4.8 图形的位似-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A'B'C'是位似图形，则位似中心为( )
A．点 M B．点 N C．点O D．点 P
2．（2024九上·无锡月考）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024九上·固安期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（ ）
A．只有珍珍正确 B．只有明明正确
C．两个人都正确 D．两个人都不正确
4．（2025九上·江北期末）如图， 与 是位似图形，点 是位似中心，若 的面积为 4，且 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
5．（2024九上·祁东期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
6．（2024九上·宁波期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （ ）
A．点 的坐标为
B．
C． 与 的周长之比为
D． 与 的面积之比为
7．（2023九上·青岛月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)
8．（2022九上·瑞安月考）如图1，正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2024九上·衡阳期中）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为 ．
10．（2024九上·北京市期中）平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(2，4)，B(3，0)，在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A' 的坐标为 ．
11．（2025九上·海曙期末）如图，四边形 AEFH与四边形 ABCD 是位似图形，位似比为且四边形 AEFH的周长为 30cm.则四边形 ABCD的周长为 cm.
12．（2024九上·兰州期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则 ，＝ ．
13．（2024九上·越秀期末）如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ．
三、解答题
14．（2025九上·江北期末）图 1，图 2 均为由边长为 1 的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形．
（1）在图 1 中画出将 绕点 逆时针旋转 后的 （保留作图痕迹并请标注字母）．
（2）在图 2 中画出两个大小不一的格点三角形，要求与 相似但不全等（请涂填阴影）．
15．（2023九上·西安期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．
（1）以原点为位似中心，在轴的左侧，画一个，使它与位似，相似比是2；
（2）请直接写出点的坐标：（ ）（ ）．
16．（2024九上·深圳期中）如图，在正方形格纸中.
（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使， ，并写出点坐标 ；
（2）以坐标原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形，并写出点的对应点的坐标 ；
（3）若线段绕原点旋转后点的对应点为，写出点的坐标 .
17．（2023九上·贵阳期中）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究图中与之间的关系，请说明理由；
（2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
18．（2023九上·平昌期末）如图，的三个顶点坐标分别为.
（1）直接写出关于轴对称的三个顶点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为.
19．（2022九上·长清期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度的，并写出点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在所给的方格纸纸中（不能超出方格纸）画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标；
（3）在内有一点，按（1）与（2）的方式得到的对应点的坐标是 ．
20．（2021九上·灵石期中）阅读与思考
探索位似的性质
利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．
小明利用几何画板软件，尝试用“观察—猜想-验证—应用”的方法进行探究，步骤如下∶如图（1），任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选新旧图形的相似比为k，得到△A B C ．
图（1）
第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与k的值相等．
第二步，以0为原点建立平面直角坐标系，分别度量点A，A 的横坐标，并计算比值；分别度量点A，A 的纵坐标，并计算比值，观察比值与k的关系，发现它们相等．接下来对其他顶点进行相同的操作，得出相同的结论．
第三步，作线段 OA，OA ，OB，OB ，OC，OC ，度量它们，发现的结论是：_________．
第四步，任意改变△ABC的位置成形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．
于是，小明总结并得出了位似的性质．
任务∶
（1）第三步发现的结论是： ．．
（2）已知图（1）中A（6，2），A （9，3），B（3，3），S△ABC=2，则点B 的坐标是 ，S△A B C = ．
（3）如图（2），以点A为位似中心，画出与矩形 ABCD的相似比为0.75的一个图形．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：如图，连接对应点CC'，交y轴于点P，
∴位似中心为点P，
故答案为：D .
【分析】根据位似的两个图形的对应点的连线必过位似中心解答即可.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【分析】根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比求出点的坐标．
3．【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确．
故选：C．
【分析】根据位似图形的性质作图即可．
4．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：
与 是位似图形，
的面积为4，
的面积为9，
故答案为： C.
【分析】根据位似图形的概念得到 证明 ，根据相似三角形的性质得到 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
5．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵点A的坐标为（-4，2），以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点A'的坐标为（-2，1）或（2，-1），
故答案为：C.
【分析】分类讨论，再利用位似图形的性质及相似比求出点A'的坐标即可.
6．【答案】D
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：如图，
、点的坐标为，原选项正确，不符合题意；
、根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意；
、∵与的位似比为，
∴与 的周长之比为，原选项正确，不符合题意；
、∵与的位似比为，
∴与的面积之比为，原选项不正确，符合题意；
故答案为：．
【分析】利用位似图形的性质：位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，再对各选项逐一判断.
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）
∴
∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为
∵A（1，2）
∴点C的横坐标为，纵坐标为
∴C
故答案为：B.
【分析】先利用点坐标和位似图形的性质可得，再结合点A的坐标求出点C的坐标即可.
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】如图，
∵正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，整个图形的外围周长为16，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，
∴图2中整个图形面积：
∵将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，
∴图2中间空白部分面积为：
图2中阴影部分面积为：
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质可得，为等腰直角三角形，即可得到，然后计算图2中整个图形面积为，再通过位似图形的性质可得图2中间空白部分面积，然后求出阴影部分的面积解题．
9．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵线段两个端点的坐标分别为，，原点为位似中心，
∴点的坐标为，即．
故答案为：．
【分析】利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系，并列式计算即可．
10．【答案】(1，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】由题意得：在第一象限内，以原点为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A' 的坐标为A(2×，4×)，即(1，2).
故答案为：(1，2).
【分析】根据位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，结合题中是在第一象限内进行变换，即可得出答案。
11．【答案】50
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为
∴四边形AEFH与四边形ABCD相似，相似比为 ，
∴四边形AEFH的周长：四边形ABCD的周长
∴四边形ABCD的周长 四边形AEFH的周长
故答案为： 50.
【分析】根据位似变换的性质得到四边形AEFH与四边形ABCD相似，相似比为 则根据相似图形的性质得到边形AEFH的周长：四边形ABCD的周长 然后根据比例的性质求解.
12．【答案】；
【知识点】比例的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：四边形与四边形位似，
三点在同一直线上，
位似比，
故答案为：.
【分析】首先根据比例性质求得位似比，进而根据，即可得出答案。
13．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：如图，
将放大倍，点，
点的坐标是或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可．
14．【答案】（1）如图所示．（作图痕迹不唯一，合理即可）
（2）如图所示．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点. 即可；
(2)根据相似三角形的判定画出三角形即可.
15．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）；
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：（2）根据图得，．
【分析】（1）根据位似图形的画法，即可得出；（2）根据平面直角坐标系，即可得出．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：根据图得，．
16．【答案】（1）；（2，1）
（2） （4，6）
（3） （1，-2）或（-1，2）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；作图﹣旋转；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示，
∴，
故答案为：
（2）如图所示：即为所求，由题意得；
故答案为：
（3）若线段绕原点O顺时针（或逆时针）旋转后点B的对应点为（或），则点的坐标为或．
故答案为：（1，-2）或（-1，2）
【分析】（1）根据点A和点C的坐标建立坐标系，进而即可读出点B的坐标；
（2）根据作图-位似，进而即可画出，再读坐标即可求解；
（3）根据作图-旋转画图，进而即可读出点的坐标。
17．【答案】（1）解：．
①号“E”与②号“E”相似，且点在一条直线上，
①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点，
是相似比，
．
（2）解：，
．
．
答：②号“E”的测量距离是．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意，可得①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 利用位似的性质列出比例式，即可求解；
（2）将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
18．【答案】（1）解：
（2）解：绕点逆时针旋转，如图所示，
即为所求图形的位置.
（3）解：∵，，，点为位似中心，相似比为，即位似比为，
∴，，，
∴延长到，使得，即，延长到，使得，即，连接，，得；
反向延长到，使得，即，反向延长到，使得，即，连接，，得，如图所示，
∴点为位似中心，相似比为，，都是所求图形.
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）关于轴对称的三个顶点的坐标，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，，
∴.
【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此不难得到点A1、B1、C1的坐标；
（2）根据旋转的性质，分别将点A、B、C绕点O逆时针旋转90°得到点A2、B2、C2，然后顺次连接即可；
（3）分别延长AB、CB，或反向延长BA、BC，使A3B=2AB，C3B=2CB，然后顺次连接即可.
19．【答案】（1）解：如图，将，，分别先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到，，，顺次连接，即为所求图形．由图可知，点的坐标为．
（2）解：如图，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，顺次连接，，，即为所求图形．由图可知，点的坐标为．
（3）（6-3x，3-3y）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（3）解：由作图方法可知：
按（1）的方式得到的对应点的坐标为：，
再按（2）的方式得到的对应点的横坐标为：，纵坐标为：，
故的坐标为．
【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（2）根据位似图形的性质及位似比找出点A1、B1、C1的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（3）根据点坐标变化的特征求解即可。
20．【答案】（1）位似中心与对应点连线长度之比等于相似比（答案不唯一，结论正确即可）
（2）（4.5，4.5）；4.5
（3）解：如图，矩形AEFG即为所求．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论符合题意即可．
（2）∵ ，且点 ，
∴点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，所以 ，
又∵ ，
∴ ；
【分析】
(1)观察图，结合位似图形的性质即可求解；
(2)根据位似比可得点的坐标，再由面积比等于相似比的平方，即可得到S△A B C ；
(3)分别求出所给矩形的长和宽，然后根据相似比计算位似图形的长和宽，在网格中画出图形即可。
1 / 14.8 图形的位似-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1． 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 与△A'B'C'是位似图形，则位似中心为( )
A．点 M B．点 N C．点O D．点 P
【答案】D
【知识点】位似中心的判断
【解析】【解答】解：如图，连接对应点CC'，交y轴于点P，
∴位似中心为点P，
故答案为：D .
【分析】根据位似的两个图形的对应点的连线必过位似中心解答即可.
2．（2024九上·无锡月考）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵与是位似图形，点的对应点为，
∴与的位似比为，
∴点的对应点的坐标为，即，
故选：．
【分析】根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比求出点的坐标．
3．（2024九上·固安期末）如图1，以O为位似中心，作出的位似，使与的位似比为2：1．图2和图3分别为珍珍和明明的作法，两人的作法均保证，则下列说法正确的是（ ）
A．只有珍珍正确 B．只有明明正确
C．两个人都正确 D．两个人都不正确
【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换；位似图形的性质
【解析】【解答】解：确定位似中心；分别连接并延长位似中心和顶点；根据相似比，确定对应点的位似图形的点；顺次连接各点，得到位视图形；而珍珍和明明画的位似图形，对应边满足比值等于位似比，则珍珍和明明都正确．
故选：C．
【分析】根据位似图形的性质作图即可．
4．（2025九上·江北期末）如图， 与 是位似图形，点 是位似中心，若 的面积为 4，且 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．8 C．9 D．12
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：
与 是位似图形，
的面积为4，
的面积为9，
故答案为： C.
【分析】根据位似图形的概念得到 证明 ，根据相似三角形的性质得到 再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可.
5．（2024九上·祁东期末）在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】∵点A的坐标为（-4，2），以原点为位似中心，相似比为，把缩小，
∴点A'的坐标为（-2，1）或（2，-1），
故答案为：C.
【分析】分类讨论，再利用位似图形的性质及相似比求出点A'的坐标即可.
6．（2024九上·宁波期末）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长是 个单位长度，以点 为位似中心，在网格中画 ，使 与 位似， 的对应点分别为 ，且 与 的位似比为 ，则下列说法不正确的是 （ ）
A．点 的坐标为
B．
C． 与 的周长之比为
D． 与 的面积之比为
【答案】D
【知识点】作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：如图，
、点的坐标为，原选项正确，不符合题意；
、根据位似性质可知：，原选项正确，不符合题意；
、∵与的位似比为，
∴与 的周长之比为，原选项正确，不符合题意；
、∵与的位似比为，
∴与的面积之比为，原选项不正确，符合题意；
故答案为：．
【分析】利用位似图形的性质：位似比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应边互相平行或在同一直线上，再对各选项逐一判断.
7．（2023九上·青岛月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．(2，5) B．(，5) C．(3，5) D．(3，6)
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0）
∴
∴点A的横纵坐标与点C的横纵坐标的比值也为
∵A（1，2）
∴点C的横坐标为，纵坐标为
∴C
故答案为：B.
【分析】先利用点坐标和位似图形的性质可得，再结合点A的坐标求出点C的坐标即可.
8．（2022九上·瑞安月考）如图1，正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，现将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，若整个图形的外围周长为16，则图中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】如图，
∵正方形绕中心O逆时针旋转45°得到正方形，整个图形的外围周长为16，
∴，且为等腰直角三角形，
∴，
∴图2中整个图形面积：
∵将整个图形的外围以O为位似中心得到位似图形如图2所示，位似比为，
∴图2中间空白部分面积为：
图2中阴影部分面积为：
故答案为：C.
【分析】由正方形的性质可得，为等腰直角三角形，即可得到，然后计算图2中整个图形面积为，再通过位似图形的性质可得图2中间空白部分面积，然后求出阴影部分的面积解题．
二、填空题
9．（2024九上·衡阳期中）如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵线段两个端点的坐标分别为，，原点为位似中心，
∴点的坐标为，即．
故答案为：．
【分析】利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系，并列式计算即可．
10．（2024九上·北京市期中）平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A(2，4)，B(3，0)，在第一象限内以原点O为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A' 的坐标为 ．
【答案】(1，2)
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】由题意得：在第一象限内，以原点为位似中心，把△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A' 的坐标为A(2×，4×)，即(1，2).
故答案为：(1，2).
【分析】根据位似图形对应点的坐标的比等于k或-k，结合题中是在第一象限内进行变换，即可得出答案。
11．（2025九上·海曙期末）如图，四边形 AEFH与四边形 ABCD 是位似图形，位似比为且四边形 AEFH的周长为 30cm.则四边形 ABCD的周长为 cm.
【答案】50
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形AEFH与四边形ABCD是位似图形，位似比为
∴四边形AEFH与四边形ABCD相似，相似比为 ，
∴四边形AEFH的周长：四边形ABCD的周长
∴四边形ABCD的周长 四边形AEFH的周长
故答案为： 50.
【分析】根据位似变换的性质得到四边形AEFH与四边形ABCD相似，相似比为 则根据相似图形的性质得到边形AEFH的周长：四边形ABCD的周长 然后根据比例的性质求解.
12．（2024九上·兰州期末）如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点O，且，则 ，＝ ．
【答案】；
【知识点】比例的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：四边形与四边形位似，
三点在同一直线上，
位似比，
故答案为：.
【分析】首先根据比例性质求得位似比，进而根据，即可得出答案。
13．（2024九上·越秀期末）如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是 ．
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：如图，
将放大倍，点，
点的坐标是或，
∴或，
故答案为：或．
【分析】若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可．
三、解答题
14．（2025九上·江北期末）图 1，图 2 均为由边长为 1 的正六边形构成的网格，每个正六边形的顶点称为格点， 的顶点均在格点上，称为格点三角形．请用无刻度直尺按要求画出图形．
（1）在图 1 中画出将 绕点 逆时针旋转 后的 （保留作图痕迹并请标注字母）．
（2）在图 2 中画出两个大小不一的格点三角形，要求与 相似但不全等（请涂填阴影）．
【答案】（1）如图所示．（作图痕迹不唯一，合理即可）
（2）如图所示．（答案不唯一，合理即可）
【知识点】作图﹣相似变换；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)利用旋转变换的性质分别作出A，B的对应点. 即可；
(2)根据相似三角形的判定画出三角形即可.
15．（2023九上·西安期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是．
（1）以原点为位似中心，在轴的左侧，画一个，使它与位似，相似比是2；
（2）请直接写出点的坐标：（ ）（ ）．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）；
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：（2）根据图得，．
【分析】（1）根据位似图形的画法，即可得出；（2）根据平面直角坐标系，即可得出．
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：根据图得，．
16．（2024九上·深圳期中）如图，在正方形格纸中.
（1）请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使， ，并写出点坐标 ；
（2）以坐标原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形，并写出点的对应点的坐标 ；
（3）若线段绕原点旋转后点的对应点为，写出点的坐标 .
【答案】（1）；（2，1）
（2） （4，6）
（3） （1，-2）或（-1，2）
【知识点】点的坐标；作图﹣位似变换；作图﹣旋转；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：（1）建立平面直角坐标系，如图所示，
∴，
故答案为：
（2）如图所示：即为所求，由题意得；
故答案为：
（3）若线段绕原点O顺时针（或逆时针）旋转后点B的对应点为（或），则点的坐标为或．
故答案为：（1，-2）或（-1，2）
【分析】（1）根据点A和点C的坐标建立坐标系，进而即可读出点B的坐标；
（2）根据作图-位似，进而即可画出，再读坐标即可求解；
（3）根据作图-旋转画图，进而即可读出点的坐标。
17．（2023九上·贵阳期中）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点，，O在一条直线上为止．这时我们说，在处用①号“E”测得的视力与在处用②号“E”测得的视力相同．
（1）探究图中与之间的关系，请说明理由；
（2）若，①号“E”的测量距离，要使测得的视力相同，求②号“E”的测量距离．
【答案】（1）解：．
①号“E”与②号“E”相似，且点在一条直线上，
①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点，
是相似比，
．
（2）解：，
．
．
答：②号“E”的测量距离是．
【知识点】位似变换
【解析】【分析】（1）根据题意，可得①号“E”与②号“E”是位似图形，位似中心是点， 利用位似的性质列出比例式，即可求解；
（2）将已知数据代入比例式进行计算即可求解.
18．（2023九上·平昌期末）如图，的三个顶点坐标分别为.
（1）直接写出关于轴对称的三个顶点的坐标；
（2）画出绕点逆时针旋转后的；
（3）以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为.
【答案】（1）解：
（2）解：绕点逆时针旋转，如图所示，
即为所求图形的位置.
（3）解：∵，，，点为位似中心，相似比为，即位似比为，
∴，，，
∴延长到，使得，即，延长到，使得，即，连接，，得；
反向延长到，使得，即，反向延长到，使得，即，连接，，得，如图所示，
∴点为位似中心，相似比为，，都是所求图形.
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征；作图﹣位似变换；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（1）关于轴对称的三个顶点的坐标，横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变，，
∴.
【分析】（1）关于y轴对称的点：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此不难得到点A1、B1、C1的坐标；
（2）根据旋转的性质，分别将点A、B、C绕点O逆时针旋转90°得到点A2、B2、C2，然后顺次连接即可；
（3）分别延长AB、CB，或反向延长BA、BC，使A3B=2AB，C3B=2CB，然后顺次连接即可.
19．（2022九上·长清期中）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．
（1）画出先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度的，并写出点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，在所给的方格纸纸中（不能超出方格纸）画一个，使它与的相似比为，并写出点的坐标；
（3）在内有一点，按（1）与（2）的方式得到的对应点的坐标是 ．
【答案】（1）解：如图，将，，分别先向下平移1个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到，，，顺次连接，即为所求图形．由图可知，点的坐标为．
（2）解：如图，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，连接并延长到点，使，顺次连接，，，即为所求图形．由图可知，点的坐标为．
（3）（6-3x，3-3y）
【知识点】作图﹣平移；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（3）解：由作图方法可知：
按（1）的方式得到的对应点的坐标为：，
再按（2）的方式得到的对应点的横坐标为：，纵坐标为：，
故的坐标为．
【分析】（1）利用平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（2）根据位似图形的性质及位似比找出点A1、B1、C1的对应点，再连接并直接写出点的坐标即可；
（3）根据点坐标变化的特征求解即可。
20．（2021九上·灵石期中）阅读与思考
探索位似的性质
利用图形计算器或计算机等信息技术工具，可以很方便地将图形放大或缩小，还可以探索位似的性质．
小明利用几何画板软件，尝试用“观察—猜想-验证—应用”的方法进行探究，步骤如下∶如图（1），任意画一个△ABC，以点O为位似中心，自选新旧图形的相似比为k，得到△A B C ．
图（1）
第一步，度量对应边的长度，并计算它们的比值，发现结果与k的值相等．
第二步，以0为原点建立平面直角坐标系，分别度量点A，A 的横坐标，并计算比值；分别度量点A，A 的纵坐标，并计算比值，观察比值与k的关系，发现它们相等．接下来对其他顶点进行相同的操作，得出相同的结论．
第三步，作线段 OA，OA ，OB，OB ，OC，OC ，度量它们，发现的结论是：_________．
第四步，任意改变△ABC的位置成形状，发现上面探究得出的结论仍然成立．
于是，小明总结并得出了位似的性质．
任务∶
（1）第三步发现的结论是： ．．
（2）已知图（1）中A（6，2），A （9，3），B（3，3），S△ABC=2，则点B 的坐标是 ，S△A B C = ．
（3）如图（2），以点A为位似中心，画出与矩形 ABCD的相似比为0.75的一个图形．
【答案】（1）位似中心与对应点连线长度之比等于相似比（答案不唯一，结论正确即可）
（2）（4.5，4.5）；4.5
（3）解：如图，矩形AEFG即为所求．
【知识点】位似变换；作图﹣位似变换
【解析】【解答】（1）位似中心与对应点连线之比等于相似比，结论符合题意即可．
（2）∵ ，且点 ，
∴点 的横坐标为： ，纵坐标为： ，所以 ，
又∵ ，
∴ ；
【分析】
(1)观察图，结合位似图形的性质即可求解；
(2)根据位似比可得点的坐标，再由面积比等于相似比的平方，即可得到S△A B C ；
(3)分别求出所给矩形的长和宽，然后根据相似比计算位似图形的长和宽，在网格中画出图形即可。
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