中线，过点C作交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断与相似的是( )
A． B．点B是DE的中点
C． D．
7．（2025九上·福田开学考）如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD.则DH：BH为（ ）
A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17
8．（2024九上·怀宁期中）已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
二、填空题
9．（2025九上·诸暨期末）如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则 ．
10．（2025九上·永定期末）如图，在中，，，垂足为，若，，那么线段的长为 ．
11．在如图所示的不完整的象棋棋盘(每个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，则“马”应落在 处(填序号).
12．一个三角形木架的三边长分别是 75 cm，100 cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有 种.
13．（2025九上·金华月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值
三、解答题
14．（2025九上·福田开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE.
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度.
15．（2024九上·玉门期末）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？
16．（2024九上·婺城开学考）如图，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
17． 如图，AB=25，BC=40，AC=20，AE=12，AD=15，DE=24.
（1） 判断△ABC 与△ADE 是否相似.
（2） 若∠BAC=125°，∠EAC=85°，求∠CAD
18． 如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D 是AC 上一点，AD=2cm ，点 P 从点 C 出发沿 C→B→A 的方向，以1cm/s的速度运动至点 A 处，设运动时间为 ts.
（1） 当点 P 在线段 BC 上运动时，BP = ；当点 P 在线段AB 上运动时，BP= (用含 t 的代数式表示).
（2）线段 DP 将△ABC 分成两部分，当其中一部分与△ABC 相似时，求t 的值.
19．（2025九上·北京月考）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，，请直接写出的度数．
20．（2025九上·西湖期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④．
（1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长．
21．（2024九上·杭州期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
22．（2024九上·奉贤期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为12.8厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 与 有公共角 当添加条件 或 都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法，
故添加条件A、B能判断 由于AB、AP、AC、AB都是夹着. 的边，当添加条件 时，
满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法，故添加条件C能判断
当添加条件 时，不满足相似三角形的判定方法，故添加条件D不能判断
故选： D.
【分析】通过题图发现 是公共角，利用相似三角形的判定方法，逐个判断得结论.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD
∴∠BAC=∠DAE
若∠C=∠E，则，故A不符合题意；
若∠B=∠ADE，则，故B不符合题意；
若，则，故C不符合题意；
若，无法判断，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由∠1=2得∠BAC=∠DAE，则结合相似的判定和各选项分别判断即可得结论.
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故选：A．
【分析】利用黄金分割的比值计算即可．
4．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： m，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点F，B作AD的垂线，垂足分别为G，H，
∴FG//HB
∵平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似，且平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的
∴，即
∵四边形ABCD，ADEF是平行四边形，
∴AD//EF//BC，AB//CD，DE=AF
∴△AGF∽△AHB
∴
设AF=a，则AB=4a，
∴DE=AF=a，EC=FB=DC-DE=3a，
∵AB//CD，
∴△AFO∽△CEO
∴
故答案为：C.
【分析】根据题意得出，进而证明△AFO∽△CEO，根据相似三角形的性质，即可求解.
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：Ａ、如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，故Ａ错误.
B、如图，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴，
∵点B是DE的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，故Ｂ错误.
C、如图，
∵，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，故Ｃ错误.
D、∵根据已知条件不能证明，
∴添加不能证明，故Ｄ正确.
故答案为：Ｄ.
【分析】Ａ、根据，得，即可得，在根据已知条件得，，即可证明.
B、根据CD是斜边AB上的中线得，再根据点B是DE的中点，得，进一步得，可证明
，，从而得，故Ｂ错误.
Ｃ、根据得，再根据题意得：，进一步得
，计算得，即可证明.
D、根据已知条件不能证明，故添加不能证明.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BG，设GC=x
∵G恰在CD边的四等分点
∴DG=3x，DC=4x
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BDG=45°，∠C=90°，BC=DC=4x
∴，
∵四边形BFGE是正方形
∴∠BGH=45°
∴∠BGH=∠BDG
∴∠DBG=∠GBH
∴△BGH∽△BDG
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】连接BG，设GC=x，由题意可得DG=3x，DC=4x，根据正方形性质可得∠BDG=45°，∠C=90°，BC=DC=4x，再根据勾股定理可得BD，BG，根据角之间的关系可得∠DBG=∠GBH，再根据相似三角形判定定理可得△BGH∽△BDG，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金分割定义知，，所以AC2=AB．
设AB=1，AC=x，
，
解得：x=．
．
故选：C．
【分析】对于线段AB上一点C，若AC>BC，且AC2＝ABBC，则把点C叫线段AB的黄金分割点，且有.
9．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据题意，，，
∴，
故答案为：．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，较长线段与整个线段的比为黄金比，黄金比为，据此建立方程，求解即可.
10．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故答案为：．
【分析】由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ACD=∠B，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长即可．
11．【答案】②
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则易得“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为2，2 ，4 ， “车”“炮”之间的距离为1，“炮”与②之间的距离为 ，“车”与②之间的距离为 ∴“马””应落在②处.
故答案为：② .
【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
12．【答案】2
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：长为120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长为120cm的木条不能作为一边.设从120cm长的木条上截下的两段长分别为x cm，y cm(x+y≤120)的木条.易知60cm长的木条不能与75cm长的一边对应.当60cm长的木条与100cm长的一边对应时， ，解得x=45，y=72；当60cm长的木条与120 cm长的一边对应时， 解得x=37.5，y=50.∴ 有2种不同的截法：从 120cm长的木条上截下45cm，72cm长的两段或从 120 cm 长的木条上截下37.5cm，50cm长的两段.
故答案为：2 .
【分析】分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm(x+y≤120)，易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有 当长60cm的木条与120cm的一边对应时有 然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值.
13．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点G作 交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M，AE交DF的延长线于点N，如图所示：
设BE=a，则AE=2a，
根据题意，得EM=a，
∴四边形TFDG是矩形，
∴四边形TFDG是正方形，
根据勾股定理，得
∵MH∥TG，
故答案为：
【分析】过点G作 交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M， AE交DF的延长线于点N， 设BE= a， 则=a，AE=2a，根据全等三角形的性质可知EM=a，再证四边形DGTF是正方形，可得TG和CT的值，根据勾股定理求出CG的值，易证 根据相似三角形的性质可得MH，进一步得出BH的值，即可求 的值.
14．【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠D=∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB=AC，AC=6，
∴AB=AC=6，
∵△ABD∽△ECA，
∴
∴
∴BD=9
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，则∠ABD=∠ACE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得AB=AC=6，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
15．【答案】解：设同时运动ts时两个三角形相似，
当△PCQ∽△BCA，则 ， ，t=0.8；
当△PCQ∽△ACB，则，，t=2．
答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】因为∠C是 △ABC和△PCQ 的公共角，所以 △ABC和△PCQ相似 ，可分为两种情况：①当△PCQ∽△BCA时，根据相似三角形的性质，可得出t=0.8s；②当△PCQ∽△ACB时，根据相似三角形的性质，可得出t=2s。综上即可得出答案。
16．【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）根据的值，然后代入AE的长求解即可．
（1）∵
∴
（2）∵，
∴．
17．【答案】（1）解：
∴△ABC∽△ADE.
（2）解： ∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE=125°.
又∵∠EAC=85°，
∴ ∠CAD = ∠DAE - ∠EAC =
【知识点】相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)由在 中，AB=25，BC=40，AC=20， 在 中，AE=12，AD=15，DE=24，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似；即可证得
(2)由相似三角形的性质得出 求出 的度数，则可得出答案.
18．【答案】（1）(6-t) cm；(t-6) cm
（2）解：当点 P 在BC 上运动时，如图①，当△CPD∽△CAB 时，
当△CDP'∽△CAB 时，
∴t=2.
当点 P 在AB上运动时，如图②，当△ADP∽△ACB 时，
当△ADP'∽△ABC时，
综上所述，t 的值为 或 2 或 或
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） 当点 P 在线段 BC 上运动时，BP =BC-CP=(6-t)cm； 当点 P 在线段AB 上运动时，BP=CP-BC=(t-6)cm；
故答案为：(6-t)cm；(t-6)cm；
【分析】（1）根据运动的速度和时间表示BP长即可；、
（2）当点 P 在BC 上运动时，分为△CPD∽△CAB和△CDP'∽△CAB两种情况，当点 P 在AB上运动时，分为△ADP∽△ACB和△ADP'∽△ABC两种情况，利用对应边成比例解答即可.
19．【答案】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
，
，
，
在和中，
，
；
（2）．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2），，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
【分析】（1）根据旋转性质可得出，，再根据是等边三角形．可得出，进而可得出，再根据SAS即可得出；
（2）由旋转性质可得出是等边三角形，可得出，，再根据，可得出AD=OC=8，进而根据勾股定理的逆定理可得出∠ADO=90°，进而得出。
20．【答案】（1）解：选择①，
∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由AA判定三角形相似知，可选择①即可得证；
（2）由题意可得，，再由相似比可得，再代入计算即可．
（1）解：若选择①，
∵，，
∴；
若选择②，
∵，，
∴，
∵，
∴；
若选择③，
∵，
∴，
∵，
∴；
若选择④，
∵，而夹角不一定相等，
∴与不一定相似；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1），点是中点，
，
由题可知，
，，
，，
解得，
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得
（3）；
证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例可知，，再代值求解即可；
(2)先由，得到DE=5a，DP=4a，进而知道BP=BD-DP=14.4-4a，再利用求解即可；
(3)由(1)(2)可知，所以证明即可，连接AC，证△EOF∽△COA，即可得解.
22．【答案】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
答：像的长度3.2厘米
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
答：凸透镜焦距的长为厘米
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由题意，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得与，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）过点作交于点E，根据两组对边分别平行的四边形和四边形是平行四边形，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
答：像的长度3.2厘米；
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
答：凸透镜焦距的长为厘米．
1 / 14.4 探索三角形相似的条件-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·义乌期中）如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： 与 有公共角 当添加条件 或 都满足“两角对应相等的两个三角形相似”的判定方法，
故添加条件A、B能判断 由于AB、AP、AC、AB都是夹着. 的边，当添加条件 时，
满足“两边对应成比例，夹角相等”的判定方法，故添加条件C能判断
当添加条件 时，不满足相似三角形的判定方法，故添加条件D不能判断
故选： D.
【分析】通过题图发现 是公共角，利用相似三角形的判定方法，逐个判断得结论.
2．（2025九上·象山月考）如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD
∴∠BAC=∠DAE
若∠C=∠E，则，故A不符合题意；
若∠B=∠ADE，则，故B不符合题意；
若，则，故C不符合题意；
若，无法判断，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】由∠1=2得∠BAC=∠DAE，则结合相似的判定和各选项分别判断即可得结论.
3．（2024九上·西湖月考）已知P为线段的黄金分割点，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：点是线段上的一个黄金分割点，且，，
．
故选：A．
【分析】利用黄金分割的比值计算即可．
4．（2025九上·金华月考）大自然鬼斧神工，一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”的美．如图，P为线段AB的黄金分割点（AP＞PB）．如果AB的长度为10cm，那么AP的长度是（ ）
A． B． C．6.18cm D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割的定义进行计算得： m，
故答案为：A .
【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答.
5．（2025九上·兰溪月考）如图所示，已知平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似，且平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的，则FO：EO的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；相似多边形；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点F，B作AD的垂线，垂足分别为G，H，
∴FG//HB
∵平行四边形ABCD和平行四边形ADEF相似，且平行四边形ADEF的面积是平行四边形ABCD的
∴，即
∵四边形ABCD，ADEF是平行四边形，
∴AD//EF//BC，AB//CD，DE=AF
∴△AGF∽△AHB
∴
设AF=a，则AB=4a，
∴DE=AF=a，EC=FB=DC-DE=3a，
∵AB//CD，
∴△AFO∽△CEO
∴
故答案为：C.
【分析】根据题意得出，进而证明△AFO∽△CEO，根据相似三角形的性质，即可求解.
6．（2025九上·宝安月考）如图，CD是斜边AB上的中线，过点C作交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不能判断与相似的是( )
A． B．点B是DE的中点
C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：Ａ、如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，故Ａ错误.
B、如图，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴，
∵点B是DE的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，故Ｂ错误.
C、如图，
∵，
∴，
根据题意得：，
∴，
∴，
∴，故Ｃ错误.
D、∵根据已知条件不能证明，
∴添加不能证明，故Ｄ正确.
故答案为：Ｄ.
【分析】Ａ、根据，得，即可得，在根据已知条件得，，即可证明.
B、根据CD是斜边AB上的中线得，再根据点B是DE的中点，得，进一步得，可证明
，，从而得，故Ｂ错误.
Ｃ、根据得，再根据题意得：，进一步得
，计算得，即可证明.
D、根据已知条件不能证明，故添加不能证明.
7．（2025九上·福田开学考）如图，有公共顶点的正方形ABCD和正方形BFGE如图摆放，其中点G恰在CD边的四等分点（CG＜DG），连结BD.则DH：BH为（ ）
A．2：3 B．：2 C．2： D．15：17
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接BG，设GC=x
∵G恰在CD边的四等分点
∴DG=3x，DC=4x
∵四边形ABCD是正方形
∴∠BDG=45°，∠C=90°，BC=DC=4x
∴，
∵四边形BFGE是正方形
∴∠BGH=45°
∴∠BGH=∠BDG
∴∠DBG=∠GBH
∴△BGH∽△BDG
∴
∴
∴
∴
∴
故答案为：D
【分析】连接BG，设GC=x，由题意可得DG=3x，DC=4x，根据正方形性质可得∠BDG=45°，∠C=90°，BC=DC=4x，再根据勾股定理可得BD，BG，根据角之间的关系可得∠DBG=∠GBH，再根据相似三角形判定定理可得△BGH∽△BDG，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．（2024九上·怀宁期中）已知如图，点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论中正确的是（ ）
A．AB2＝AC2+BC2 B．BC2＝AC BA
C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：黄金分割定义知，，所以AC2=AB．
设AB=1，AC=x，
，
解得：x=．
．
故选：C．
【分析】对于线段AB上一点C，若AC>BC，且AC2＝ABBC，则把点C叫线段AB的黄金分割点，且有.
二、填空题
9．（2025九上·诸暨期末）如图，已知点是线段的黄金分割点，若，则 ．
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据题意，，，
∴，
故答案为：．
【分析】如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点，较长线段与整个线段的比为黄金比，黄金比为，据此建立方程，求解即可.
10．（2025九上·永定期末）如图，在中，，，垂足为，若，，那么线段的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：在中，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
故答案为：．
【分析】由直角三角形两锐角互余、角的构成及同角的余角相等推出∠ACD=∠B，从而由有两组角对应相等的两个三角形相似得△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应边成比例求出CD的长即可．
11．在如图所示的不完整的象棋棋盘(每个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，则“马”应落在 处(填序号).
【答案】②
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设每个小正方形的边长为1，则易得“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边长分别为2，2 ，4 ， “车”“炮”之间的距离为1，“炮”与②之间的距离为 ，“车”与②之间的距离为 ∴“马””应落在②处.
故答案为：② .
【分析】根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
12．一个三角形木架的三边长分别是 75 cm，100 cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm和120cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有 种.
【答案】2
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：长为120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长为120cm的木条不能作为一边.设从120cm长的木条上截下的两段长分别为x cm，y cm(x+y≤120)的木条.易知60cm长的木条不能与75cm长的一边对应.当60cm长的木条与100cm长的一边对应时， ，解得x=45，y=72；当60cm长的木条与120 cm长的一边对应时， 解得x=37.5，y=50.∴ 有2种不同的截法：从 120cm长的木条上截下45cm，72cm长的两段或从 120 cm 长的木条上截下37.5cm，50cm长的两段.
故答案为：2 .
【分析】分类讨论：长120cm的木条与三角形木架的最长边相等，则长120cm的木条不能作为一边，设从120cm的一根上截下的两段长分别为xcm，ycm(x+y≤120)，易得长60cm的木条不能与75cm的一边对应，所以当长60cm的木条与100cm的一边对应时有 当长60cm的木条与120cm的一边对应时有 然后分别利用比例的性质计算出两种情况下得x和y的值.
13．（2025九上·金华月考）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则的值
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：过点G作 交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M，AE交DF的延长线于点N，如图所示：
设BE=a，则AE=2a，
根据题意，得EM=a，
∴四边形TFDG是矩形，
∴四边形TFDG是正方形，
根据勾股定理，得
∵MH∥TG，
故答案为：
【分析】过点G作 交CF的延长线于点T，设BH与CF交于点M， AE交DF的延长线于点N， 设BE= a， 则=a，AE=2a，根据全等三角形的性质可知EM=a，再证四边形DGTF是正方形，可得TG和CT的值，根据勾股定理求出CG的值，易证 根据相似三角形的性质可得MH，进一步得出BH的值，即可求 的值.
三、解答题
14．（2025九上·福田开学考）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠D=∠CAE.
（1）求证：△ABD∽△ECA；
（2）若AC=6，CE=4，求BD的长度.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠D=∠CAE．
∴△ABD∽△ECA；
（2）解：∵AB=AC，AC=6，
∴AB=AC=6，
∵△ABD∽△ECA，
∴
∴
∴BD=9
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，则∠ABD=∠ACE，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得AB=AC=6，再根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
15．（2024九上·玉门期末）如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动；动点Q同时从点B出发，沿BC方向运动，如果点P的运动速度为4cm/s，Q点的运动速度为2cm/s，那么运动几秒时，△ABC和△PCQ相似？
【答案】解：设同时运动ts时两个三角形相似，
当△PCQ∽△BCA，则 ， ，t=0.8；
当△PCQ∽△ACB，则，，t=2．
答：同时运动0.8s或者2s时两个三角形相似．
【知识点】相似三角形的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】因为∠C是 △ABC和△PCQ 的公共角，所以 △ABC和△PCQ相似 ，可分为两种情况：①当△PCQ∽△BCA时，根据相似三角形的性质，可得出t=0.8s；②当△PCQ∽△ACB时，根据相似三角形的性质，可得出t=2s。综上即可得出答案。
16．（2024九上·婺城开学考）如图，已知，，．
（1）求的值；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：∵，
∴；
（2）解：∵，，
∴．
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例求解即可；
（2）根据的值，然后代入AE的长求解即可．
（1）∵
∴
（2）∵，
∴．
17． 如图，AB=25，BC=40，AC=20，AE=12，AD=15，DE=24.
（1） 判断△ABC 与△ADE 是否相似.
（2） 若∠BAC=125°，∠EAC=85°，求∠CAD
【答案】（1）解：
∴△ABC∽△ADE.
（2）解： ∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE=125°.
又∵∠EAC=85°，
∴ ∠CAD = ∠DAE - ∠EAC =
【知识点】相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)由在 中，AB=25，BC=40，AC=20， 在 中，AE=12，AD=15，DE=24，根据三组对应边的比相等的两个三角形相似；即可证得
(2)由相似三角形的性质得出 求出 的度数，则可得出答案.
18． 如图，在△ABC中，AB=4cm，AC=3cm，BC=6cm，D 是AC 上一点，AD=2cm ，点 P 从点 C 出发沿 C→B→A 的方向，以1cm/s的速度运动至点 A 处，设运动时间为 ts.
（1） 当点 P 在线段 BC 上运动时，BP = ；当点 P 在线段AB 上运动时，BP= (用含 t 的代数式表示).
（2）线段 DP 将△ABC 分成两部分，当其中一部分与△ABC 相似时，求t 的值.
【答案】（1）(6-t) cm；(t-6) cm
（2）解：当点 P 在BC 上运动时，如图①，当△CPD∽△CAB 时，
当△CDP'∽△CAB 时，
∴t=2.
当点 P 在AB上运动时，如图②，当△ADP∽△ACB 时，
当△ADP'∽△ABC时，
综上所述，t 的值为 或 2 或 或
【知识点】用代数式表示几何图形的数量关系；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1） 当点 P 在线段 BC 上运动时，BP =BC-CP=(6-t)cm； 当点 P 在线段AB 上运动时，BP=CP-BC=(t-6)cm；
故答案为：(6-t)cm；(t-6)cm；
【分析】（1）根据运动的速度和时间表示BP长即可；、
（2）当点 P 在BC 上运动时，分为△CPD∽△CAB和△CDP'∽△CAB两种情况，当点 P 在AB上运动时，分为△ADP∽△ACB和△ADP'∽△ABC两种情况，利用对应边成比例解答即可.
19．（2025九上·北京月考）如图，点是等边内一点，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，，．
（1）求证：；
（2）若，，，请直接写出的度数．
【答案】（1）证明：绕点B逆时针旋转得到，
，，
是等边三角形．
，
，
，
在和中，
，
；
（2）．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】解：（2），，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
【分析】（1）根据旋转性质可得出，，再根据是等边三角形．可得出，进而可得出，再根据SAS即可得出；
（2）由旋转性质可得出是等边三角形，可得出，，再根据，可得出AD=OC=8，进而根据勾股定理的逆定理可得出∠ADO=90°，进而得出。
20．（2025九上·西湖期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④．
（1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长．
【答案】（1）解：选择①，
∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由AA判定三角形相似知，可选择①即可得证；
（2）由题意可得，，再由相似比可得，再代入计算即可．
（1）解：若选择①，
∵，，
∴；
若选择②，
∵，，
∴，
∵，
∴；
若选择③，
∵，
∴，
∵，
∴；
若选择④，
∵，而夹角不一定相等，
∴与不一定相似；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．（2024九上·杭州期末）某晚，小静在相邻两盏垂直于地面的路灯，之间行走，点，为光源，影子和在线段上，图，图为示意图已知，小静的身高，于点，．
（1）如图，当点为中点时，分别求线段，的长．
（2）如图，当点不是中点时，设，求线段的长用含有的代数式表示
（3）由此，你觉得与存在怎样的数量关系？
【答案】（1），点是中点，
，
由题可知，
，，
，，
解得，
（2），
，
，
，
，
，
，
，
，
，
整理可得
（3）；
证明：连接，
，，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
，
，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定与性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由平行线分线段成比例可知，，再代值求解即可；
(2)先由，得到DE=5a，DP=4a，进而知道BP=BD-DP=14.4-4a，再利用求解即可；
(3)由(1)(2)可知，所以证明即可，连接AC，证△EOF∽△COA，即可得解.
22．（2024九上·奉贤期末）如图1，某小组通过实验探究凸透镜成像的规律，他们依次在光具座上垂直放置发光物箭头、凸透镜和光屏，并调整到合适的高度．如图2，主光轴l垂直于凸透镜，且经过凸透镜光心O，将长度为8厘米的发光物箭头进行移动，使物距为32厘米，光线传播方向不变，移动光屏，直到光屏上呈现一个清晰的像，此时测得像距为12.8厘米．
（1）求像的长度．
（2）已知光线平行于主光轴l，经过凸透镜折射后通过焦点F，求凸透镜焦距的长．
【答案】（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
答：像的长度3.2厘米
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
答：凸透镜焦距的长为厘米
【知识点】平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由题意，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得与，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解；
（2）过点作交于点E，根据两组对边分别平行的四边形和四边形是平行四边形，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解．
（1）解：由题意得：，，
∵，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
解得．
答：像的长度3.2厘米；
（2）解：过点作交于点E，如图，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴．
同理：四边形为平行四边形，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，
∴（厘米）．
答：凸透镜焦距的长为厘米．
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