4.7 相似三角形的性质-师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·贵港期末）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴这两个相似三角形的周长比是，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案.
2．（2025九上·顺德月考）如图，中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．9 D．8
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点
∴DE∥BC，，即
∴△ADE∽△ABC
∴，即
∴
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，，即，再根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△ABC，则，代值计算即可求出答案.
3．（2024九上·双流期中）已知两个相似三角形的相似比为，则它们的对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：因为两个相似三角形的相似比为，
所以这两个三角形的对应高的比为．
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，可得答案.
4．若两个相似三角形对应边上的中线长之比为3：1，则对应角的平分线长之比为( )
A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．：1
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高线长之比为3：1，
∴这两个相似三角形对应边的比为3：1
∴这两个相似三角形对应角的角平分线的比为3：1
故答案为：C .
【分析】先根据相似三角形对应高线之比确定相似比，再依据相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，得出对应角的平分线之比.
5．（2024九上·长沙月考）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵DE∥BC，
，
∴此选项不符合题意；
C、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；
B、根据比例的性质并结合已知条件可求解；
C、根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方并结合比例的性质可求解；
D、由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
6．（2025九上·义乌期中）如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，F为CD中点，则四边形OCFE的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，如下图，
矩形，，，对角线， 相交于点，
，对角线互相平分，
，.
是的中点，
.
，
，
，
.
和高相同，
，
.
，
，
.
是中点，
，
.
故答案为：C .
【分析】连接，过点作于点，利用相似三角形的性质得到，进而求出，再利用等底同高的性质求出面积即可求解.
7．（2025九上·湖州期末）如图，点在等腰直角的腰上运动，以为腰，点为直角顶点作等腰直角与交于点，连结，当与的面积比为时，的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=∠CAB=∠CED=45°，∠B=∠CDE=90°，，CB=AB，
∴∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△CBD∽△CAE，
∴∠CBD=∠CAE=90°，，
∴∠CDF=∠CAE =90°，
∵∠CFD=∠EFA，
∴△CFD∽△EFA，
∴
∵△CDF与△AEF的面积比为2：1，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD=2BD，
在Rt△CBD中，CB2+BD2=CD2，
∴CB2+ BD2=(2BD)2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形的性质可证得：∠BCD=∠ACE，，再利用相似三角形的判定证得△CBD∽△CAE，再证得△CFD∽△EFA，利用△CDF与△AEF的面积比为2：1，推出，进而得出CD=2BD，利用勾股定理可得，即可求得答案.
8．（2024九上·长春期中）如图， 在平行四边形中，点为上一点， 且 ，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设，
在平行四边形中，点为上一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】设，根据平行四边形的性质可得，再根据三角形面积可得，根据相似三角形判定定理可得，则，结合三角形面积即可求出答案.
二、填空题
9．（2025九上·新昌期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积之比为．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题．
10．（2024九上·东坡期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的，其最长边为12，则的周长是 ．
【答案】27
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为2、3、4，
∴△ABC的周长为2+3+4=9，
与相似，
，
，
故答案为：27．
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比，建立方程，求解即可.
11．（2025九上·义乌期中）点是△ABC的重心，若的面积等于6， .
【答案】12
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接DE，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴∠ABO=∠OED，∠BAO=∠ODE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴
∴，
又∵ED是△EBC的中线，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】连接DE，即可得到△OAB∽△ODE，然后根据对应边成比例得到，即可求出，，然后根据中线求出，然后计算四边形的面积即可.
12．（2025九上·福田开学考）如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
【答案】
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设AC交EF于点H
由平移性质可得，AH∥DF，AD=BE
∴△EAH∽△EDF
∴
∵它们重合部分的面积是△DEF面积的
∴
∴
设AE=3k，DE=4k
∵AB=DE=6
∴4k=6
解得：
∴
故答案为：
【分析】设AC交EF于点H，根据平移性质可得AH∥DF，AD=BE，再根据相似三角形判定定理可得△EAH∽△EDF，则，再根据三角形面积可得，则，设AE=3k，DE=4k，根据边之间的关系建立方程，解方程可得k值，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．（2024九上·金牛期中）如图，在中，D是边上一点
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M、N；
②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；
③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；
④过点作射线交于点E．
若与四边形的面积比为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由作图可知，，
，
，
，
与四边形的面积比为，
，
，
，
的值为．
故答案为：．
【分析】由作图可知，，根据相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，然后由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解．
三、解答题
14．（2023九上·鄞州月考）已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA．
（2）若△ABC的周长为11，请求出AD的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
且，
∴．
（2）解：∵△ABC的周长为11，，，∴AC=5，
∵，
∴
∴AD=2.5
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据数量关系得，结合得到；
(2)根据三角形周长公式先求出AC=5，再根据相似比求AD的长．
15．（2023九上·晋源月考）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
，，
，
解得或（不符题意，舍去），
则的长为9．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
16．（2024九上·南昌期末）如图，中，，D为上任意一点，，．
（1）求证：；
（2）若，，若四边形为菱形，求出此时菱形的边长；
（3）若，且的面积为4，则四边形的面积为______．
【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
又
∴；
（2）解：四边形为菱形，
∴
设菱形的边长为x，得
∵，
∴，
∴，
解得，，
即菱形的边长为；
（3）12
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴菱形的面积，
故答案为：12．
【分析】（1）根据直线平行性质可得，则再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得设菱形的边长为x，得再根据相似三角形性质建立等式，解方程即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得则，即，同理可得，即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
又
∴；
（2）解：四边形为菱形，
∴
设菱形的边长为x，得
∵，
∴，
∴，
解得，，
即菱形的边长为；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴菱形的面积，
故答案为：12．
17．（2025九上·新昌期末）如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18．
（1）求的值．
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到，然后解题即可；
（2）根据三角形中线分出的 两个三角形面积相等得到，再根据，即可得到．求出，然后推导，即可得到，求出四边形的面积解题．
（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
18．（2024九上·柯城期中）如图，在中，点在的延长线上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）解：，
∴设，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
，
∴相似比为，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质得得，，从而根据相似三角形的判定：“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证结论；
（2）由已知条件设，根据平行四边形的性质求出，，从而证出，进而可求出相似比，最后根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
19．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差 同步练习 ）如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．
求：
（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式．
（3）x为何值时，SEFGH达到最大值．
【答案】（1）解：设边长为xcm，∵矩形为正方形，∴EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ，
∵BE+AE=AB，
∴ + = + =1，解得x= ，∴AK= ，
∴当 时，矩形EFGH为正方形
（2）解：设AK=x，EH=24-x，
∵EHGF为矩形，
∴ = ，即EF= x，
∴SEFGH=y= x （24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）
（3）解：y=- x2+16x
配方得：y= （x-12）2+96，
∴当x=12时，SEFGH有最大值96
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。
（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。
（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。
20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设
①若BC=12，求线段BE的长．
②若△EFC的面积是20，则△ABC的面积为 ▲
【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠FCE．
∵EF∥AB，
∴∠DBE=∠FEC，
∴△BDE∽△EFC．
（2）解：①∵EF∥AB，
∴
∵EC=BC-BE=12-BE，
∴，
解得：BE=4．
②45.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（2）②∵，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴，
∴S△ABC=S△EFC=×20=45．
故答案为：45．
【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，再证出△BDE∽△EFC即可；
（2）①利用平行线分线段成比例的性质可得，再求出BE的长即可；
②先证出△EFC∽△BAC，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出S△ABC=S△EFC=×20=45即可．
1 / 14.7 相似三角形的性质-师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·贵港期末）若两个相似三角形的相似比是，则这两个相似三角形的周长比是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·顺德月考）如图，中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若，则的面积为（ ）
A．6 B．12 C．9 D．8
3．（2024九上·双流期中）已知两个相似三角形的相似比为，则它们的对应高的比为（ ）
A． B． C． D．
4．若两个相似三角形对应边上的中线长之比为3：1，则对应角的平分线长之比为( )
A．9：1 B．6：1 C．3：1 D．：1
5．（2024九上·长沙月考）如图，在中，，且分别交于点D，E，若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025九上·义乌期中）如图，已知矩形ABCD，AB=6，BC=8，对角线AC，BD相交于点O，F为CD中点，则四边形OCFE的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．
7．（2025九上·湖州期末）如图，点在等腰直角的腰上运动，以为腰，点为直角顶点作等腰直角与交于点，连结，当与的面积比为时，的值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·长春期中）如图， 在平行四边形中，点为上一点， 且 ，连接并延长，交的延长线于点，连接，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2025九上·新昌期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ．
10．（2024九上·东坡期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的，其最长边为12，则的周长是 ．
11．（2025九上·义乌期中）点是△ABC的重心，若的面积等于6， .
12．（2025九上·福田开学考）如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
13．（2024九上·金牛期中）如图，在中，D是边上一点
①以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点M、N；
②以点D为圆心，以长为半径作弧，交于点；
③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交前面的弧于点；
④过点作射线交于点E．
若与四边形的面积比为，则的值为 ．
三、解答题
14．（2023九上·鄞州月考）已知：如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．
（1）求证：△ABD∽△CBA．
（2）若△ABC的周长为11，请求出AD的长．
15．（2023九上·晋源月考）如图，在和中，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
16．（2024九上·南昌期末）如图，中，，D为上任意一点，，．
（1）求证：；
（2）若，，若四边形为菱形，求出此时菱形的边长；
（3）若，且的面积为4，则四边形的面积为______．
17．（2025九上·新昌期末）如图，是的中线，点G是上一点，且，过点G作交于点F，过点D作交的延长线于点E，已知的面积为18．
（1）求的值．
（2）求四边形的面积．
18．（2024九上·柯城期中）如图，在中，点在的延长线上，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，，求的面积．
19．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册22.5 综合与实践 测量与误差 同步练习 ）如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．
求：
（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式．
（3）x为何值时，SEFGH达到最大值．
20．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB．
（1）求证：△BDE∽△EFC．
（2）设
①若BC=12，求线段BE的长．
②若△EFC的面积是20，则△ABC的面积为 ▲
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴这两个相似三角形的周长比是，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形的性质即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；三角形的中位线定理；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点
∴DE∥BC，，即
∴△ADE∽△ABC
∴，即
∴
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，，即，再根据相似三角形判定定理可得△ADE∽△ABC，则，代值计算即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：因为两个相似三角形的相似比为，
所以这两个三角形的对应高的比为．
故答案为：B．
【分析】利用相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比，可得答案.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应三线
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边上的高线长之比为3：1，
∴这两个相似三角形对应边的比为3：1
∴这两个相似三角形对应角的角平分线的比为3：1
故答案为：C .
【分析】先根据相似三角形对应高线之比确定相似比，再依据相似三角形对应线段的比等于相似比的性质，得出对应角的平分线之比.
5．【答案】D
【知识点】比例的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：A、，
，
，
，
∴此选项不符合题意；
B、∵，
∴，
∵DE∥BC，
，
∴此选项不符合题意；
C、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴此选项不符合题意；
D、由A可得：△ADE∽△ABC，
∴，
∴此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】A、由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得∠ADE=∠B，∠AED=∠C，根据“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得△ADE∽△ABC，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式；
B、根据比例的性质并结合已知条件可求解；
C、根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方并结合比例的性质可求解；
D、由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求解.
6．【答案】C
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接，过点作于点，如下图，
矩形，，，对角线， 相交于点，
，对角线互相平分，
，.
是的中点，
.
，
，
，
.
和高相同，
，
.
，
，
.
是中点，
，
.
故答案为：C .
【分析】连接，过点作于点，利用相似三角形的性质得到，进而求出，再利用等底同高的性质求出面积即可求解.
7．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴∠ACB=∠ECD=∠CAB=∠CED=45°，∠B=∠CDE=90°，，CB=AB，
∴∠BCD+∠ACD=∠ACD+∠ACE，
∴∠BCD=∠ACE，
∴△CBD∽△CAE，
∴∠CBD=∠CAE=90°，，
∴∠CDF=∠CAE =90°，
∵∠CFD=∠EFA，
∴△CFD∽△EFA，
∴
∵△CDF与△AEF的面积比为2：1，即，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴CD=2BD，
在Rt△CBD中，CB2+BD2=CD2，
∴CB2+ BD2=(2BD)2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D.
【分析】利用等腰三角形的性质可证得：∠BCD=∠ACE，，再利用相似三角形的判定证得△CBD∽△CAE，再证得△CFD∽△EFA，利用△CDF与△AEF的面积比为2：1，推出，进而得出CD=2BD，利用勾股定理可得，即可求得答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设，
在平行四边形中，点为上一点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】设，根据平行四边形的性质可得，再根据三角形面积可得，根据相似三角形判定定理可得，则，结合三角形面积即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是，
∴它们的面积之比为．
故答案为：．
【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方即可解题．
10．【答案】27
【知识点】相似三角形的性质-对应周长
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长分别为2、3、4，
∴△ABC的周长为2+3+4=9，
与相似，
，
，
故答案为：27．
【分析】由相似三角形周长的比等于相似比，建立方程，求解即可.
11．【答案】12
【知识点】三角形的重心及应用；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：连接DE，
∵点O是△ABC的重心，
∴AD，BE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线，
∴，DE∥AB，
∴∠ABO=∠OED，∠BAO=∠ODE，
∴△OAB∽△ODE，
∴，
∴
∴，
又∵ED是△EBC的中线，
∴，
∴，
故答案为：12.
【分析】连接DE，即可得到△OAB∽△ODE，然后根据对应边成比例得到，即可求出，，然后根据中线求出，然后计算四边形的面积即可.
12．【答案】
【知识点】平移的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：设AC交EF于点H
由平移性质可得，AH∥DF，AD=BE
∴△EAH∽△EDF
∴
∵它们重合部分的面积是△DEF面积的
∴
∴
设AE=3k，DE=4k
∵AB=DE=6
∴4k=6
解得：
∴
故答案为：
【分析】设AC交EF于点H，根据平移性质可得AH∥DF，AD=BE，再根据相似三角形判定定理可得△EAH∽△EDF，则，再根据三角形面积可得，则，设AE=3k，DE=4k，根据边之间的关系建立方程，解方程可得k值，再根据边之间的关系即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：由作图可知，，
，
，
，
与四边形的面积比为，
，
，
，
的值为．
故答案为：．
【分析】由作图可知，，根据相似三角形的判定“有两个角对应相等的两个三角形相似”可得，然后由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可求解．
14．【答案】（1）证明：∵，
∴，
且，
∴．
（2）解：∵△ABC的周长为11，，，∴AC=5，
∵，
∴
∴AD=2.5
【知识点】比例的性质；相似三角形的性质；相似三角形的判定
【解析】【分析】(1)根据数量关系得，结合得到；
(2)根据三角形周长公式先求出AC=5，再根据相似比求AD的长．
15．【答案】证明：（1），
，即，
在和中，，
；
（2）由（1）已证：，
，
，，
，
解得或（不符题意，舍去），
则的长为9．
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质可得，代值计算即可求出答案.
16．【答案】（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
又
∴；
（2）解：四边形为菱形，
∴
设菱形的边长为x，得
∵，
∴，
∴，
解得，，
即菱形的边长为；
（3）12
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴菱形的面积，
故答案为：12．
【分析】（1）根据直线平行性质可得，则再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得设菱形的边长为x，得再根据相似三角形性质建立等式，解方程即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得，，再根据相似三角形判定定理可得则，即，同理可得，即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴
∵，
∴，
∴
又
∴；
（2）解：四边形为菱形，
∴
设菱形的边长为x，得
∵，
∴，
∴，
解得，，
即菱形的边长为；
（3）解：∵，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
同理可得，
∴菱形的面积，
故答案为：12．
17．【答案】（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）先得到，即可得到，然后解题即可；
（2）根据三角形中线分出的 两个三角形面积相等得到，再根据，即可得到．求出，然后推导，即可得到，求出四边形的面积解题．
（1）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）∵是的中线，的面积为18，
∴，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴，．
∴．
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
；
（2）解：，
∴设，
∴，
四边形是平行四边形，
，，
，
∴相似比为，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质、平行线的性质得得，，从而根据相似三角形的判定：“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证结论；
（2）由已知条件设，根据平行四边形的性质求出，，从而证出，进而可求出相似比，最后根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
，，
，
．
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
，
．
19．【答案】（1）解：设边长为xcm，∵矩形为正方形，∴EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ，
∵BE+AE=AB，
∴ + = + =1，解得x= ，∴AK= ，
∴当 时，矩形EFGH为正方形
（2）解：设AK=x，EH=24-x，
∵EHGF为矩形，
∴ = ，即EF= x，
∴SEFGH=y= x （24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）
（3）解：y=- x2+16x
配方得：y= （x-12）2+96，
∴当x=12时，SEFGH有最大值96
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。
（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。
（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。
20．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB=∠FCE．
∵EF∥AB，
∴∠DBE=∠FEC，
∴△BDE∽△EFC．
（2）解：①∵EF∥AB，
∴
∵EC=BC-BE=12-BE，
∴，
解得：BE=4．
②45.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：（2）②∵，
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△BAC，
∴，
∴S△ABC=S△EFC=×20=45．
故答案为：45．
【分析】（1）先利用平行线的性质可得∠DEB=∠FCE，∠DBE=∠FEC，再证出△BDE∽△EFC即可；
（2）①利用平行线分线段成比例的性质可得，再求出BE的长即可；
②先证出△EFC∽△BAC，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出S△ABC=S△EFC=×20=45即可．
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