4.6 利用相似三角形测高-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）.
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
2．（2023九上·文山期末）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米 B．3.2米 C．2.30米 D．1.5米
3．（2023九上·柘城期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·宁波月考）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm
A． B． C．6 D．8
5．（2025九上·温州期末）图 1 是捣谷物的＂碓＂，图 2 是其示意图，为转动支点， 于点 与水平线 夹角 ， ．当点 绕点 旋转下落到 上时，点 上升（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·开江期中）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为米，同一时刻，祈年殿的影长约为米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约（ ）米．
A．20 B．15 C．28 D．38
7．（2024九上·福田期中）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深，立5尺长的木于井上，从木的末端E点观察井水水岸A处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸
8．（2024九上·西峡期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点E、F分别在上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·长丰期中）如图，某小区地下车库入口栏杆短臂，长臂，当短臂端点A下降时，长臂端点B升高 m．
10．（2024九上·佛山期中）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．如图2，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为为0.4实地测得为2，则井深为 ．
11．（2024九上·成华期末）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度 米．
12．（2023九上·宁津月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺．
13．（2024九上·深圳期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离 米时，才能发现C处的儿童．
三、解答题
14．（2023九上·石景山期中）如图，在中，点在边上，点在边上，且，若，，，求的长．
15．（2024九上·洞口期中）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
（1）求小明的身高；
（2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
16．（2024九上·重庆市月考）如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
17．（2024九上·宁波月考）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高．
18．（2024九上·杭州期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得 DE∥BC .经测量BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为90米，已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度
19．（2024九上·东坡期中）一块直角三角形木板的一条直角边为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图1的方式进行加工，小华准备按图2的方式进行加工，加工损耗忽略不计，请用学过的知识说明谁的加工方案符合要求？
20．小玲和晓静很想知道某塔的高度PQ，于是，他们带着标杆和皮尺进行测量，测量方案如下：如图所示，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿QC后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到塔顶的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为；然后，晓静在处竖立了一根高的标杆EF，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得FM为为，已知，点Q，C，B，F，M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算该塔的高度PQ.
21．（2024九上·桂阳期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．
（2）第二小组测得米，则______米．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
22．（2024九上·南明期中）综合与实践：某数学兴趣小组测量一座塔的高度，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点B，D，F，M在同一直线上．
方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离塔距离的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住塔（即A，C，E在一条直线上，B，D，E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为．
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求塔的高度．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意得：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高= =18米．
故选A．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设树高为x米，由题意得
，
解得：x=3.2，
故选B.
【分析】设树高为x米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm）
故答案为：C．
【分析】因为高脚杯形状固定，液面水平，所以图 1 和图 2 中盛装液体部分可看作相似三角形，通过求出两个相似三角形的高，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算液面AB的长度 .
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，
由题意得：
OE=15cm，CD=8cm，AB//CD，
∴OF⊥AB，
∴OF=10cm，
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△ABO≌△CDO，
∴
∴
解得
∴蜡烛火焰的高度是，
故答案为：B.
【分析】过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE=15cm，CD=8cm，OF=10cm，AB//CD，然后利用平行线的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D从而可得△ABO≌△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：将 和OA绕点O旋转到 和 使点C的对应点为 落在OM上，
设 上升的高度为h，
过点B作 于点F，过 作 于点E， 于点G，
则四边形 是矩形，
于点B，
，
故答案为： D.
【分析】将 和OA绕点O旋转到 和 使点C的对应点为 落在OM上， 设 上升的高度为h，过点B作 于点F，过 作 于点E， 于点G， 则 ， 得. 求出证明. 得 求出 长，即可得到 长，然后根据 解题即可
6．【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设祈年殿的高度为米，
由同一时刻物长与影长比相等得：
则，
解得．
所以祈年殿的高度为38米．
故选：D．
【分析】
由于太阳光一组平行线，则同一时刻物长与影长比相等，即，再代入数据计算即可．
7．【答案】D
【知识点】解分式方程；矩形的性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：5尺寸，
设尺．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验：是分式方程的解．
∴（寸）．
故答案为：D．
【分析】
设尺，根据矩形的性质得到，从而可得到，再根据相似三角形的性质得到， 构建方程计算即可解答.
8．【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
∴，解得：，
即这个正方形零件的边长为，
故选：．
【分析】因为平行于三角形的一边且与另外两边分别相交所构成的三角形与原三角形相似，所以可以得到，接下来可设正方形的边长，即EF=x，利用相似的性质可搭建关于x的方程，解这个方程即可求得正方形的边长.
9．【答案】1.8
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：根据题意知，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：1.8．
【分析】证明，列出比例式，进行求解即可．
10．【答案】3.2
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，
∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．
∴
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的应用，通过找出相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算井深（即的长度 ）.
11．【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：延长交于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
【分析】
延长交于H，则四边形ACDH为矩形，则可判定，由相似比可求得BH，再由矩形的对边相等即AH=CD即可．
12．【答案】57.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：57.5．
【分析】根据题意得四边形是矩形，由矩形的性质得，，从而推出，进而根据相似三角形对应边成比例得，于是可求出，最后求的值即可.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行米，才能发现处的儿童，
故答案为：．
【分析】首先明确当B，O，C在同一直线上的时候，才能最早发现C处的儿童。此时，，然后只需先根据勾股定理求得CM的长度，再通过AA得出，求得BD的长度，进而根据AD-BD即可得出AB的长度。
14．【答案】解：，，
，
，，
，
，即，
，
的长为6．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先求出的长，证明，得到，代入数值进行计算即可得到答案。
15．【答案】（1）解：根据题意，得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴小明的身高为米；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴小明的身影变短了，变短了米．
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例的性质求出的长即可；
（2）证明，根据相似三角形对应边成比例的性质求出的值，再作差即可.
（1）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即
解得，．
即小明的身高为米．
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴小明的身影变短了，变短了米．
16．【答案】解：如图：过点A作于点M，交于点N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河宽为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】
过点A作于点M，交于点N，易证，由相似三角形的性质可得，根据题境可知，代入计算出ＡＭ，最后由线段和差关系即可解答．
17．【答案】解：过点作，交于点，交于，由题意，得：四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
答：电视塔的高的长为
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】过点作，交于点，交于，易得，，，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可．
18．【答案】解：
如图所示，过E作 于G，
∵AF⊥BC， EG⊥BC，
∴∠EGC=∠AFC=90°，
又∵∠ACF=∠GCE，
∴△ACF∽△ECG，
即：
解得AF=120，
∴桥AF的长度为120米.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】过E作于G，依据 即可得出 依据，即可得到 进而得出AF的长.
19．【答案】解：由得.
设小明加工的桌面边长为.
因为，
所以，
所以，即，
解得；
设小华加工的桌面边长为，过点作于点，交于点，
因为
所以，
因为
所以，
因为，
所以，
所以即，
解得，
因为，所以
故小明的加工方案符合要求.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】图中，首先根据三角形面积计算公式求出BC=2m，由正方形的对边平行得DE∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△CDE∽△CBA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出加工桌面的边长；图中，首先根据勾股定理算出AC的长，由三角形面积公式建立方程求出BH的长，由正方形的对边平行得DE∥AC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDE∽△BAC，根据相似三角形对应高的比等于相似比建立方程即可加工桌面的长，然后将两个桌面边长比大小即可得出结论.
20．【答案】解：∵∠PQC=∠ABC=90°，∠PCQ=∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴，即，
∴QC=1.2PQ，
∵∠PQF=∠EFM=90°，∠PMQ=∠EMF，
∴△PMQ∽△EMF，
∴，
∴，即，
∴PQ=47m.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PCQ∽△ACB，由相似三角形对应边成比例可得出QC=1.2PQ，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△PMQ∽△EMF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PQ的长.
21．【答案】（1）
（2）30
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
∴第三小组的方案可行．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的实际应用；方位角
【解析】【解答】解：（1）∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答；
（2）由题意得为等腰三角形，即可解答；
（3）由题意得，即可解答．
（1）解：∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行．
22．【答案】解：选择方案一：
如图：过点E作，垂足为H，延长交于点G，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴塔的高度为．
选择方案二：
如图：过点E作，垂足为M，延长交于点N，
∵，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】方案一：过点E作，垂足为H，延长交于点G，由题意得：，，根据边之间的关系可得CH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AG，再根据边之间的关系即可求出答案.
方案二：过点E作，垂足为M，延长交于点N，由题意得：，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
1 / 14.6 利用相似三角形测高-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（华师大版数学九年级上册第23章图形的相似23.3.4相似三角形的应用 同步练习）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比．如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）.
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
【答案】A
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】根据题意得：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高= =18米．
故选A．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
2．（2023九上·文山期末）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（ ）
A．7.8米 B．3.2米 C．2.30米 D．1.5米
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：设树高为x米，由题意得
，
解得：x=3.2，
故选B.
【分析】设树高为x米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
3．（2023九上·柘城期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm），
第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm），
因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，
所以图1和图2中的两个三角形相似，
∴，
∴（cm）
故答案为：C．
【分析】因为高脚杯形状固定，液面水平，所以图 1 和图 2 中盛装液体部分可看作相似三角形，通过求出两个相似三角形的高，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算液面AB的长度 .
4．（2024九上·宁波月考）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验.并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ）cm
A． B． C．6 D．8
【答案】B
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，
由题意得：
OE=15cm，CD=8cm，AB//CD，
∴OF⊥AB，
∴OF=10cm，
∵AB//CD，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴△ABO≌△CDO，
∴
∴
解得
∴蜡烛火焰的高度是，
故答案为：B.
【分析】过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F，根据题意可得：OE=15cm，CD=8cm，OF=10cm，AB//CD，然后利用平行线的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D从而可得△ABO≌△CDO，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答.
5．（2025九上·温州期末）图 1 是捣谷物的＂碓＂，图 2 是其示意图，为转动支点， 于点 与水平线 夹角 ， ．当点 绕点 旋转下落到 上时，点 上升（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：将 和OA绕点O旋转到 和 使点C的对应点为 落在OM上，
设 上升的高度为h，
过点B作 于点F，过 作 于点E， 于点G，
则四边形 是矩形，
于点B，
，
故答案为： D.
【分析】将 和OA绕点O旋转到 和 使点C的对应点为 落在OM上， 设 上升的高度为h，过点B作 于点F，过 作 于点E， 于点G， 则 ， 得. 求出证明. 得 求出 长，即可得到 长，然后根据 解题即可
6．（2024九上·开江期中）天坛是古代帝王祭天的地方，其中最主要的建筑就是祈年殿．老师希望同学们利用所学过的知识测量祈年殿的高度，数学兴趣小组的同学们设计了如图所示的测量图形，并测出竹竿长2米，在太阳光下，它的影长为米，同一时刻，祈年殿的影长约为米．请你根据这些数据计算出祈年殿的高度约（ ）米．
A．20 B．15 C．28 D．38
【答案】D
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设祈年殿的高度为米，
由同一时刻物长与影长比相等得：
则，
解得．
所以祈年殿的高度为38米．
故选：D．
【分析】
由于太阳光一组平行线，则同一时刻物长与影长比相等，即，再代入数据计算即可．
7．（2024九上·福田期中）如图1是《九章算术》中记载的“测井深”示意图，译文指出：“如图2，今有井直径为5尺，不知其深，立5尺长的木于井上，从木的末端E点观察井水水岸A处，测得“入径”为4寸，问井深是多少？（其中1尺寸）”根据译文信息，则井深为（ ）
A．500寸 B．525寸 C．50寸 D．575寸
【答案】D
【知识点】解分式方程；矩形的性质；相似三角形的实际应用；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：5尺寸，
设尺．
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验：是分式方程的解．
∴（寸）．
故答案为：D．
【分析】
设尺，根据矩形的性质得到，从而可得到，再根据相似三角形的性质得到， 构建方程计算即可解答.
8．（2024九上·西峡期末）如图，一块材料的形状是锐角三角形，边长边上的高为，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点E、F分别在上，则这个正方形零件的边长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
设正方形零件的边长为，则，
∴，解得：，
即这个正方形零件的边长为，
故选：．
【分析】因为平行于三角形的一边且与另外两边分别相交所构成的三角形与原三角形相似，所以可以得到，接下来可设正方形的边长，即EF=x，利用相似的性质可搭建关于x的方程，解这个方程即可求得正方形的边长.
二、填空题
9．（2024九上·长丰期中）如图，某小区地下车库入口栏杆短臂，长臂，当短臂端点A下降时，长臂端点B升高 m．
【答案】1.8
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：根据题意知，，，
∴，
∴．
∵，
∴．
∴．
故答案为：1.8．
【分析】证明，列出比例式，进行求解即可．
10．（2024九上·佛山期中）四分仪是一种十分古老的测量仪器．其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》图1是描述古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过观衡杆测望井底点、窥衡杆与四分仪的一边交于点．如图2，四分仪为正方形．方井为矩形．若测量员从四分仪中读得为为0.4实地测得为2，则井深为 ．
【答案】3.2
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：依题意，，
∴，
∴，
∵测量员从四分仪中读得为，为，实地测得为．
∴
解得：，
∴，
故答案为：．
【分析】本题考查相似三角形的应用，通过找出相似三角形和，利用相似三角形对应边成比例的性质来计算井深（即的长度 ）.
11．（2024九上·成华期末）如图，小明同学用木棍制成的测量旗杆的高度．他调整自己的位置，使斜边保持与地面平行，直角边与点在同一直线上．已知米，米，斜边离地面的高度米，米，则旗杆的高度 米．
【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：延长交于H，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，米，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（米），
即旗杆的高度米．
故答案为：12．
【分析】
延长交于H，则四边形ACDH为矩形，则可判定，由相似比可求得BH，再由矩形的对边相等即AH=CD即可．
12．（2023九上·宁津月考）《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下问题： “今有井径尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末 望水岸，入径四寸．问井深几何？”意思是：如图， 井径尺，立木高尺，寸尺，则井深为 尺．
【答案】57.5
【知识点】矩形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【解答】解：根据题意，得四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：57.5．
【分析】根据题意得四边形是矩形，由矩形的性质得，，从而推出，进而根据相似三角形对应边成比例得，于是可求出，最后求的值即可.
13．（2024九上·深圳期中）如图，在某小区内拐角处的一段道路上，有一儿童在C处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的A处驶来（，，与相交于点O），已知米，米，米，米，则汽车从A处前行的距离 米时，才能发现C处的儿童．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】在中，，，
，
，，
，
，
，
，
在中，米，
，
，
汽车从处前行米，才能发现处的儿童，
故答案为：．
【分析】首先明确当B，O，C在同一直线上的时候，才能最早发现C处的儿童。此时，，然后只需先根据勾股定理求得CM的长度，再通过AA得出，求得BD的长度，进而根据AD-BD即可得出AB的长度。
三、解答题
14．（2023九上·石景山期中）如图，在中，点在边上，点在边上，且，若，，，求的长．
【答案】解：，，
，
，，
，
，即，
，
的长为6．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】先求出的长，证明，得到，代入数值进行计算即可得到答案。
15．（2024九上·洞口期中）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．
（1）求小明的身高；
（2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？
【答案】（1）解：根据题意，得，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴小明的身高为米；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴小明的身影变短了，变短了米．
【知识点】相似三角形的实际应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）证明，根据相似三角形对应边成比例的性质求出的长即可；
（2）证明，根据相似三角形对应边成比例的性质求出的值，再作差即可.
（1）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即
解得，．
即小明的身高为米．
（2）解：∵米，米，
∴米，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴（米），
∴小明的身影变短了，变短了米．
16．（2024九上·重庆市月考）如图，河的两岸是平行的，两岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间距是10m，在距离岸边16m的A处看对岸，可以看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸的两棵树的树干遮住，又知这岸的两棵树之间有一棵树，对岸的两棵树之间有四棵树，请你根据这些条件求出河宽．
【答案】解：如图：过点A作于点M，交于点N，
∵，
∴， ，
∴
∵，
∴，解得：，
∴．
答：河宽为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】
过点A作于点M，交于点N，易证，由相似三角形的性质可得，根据题境可知，代入计算出ＡＭ，最后由线段和差关系即可解答．
17．（2024九上·宁波月考）如图所示，某测量工作人员头顶A与标杆顶点F、电视塔顶端E在同一直线上，已知此测量人员的头顶距地面的高为1.4m，标杆的长为2.8m，且测量人员与标杆的距离为3.5m，标杆与电视塔的距离为6.5m，，，，求电视塔的高．
【答案】解：过点作，交于点，交于，由题意，得：四边形，四边形均为矩形，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
答：电视塔的高的长为
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】过点作，交于点，交于，易得，，，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可．
18．（2024九上·杭州期中）为了加快城市发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得 DE∥BC .经测量BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为90米，已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度
【答案】解：
如图所示，过E作 于G，
∵AF⊥BC， EG⊥BC，
∴∠EGC=∠AFC=90°，
又∵∠ACF=∠GCE，
∴△ACF∽△ECG，
即：
解得AF=120，
∴桥AF的长度为120米.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】过E作于G，依据 即可得出 依据，即可得到 进而得出AF的长.
19．（2024九上·东坡期中）一块直角三角形木板的一条直角边为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，小明打算按图1的方式进行加工，小华准备按图2的方式进行加工，加工损耗忽略不计，请用学过的知识说明谁的加工方案符合要求？
【答案】解：由得.
设小明加工的桌面边长为.
因为，
所以，
所以，即，
解得；
设小华加工的桌面边长为，过点作于点，交于点，
因为
所以，
因为
所以，
因为，
所以，
所以即，
解得，
因为，所以
故小明的加工方案符合要求.
【知识点】正方形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】图中，首先根据三角形面积计算公式求出BC=2m，由正方形的对边平行得DE∥AB，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△CDE∽△CBA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出加工桌面的边长；图中，首先根据勾股定理算出AC的长，由三角形面积公式建立方程求出BH的长，由正方形的对边平行得DE∥AC，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截三角形与原三角形相似得△BDE∽△BAC，根据相似三角形对应高的比等于相似比建立方程即可加工桌面的长，然后将两个桌面边长比大小即可得出结论.
20．小玲和晓静很想知道某塔的高度PQ，于是，他们带着标杆和皮尺进行测量，测量方案如下：如图所示，首先，小玲在处放置一平面镜，她从点沿QC后退，当退行到处时，恰好在镜子中看到塔顶的像，此时测得小玲眼睛到地面的距离AB为；然后，晓静在处竖立了一根高的标杆EF，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得FM为为，已知，点Q，C，B，F，M在一条直线上，请根据以上所测数据，计算该塔的高度PQ.
【答案】解：∵∠PQC=∠ABC=90°，∠PCQ=∠ACB，
∴△PCQ∽△ACB，
∴，即，
∴QC=1.2PQ，
∵∠PQF=∠EFM=90°，∠PMQ=∠EMF，
∴△PMQ∽△EMF，
∴，
∴，即，
∴PQ=47m.
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】由有两组角对应相等的两个三角形相似得△PCQ∽△ACB，由相似三角形对应边成比例可得出QC=1.2PQ，再根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△PMQ∽△EMF，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出PQ的长.
21．（2024九上·桂阳期中）为了测量一条两岸平行的河流的宽度，三个数学活动小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点处测得河北岸的树恰好在的正北方向，测量方案如下表：
课题 测量河流宽度
工具 测量角度的仪器，标杆，皮尺等
小组 第一小组 第二小组 第三小组
测量方案 观测者从点向东走到点，此时测得点恰好在东南方向上． 观测者从点出发，沿着南偏西的方向走到点，此时恰好测得． 观测者从点向东走到点，在点插上一面标杆，继续向东走一定的路程到达点后，一直向南走到点，使得树、标杆、人在同一直线上．
测量示意图
（1）第一小组认为要知道河宽，只需要知道线段______的长度．
（2）第二小组测得米，则______米．
（3）第三小组认为只要测得就能得到河宽，你认为第三小组的方案可行吗？如果可行，请给出证明；如果不可行，请说明理由．
【答案】（1）
（2）30
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
∴第三小组的方案可行．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的实际应用；方位角
【解析】【解答】解：（1）∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
【分析】（1）由题意得为等腰直角三角形，即可解答；
（2）由题意得为等腰三角形，即可解答；
（3）由题意得，即可解答．
（1）解：∵点C恰好在点A东南方向，
∴为等腰直角三角形，
∴要知道河宽，只需要知道线段的长度，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴ ，
∴，
∴米，
故答案为：30米；
（3）解：可行，理由如下：
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴只要测得就能得到河宽，
故第三小组的方案可行．
22．（2024九上·南明期中）综合与实践：某数学兴趣小组测量一座塔的高度，有以下两种方案：
方案一：如图1，在距离塔底B点远的D处竖立一根高的标杆，小明在F处蹲下，他的眼睛所在位置E、标杆的顶端C和塔顶点A三点在一条直线上．已知小明的眼睛到地面的距离，，，，，点B，D，F，M在同一直线上．
方案二：如图2，小华拿着一把长为的直尺站在离塔距离的地方（即点E到的距离为）．他把手臂向前伸，尺子竖直，，尺子两端恰好遮住塔（即A，C，E在一条直线上，B，D，E在一条直线上），已知点E到直尺的距离为．
请你结合上述两个方案，选择其中的一个方案求塔的高度．
【答案】解：选择方案一：
如图：过点E作，垂足为H，延长交于点G，
由题意得：，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴塔的高度为．
选择方案二：
如图：过点E作，垂足为M，延长交于点N，
∵，
∴，
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴塔的高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用
【解析】【分析】方案一：过点E作，垂足为H，延长交于点G，由题意得：，，根据边之间的关系可得CH，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得AG，再根据边之间的关系即可求出答案.
方案二：过点E作，垂足为M，延长交于点N，由题意得：，根据直线平行性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
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