5.1 投影-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2024九上·龙华期中）下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子
2．（2024九上·清远期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器， 它由"晷面"和"晷针"组成. 当太阳光 照在日晷上时， 晷针的影子就会投向晷面. 随着时间的推移， 晷针的影子在原面上慢慢地移动，以此来显示时刻。则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
3．（2025九上·兰州期中）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·甘州月考）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·定州期末）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是( )
A．24 m B．25 m C．28 m D．30 m
6．（2021九上·织金期末）如图，小明居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上 两点的正中间，晚上，小明由点 处径直走到点 处，他在灯光照射下的影长 与行走路程 之间的变化关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024九上·白银期末）一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023九上·光明月考）下列说法正确的是（ ）
A．任意两个位似三角形一定相似
B．物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
C．如果2a＝3b，则
D．点P是长为2的线段AB的黄金分割点，则AP＝－1
二、填空题
9．（2023九上·胶州月考）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于 米．
10．（2024九上·都江堰期末）早在多年前的宋朝，手影就已经作为民间一种有趣的游戏而存在．诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指送诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来”．手影戏全凭手影艺人的十指借光弄影，表演各色人物、花草虫鱼、飞禽走兽甚至是寓言故事．如图，手影戏中的手影属于 （填“平行投影”或“中心投影”）．
11．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上.已知铁塔底宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m，那么塔高 AB 为 m.
12．（2024九上·福田期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB=40cm，BD=30cm，BN=22m，则信号塔MN的高度为 m.
13．（2023九上·晋州期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶A的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长2米．它的影长是3米，同一时刻测得是201米，则金字塔的高度是 米．
三、解答题
14．（2024九上·成都期中）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
15．（2023九上·商河期中） 为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米．
（1）该小组同学是利用 投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）
（2）求这棵树的高度．
16．（2024九上·雅安期末）如图，在路灯下，表示小明的身高的线段如AB所示，他在地面上的影子如图中线AC所示，表示小亮的身高的线段如FG所示，路灯灯泡O在线段DE上．
（1）请你确定灯泡O所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高．
17．（2024九上·南山月考）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
18．（2025九上·兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
（1）如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________；
A． B． C． D．
（2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度．
19．（初中数学北师大版九年级上册练习题3 (2) ）
（1）从A，B两题中任选一题解答，我选择 ．
A．如图（1）是两棵树在同一盏路灯下的影子．①确定该路灯泡所在的位置；②如果此时小颖所在位置恰好与这两棵树所在的位置共线（三点在一条直线上），请画出图中表示小颖影子的线段AB
B．如图（2），小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他在某一灯光下的影子为DA，继续按此速度行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段DF上，测得此时影长MF为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H．他在同一灯光下的影子恰好是HB．图中线段CD，EF，GH表示小明的身高．
（2）请在图中画出小明的影子MF；
（3）若A、B两地相距12米，则小明原来的速度为 ．
20．（2024九上·宝安期中）如图
（1）【基础解答】如图1，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m，DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息，求立柱DE的长.
（2）【拓展拔高】如图2，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高CD为1m，同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m，求这棵古树A8的高.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影，
月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．
故答案为：A．
【分析】
根据中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，逐一判断即可解答．
2．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得：
晷针在晷面上形成的投影是平行投影
故答案为：B
【分析】根据太阳光是平行投影即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是．
故答案为：B．
【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
4．【答案】D
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：设投影的面积为cm，
根据位似可得，
解得，
故选：D．
【分析】利用位似图形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可.
5．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】由题意可得：EP∥BD，
所以△AEP∽△ADB，
所以，
因为EP=1.5，BD=9，
所以，
解得：AP=5，
因为AP=BQ，PQ=20，
所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30，
故选：D．
【分析】本题考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用.根据EP∥BD，利用相似三角形的判定定理可得：△AEP∽△ADB，再利用相似三角形的性质可得：，代入数据可得：，解方程可求出AP的长度，利用线段的运算可求出AB的长度，进而可求出 两路灯之间的距离 ，求出答案.
6．【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：小明从M点走到灯下方时影长由长变短，
从灯下方走到N点时影长由短变长，
C选项满足题意，
故答案为：C.
【分析】观察图形，根据已知条件可知小明从M点走到灯下方时影长由长变短，从灯下方走到N点时影长由短变长，由此可得到符合题意的选项.
7．【答案】C
【知识点】中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】由投影得，由相似性质得，求得．
8．【答案】A
【知识点】比例的性质；黄金分割；位似变换；平行投影
【解析】【解答】解：A、任意两个位似三角形一定相似，正确，则本项符合题意；
B、物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下的影子方向与物体位置有关，则本项不符合题意；
C、如果，则则本项不符合题意；
D、∵点P是长为2的线段AB的黄金分割点，
∴则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据位似图形，平行投影，比例的性质和黄金分割点，逐项分析即可.
9．【答案】10
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，作DH⊥AB与H，
易得四边形BCDH是矩形，
∴DH=BC=8m，CD=BH=2m，
根据题意得∠ ADH = 45°，
所以△ADH为等腰直角三角形，
所以AH=DH=8m，
所以AB=AH+BH=8+2=10m．
故答案为：10．
【分析】作DH⊥AB与H，易得四边形BCDH是矩形，由矩形对边相等得DH=BC=8m，CD=BH=2m，然后由等腰直角三角形性质得AH=DH=8m，最后根据AB=AH+BH算出答案.
10．【答案】中心投影
【知识点】中心投影
【解析】【解答】根据题意可得：手影戏中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影，
故答案为：中心投影.
【分析】利用中心投影和平行投影的定义分析判断即可.
11．【答案】24
【知识点】比例的性质；平行投影；线段的中点；线段的比
【解析】【解答】解：如图，过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G，
由题意得：
∴
∵B是CD 的中点，CD=12，
∴GF=BD==6，
∵，
∴AG=1.6X 6=9.6m，
∴AB=14.4+9.6=24m，即塔AB的高度为24m.
故答案为：24
【分析】过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G，利用得到比例关系，，计算即可解答.
12．【答案】16.8
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵AB＝40cm＝0.4m，BN＝22m，
∴AN＝AB＋BN＝22.4m，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴BC∥MN，
∴△ABD∽△ANM，
∴，
∴，
∴MN＝16.8m，
故答案为：16.8．
【分析】先证出△ABD∽△ANM，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，最后求出MN的长即可.
13．【答案】134
【知识点】中心投影
【解析】【解答】设金字塔的高度AO为m米，
根据可得：，
解得：m=134，
经检验，m=134时原方程的解，
∴AO=134，
故答案为：134.
【分析】设金字塔的高度AO为m米，根据相同时刻的物高与影长成比例可得，再求出m的值即可.
14．【答案】解：（1）设敏敏的影长为公分．
由题意：，
解得（公分），
经检验：是分式方程的解．
∴敏敏的影长为公分．
（2）如图，连接，作．
，
∴四边形是平行四边形，
公分，
设公分，由题意落在地面上的影长为公分．
，
（公分），
（公分），
答：高圆柱的高度为公分．
【知识点】平行四边形的判定与性质；比例线段；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，同一地点，物长与影长成正比，构建方程，求解即可；
（2）连接，作，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABFE是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AB=EF=150公分，根据同一时刻，同一地点，物长与影长成正比，构建方程，求解得出BC的长，进而根据AB+BC=AC可求解.
15．【答案】（1）平行
（2）解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则
解得：x=3.75．
∴树高是3.75+1.5=5.25（米），
答：树高为5.25米．
【知识点】相似三角形的性质；平行投影
【解析】【分析】（1）太阳光线是平行投影，因此可得答案。
（2）根据相似对应线段成比例解题即可。
16．【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，∴．∴灯泡的高为4m．
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【分析】（1）连接CB并延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求；
（2）影长与高度成正比，据此求解。
17．【答案】（1）
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）DE=DF，根据同一时刻物高与影长对应成比例，AB=11.3；
（2）根据镜面反射性质，则，两角法得，由对应边成比例得，即，AB=12；
（3），由题意得：，， 由对应边成比例得 ．代值解得BG=22.5，AB=28.8，取整数为29.
（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
18．【答案】（1）D
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
【知识点】中心投影；用图象表示变量间的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
【分析】
（1）由于人距离光源越近影长越小，当人刚好处于光源底下时影长为0，反之当人距离光源越远时影长越大；
（2）根据题意可分别判定，由相似比可得，，由于小明身高与灯标高度不变，即有，再代值计算可分别得BD、BF的长，再利用相似即可．
（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
19．【答案】（1）A
（2）解：如图所示：
（3）1.5m/s
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：（1）从A，B两题中任选一题解答，我选择A，
A．①如图1，
②如图所示，线段AB即为所求线段；
故答案为：A．
B．（1）如图2，
（3.）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，
∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，
∴ ， ，
∴ ，即 = ，
解得x=1.5，
经检验x=1.5为方程的解，
∴小明原来的速度为1.5m/s，
故答案为：1.5m/s．
【分析】A．（1）利用中心投影的定义画图；（2）过点O作射线OB，交地面于点B；B．（1）利用中心投影的定义画图；（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，根据相似三角形的判定方法得到△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，则 ， ， ，即 = ，然后解方程解决．
20．【答案】（1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
如图所示，EF就是DE的投影．
∵太阳光线是平行的，
∴DF∥AC，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB＝6m，BC＝2m，EF＝3m，
∴，
∴DE＝9m，
答：立柱DE的长为9m.
（2）解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，
则CD＝AE＝1m，△BCE∽△B'BA'，
∴A'B'：B'B＝BE：BC，
即1：2＝BE：4，
∴BE＝2，
∴AB＝2＋1＝3（m），
答：这棵树高3m.
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，EF就是DE的投影，先证出△ABC∽△DEF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出DE的长即可；
（2）过点C作CE∥AD交AB于点E，先证出△BCE∽△B'BA'，再利用相似三角形的性质可得A'B'：B'B＝BE：BC，将数据代入求出BE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
1 / 15.1 投影-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2024九上·龙华期中）下列哪种影子不是中心投影（ ）
A．月光下房屋的影子 B．晚上在房间内墙上的手影
C．都市霓虹灯形成的影子 D．皮影戏中的影子
【答案】A
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【解答】解：晚上在房间内墙上的手影，都市冤虹灯形成的影子，皮影戏中的影子，是中心投影，
月光下房屋的影子是平行投影，不是中心投影．
故答案为：A．
【分析】
根据中心投影的定义：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，逐一判断即可解答．
2．（2024九上·清远期末）日晷是我国古代利用日影测定时刻的一种计时仪器， 它由"晷面"和"晷针"组成. 当太阳光 照在日晷上时， 晷针的影子就会投向晷面. 随着时间的推移， 晷针的影子在原面上慢慢地移动，以此来显示时刻。则晷针在晷面上形成的投影是（ ）
A．中心投影 B．平行投影
C．既是平行投影又是中心投影 D．不能确定
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：由题意可得：
晷针在晷面上形成的投影是平行投影
故答案为：B
【分析】根据太阳光是平行投影即可求出答案.
3．（2025九上·兰州期中）如图是嘉淇在室外用手机拍下大树的影子随太阳转动情况的照片（上午8时至下午5时之间），这五张照片拍摄的时间先后顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行投影
【解析】【解答】解：一天中太阳位置的变化规律是：从东到西．太阳的高度变化规律是：低高低．影子位置的变化规律是：从西到东，影子的长短变化规律是：长短长．根据影子变化的特点，按时间顺序给这五张照片排序是．
故答案为：B．
【分析】太阳的位置和高度决定了影子的方向和长短．一天中，阳光下物体的影子变化规律是上午影子由长逐渐变短；下午影子由短逐渐变长．方向由西逐渐转向东．
4．（2023九上·甘州月考）如图，三角板在手电筒光源的照射下形成了投影，三角板与其投影是位似图形，其相似比是，若三角板的面积是，则其投影的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心投影；位似图形的性质
【解析】【解答】解：设投影的面积为cm，
根据位似可得，
解得，
故选：D．
【分析】利用位似图形相似，相似三角形的面积比等于相似比的平方解题即可.
5．（2024九上·定州期末）如图，丁轩同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC的底部，当他向前再步行20 m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部，已知丁轩同学的身高是1.5 m，两个路灯的高度都是9 m，则两路灯之间的距离是( )
A．24 m B．25 m C．28 m D．30 m
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的实际应用；中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】由题意可得：EP∥BD，
所以△AEP∽△ADB，
所以，
因为EP=1.5，BD=9，
所以，
解得：AP=5，
因为AP=BQ，PQ=20，
所以AB=AP+BQ+PQ=5+5+20=30，
故选：D．
【分析】本题考查相似三角形的对应边成比例在解决实际问题中的应用.根据EP∥BD，利用相似三角形的判定定理可得：△AEP∽△ADB，再利用相似三角形的性质可得：，代入数据可得：，解方程可求出AP的长度，利用线段的运算可求出AB的长度，进而可求出 两路灯之间的距离 ，求出答案.
6．（2021九上·织金期末）如图，小明居住的小区内有一条笔直的小路，有一盏路灯位于小路上 两点的正中间，晚上，小明由点 处径直走到点 处，他在灯光照射下的影长 与行走路程 之间的变化关系用图象表示大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；中心投影
【解析】【解答】解：小明从M点走到灯下方时影长由长变短，
从灯下方走到N点时影长由短变长，
C选项满足题意，
故答案为：C.
【分析】观察图形，根据已知条件可知小明从M点走到灯下方时影长由长变短，从灯下方走到N点时影长由短变长，由此可得到符合题意的选项.
7．（2024九上·白银期末）一块三角形纸板如图所示，，，测得边的中心投影的长为，则边的中心投影的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】由投影得，由相似性质得，求得．
8．（2023九上·光明月考）下列说法正确的是（ ）
A．任意两个位似三角形一定相似
B．物体在任何光线照射下影子的方向都是相同的
C．如果2a＝3b，则
D．点P是长为2的线段AB的黄金分割点，则AP＝－1
【答案】A
【知识点】比例的性质；黄金分割；位似变换；平行投影
【解析】【解答】解：A、任意两个位似三角形一定相似，正确，则本项符合题意；
B、物体在太阳光线照射下影子的方向都是相同的，在灯光的照射下的影子方向与物体位置有关，则本项不符合题意；
C、如果，则则本项不符合题意；
D、∵点P是长为2的线段AB的黄金分割点，
∴则本项不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据位似图形，平行投影，比例的性质和黄金分割点，逐项分析即可.
二、填空题
9．（2023九上·胶州月考）如图，当太阳光与地面上的树影成45°角时，树影投射在墙上的影高CD等于2米，若树根到墙的距离BC等于8米，则树高AB等于 米．
【答案】10
【知识点】等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；平行投影
【解析】【解答】解：如图所示，作DH⊥AB与H，
易得四边形BCDH是矩形，
∴DH=BC=8m，CD=BH=2m，
根据题意得∠ ADH = 45°，
所以△ADH为等腰直角三角形，
所以AH=DH=8m，
所以AB=AH+BH=8+2=10m．
故答案为：10．
【分析】作DH⊥AB与H，易得四边形BCDH是矩形，由矩形对边相等得DH=BC=8m，CD=BH=2m，然后由等腰直角三角形性质得AH=DH=8m，最后根据AB=AH+BH算出答案.
10．（2024九上·都江堰期末）早在多年前的宋朝，手影就已经作为民间一种有趣的游戏而存在．诗人释惠明在《手影戏》中写到：“三尺生绡作戏台，全凭十指送诙谐．有时明月灯窗下，一笑还从掌握来”．手影戏全凭手影艺人的十指借光弄影，表演各色人物、花草虫鱼、飞禽走兽甚至是寓言故事．如图，手影戏中的手影属于 （填“平行投影”或“中心投影”）．
【答案】中心投影
【知识点】中心投影
【解析】【解答】根据题意可得：手影戏中的投影是光由一点向外散射形成的投影，属于中心投影，
故答案为：中心投影.
【分析】利用中心投影和平行投影的定义分析判断即可.
11．如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD 的中点，CD 是水平的，在阳光的照射下，塔影DE 留在坡面上.已知铁塔底宽CD=12m，塔影长DE=18m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E 处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m，那么塔高 AB 为 m.
【答案】24
【知识点】比例的性质；平行投影；线段的中点；线段的比
【解析】【解答】解：如图，过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G，
由题意得：
∴
∵B是CD 的中点，CD=12，
∴GF=BD==6，
∵，
∴AG=1.6X 6=9.6m，
∴AB=14.4+9.6=24m，即塔AB的高度为24m.
故答案为：24
【分析】过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G，利用得到比例关系，，计算即可解答.
12．（2024九上·福田期中）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）.“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度。如图，是用“矩”测量一个5G信号塔高度的示意图，点A，B，N在同一水平线上，∠ABC和∠ANM均为直角，AM与BC交于点D，测得AB=40cm，BD=30cm，BN=22m，则信号塔MN的高度为 m.
【答案】16.8
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：∵AB＝40cm＝0.4m，BN＝22m，
∴AN＝AB＋BN＝22.4m，
∵∠ABC＝∠ANM＝90°，
∴BC∥MN，
∴△ABD∽△ANM，
∴，
∴，
∴MN＝16.8m，
故答案为：16.8．
【分析】先证出△ABD∽△ANM，再利用相似三角形的性质可得，将数据代入可得，最后求出MN的长即可.
13．（2023九上·晋州期中）古希腊数学家泰勒斯曾利用立杆测影的方法，在金字塔塔顶A的影子处直立一根木杆，借助太阳光测金字塔的高度．如图所示，木杆长2米．它的影长是3米，同一时刻测得是201米，则金字塔的高度是 米．
【答案】134
【知识点】中心投影
【解析】【解答】设金字塔的高度AO为m米，
根据可得：，
解得：m=134，
经检验，m=134时原方程的解，
∴AO=134，
故答案为：134.
【分析】设金字塔的高度AO为m米，根据相同时刻的物高与影长成比例可得，再求出m的值即可.
三、解答题
14．（2024九上·成都期中）在公园有两座垂直于水平地面且高度不一的圆柱，两座圆柱后面有一堵与地面互相垂直的墙，且圆柱与墙的距离皆为公分．敏敏观察到高度公分矮圆柱的影子落在地面上，其影长为公分；而高圆柱的部分影子落在墙上，如图所示．
已知落在地面上的影子皆与墙面互相重直，并视太阳光为平行光，在不计圆柱厚度与影子宽度的情况下，请回答下列问题：
（1）若敏敏的身高为公分，且此刻她的影子完全落在地面上，则影长为多少公分？
（2）若同一时间量得高圆柱落在墙上的影长为公分，则高圆柱的高度为多少公分？请详细解释或完整写出你的解题过程，并求出答案．
【答案】解：（1）设敏敏的影长为公分．
由题意：，
解得（公分），
经检验：是分式方程的解．
∴敏敏的影长为公分．
（2）如图，连接，作．
，
∴四边形是平行四边形，
公分，
设公分，由题意落在地面上的影长为公分．
，
（公分），
（公分），
答：高圆柱的高度为公分．
【知识点】平行四边形的判定与性质；比例线段；平行投影
【解析】【分析】（1）根据同一时刻，同一地点，物长与影长成正比，构建方程，求解即可；
（2）连接，作，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出四边形ABFE是平行四边形，由平行四边形的对边相等得AB=EF=150公分，根据同一时刻，同一地点，物长与影长成正比，构建方程，求解得出BC的长，进而根据AB+BC=AC可求解.
15．（2023九上·商河期中） 为了测得一棵树的高度，一个小组的同学进行了如下测量：在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时发现这棵树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），测得墙壁上的影长为1.5米，落在地面上的影长为3米．
（1）该小组同学是利用 投影的有关知识进行计算的；（填“平行”或“中心”）
（2）求这棵树的高度．
【答案】（1）平行
（2）解：设从墙上的影子的顶端到树的顶端的垂直高度是x米．则
解得：x=3.75．
∴树高是3.75+1.5=5.25（米），
答：树高为5.25米．
【知识点】相似三角形的性质；平行投影
【解析】【分析】（1）太阳光线是平行投影，因此可得答案。
（2）根据相似对应线段成比例解题即可。
16．（2024九上·雅安期末）如图，在路灯下，表示小明的身高的线段如AB所示，他在地面上的影子如图中线AC所示，表示小亮的身高的线段如FG所示，路灯灯泡O在线段DE上．
（1）请你确定灯泡O所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子．
（2）如果小明的身高，他的影子长，且他到路灯的距离，求灯泡的高．
【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子．
（2）解：由已知可得，，
∴，∴．∴灯泡的高为4m．
【知识点】平行投影；中心投影
【解析】【分析】（1）连接CB并延长CB交DE于O，点O即为所求．连接OG，延长OG交DF于H．线段FH即为所求；
（2）影长与高度成正比，据此求解。
17．（2024九上·南山月考）为测量水平操场上旗杆的高度，九（2）班各学习小组运用了多种测量方法．
（1）如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长恰好等于自己的身高．此时，小组同学测得旗杆的影长为，据此可得旗杆高度为________m；
（2）如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高度，小李到镜面距离，镜面到旗杆的距离．求旗杆高度；
（3）小王所在小组采用图3的方法测量，结果误差较大．在更新测量工具，优化测量方法后，测量精度明显提高，研学旅行时，他们利用自制工具，成功测量了江姐故里广场雕塑的高度．方法如下：
如图4，在透明的塑料软管内注入适量的水，利用连通器原理，保持管内水面M，N两点始终处于同一水平线上．
如图5，在支架上端P处，用细线系小重物Q，标高线始终垂直于水平地面．
如图6，在江姐故里广场上E点处，同学们用注水管确定与雕塑底部B处于同一水平线的D，G两点，并标记观测视线与标高线交点C，测得标高，．将观测点D后移到处，采用同样方法，测得，．求雕塑高度（结果精确到）．
【答案】（1）
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）DE=DF，根据同一时刻物高与影长对应成比例，AB=11.3；
（2）根据镜面反射性质，则，两角法得，由对应边成比例得，即，AB=12；
（3），由题意得：，， 由对应边成比例得 ．代值解得BG=22.5，AB=28.8，取整数为29.
（1）解：由题意得，由题意得：，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图，由题意得，，
根据镜面反射可知：，
，，
，
，
，即，
，
答：旗杆高度为；
（3）解：设，
由题意得：，，
∴，，
即，，
∴，
整理得，
解得，经检验符合他
∴，
答：雕塑高度为．
18．（2025九上·兰州期末）通常，路灯、台灯、手电筒……发出的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影称为中心投影．
（1）如图1，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图像大致为_________；
A． B． C． D．
（2）如图2，小明为测河对岸的路灯杆的高度，在路灯A的灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求路灯杆的高度．
【答案】（1）D
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
【知识点】中心投影；用图象表示变量间的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
【分析】
（1）由于人距离光源越近影长越小，当人刚好处于光源底下时影长为0，反之当人距离光源越远时影长越大；
（2）根据题意可分别判定，由相似比可得，，由于小明身高与灯标高度不变，即有，再代值计算可分别得BD、BF的长，再利用相似即可．
（1）解：等高的物体垂直地面时，在灯光下离点光源越近的物体，它的影子越短，离点光源越远的物体，它的影子越长， D符合题意，
故答案为：D；
（2）解：，
，，
，，
又，
，
，，，，
，
，，
，
解得：；
灯杆的高度为．
19．（初中数学北师大版九年级上册练习题3 (2) ）
（1）从A，B两题中任选一题解答，我选择 ．
A．如图（1）是两棵树在同一盏路灯下的影子．①确定该路灯泡所在的位置；②如果此时小颖所在位置恰好与这两棵树所在的位置共线（三点在一条直线上），请画出图中表示小颖影子的线段AB
B．如图（2），小明从点A出发沿AB方向匀速前进，2秒后到达点D，此时他在某一灯光下的影子为DA，继续按此速度行走2秒到达点F，此时他在同一灯光下的影子落在其身后的线段DF上，测得此时影长MF为1.2米，然后他将速度提高到原来的1.5倍，再行走2秒到达点H．他在同一灯光下的影子恰好是HB．图中线段CD，EF，GH表示小明的身高．
（2）请在图中画出小明的影子MF；
（3）若A、B两地相距12米，则小明原来的速度为 ．
【答案】（1）A
（2）解：如图所示：
（3）1.5m/s
【知识点】中心投影
【解析】【解答】解：（1）从A，B两题中任选一题解答，我选择A，
A．①如图1，
②如图所示，线段AB即为所求线段；
故答案为：A．
B．（1）如图2，
（3.）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，
∵点C，E，G在一条直线上，CG∥AB，
∴△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，
∴ ， ，
∴ ，即 = ，
解得x=1.5，
经检验x=1.5为方程的解，
∴小明原来的速度为1.5m/s，
故答案为：1.5m/s．
【分析】A．（1）利用中心投影的定义画图；（2）过点O作射线OB，交地面于点B；B．（1）利用中心投影的定义画图；（2）设小明原来的速度为xm/s，则CE=2xm，AM=AF﹣MF=（4x﹣1.2）m，EG=2×1.5x=3xm，BM=AB﹣AM=12﹣（4x﹣1.2）=13.2﹣4x，根据相似三角形的判定方法得到△OCE∽△OAM，△OEG∽△OMB，则 ， ， ，即 = ，然后解方程解决．
20．（2024九上·宝安期中）如图
（1）【基础解答】如图1，AB和DE是直立在地面上的两根立柱，AB=6m，某一时刻AB在阳光下的投影BC=2m，DE在阳光下的投影长为3m.根据题中信息，求立柱DE的长.
（2）【拓展拔高】如图2，古树AB在阳光照射下，影子的一部分照射在地面，即BC=4m，还有一部分影子在建筑物的墙上，墙上的影高CD为1m，同一时刻，竖直于地面上的1m长的竹竿，影长为2m，求这棵古树A8的高.
【答案】（1）解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，
如图所示，EF就是DE的投影．
∵太阳光线是平行的，
∴DF∥AC，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵∠ABC＝∠DEF＝90°，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
∵AB＝6m，BC＝2m，EF＝3m，
∴，
∴DE＝9m，
答：立柱DE的长为9m.
（2）解：如图，过点C作CE∥AD交AB于点E，
则CD＝AE＝1m，△BCE∽△B'BA'，
∴A'B'：B'B＝BE：BC，
即1：2＝BE：4，
∴BE＝2，
∴AB＝2＋1＝3（m），
答：这棵树高3m.
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影
【解析】【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BE于F，EF就是DE的投影，先证出△ABC∽△DEF，再利用相似三角形的性质可得，再将数据代入求出DE的长即可；
（2）过点C作CE∥AD交AB于点E，先证出△BCE∽△B'BA'，再利用相似三角形的性质可得A'B'：B'B＝BE：BC，将数据代入求出BE的长，再利用线段的和差求出AB的长即可.
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