6.2 反比例函数的图象与性质-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·温州开学考）已知函数的图象上有三点，，，已知，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴ 函数 在每个象限内随着的增大而增大，
∵在函数的图象上有三点，，，
，
∴，
故选：C．
【分析】根据反比例函数的解析式得出在每个象限内随着的增大而增大，再结合即可得解．
2．（2025九上·和平开学考）已知点A ，B ，C 在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是( )
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x3＜x2＜x1
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意知，反比例函数， 的图象在第二或第四象限内y随x的增大而增大，且第二象限内的函数值大于0，第四象限内的函数值小于0，
∵-6<-3<0<3，
∴x3<0即 x3故答案为：C .
【分析】 由题意知，反比例函数， 的图象在第二或第四象限内y随x的增大而增大，且第二象限内的函数值大于0，第四象限内的函数值小于0，进而可根据函数值的大小判断自变量的大小.
3．（2025九上·麻章期末）已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，且经过
∴设电流I与电阻R满足
把代入，
解得
∴该蓄电池的电压是
故答案为：A
【分析】设，根据待定系数法将点代入，即可求出答案.
4．（2023九上·南开月考）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
5．（2025九上·兰州期末）如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则；
又由于，则．
故答案为：D
【分析】根据反比例函数中k的几何意义，可得出，再根据图象所在象限，即可得出k的值。
6．（2025九上·瑞安开学考） 如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数（k为常数，）的图象经过点D，交BC于点E，，记的面积为S，若，则k的值为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设BE=m，则CE=2m，AD=3m，令y=3m、m，得x=，
即得E(，m)，D(，3m)
由此得AB=-=，故
整理得，即，
解得k1=16，k2=-3(舍去)，经检验k=16为方程的解.
故答案为：B .
【分析】设BE=m得AD=3m，由此得点E、D的横坐标，即可得AB的长，由此可得，求解方程即可得k的值.
7．（2023九上·周村期中）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】点的坐标为在反比例函数上，
．
．
反比例函数的解析式为．
点在反比例函数图象上，
可设．
．
∵正方形，
∴
，．
，
．
．
故选：B．
【分析】
先利用待定系数法求出，然后再由反比例函数图象上点的坐标特征设，则可表示出AD与ED的长，再由正方形的各边相等可建立关于的方程，最后再求解并对根进行适当取舍即可．
8．（初中数学北师大版九年级上册第六章 反比例函数1练习题 (1)反比例函数综合题）两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；
④连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积=△OCP的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点．
故一定正确的是①②④．
故选C．
【分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．
二、填空题
9．（2025九上·温州开学考）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ．
【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵轴，
、的横坐标相同，
设，，则，
，
∵的面积为6，
∴，
．
故答案为：．
【分析】先根据轴，得出、的横坐标相同，可设，，从而可得，再利用的面积为6，得出，求得的值即可．
10．（2025九上·兰州期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．
【答案】5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
设点的坐标为，
，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
【分析】根据矩形性质可得，，设点的坐标为，根据题意可得，从而可得，根据，结合反比例函数k的结合意义即可求出答案.
11．（2025九上·杭州月考）在反比例函数的图象上有两点A（x1，y2）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1>y2，则m的取值范围是 ．
【答案】m>2
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知反比例函数图象在第二，四象限，
解得：m>2.
故答案为：m>2.
【分析】首先根据当 时，有 则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断2-m的取值范围.
12． 如图，O 为坐标原点， Rt△OAC 的直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过OA 的中点B，交AC 于点D，连结OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA 对应的函数表达式为 .
【答案】y=2x
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；正比例函数的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设点 D 的横坐标为m，则OC=m.
∵点 D 在反比例函数 的图象上，
∴点 D 的纵坐标为km.
∴CD= km.
∵△OCD∽△ACO，
∴， 得
∴点A 的 坐 标为
∵ B 是OA 的中点，
∴易得点 B 的坐标为 点 B在反比例函数 的图象上，
化简，得2k=m2.
∴点 B 的坐标为(，m).设直线 OA 对应的函数表达式为y= ax，
∴ =m，解得a=2.
∴ 直线OA 对应的函数表达式为y=2x.
故答案为：y=2x .
【分析】设OC=m，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出m、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答.
13．（2018九上·建平期末）如图，在反比例函数y＝ (x>0)的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1、2、3、4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1＋S2＋S3＝ .
【答案】1.5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】根据反比例函数的几何意义可知图中所构成的阴影部分的面积和正好是从点P1向x轴，y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积.由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3， ），（4， ）
∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3=2-1× =1.5.
故答案为：1.5.
【分析】根据题意把S2和S3向左移动到S1的下方，然后用S1所在的矩形减去最下面的空白部分的矩形面积就是阴影部分的面积.
三、解答题
14．（2024九上·岳阳期中）如图，平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点的纵坐标分别为，，反比例函数的图象经过，两点，若菱形的面积为，
（1）求菱形的边长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：如图，过点作轴的垂线，交的延长线于点，
轴，
，
，两点在反比例函数=的图象，且纵坐标分别为，，
，，
，，
菱形的面积为，
，
∴=，
∴菱形的边长为；
（2）解：由（1）得，，，
∴，
，
解得：．
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点作轴的垂线，交的延长线于点，先推出，然后根据反比例函数点的坐标特征得到，的长，由菱形的面积即可求得菱形边的长；
（2）结合（1）的结论，利用勾股定理求出的长，然后由可列方程并解之得出的值．
（1）解：过点作轴的垂线，交的延长线于点，
轴，
，
，两点在反比例函数=的图象，且纵坐标分别为，，
，，
，，
菱形的面积为，
，即=，
=，即菱形的边长为
（2）在中，，
，
．
15．（2024九上·岳阳期中）已知反比例函数（为常数，）．
（1）若点在这个函数的图象上，求的值；
（2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：∵点在这个反比例函数的图象上，∴，
解得．
（2）解：∵，∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点在这个函数的图象上．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把A（1，-2）代入 反比例函数 中，即可求得k的值；
（2）当k=5时，得出反比例函数解析式为，只需计算出当x=时，y的值是不是等于-8即可得出答案。
（1）解：∵点在这个反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点在这个函数的图象上．
16．（2024九上·渌口期末）已知（且）．
（1）化简A；
（2）若点在反比例函数的图象上，求A的值．
【答案】（1）解：．
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的约分；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式进行化简，最后约分即可求解；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征将点代入反比例函数 ，即可求解.
17．（2025九上·贵港期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点A作垂直x轴的，垂足为点B，且的面积为．
（1）求m和k的值；
（2）若点也在这个函数的图象上，当时，求函数值y的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
，，
，
；
点的坐标为，
把代入，
解得；
（2）解：由（1）可得，，
∵当时，；当时，，
当时，的取值范围为．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到的值，则点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）先分别求出和4时的值，再根据反比例函数的性质即可求出答案.
（1）解：∵，
，，
，
；
点的坐标为，
把代入，
解得；
（2）由（1）可得，，
∵当时，；当时，，
当时，的取值范围为．
18．（2024九上·常德期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标．
【答案】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴B，E横坐标相等，，
把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设点的坐标为，则，∵，
∴与相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得或；
综上，点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）由点的坐标为，点为的中点，求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可；
（）设点的坐标为，则，由可得与相似，需满足或，据此解答即可求解；
（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设点的坐标为，则，
∵，
∴与相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得或；
综上，点的坐标为或或或．
19．（2024九上·沅江开学考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，，求的面积；
（3）直接写出关于的不等式：的解集．
【答案】（1）反比例函数的图象过点和点，
，
，
，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为，反比例函数为；
（2）令，则，
解得，
，
；
（3）观察图象，关于的不等式：的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法构造方程组，求解方程组即可求得一次函数和反比例函数的表达式；
（2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后根据求得即可；
（3）根据图象反比例函数在一次函数上面确定x的范围即可求得．
20．（2024九上·祁阳期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点B称为点A的“倒数点”．
（1）写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标 ；
（2）点P是反比例函数图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
（3）如图，矩形的顶点，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．
【答案】（1）
（2）解：设点，则：，
∵点P是反比例函数图象上的一点，
∴，
∴，
∴点在反比例函数上；
即：Q满足的函数表达式为；
（3）解：设点A的坐标为，
∵点B是点A的“倒数点”，
∴点B的坐标为，
∵点B的横纵坐标满足，
∴点B在某个反比例函数上．
∴点B不可能在上，分两种情况：
①点B在上，
∵轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，
∴．解得（负值舍去），
∴点B的纵坐标为1，此时；
②点B在上，则点B的横坐标为3，即，
∴点B的纵坐标为，此时；
所以的面积为或．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】（1）∵第三象限的点的横纵坐标均为负数，且倒数是本身的负数为，∴第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标为；
【分析】（1）根据“倒数点”的定义，结合第三象限内点的坐标特征即可求出答案.
（2）设点，则：， 根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，化简即可求出答案.
（3）设点A的坐标为， 根据“倒数点”的定义可得点B的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得点B在某个反比例函数上．再分情况讨论：①点B在上，②点B在上即可求出答案.
21．（2024九上·深圳月考）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．
（1）【尝试初探】
点 “美好点”（填“是”或“不是” ；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ；
（2）【深入探究】
若“美好点” ，在双曲线，且为常数）上，则 ；
（3）【拓展延伸】
我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象：
列表：下表是与的几组对应值，请将下表填写完整．
3 4 5 6 7 8
描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 ▲ ；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分）
．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点；
．随着的增大而减小；
．随着的增大而增大；
．图象经过点．
④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？
【答案】（1）不是；4
（2）18
（3）①点是第一象限内的“美好点”，
，
化简得：，
第一象限内的点的横坐标为正，
，
解得：，
关于的函数表达式为：（）；
②列表如下，
如图如图所示：
③故答案为：AB；
④，
，
对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为．
⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
故答案为：；
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1），
点不是“美好点”，
点是第一象限内的一个“美好点”，
，
解得：，
故答案为：不是，4；
（2）是“美好点”，
，
解得：，
，
将代入双曲线，
得，
故答案为：18；
（3）③由图象可得：
A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，A正确；
B，由图象可知随着的增大而减小，B正确；
C，随着的增大而增大，该选项说法错误，C错误；
D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，D错误
故答案为：AB；
【分析】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质．
（1）通过计算可得，再根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义可列出方程，解方程可求出的值；
（2）根据“美好点”的定义可列出方程，解方程可求出的值，得据此可得的坐标，将点代入反比例函数解析式，可求出k的值，据此可求出答案；
（3）①根据“美好点”的定义可得，通过化简可得：，再根据第一象限内的点的横坐标为正，可列出不等式组，解不等式组可求出x的取值范围，据此可求出关于的函数表达式为；
②先列出表格，再进行描点连线，可画出函数图象，
③根据图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，可判断A选项；根据函数图象下降，据此可得图象可知随着的增大而减小，据此可判断B选项和C选项；根据当时，，所以图象经过点，据此可判断D选项.
④将代入，通过化简可得：，据此可得出答案，
⑤由图象观察可知，该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，据此可得到答案.
22．（2020九上·襄城月考）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0（a≠0）的两根分别为 ， ，则有 ， .
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根， 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解.求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1） ，B（m +
1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值.
【答案】（1） ，2，3（答案不唯一）
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”
（3）解：∵A（m，y1） ，B（m + 1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果.
1 / 16.2 反比例函数的图象与性质-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2025九上·温州开学考）已知函数的图象上有三点，，，已知，则下列选项中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025九上·和平开学考）已知点A ，B ，C 在反比例函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是( )
A．x1＜x2＜x3 B．x2＜x1＜x3 C．x3＜x1＜x2 D．x3＜x2＜x1
3．（2025九上·麻章期末）已知某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，它的图象如图所示，则该蓄电池的电压是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023九上·南开月考）已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025九上·兰州期末）如图，A为反比例函数图象上一点，轴于点B，若，则k的值为（ ）
A．1.5 B．3 C． D．6
6．（2025九上·瑞安开学考） 如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴正半轴上，反比例函数（k为常数，）的图象经过点D，交BC于点E，，记的面积为S，若，则k的值为（ ）
A．12 B．16 C．20 D．24
7．（2023九上·周村期中）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（初中数学北师大版九年级上册第六章 反比例函数1练习题 (1)反比例函数综合题）两个反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示，点P在y=的图象上，PC⊥x轴于点C，交y=的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=的图象于点B，当点P在y=的图象上运动时，以下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；
④当点A是PC的中点时，点B一定是PD的中点．
其中一定正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
二、填空题
9．（2025九上·温州开学考）如图，点A是y轴上一点，点B，C分别在反比例函数和的图象上，且轴，若的面积为6，则的值为 ．
10．（2025九上·兰州期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴、轴的正半轴上，反比例函数与相交于点，与相交于点，若，且的面积是12，则的值为 ．
11．（2025九上·杭州月考）在反比例函数的图象上有两点A（x1，y2）、B（x2，y2），当x1＜0＜x2时，有y1>y2，则m的取值范围是 ．
12． 如图，O 为坐标原点， Rt△OAC 的直角顶点C 在x 轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限的图象经过OA 的中点B，交AC 于点D，连结OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA 对应的函数表达式为 .
13．（2018九上·建平期末）如图，在反比例函数y＝ (x>0)的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1、2、3、4.分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1＋S2＋S3＝ .
三、解答题
14．（2024九上·岳阳期中）如图，平面直角坐标系中，菱形在第一象限内，边与轴平行，，两点的纵坐标分别为，，反比例函数的图象经过，两点，若菱形的面积为，
（1）求菱形的边长；
（2）求的值．
15．（2024九上·岳阳期中）已知反比例函数（为常数，）．
（1）若点在这个函数的图象上，求的值；
（2）若，试判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由．
16．（2024九上·渌口期末）已知（且）．
（1）化简A；
（2）若点在反比例函数的图象上，求A的值．
17．（2025九上·贵港期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，过点A作垂直x轴的，垂足为点B，且的面积为．
（1）求m和k的值；
（2）若点也在这个函数的图象上，当时，求函数值y的取值范围．
18．（2024九上·常德期中）如图，矩形的顶点，分别在轴，轴上，点为坐标原点，点的坐标为，反比例函数的图像经过的中点，且与交于点，连接．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
（3）若点是轴上一点，且与相似，求点的坐标．
19．（2024九上·沅江开学考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）连接，，求的面积；
（3）直接写出关于的不等式：的解集．
20．（2024九上·祁阳期末）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点B称为点A的“倒数点”．
（1）写出平面直角坐标系中第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标 ；
（2）点P是反比例函数图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式；
（3）如图，矩形的顶点，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．
21．（2024九上·深圳月考）定义：如图1，在平面直角坐标系中，点是平面内任意一点（坐标轴上的点除外），过点分别作轴、轴的垂线，若由点、原点、两个垂足、为顶点的矩形的周长与面积的数值相等时，则称点是平面直角坐标系中的“美好点”．
（1）【尝试初探】
点 “美好点”（填“是”或“不是” ；若点是第一象限内的一个“美好点”，则 ；
（2）【深入探究】
若“美好点” ，在双曲线，且为常数）上，则 ；
（3）【拓展延伸】
我们可以从函数的角度研究“美好点”，已知点是第一象限内的“美好点”．
①求关于的函数表达式，并求出自变量的取值范围；
②在图2的平面直角坐标系中画出函数图象：
列表：下表是与的几组对应值，请将下表填写完整．
3 4 5 6 7 8
描点：根据表中各组对应值，在图2的平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，画出函数图象；
③结合图象研究性质，下列结论正确的选项是 ▲ ；（多项选择，全部选对的得2分，部分选对的得1分，有选错的不得分）
．图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点；
．随着的增大而减小；
．随着的增大而增大；
．图象经过点．
④对于图象上任意一点，代数式是否为定值？如果是，请求出这个定值，如果不是，请说明理由．
⑤结合上述问题，观察图象可知该图象可由哪个函数的图象怎样平移得到？
22．（2020九上·襄城月考）阅读理解：
材料一：若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三数组”.
材料二：若关于x的一元二次方程ax2+bx +c= 0（a≠0）的两根分别为 ， ，则有 ， .
问题解决：
（1）请你写出三个能构成“和谐三数组”的实数 ；
（2）若 ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根， 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解.求证：x1，x2，x3可以构成“和谐三数组”；
（3）若A（m，y1） ，B（m +
1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，且三点的纵坐标恰好构成“和谐三数组”，求实数m的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴ 函数 在每个象限内随着的增大而增大，
∵在函数的图象上有三点，，，
，
∴，
故选：C．
【分析】根据反比例函数的解析式得出在每个象限内随着的增大而增大，再结合即可得解．
2．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由题意知，反比例函数， 的图象在第二或第四象限内y随x的增大而增大，且第二象限内的函数值大于0，第四象限内的函数值小于0，
∵-6<-3<0<3，
∴x3<0即 x3故答案为：C .
【分析】 由题意知，反比例函数， 的图象在第二或第四象限内y随x的增大而增大，且第二象限内的函数值大于0，第四象限内的函数值小于0，进而可根据函数值的大小判断自变量的大小.
3．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：∵某蓄电池的电压为定值，电流I与电阻R满足反比例函数关系，且经过
∴设电流I与电阻R满足
把代入，
解得
∴该蓄电池的电压是
故答案为：A
【分析】设，根据待定系数法将点代入，即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据反比例函数的图象可得，反比例函数的图象在二、四象限，
∴当x＜0时，y随x的增大而增大，且函数值均为正，当x＞0时，y随x的增大而增大，且函数值均为负，
∴当点A、B、C三个点在反比例函数的图象上时，
∵-2＜-1＜2，
∴y2＞y1＞y3；
故答案为：D.
【分析】根据反比例函数的图象和性质判断即可。
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：由于点A是反比例函数图象上一点，则；
又由于，则．
故答案为：D
【分析】根据反比例函数中k的几何意义，可得出，再根据图象所在象限，即可得出k的值。
6．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设BE=m，则CE=2m，AD=3m，令y=3m、m，得x=，
即得E(，m)，D(，3m)
由此得AB=-=，故
整理得，即，
解得k1=16，k2=-3(舍去)，经检验k=16为方程的解.
故答案为：B .
【分析】设BE=m得AD=3m，由此得点E、D的横坐标，即可得AB的长，由此可得，求解方程即可得k的值.
7．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】点的坐标为在反比例函数上，
．
．
反比例函数的解析式为．
点在反比例函数图象上，
可设．
．
∵正方形，
∴
，．
，
．
．
故选：B．
【分析】
先利用待定系数法求出，然后再由反比例函数图象上点的坐标特征设，则可表示出AD与ED的长，再由正方形的各边相等可建立关于的方程，最后再求解并对根进行适当取舍即可．
8．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由反比例函数系数k的几何意义判断各结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；正确，由于A、B在同一反比例函数图象上，则两三角形面积相等，都为；
②四边形PAOB的面积不会发生变化；正确，由于矩形OCPD、三角形ODB、三角形OCA为定值，则四边形PAOB的面积不会发生变化；
③PA与PB始终相等；错误，不一定，只有当四边形OCPD为正方形时满足PA=PB；
④连接OP，点A是PC的中点，
则△OAP和△OAC的面积相等，
∵△ODP的面积=△OCP的面积=，△ODB与△OCA的面积相等，
∴△OBP与△OAP的面积相等，
∴△OBD和△OBP面积相等，
∴点B一定是PD的中点．
故一定正确的是①②④．
故选C．
【分析】本题考查的是反比例函数中k的几何意义，无论如何变化，只要知道过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是个恒等值即易解题．
9．【答案】12
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵轴，
、的横坐标相同，
设，，则，
，
∵的面积为6，
∴，
．
故答案为：．
【分析】先根据轴，得出、的横坐标相同，可设，，从而可得，再利用的面积为6，得出，求得的值即可．
10．【答案】5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
设点的坐标为，
，
，
点，在反比例函数的图象上，
，
，
，
，
，
故答案为：5．
【分析】根据矩形性质可得，，设点的坐标为，根据题意可得，从而可得，根据，结合反比例函数k的结合意义即可求出答案.
11．【答案】m>2
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知反比例函数图象在第二，四象限，
解得：m>2.
故答案为：m>2.
【分析】首先根据当 时，有 则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断2-m的取值范围.
12．【答案】y=2x
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；正比例函数的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设点 D 的横坐标为m，则OC=m.
∵点 D 在反比例函数 的图象上，
∴点 D 的纵坐标为km.
∴CD= km.
∵△OCD∽△ACO，
∴， 得
∴点A 的 坐 标为
∵ B 是OA 的中点，
∴易得点 B 的坐标为 点 B在反比例函数 的图象上，
化简，得2k=m2.
∴点 B 的坐标为(，m).设直线 OA 对应的函数表达式为y= ax，
∴ =m，解得a=2.
∴ 直线OA 对应的函数表达式为y=2x.
故答案为：y=2x .
【分析】设OC=m，根据点D在反比例函数图象上表示出CD，再根据相似三角形对应边成比例列式求出AC，然后根据中点的定义表示出点B的坐标，再根据点B在反比例函数图象上表示出m、k的关系，然后用a表示出点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答.
13．【答案】1.5
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】根据反比例函数的几何意义可知图中所构成的阴影部分的面积和正好是从点P1向x轴，y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积.由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3， ），（4， ）
∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3=2-1× =1.5.
故答案为：1.5.
【分析】根据题意把S2和S3向左移动到S1的下方，然后用S1所在的矩形减去最下面的空白部分的矩形面积就是阴影部分的面积.
14．【答案】（1）解：如图，过点作轴的垂线，交的延长线于点，
轴，
，
，两点在反比例函数=的图象，且纵坐标分别为，，
，，
，，
菱形的面积为，
，
∴=，
∴菱形的边长为；
（2）解：由（1）得，，，
∴，
，
解得：．
【知识点】菱形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）过点作轴的垂线，交的延长线于点，先推出，然后根据反比例函数点的坐标特征得到，的长，由菱形的面积即可求得菱形边的长；
（2）结合（1）的结论，利用勾股定理求出的长，然后由可列方程并解之得出的值．
（1）解：过点作轴的垂线，交的延长线于点，
轴，
，
，两点在反比例函数=的图象，且纵坐标分别为，，
，，
，，
菱形的面积为，
，即=，
=，即菱形的边长为
（2）在中，，
，
．
15．【答案】（1）解：∵点在这个反比例函数的图象上，∴，
解得．
（2）解：∵，∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点在这个函数的图象上．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）把A（1，-2）代入 反比例函数 中，即可求得k的值；
（2）当k=5时，得出反比例函数解析式为，只需计算出当x=时，y的值是不是等于-8即可得出答案。
（1）解：∵点在这个反比例函数的图象上，
∴，
解得．
（2）解：∵，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点在这个函数的图象上．
16．【答案】（1）解：．
（2）解：∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；分式的约分；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用完全平方公式进行化简，最后约分即可求解；
（2）根据反比例函数图象上的点的坐标特征将点代入反比例函数 ，即可求解.
17．【答案】（1）解：∵，
，，
，
；
点的坐标为，
把代入，
解得；
（2）解：由（1）可得，，
∵当时，；当时，，
当时，的取值范围为．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【分析】（1）根据三角形的面积公式先得到的值，则点的坐标为，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）先分别求出和4时的值，再根据反比例函数的性质即可求出答案.
（1）解：∵，
，，
，
；
点的坐标为，
把代入，
解得；
（2）由（1）可得，，
∵当时，；当时，，
当时，的取值范围为．
18．【答案】（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：∵四边形为矩形，
∴B，E横坐标相等，，
把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设点的坐标为，则，∵，
∴与相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得或；
综上，点的坐标为或或或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）由点的坐标为，点为的中点，求出点坐标，再利用待定系数法解答即可；
（）求出点坐标，再根据三角形面积公式计算即可；
（）设点的坐标为，则，由可得与相似，需满足或，据此解答即可求解；
（1）解：四边形为矩形，点的坐标为，点为的中点，
∴，
∵反比例函数的图像经过的中点，
∴，
∴，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：把代入得，，
∴，
∴，
∵，
∴的面积；
（3）解：设点的坐标为，则，
∵，
∴与相似，需满足或，
当时，，
解得或；
当时，，
解得或；
综上，点的坐标为或或或．
19．【答案】（1）反比例函数的图象过点和点，
，
，
，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数为，反比例函数为；
（2）令，则，
解得，
，
；
（3）观察图象，关于的不等式：的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法构造方程组，求解方程组即可求得一次函数和反比例函数的表达式；
（2）由一次函数解析式求得C点的坐标，然后根据求得即可；
（3）根据图象反比例函数在一次函数上面确定x的范围即可求得．
20．【答案】（1）
（2）解：设点，则：，
∵点P是反比例函数图象上的一点，
∴，
∴，
∴点在反比例函数上；
即：Q满足的函数表达式为；
（3）解：设点A的坐标为，
∵点B是点A的“倒数点”，
∴点B的坐标为，
∵点B的横纵坐标满足，
∴点B在某个反比例函数上．
∴点B不可能在上，分两种情况：
①点B在上，
∵轴，
∴点B、点A的纵坐标相等，
∴．解得（负值舍去），
∴点B的纵坐标为1，此时；
②点B在上，则点B的横坐标为3，即，
∴点B的纵坐标为，此时；
所以的面积为或．
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；定义新运算
【解析】【解答】（1）∵第三象限的点的横纵坐标均为负数，且倒数是本身的负数为，∴第三象限内“倒数点”是本身的点的坐标为；
【分析】（1）根据“倒数点”的定义，结合第三象限内点的坐标特征即可求出答案.
（2）设点，则：， 根据反比例函数图象上点的坐标特征可得，化简即可求出答案.
（3）设点A的坐标为， 根据“倒数点”的定义可得点B的坐标为，根据反比例函数图象上点的坐标特征可得点B在某个反比例函数上．再分情况讨论：①点B在上，②点B在上即可求出答案.
21．【答案】（1）不是；4
（2）18
（3）①点是第一象限内的“美好点”，
，
化简得：，
第一象限内的点的横坐标为正，
，
解得：，
关于的函数表达式为：（）；
②列表如下，
如图如图所示：
③故答案为：AB；
④，
，
对于图象上任意一点，代数式是为定值，定值为．
⑤该图象可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，
故答案为：；
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：（1），
点不是“美好点”，
点是第一象限内的一个“美好点”，
，
解得：，
故答案为：不是，4；
（2）是“美好点”，
，
解得：，
，
将代入双曲线，
得，
故答案为：18；
（3）③由图象可得：
A，图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，A正确；
B，由图象可知随着的增大而减小，B正确；
C，随着的增大而增大，该选项说法错误，C错误；
D，当时，，所以图象经过点，故该选项说法错误，D错误
故答案为：AB；
【分析】本题考查矩形的性质、反比例函数的图象与性质．
（1）通过计算可得，再根据“美好点”的定义可以判断点是不是“美好点”，根据“美好点”的定义可列出方程，解方程可求出的值；
（2）根据“美好点”的定义可列出方程，解方程可求出的值，得据此可得的坐标，将点代入反比例函数解析式，可求出k的值，据此可求出答案；
（3）①根据“美好点”的定义可得，通过化简可得：，再根据第一象限内的点的横坐标为正，可列出不等式组，解不等式组可求出x的取值范围，据此可求出关于的函数表达式为；
②先列出表格，再进行描点连线，可画出函数图象，
③根据图象与经过点且平行于坐标轴的直线没有交点，可判断A选项；根据函数图象下降，据此可得图象可知随着的增大而减小，据此可判断B选项和C选项；根据当时，，所以图象经过点，据此可判断D选项.
④将代入，通过化简可得：，据此可得出答案，
⑤由图象观察可知，该图像可由向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，据此可得到答案.
22．【答案】（1） ，2，3（答案不唯一）
（2）证明：∵ ， 是关于x的方程ax2+bx +c= 0 （a，b，c均不为0）的两根，
∴ ， ，
∴ ，
∵ 是关于x的方程bx+c=0（b，c均不为0）的解，
∴ ，∴ ，
∴ = ，
∴x1 ，x2，x3可以构成“和谐三数组”
（3）解：∵A（m，y1） ，B（m + 1，y2） ，C（m+3，y3）三个点均在反比例函数 的图象上，
∴ ， ， ，
∵三点的纵坐标y1，y2，y3恰好构成“和谐三数组”，
∴ 或 或 ，
即 或 或 ，
解得：m=﹣4或﹣2或2.
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：（1）∵ ，
∴ ，2，3是“和谐三数组”；
故答案为： ，2，3（答案不唯一）；
【分析】（1）根据“和谐三数组”的定义可以先写出后2个数，取倒数求和后即可写出第一个数，进而可得答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系求出 ，然后再求出 ，只要满足 = 即可；
（3）先求出三点的纵坐标y1，y2，y3，然后由“和谐三数组”可得y1，y2，y3之间的关系，进而可得关于m的方程，解方程即得结果.
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