4.5 相似三角形判定定理的证明-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是( )
A．都含有一个50°的内角 B．都含有一个70°的内角
C．都含有一个80°的内角 D．都含有一个100°的内角
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵等腰三角形中的一个50°的内角可能是顶角，也可能是底角，∴都含有一个 50°的内角的两个等腰三角形不一定相似.故选项 A 不符合题意.同理，选项 B，C也不符合题意.又∵ 等腰三角形的一个100°的内角只能是顶角，顶角相等的两个等腰三角形的底角都相等，∴都含有一个100°的内角的两个等腰三角形一定相似.故选项 D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据等腰三角形的性质和内角和定理，等腰三角形的顶角可能是钝角或锐角、直角，但底角只能是锐角，由两角相等的两个三角形相似，得出D能判定，A、B、C不能判定.
2．（2025九上·顺德月考）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．CA平分 B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BAC
A：CA平分，则ACD=∠ACB，即∽，A正确
B：∠DAC=∠ABC，即∽，B正确
C：，不能判断∽，C错误
D：，∽，D正确
故答案为：C
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024九上·青浦期中）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
A、，，，故此选项不符合题意；
B、，，，故此选项不符合题意；
C、，，，故此选项不符合题意；
D、根据和不能判断，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据有两组角分别相等的两三角形相似可判断A、B选项；根据有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似可判断C、D选项.
4．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，AB=8，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED=∠C，若AD AC=26，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴AD·AC=AE·AB，
∵AD·AC=26，AB=8，
∴26=8AE，
∴
故答案为：C.
【分析】通过已知条件可判定两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质来求解AE的长度.
5．下列四个三角形中，与如图所示的△ABC 相似的为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设网格的边长是1，
则
A.三边之比是= 故本选项正确；
B.三边之比是 故本选项错误；
C.三边之比是 故本选项错误；
D.三边之比是 故本选项错误.
故答案为：A .
【分析】先求出三角形的三边，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐项判断解答即可.
6．（2025九上·衡阳开学考） 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长DE，CB交于点H，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=2.5，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DCH=90°，
∴∠DAB=∠ABH，∠ADE=∠H，
∴△ADE≌△BHE，
∴AD=BH=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠EDC，
∴tan∠AED=tan∠EDC，即，
设DP=5a，则PC=6a，
又∵PC⊥DH，
∴∠PDC+∠PCD=∠HCP+∠PCD=90°，
∴∠HCP=∠PDC，
∴tan∠HCP=tan∠PDC，即，
∴，解得，
又∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠H，∠DGP=∠GBH，
∴△DGP∽△HBP，
∴，即，
解得DG=，
故答案为：A.
【分析】延长DE，CB交于点H，则可得到△ADE≌△BHE，即可得到AD=BH=3，然后根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余可得∠AED=∠EDC=∠HCP，根据正切设DP=5a，则PC=6a，求出，然后证明△DGP∽△HBP，根据对应边成比例解答即可.
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA，OC 分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC 绕着点O逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的点A1处，则点C的对应点 C1的坐标为( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：过点 C1作C1D⊥x轴于点 D，
∵∠C1DO=∠A1CO=90°，∠DOC1=∠COA1=90°-∠COC1
∴△C1OD∽△A1OC，
∴即
∴OD=，C1D=
∴C1（-，）。
故答案为：A
【分析】过点 C1作C1D⊥x轴于点 D，根据两角对应相等，可得出△C1OD∽△A1OC，从而得出进而可求得OD=，C1D=，即可得出C1（-，）。
8．（2025九上·江北期末）如图，点 为 边 上一点（可与点 重合），已知 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 于点 ；再以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 （点 在点 下方）；最后以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ，连结 并延长且交 于点 ．以下 4 个结论：① ；② ；③ 的最大值为 ；④若 为 中点，则 ．其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①由尺规作图得到： ∠CDE =∠B，
故①符合题意；
②∵∠C =∠C， ∠CDE=∠B，
∴△CED∽△CAB，
故②不符合题意；
③当D与A重合时，CE最大，
此时CD =AC =8，
故③符合题意；
④当D为AC中点时， 由尺规作图可得BM=DQ∵△CED∽△CAB，
故④符合题意，
∴正确的结论有3个，
故答案为： C.
【分析】由尺规作图得到∠CDE=∠B， 判定△CED∽△CAB， 推出 当D与A重合时，CE最大， 由 即可求出CE的最大值，由线段中点定义得到 由尺规作图可得BM =DQ二、填空题
9．（2025九上·贵港期末）如图，，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
10．（2024九上·宁波期中）如图，在三角形纸片中，∠A=80°，AB=6，AC=8.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 （请在横线上填上符合条件的序号）
【答案】①②④
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似.
故答案为：①②④.
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.
11． 如图，点 B，D，E 在一条直线上，BE 与AC相交于点F， 若∠BAD=21°，则∠EBC 的度数为 .
【答案】21°
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC，
∴∠BAD=∠CBE=21°，
故答案为：21° .
【分析】根据三边对应成比例得到△ABC∽△ADE，即可得到∠ADE=∠ABC，然后根据角的和差和三角形的外角得到∠BAD=∠CBE解答即可.
12．（2025九上·温州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB上一点，，连接DE并延长交CB的延长线于点F.连接CE，过点A作AG∥EC交DE于点G，若AG=10，则CE的长为 .
【答案】22
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AG∥EC，
∴∠AGE=∠DEC，
∵四边形ABCD为平行四边形，点E是AB中点，
∴AB∥CD， AB=CD=2AE，
∴∠AEG=∠CDE，
∴△AEG∽△CDE，
∴EC=.
故答案为：22.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明△AEG∽△CDE， 根据对应边成比例解答即可.
13．（2025九上·宝安月考）在中，，，，点D为CB上一点，，连接AD交CE于点M，作关于AD的对称图形，若，则ME为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
延长交于，
设，，
∵，
∴，，
∵作关于的对称图形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，，
∵，
∴，解得：
∴
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，对称的性质，勾股定理；延长交于，设，，则，，由对称可得，结合得到，则，再由，得到，求出，，由，得到，求出，最后根据列方程求出，即可得到．
三、解答题
14．（2023九上·商河期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长．
【答案】解：，，
，
，
，
的长为．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】先证明，根据相似三角形的性质即可解答．
15．（2024九上·上城期末）如图，在中，是边上的点，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）证明：，，
（2）解：，
，
.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）由相似三角形的对应边成比例得到，求出长，继而得到BD长解题即可．
16．（2025九上·象山月考）如图，四边形ABCD中.AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）解：∵AC平分∠DAB
∴∠CAD=∠BAC
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ABC~△ACD
∴
∴
（2）解：由(1)知，故AC2=24，得AC=2，
∵E为AB的中点，
∴EA=EC=AB=3
∴∠ECA=∠EAC
又∵AC平分∠BAD
∴∠EAC=∠CAD
∴∠ACE=∠CAD
∴CE||AD
∴
∴AF=AC=
∴
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由AC平分∠BAD得∠CAD=∠BAC，由此得△ABC~△ACD，即可得结论；
(2)由(1)的结论得AC的长，由E为AB的中点得∠ACE=∠CAD，即有CE||AD，由平行线分线段成比例可得AF的长，即可得的值 .
17． 如图，在矩形 ABCD 中，AB =8，AD=4，E 是边DC 上的任一点(不包括端点 D，C)，过点 A 作AF⊥ AE 交CB 的延长线于点 F，设DE=a.
（1）求BF 的长(用含 a 的代数式表示).
（2） 连结EF 交AB 于点G，连结GC.当GC∥AE 时，求证：四边形 AGCE 是菱形.
【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°.
∴∠ABF=90°，∠EAD+∠BAE=90°.
∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠BAE=90°.
∴∠FAB=∠EAD.
∵∠ABF=∠D，
∴△ABF∽△ADE.
∵AB=8，AD=4，DE=a，
（2）证明：如图，连结AC.
在矩形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC=4，AB=CD=8，∠ABC=90°，
∴∠FBG=90°.
∴∠ABC=∠FBG.
∵GC∥AE，AB∥CD，
∴ 四边形AGCE 是平行四边形.
∴AG=CE.
∴ 易得BG=DE=a.
∵BF=2a，
即
∵∠ABC=∠FBG=90°，
∴△ABC∽△FBG.
∴∠ACB=∠FGB.
∵∠GFB+∠FGB=90°，
∴∠GFB+∠ACB=90°.
∴ 易得AC⊥GE.
∴ 四边形AGCE 是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可知∠BAD=∠ABC=∠D=90°，再证明△ABF∽△ADE，进而利用相似三角形的性质即可求解；
(2)连结AC，先证明四边形AGCE 是平行四边形，再利用SAS定理证明△ABC∽△FBG，进而即可得出结论.
18．（2025九上·温州期末）如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ．
（1）求 关于 的函数表达式。
（2）若 ，求 的长．
【答案】（1）解：∵EF∥AB交BC于点F， AE =BC，CE=3. CF=x， AE=y，
（2）解：当x=CF=2时，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∵AB=8，
∴CD=4.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)根据EF∥AB， 得 代入整理即得；
(2)当CF=2时， 代入 (1) 中结果求得AE=6， 根据AB∥CD，得△ABE∽△CDE， 得 代入计算即得.
19．（2024九上·杭州期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接有以下四个条件：；；；．
（1）请你从中任选一个条件，使得∽，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在的前提下，若点为中点，，求线段的长．
【答案】（1），
理由：，，
，
，
∽
注：答案不唯一，如选择；
（2），
，
点为中点，
，
∽，
，
，
，
，
线段的长为
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)若选择①，可根据“两角分别相等的两个三角形相似’证明△ABC∽△AED；若选择②，可由∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180°，推导出∠C=∠ADE，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED；若选择③，可将AD·AB=AE·AC变形，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED；
(2)由AE=2AD=6，求得AD =3，AC=2AE=12，由相似三角形的性质得，即可求出AB的长度.
20．（2024九上·威远期中）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）
【答案】解：
如图，
过点作于点，CDBH是矩形，则，，在中，
∵∠ACD=135°，∠DCH=90°
∴∠ACH=∠ACD-∠DCH=45°
∴，
设大树高AB为xm
则
AH=X-0.5
BG=BD+CG
=X-0.5+5
=X+4.5
∵，，
由反射角等于入射角得，
∴
∴，即，
解得x=18
∴这棵树高18米.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】过点作于点，根据有3个直角的四边是矩形，证CDBH是矩形，根据等腰三角形的两条腰相等，证CH=AH，从而得出。设大树高AB=Xm，用含有X的式子表示出BG=x+4.5，根据两个对应角相等的两个三角形全等证明，因此得出，即再求出x即可.
21．（2025九上·兰州期末）如图（1），在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接．
【问题发现】
（1）如图（2），当时，与的数量关系为_________，与的数量关系为_________．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段的长并说明理由．
【答案】解：（1）；
（2）与之间的数量关系发生变化，，理由如下：
如图（1）在矩形和矩形中，
当时，，
，
，
如图，连接，
矩形绕点A顺时针旋转，
，
，
，
；
（3）线段的长为或．理由如下：
如图，当点N在线段上时，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点M在线段上时，
同理可求，
；
综上所述：线段的长为或．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）当时，，
，
，
四边形和四边形都是矩形，且，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
A、N、C三点在同一条直线上，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）首先得出当时，四边形和四边形都是正方形，进而根据正方形的性质可得出A、N、C三点在同一条直线上，得出；
（2）与之间的数量关系发生变化，，连接，首先可证得，
（2）根据题意可得。根据勾股定理首先得出，连接，可证明，即可得出；
（3）分两种情况，结合勾股定理，可得出：当点N在线段上时，；当点M在线段上时，，
22．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
1 / 14.5 相似三角形判定定理的证明-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．下列条件中，一定能判定两个等腰三角形相似的是( )
A．都含有一个50°的内角 B．都含有一个70°的内角
C．都含有一个80°的内角 D．都含有一个100°的内角
2．（2025九上·顺德月考）如图，在四边形中，已知，那么补充下列条件后不能判定和相似的是（ ）
A．CA平分 B． C． D．
3．（2024九上·青浦期中）已知是的边上一点，连接，则下列不能判定的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025九上·成都月考）如图，在△ABC中，AB=8，D，E分别是边AC和AB上的点，且∠AED=∠C，若AD AC=26，则AE的长为（ ）
A． B．3 C． D．4
5．下列四个三角形中，与如图所示的△ABC 相似的为( )
A． B． C． D．
6．（2025九上·衡阳开学考） 在矩形中，，，，分别是边，的中点，于点，的延长线交于点，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA，OC 分别在x轴和y轴上，并且OA=5，OC=3.若把矩形OABC 绕着点O逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的点A1处，则点C的对应点 C1的坐标为( ).
A． B． C． D．
8．（2025九上·江北期末）如图，点 为 边 上一点（可与点 重合），已知 ．以点 为圆心，适当长为半径作弧，分别交 于点 ；再以点 为圆心， 长为半径作弧，交 于点 （点 在点 下方）；最后以点 为圆心， 长为半径作弧，两弧交于点 ，连结 并延长且交 于点 ．以下 4 个结论：① ；② ；③ 的最大值为 ；④若 为 中点，则 ．其中正确的结论有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二、填空题
9．（2025九上·贵港期末）如图，，若，，则的长为 ．
10．（2024九上·宁波期中）如图，在三角形纸片中，∠A=80°，AB=6，AC=8.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有 （请在横线上填上符合条件的序号）
11． 如图，点 B，D，E 在一条直线上，BE 与AC相交于点F， 若∠BAD=21°，则∠EBC 的度数为 .
12．（2025九上·温州开学考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB上一点，，连接DE并延长交CB的延长线于点F.连接CE，过点A作AG∥EC交DE于点G，若AG=10，则CE的长为 .
13．（2025九上·宝安月考）在中，，，，点D为CB上一点，，连接AD交CE于点M，作关于AD的对称图形，若，则ME为 .
三、解答题
14．（2023九上·商河期中）如图，相交于点P，连接，且，，，，求的长．
15．（2024九上·上城期末）如图，在中，是边上的点，已知．
（1）求证：；
（2）若，，求的值．
16．（2025九上·象山月考）如图，四边形ABCD中.AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：；
（2）若，，求的值.
17． 如图，在矩形 ABCD 中，AB =8，AD=4，E 是边DC 上的任一点(不包括端点 D，C)，过点 A 作AF⊥ AE 交CB 的延长线于点 F，设DE=a.
（1）求BF 的长(用含 a 的代数式表示).
（2） 连结EF 交AB 于点G，连结GC.当GC∥AE 时，求证：四边形 AGCE 是菱形.
18．（2025九上·温州期末）如图， 交于点 ，过点 作 交 于点 ．已知 ．设 ．
（1）求 关于 的函数表达式。
（2）若 ，求 的长．
19．（2024九上·杭州期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接有以下四个条件：；；；．
（1）请你从中任选一个条件，使得∽，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在的前提下，若点为中点，，求线段的长．
20．（2024九上·威远期中）小明利用刚学过的测量知识来测量学校内一棵古树的高度.一天下午，他和学习小组的同学带着测量工具来到这棵古树前，由于有围栏保护，他们无法到达古树的底部B，如图所示.于是他们先在古树周围的空地上选择一点D，并在点D处安装了测量器CD，测得；再在BD的延长线上确定一点G，使米，并在G处的地面上水平放置了一个小平面镜，小明沿着BG方向移动，当移动到点F时，他刚好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时，测得米，小明眼睛与地面的距离米，测量器的高度米.已知点F、G、D、B在同一水平直线上，且EF、CD、AB均垂直于FB，则这棵古树的高度AB为多少米？（小平面镜的大小忽略不计）
21．（2025九上·兰州期末）如图（1），在矩形中，，点M，P分别在边上（均不与端点重合），且，以和为邻边作矩形，连接．
【问题发现】
（1）如图（2），当时，与的数量关系为_________，与的数量关系为_________．
【类比探究】
（2）如图（3），当时，矩形绕点A顺时针旋转，连接，则与之间的数量关系是否发生变化？若不变，请就图（3）给出证明；若变化，请写出数量关系，并就图（3）说明理由．
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，已知，当矩形旋转至C，N，M三点共线时，请写出线段的长并说明理由．
22．（2024九上·宁波期中）综合与实践
【问题提出】
勾股定理和黄金分割是几何学中的两大瑰宝，其中"贵金分割"给人以美感.课本第56页这样定义"黄金分割点"：如图1，点将线段AB分成两部分，若，则称点为线段AB的黄金分割点，这个比值称为黄金比.
（1）【初步感知】
如图1，若，求临金比的值.
（2）【类比探究】
如图2，在中，是BC边上一点，AD将分割成两个三角形（），若，则称AD为的黄金分割线.
①求证：点D是线段BC的黄金分割点：
②若△ABC的面积为4，求△ACD的面积.
（3）【拓展应用】
如图3，在中，为A，B上的一点（不与A，B重合），过D作DE∥BC，交AC于E，BE，CD相交于，连接AF并延长，与DE，BC分别交于M，N.请问直线AN是的黄金分割线吗 并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵等腰三角形中的一个50°的内角可能是顶角，也可能是底角，∴都含有一个 50°的内角的两个等腰三角形不一定相似.故选项 A 不符合题意.同理，选项 B，C也不符合题意.又∵ 等腰三角形的一个100°的内角只能是顶角，顶角相等的两个等腰三角形的底角都相等，∴都含有一个100°的内角的两个等腰三角形一定相似.故选项 D符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据等腰三角形的性质和内角和定理，等腰三角形的顶角可能是钝角或锐角、直角，但底角只能是锐角，由两角相等的两个三角形相似，得出D能判定，A、B、C不能判定.
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ADC=∠BAC
A：CA平分，则ACD=∠ACB，即∽，A正确
B：∠DAC=∠ABC，即∽，B正确
C：，不能判断∽，C错误
D：，∽，D正确
故答案为：C
【分析】根据相似三角形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意作图如下：
A、，，，故此选项不符合题意；
B、，，，故此选项不符合题意；
C、，，，故此选项不符合题意；
D、根据和不能判断，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】根据有两组角分别相等的两三角形相似可判断A、B选项；根据有两边的比相等，并且它们的夹角也相等的两三角形相似可判断C、D选项.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵∠AED=∠C，∠EAD=∠CAB，
∴△ADE∽△ABC
∴
∴AD·AC=AE·AB，
∵AD·AC=26，AB=8，
∴26=8AE，
∴
故答案为：C.
【分析】通过已知条件可判定两个三角形相似，再根据相似三角形对应边成比例的性质来求解AE的长度.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定-SSS；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：设网格的边长是1，
则
A.三边之比是= 故本选项正确；
B.三边之比是 故本选项错误；
C.三边之比是 故本选项错误；
D.三边之比是 故本选项错误.
故答案为：A .
【分析】先求出三角形的三边，根据三边对应成比例的两个三角形相似逐项判断解答即可.
6．【答案】A
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长DE，CB交于点H，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=2.5，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB∥CD，∠DCH=90°，
∴∠DAB=∠ABH，∠ADE=∠H，
∴△ADE≌△BHE，
∴AD=BH=3，
∵AB∥CD，
∴∠AED=∠EDC，
∴tan∠AED=tan∠EDC，即，
设DP=5a，则PC=6a，
又∵PC⊥DH，
∴∠PDC+∠PCD=∠HCP+∠PCD=90°，
∴∠HCP=∠PDC，
∴tan∠HCP=tan∠PDC，即，
∴，解得，
又∵AD∥BC，
∴∠ADP=∠H，∠DGP=∠GBH，
∴△DGP∽△HBP，
∴，即，
解得DG=，
故答案为：A.
【分析】延长DE，CB交于点H，则可得到△ADE≌△BHE，即可得到AD=BH=3，然后根据平行线的性质和直角三角形的两锐角互余可得∠AED=∠EDC=∠HCP，根据正切设DP=5a，则PC=6a，求出，然后证明△DGP∽△HBP，根据对应边成比例解答即可.
7．【答案】A
【知识点】图形的旋转；旋转的性质；坐标与图形变化﹣旋转；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：过点 C1作C1D⊥x轴于点 D，
∵∠C1DO=∠A1CO=90°，∠DOC1=∠COA1=90°-∠COC1
∴△C1OD∽△A1OC，
∴即
∴OD=，C1D=
∴C1（-，）。
故答案为：A
【分析】过点 C1作C1D⊥x轴于点 D，根据两角对应相等，可得出△C1OD∽△A1OC，从而得出进而可求得OD=，C1D=，即可得出C1（-，）。
8．【答案】C
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：①由尺规作图得到： ∠CDE =∠B，
故①符合题意；
②∵∠C =∠C， ∠CDE=∠B，
∴△CED∽△CAB，
故②不符合题意；
③当D与A重合时，CE最大，
此时CD =AC =8，
故③符合题意；
④当D为AC中点时， 由尺规作图可得BM=DQ∵△CED∽△CAB，
故④符合题意，
∴正确的结论有3个，
故答案为： C.
【分析】由尺规作图得到∠CDE=∠B， 判定△CED∽△CAB， 推出 当D与A重合时，CE最大， 由 即可求出CE的最大值，由线段中点定义得到 由尺规作图可得BM =DQ9．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
10．【答案】①②④
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：
①阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
②阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；
③两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；
④两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似.
故答案为：①②④.
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.
11．【答案】21°
【知识点】三角形外角的概念及性质；相似三角形的判定-SSS；相似三角形的性质-对应角
【解析】【解答】解：∵
∴△ABC∽△ADE，
∴∠ADE=∠ABC，
∴∠BAD=∠CBE=21°，
故答案为：21° .
【分析】根据三边对应成比例得到△ABC∽△ADE，即可得到∠ADE=∠ABC，然后根据角的和差和三角形的外角得到∠BAD=∠CBE解答即可.
12．【答案】22
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵AG∥EC，
∴∠AGE=∠DEC，
∵四边形ABCD为平行四边形，点E是AB中点，
∴AB∥CD， AB=CD=2AE，
∴∠AEG=∠CDE，
∴△AEG∽△CDE，
∴EC=.
故答案为：22.
【分析】根据平行四边形的性质和平行线的性质证明△AEG∽△CDE， 根据对应边成比例解答即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
延长交于，
设，，
∵，
∴，，
∵作关于的对称图形，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，解得：，
∴，，
∵，
∴，解得：
∴
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，对称的性质，勾股定理；延长交于，设，，则，，由对称可得，结合得到，则，再由，得到，求出，，由，得到，求出，最后根据列方程求出，即可得到．
14．【答案】解：，，
，
，
，
的长为．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】先证明，根据相似三角形的性质即可解答．
15．【答案】（1）证明：，，
（2）解：，
，
.
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定定理证明即可；
（2）由相似三角形的对应边成比例得到，求出长，继而得到BD长解题即可．
16．【答案】（1）解：∵AC平分∠DAB
∴∠CAD=∠BAC
∵∠ADC=∠ACB=90°
∴△ABC~△ACD
∴
∴
（2）解：由(1)知，故AC2=24，得AC=2，
∵E为AB的中点，
∴EA=EC=AB=3
∴∠ECA=∠EAC
又∵AC平分∠BAD
∴∠EAC=∠CAD
∴∠ACE=∠CAD
∴CE||AD
∴
∴AF=AC=
∴
【知识点】角平分线的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由AC平分∠BAD得∠CAD=∠BAC，由此得△ABC~△ACD，即可得结论；
(2)由(1)的结论得AC的长，由E为AB的中点得∠ACE=∠CAD，即有CE||AD，由平行线分线段成比例可得AF的长，即可得的值 .
17．【答案】（1）解：∵ 四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°.
∴∠ABF=90°，∠EAD+∠BAE=90°.
∵AF⊥AE，
∴∠FAB+∠BAE=90°.
∴∠FAB=∠EAD.
∵∠ABF=∠D，
∴△ABF∽△ADE.
∵AB=8，AD=4，DE=a，
（2）证明：如图，连结AC.
在矩形 ABCD 中，AB∥CD，AD=BC=4，AB=CD=8，∠ABC=90°，
∴∠FBG=90°.
∴∠ABC=∠FBG.
∵GC∥AE，AB∥CD，
∴ 四边形AGCE 是平行四边形.
∴AG=CE.
∴ 易得BG=DE=a.
∵BF=2a，
即
∵∠ABC=∠FBG=90°，
∴△ABC∽△FBG.
∴∠ACB=∠FGB.
∵∠GFB+∠FGB=90°，
∴∠GFB+∠ACB=90°.
∴ 易得AC⊥GE.
∴ 四边形AGCE 是菱形.
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质可知∠BAD=∠ABC=∠D=90°，再证明△ABF∽△ADE，进而利用相似三角形的性质即可求解；
(2)连结AC，先证明四边形AGCE 是平行四边形，再利用SAS定理证明△ABC∽△FBG，进而即可得出结论.
18．【答案】（1）解：∵EF∥AB交BC于点F， AE =BC，CE=3. CF=x， AE=y，
（2）解：当x=CF=2时，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△CDE，
∵AB=8，
∴CD=4.
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应角
【解析】【分析】(1)根据EF∥AB， 得 代入整理即得；
(2)当CF=2时， 代入 (1) 中结果求得AE=6， 根据AB∥CD，得△ABE∽△CDE， 得 代入计算即得.
19．【答案】（1），
理由：，，
，
，
∽
注：答案不唯一，如选择；
（2），
，
点为中点，
，
∽，
，
，
，
，
线段的长为
【知识点】相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)若选择①，可根据“两角分别相等的两个三角形相似’证明△ABC∽△AED；若选择②，可由∠BDE+∠C=180°，∠BDE+∠ADE=180°，推导出∠C=∠ADE，再根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED；若选择③，可将AD·AB=AE·AC变形，再根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△AED；
(2)由AE=2AD=6，求得AD =3，AC=2AE=12，由相似三角形的性质得，即可求出AB的长度.
20．【答案】解：
如图，
过点作于点，CDBH是矩形，则，，在中，
∵∠ACD=135°，∠DCH=90°
∴∠ACH=∠ACD-∠DCH=45°
∴，
设大树高AB为xm
则
AH=X-0.5
BG=BD+CG
=X-0.5+5
=X+4.5
∵，，
由反射角等于入射角得，
∴
∴，即，
解得x=18
∴这棵树高18米.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】过点作于点，根据有3个直角的四边是矩形，证CDBH是矩形，根据等腰三角形的两条腰相等，证CH=AH，从而得出。设大树高AB=Xm，用含有X的式子表示出BG=x+4.5，根据两个对应角相等的两个三角形全等证明，因此得出，即再求出x即可.
21．【答案】解：（1）；
（2）与之间的数量关系发生变化，，理由如下：
如图（1）在矩形和矩形中，
当时，，
，
，
如图，连接，
矩形绕点A顺时针旋转，
，
，
，
；
（3）线段的长为或．理由如下：
如图，当点N在线段上时，
，
，
，
，
，
，
；
如图，当点M在线段上时，
同理可求，
；
综上所述：线段的长为或．
【知识点】矩形的性质；正方形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）当时，，
，
，
四边形和四边形都是矩形，且，
四边形和四边形都是正方形，
，
，
，
A、N、C三点在同一条直线上，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）首先得出当时，四边形和四边形都是正方形，进而根据正方形的性质可得出A、N、C三点在同一条直线上，得出；
（2）与之间的数量关系发生变化，，连接，首先可证得，
（2）根据题意可得。根据勾股定理首先得出，连接，可证明，即可得出；
（3）分两种情况，结合勾股定理，可得出：当点N在线段上时，；当点M在线段上时，，
22．【答案】（1）解：如图1， 设 则.
，
，
，
整理得：
解得 (不符合题意，舍去) ，
，
，
∴黄金比 的值为
（2）①证明： 如图2， 作 '于点R，
且，
∴，
，
∴点D是线段BC的黄金分割点.
②，
，
的面积是
（3）解：直线AN不是 的黄金分割线，
理由：如图3，
∴，
∴，
∴直线AN不是 的黄金分割线.
【知识点】黄金分割；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)设 则 由 得 则 求得符合题意的x值为 则黄金比 的值为
(2)①作. 于点R，则 ， 由 得，所以 则点D是线段BC的黄金分割点；
②由 得 所以
(3)由证明 所以则 由 得 所以 则 所以， 则 可知 直线AN不是 的黄金分割线.
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