6.1 反比例函数-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2024九上·邵东月考）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：，y不是x的反比例函数，故A不符合题意；
，y是x的反比例函数，故B符合题意；
，y不是x的反比例函数，故C不符合题意；
，y不是x的反比例函数，故D不符合题意；
故选B．
【分析】根据反比例函数定义，对四个函数表达式逐一分析，再作判断．一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．
2．（2025九上·杭州月考）西溪国家湿地公园到文文家的路程为8km，文文回家所需时间t（单位：h）随平均速度v（单位：km/h）的变化而变化，则t与v的函数表达式是（ ）
A．t＝8v B． C．t D．t＝8v2
【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得，平均速度v (单位 km/h)与运行时间t的关系为：
故选： C.
【分析】根据平均速度=总路程÷总时间可列出关系式，即可求解.
3．（2024九上·云南月考）在反比例函数中，自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．全体实数
【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义的条件，即分母不等于即可列式，求解即可。
4．（2023九上·湖南月考）若函数是反比例函数，则一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的概念
【解析】【解答】函数是反比例函数，
k-1>0，
解得k>1，
对于，
k>1，
一元二次方程无实数根，
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数的定义与二次根式的性质求得k>1，再利用一元二次方程根的判别式即可求解.
5．（2022九上·临淄期中）已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴，
解得m=-2，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义可得，再求出m的值即可。
6．（2022九上·滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】由题意得：，
即，
故答案为：D．
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
7．（2023九上·平山月考） 下面叙述中的变量与变量满足反比例函数关系的是（ ）
①计划从地到地铺设一段2400米长的铁轨，每日铺设长度与铺设天数；
②汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间.
A．只有①是 B．只有②是 C．①②都是 D．①②都不是
【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：①由计划从地到地铺设一段2400米长的铁轨，每日铺设长度与铺设天数，可得变量与变量 的函数关系式为：，是反比例函数关系，符合题意；
②设汽车行驶的速度为v（v为定值），
由汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间，可得变量与变量 的函数关系式为：y=vx，是正比例函数关系，不符合题意；
综上所述：只有①符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据题意先列函数关系式，再对所列的函数关系式判断求解即可。
8．（2022九上·新泰期末）给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解∶ ①是正比例函数，故不符合题题意；
②，y是x的反比例函数，故符合题意；
③，y是x的反比例函数，故符合题意；
④，y不是x的反比例函数，故不符合题意；
⑤由2xy＝1得，y是x的反比例函数，故符合题意；
⑥由－xy＝2得，y是x的反比例函数，故符合题意；
其中②③⑤⑥为反比例函数，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可。
二、填空题
9．（2019九上·昌图期末）已知函数 是反比例函数，则 .
【答案】
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】依题意得： 且 ，
解得 .
故答案是：
【分析】由反比例函数的定义得到 且 ，由此求得m的值.
10．（2023九上·娄底月考）当三角形的面积为9cm2时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）之间的函数表达式为 ．
【答案】
【知识点】列反比例函数关系式；三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意，得，
整理，得 。
故答案为： 。
【分析】利用三角形的面积公式求解即可 。注意不要忘记底乘以高的积的一半。
11．我们知道，描点法是画函数图象的重要方法，通过描点画图可知，函数y=的图象可由函数y=的图象向 平移一个单位得到．
【答案】左
【知识点】列反比例函数关系式；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：如下图通过描点法在同一个平面直角坐标系中画出 y=和y=的图象，
观察图象可以发现 函数y=的图象可由函数y=的图象向左平移一个单位得到．
故答案为：左.
【分析】通过描点画图可以发现： 函数y=的图象可由函数y=的图象向左平移一个单位得到．
三、解答题
12．（初中数学北师大版九年级上册练习题3 (3)）列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）某农场的粮食总产量为1 500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；
（3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．
【答案】（1）解：由平均数，得x= ，即y= 是反比例函数；
（2）解：由单价乘以油量等于总价，得
y=4.75x，即y=4.75x是正比例函数；
（3）解：由路程与时间的关系，得
t= ，即t= 是反比例函数．
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【分析】根据反比例函数的定义，可得答案．
13．已知反比例函数y=
（1）说出这个函数的比例系数和自变量x的取值范围；
（2）求当x=-2时函数的值；
（3）求当y=时自变量x的值．
【答案】（1）解：∵y=，∴该函数的比例系数是-8；
自变量x的取值范围是x≠0．
（2）解：当x=-2时，y==4．
（3）解：当y=时，可得=，解得x=．
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据反比例函数中的比例系数和分母为0无意义，即可求解.
（2）把x=-2代入 y= 中计算即可.
（3）把 y= 代入 y=解方程即可得到x的值.
14．（2024九上·洞口期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，．
（1）求y与x的函数关系式：
（2）求时，y的值．
【答案】（1）解：∵与成正比例关系，与成反比例关系，
∴设 ，
∴ ，
∵当时，；时，，
∴ ，
解得： ，
∴与的函数关系式为：；
（2）解：当时，有．
【知识点】反比例函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据题意设 ，从而得 ，然后利用待定系数法进行求解；
（2）把代入（1）中的解析式即可求解.
（1）解：设 ，
则 ，
依题意得 ，
解得 ，
；
（2）解：当时，．
15．（2024九上·溆浦开学考）已知是关于的反比例函数，求的值．
【答案】解：因为是关于的反比例函数，
所以，解得，，
所以，
所以
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【分析】根据题意可知，解之可得m的值，然后将m的值代入即可.
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.5 反比例函数（1） 同步练习）已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当x=1时， y=-1，当x=3时，y=5 ，求y与x之间的函数关系式.
【答案】解：设y1=kx，y2= ，则y=kx+ ，
根据题意得 ，
解得 ，
所以y与x之间的函数关系式为
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】由题意与x成正比例可设=kx，与 x 成反比例可设=，于是根据y=+可得y=kx+，将x、y的两组值代入y与x的关系式解方程组即可求解。
17．（2023九上·娄底月考）已知函数 ，
（1）当，为何值时是一次函数？
（2）当，为何值时，为正比例函数？
（3）当，为何值时，为反比例函数？
【答案】（1）解：当函数是一次函数时，
，且，
解得：且；
（2）解：当函数是正比例函数时，，
解得：，．
（3）解：当函数是反比例函数时，，
解得：，．
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义可得 ，且 ，据此解答即可；
（2）根据正比例函数的定义可得 ， 据此解答即可；
（3）根据反比例函数的定义可得 ， 据此解答即可；
18． 已知一艘轮船上装有 100 吨货物， 轮船到达目的地后开始卸货． 设平均卸货速度为 (吨/小时)， 卸完这批货物所需的时间为 (小时)．
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）若要求 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时要卸货多少吨？
【答案】（1）由题意可得100= vt. 则
（2）∵5小时卸完船上的这批货物，∴t=5，则
答：平均每小时要卸货20 吨。
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）本题中货物总量=平均卸货速度×时间，轮船上的货物总量不变，平均卸货速度与时间成反例关系，在实际问题中要注意自变量的取值范围.
（2）本题考查已知卸货时间5小时，求平均卸货速度，即t=5代入求得v=20.
1 / 16.1 反比例函数-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2024九上·邵东月考）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·杭州月考）西溪国家湿地公园到文文家的路程为8km，文文回家所需时间t（单位：h）随平均速度v（单位：km/h）的变化而变化，则t与v的函数表达式是（ ）
A．t＝8v B． C．t D．t＝8v2
3．（2024九上·云南月考）在反比例函数中，自变量的取值范围为（ ）
A． B． C． D．全体实数
4．（2023九上·湖南月考）若函数是反比例函数，则一元二次方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有一个实数根 D．没有实数根
5．（2022九上·临淄期中）已知函数y=（m-2）是反比例函数，则m的值为（ ）
A．2 B．-2 C．2或-2 D．任意实数
6．（2022九上·滁州期中）某电子产品的售价为8000元，购买该产品时可分期付款：前期付款3000元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额y（元）与付款月数x（x为正整数）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023九上·平山月考） 下面叙述中的变量与变量满足反比例函数关系的是（ ）
①计划从地到地铺设一段2400米长的铁轨，每日铺设长度与铺设天数；
②汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间.
A．只有①是 B．只有②是 C．①②都是 D．①②都不是
8．（2022九上·新泰期末）给出下列函数关系式：①；②；③；④；⑤2xy＝1；⑥－xy＝2．其中，表示y是x的反比例函数的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
9．（2019九上·昌图期末）已知函数 是反比例函数，则 .
10．（2023九上·娄底月考）当三角形的面积为9cm2时，它的底边长a（cm）与底边上的高h（cm）之间的函数表达式为 ．
11．我们知道，描点法是画函数图象的重要方法，通过描点画图可知，函数y=的图象可由函数y=的图象向 平移一个单位得到．
三、解答题
12．（初中数学北师大版九年级上册练习题3 (3)）列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数．
（1）某农场的粮食总产量为1 500t，则该农场人数y（人）与平均每人占有粮食量x（t）的函数关系式；
（2）在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量x（L）的函数关系式；
（3）小明完成100m赛跑时，时间t（s）与他跑步的平均速度v（m/s）之间的函数关系式．
13．已知反比例函数y=
（1）说出这个函数的比例系数和自变量x的取值范围；
（2）求当x=-2时函数的值；
（3）求当y=时自变量x的值．
14．（2024九上·洞口期中）已知，若与成正比例关系，与x成反比例关系，且当时，；时，．
（1）求y与x的函数关系式：
（2）求时，y的值．
15．（2024九上·溆浦开学考）已知是关于的反比例函数，求的值．
16．（2018-2019学年数学沪科版九年级上册21.5 反比例函数（1） 同步练习）已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当x=1时， y=-1，当x=3时，y=5 ，求y与x之间的函数关系式.
17．（2023九上·娄底月考）已知函数 ，
（1）当，为何值时是一次函数？
（2）当，为何值时，为正比例函数？
（3）当，为何值时，为反比例函数？
18． 已知一艘轮船上装有 100 吨货物， 轮船到达目的地后开始卸货． 设平均卸货速度为 (吨/小时)， 卸完这批货物所需的时间为 (小时)．
（1）求 关于 的函数表达式．
（2）若要求 5 小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时要卸货多少吨？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：，y不是x的反比例函数，故A不符合题意；
，y是x的反比例函数，故B符合题意；
，y不是x的反比例函数，故C不符合题意；
，y不是x的反比例函数，故D不符合题意；
故选B．
【分析】根据反比例函数定义，对四个函数表达式逐一分析，再作判断．一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数．
2．【答案】C
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得，平均速度v (单位 km/h)与运行时间t的关系为：
故选： C.
【分析】根据平均速度=总路程÷总时间可列出关系式，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：由题意可得，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据分式有意义的条件，即分母不等于即可列式，求解即可。
4．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件；一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数的概念
【解析】【解答】函数是反比例函数，
k-1>0，
解得k>1，
对于，
k>1，
一元二次方程无实数根，
故答案为：D.
【分析】先根据反比例函数的定义与二次根式的性质求得k>1，再利用一元二次方程根的判别式即可求解.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解：∵函数是反比例函数，
∴，
解得m=-2，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义可得，再求出m的值即可。
6．【答案】D
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】由题意得：，
即，
故答案为：D．
【分析】根据题意直接列出函数解析式即可。
7．【答案】A
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【解答】解：①由计划从地到地铺设一段2400米长的铁轨，每日铺设长度与铺设天数，可得变量与变量 的函数关系式为：，是反比例函数关系，符合题意；
②设汽车行驶的速度为v（v为定值），
由汽车匀速行驶时，行驶的路程与行驶的时间，可得变量与变量 的函数关系式为：y=vx，是正比例函数关系，不符合题意；
综上所述：只有①符合题意，
故答案为：A.
【分析】根据题意先列函数关系式，再对所列的函数关系式判断求解即可。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】解∶ ①是正比例函数，故不符合题题意；
②，y是x的反比例函数，故符合题意；
③，y是x的反比例函数，故符合题意；
④，y不是x的反比例函数，故不符合题意；
⑤由2xy＝1得，y是x的反比例函数，故符合题意；
⑥由－xy＝2得，y是x的反比例函数，故符合题意；
其中②③⑤⑥为反比例函数，
故答案为：B．
【分析】根据反比例函数的定义逐项判断即可。
9．【答案】
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【解答】依题意得： 且 ，
解得 .
故答案是：
【分析】由反比例函数的定义得到 且 ，由此求得m的值.
10．【答案】
【知识点】列反比例函数关系式；三角形的面积
【解析】【解答】解：由题意，得，
整理，得 。
故答案为： 。
【分析】利用三角形的面积公式求解即可 。注意不要忘记底乘以高的积的一半。
11．【答案】左
【知识点】列反比例函数关系式；描点法画函数图象
【解析】【解答】解：如下图通过描点法在同一个平面直角坐标系中画出 y=和y=的图象，
观察图象可以发现 函数y=的图象可由函数y=的图象向左平移一个单位得到．
故答案为：左.
【分析】通过描点画图可以发现： 函数y=的图象可由函数y=的图象向左平移一个单位得到．
12．【答案】（1）解：由平均数，得x= ，即y= 是反比例函数；
（2）解：由单价乘以油量等于总价，得
y=4.75x，即y=4.75x是正比例函数；
（3）解：由路程与时间的关系，得
t= ，即t= 是反比例函数．
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【分析】根据反比例函数的定义，可得答案．
13．【答案】（1）解：∵y=，∴该函数的比例系数是-8；
自变量x的取值范围是x≠0．
（2）解：当x=-2时，y==4．
（3）解：当y=时，可得=，解得x=．
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据反比例函数中的比例系数和分母为0无意义，即可求解.
（2）把x=-2代入 y= 中计算即可.
（3）把 y= 代入 y=解方程即可得到x的值.
14．【答案】（1）解：∵与成正比例关系，与成反比例关系，
∴设 ，
∴ ，
∵当时，；时，，
∴ ，
解得： ，
∴与的函数关系式为：；
（2）解：当时，有．
【知识点】反比例函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据题意设 ，从而得 ，然后利用待定系数法进行求解；
（2）把代入（1）中的解析式即可求解.
（1）解：设 ，
则 ，
依题意得 ，
解得 ，
；
（2）解：当时，．
15．【答案】解：因为是关于的反比例函数，
所以，解得，，
所以，
所以
【知识点】反比例函数的概念
【解析】【分析】根据题意可知，解之可得m的值，然后将m的值代入即可.
16．【答案】解：设y1=kx，y2= ，则y=kx+ ，
根据题意得 ，
解得 ，
所以y与x之间的函数关系式为
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】由题意与x成正比例可设=kx，与 x 成反比例可设=，于是根据y=+可得y=kx+，将x、y的两组值代入y与x的关系式解方程组即可求解。
17．【答案】（1）解：当函数是一次函数时，
，且，
解得：且；
（2）解：当函数是正比例函数时，，
解得：，．
（3）解：当函数是反比例函数时，，
解得：，．
【知识点】一次函数的概念；反比例函数的概念；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据一次函数的定义可得 ，且 ，据此解答即可；
（2）根据正比例函数的定义可得 ， 据此解答即可；
（3）根据反比例函数的定义可得 ， 据此解答即可；
18．【答案】（1）由题意可得100= vt. 则
（2）∵5小时卸完船上的这批货物，∴t=5，则
答：平均每小时要卸货20 吨。
【知识点】列反比例函数关系式
【解析】【分析】（1）本题中货物总量=平均卸货速度×时间，轮船上的货物总量不变，平均卸货速度与时间成反例关系，在实际问题中要注意自变量的取值范围.
（2）本题考查已知卸货时间5小时，求平均卸货速度，即t=5代入求得v=20.
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