6.3 反比例函数的应用-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2023九上·桥西期末）三角形的面积为5，底边长为，底边上的高为，则与的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形的面积
【解析】【解答】
解：根据三角形面积公式可得：，
∴xy=10，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据三角形面积公式可得出，进一步变形，即可得到。
2．（2025九上·兰州期末）近似眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ）
A．0米米 B．米
C．0米米 D．米
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设反比例函数的解析式为，
由题意，将点代入得：，解得，
则反比例函数的解析式为，
当时，，
在范围内，y随x的增大而减小，
当时，，
即若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是米，
故答案为：B．
【分析】根据点在反比例函数图象上，可得出反比例函数的解析式为，进而根据反比例函数的性质，即可得出答案。
3．（2024九上·长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
分别过四个点作坐标轴的垂线，
则与原点围成的矩形面积即为，也就是优秀人数，
由矩形面积可得，
即：4班优秀人数1班优秀人数3班优秀人数2班优秀人数，
故答案为：D．
【分析】根据题意知xy表示的是各班成绩优秀人数 ，根据k的几何意义，可以过四个点作坐标轴的垂线，根据两条垂线与两坐标轴组成的矩形的面积大小，即可得出结论。
4．（2023九上·灵丘期末）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数表达式为
B．在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小
C．当时，
D．当时，
【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意；
∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意；
当时，，故C错误，符合题意；
观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．（2023九上·任城期末）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2，
故选：D．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B点坐标，借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围解答即可．
6．（2023九上·青岛月考）在同一直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A.∵一次函数图象应该过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，A错误，
B.∵一次函数图象应该过第一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，B错误；
C.∵一次函数图象应该过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，C错误；
D.∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经经过一、三象限，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质.根据 一次函数图象应该过第一、二、四象限， 据此可推出 a＜0，b＞0 ，进而可得： ab＜0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断A选项；根据 一次函数图象应该过第一、三、四象限， 据此可推出 a＞0，b＜0 ，进而可得：ab＜0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断B选项；根据一次函数图象应该过第一、二、三象限， 据此可推出 a＜0，b＜0，进而可得： ab＞0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断C选项；根据 一次函数图象经过第二、三、四象限， 据此可推出 a＜0，b＜0，进而可得：ab＞0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断D选项；
7．（2021九上·岱岳期中）函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象如图，点P是y＝ 的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝ 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝ AP．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
【答案】C
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵A、B是反比函数 上的点，∴S△OBD=S△OAC= ，故①符合题意；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②不符合题意；
∵P是 的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣ ﹣ =3，故③符合题意；
连接OP， =4，∴AC= PC，PA= PC，∴ =3，∴AC= AP；故 ④符合题意；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数k的几何意义和反比例函数图象上点坐标的特征及矩形的性质逐一分析求解即可。
8．（2025九上·义乌开学考） 如图，点A在反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第一象限. 点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D. AE为的平分线. 过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE. 若，的面积为 8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接OE， CE， 过点A作 轴，过点D作DH 轴，过点D作
∵过原点的直线与反比例函数 (x>0)的图象交于A， B两点，
∴ A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵AE为 的平分线，
∴AD∥OE，
的面积为8，
设点
∴3DH = AF，
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴
故答案为：B.
【分析】根据A与B关于原点对称可知O是AB的中点，由直角三角形的性质得出OE=OA，故可得出AE为 '的平分线，再由AD∥OE得出， 根据AC=3DC， 的面积为8可知， 设点 根据相似三角形的判定定理得出再由 可得出结论.
二、填空题
9．（2023九上·涟源期末）一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，kg/m3，当V＝40m3时， kg/m3．
【答案】0.68
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，当V＝20m3时，kg/m3，
∴，
解得：，
∴当V＝40m3时，把代入得：（kg/m3），
故答案为：0.68．
【分析】设，根据待定系数法将V＝20m3，kg/m3代入解析式可得，再将V＝40代入解析式即可求出答案.
10．（2024九上·临湘月考）如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线与双曲线交于点，，
∴当时，则的取值范围是：或，
故答案为：或．
【分析】当时，x的取值范围就是一次函数的图象落在反比例函数图象的上方时，对应的x的取值范围．
11．（2025九上·上城开学考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数，直线都经过平面内一个定点．反比例函数的图象与直线交于点和另外一点．当时，的取值范围为 ．
【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵直线，
∴当，即时，有，
∴直线经过平面内一个定点，
∵反比例函数的图象与直线交于点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
若点在第一象限，当时，有，
若点在第三象限，当时，有，
综上所述，当时，的取值范围为：或，
故答案为：或．
【分析】先求出点，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质即可判定点在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可．
12．（2025九上·柳南期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
【答案】4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设反比例函数解析式为，
机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：4．
【分析】首先设反比例函数解析式为，然后根据已知对应值时，，即可求得系数k的值，得出函数关系式，再把代入解析式，即可得出答案。
13．（2025九上·温州开学考） 如图，点 A，B 分别在反比例函数 ， 的图象上，连结 AB 交 y 轴于点 C，作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连结 AD，线段 AD 恰好经过坐标原点 O，若 ，则 的值为 .
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作 轴于F，作 轴于E，如图：
故
又·
故设点A的坐标为 点B的坐标为 ，
则.AF=m，BE=-n，
故点D的坐标为(
设直线AD的解析式为y=kx，
将 代入，得 即
将 代入，得 即 故
整理得
将 代入，得
∴
故答案为：
【分析】作 轴于F，作 轴于E，根据相似三角形的判定和性质得出 结合题意设点A的坐标为 点B的坐标为( ，得出AF=m，BE=-n，求出 根据对称性得出点D的坐标为 根据求一次函数解析式的方法得出 即可求解.
三、解答题
14．（2024九上·岳阳期中）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．
（1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程
【答案】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：由（1）得，
∴当时，有，当时，有，
∵，
∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）求出当，时的函数值，作差后即可求解.
（1）解：设与之间的函数表达式为，
∵该函数关系的图象经过点，
∴，
∴，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
∵，
∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程．
15．（2025九上·北京月考）在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入一次函数
∴2n-3=1，解得：n=2
∴
再将点代入反比例函数
∴，解得：k=2
∴
（2）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）当时，随x的增大而较小，随x的增大而减小
当x=1时，
当x=2时，
∵当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值
∴当x=1时，-2当x=2时，-1<2m<1
∴
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据反比例函数性质可得当时，随x的增大而较小，随x的增大而减小，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．（2025九上·兰州期末）如图，已知反比例函数（k≠0）的图象与一次函数y2＝x＋b（b为常数）的图象相交于点A（1，3）．
（1）求这两个函数的表达式及其图象的另一交点B的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值y1＞y2的自变量x的取值范围；
【答案】解：（1）∵反比例函数（k≠0）的图象与一次函数y2＝x＋b（b为常数）的图象相交于点A（1，3），
∴，
，
解得：，
∴，，
将两函数联立得：
解得：，，
∴B点坐标为：；
故答案为：；，；
（2）利用图象以及A，B点的坐标可得出，
函数值y1＞y2的自变量x的取值范围也就是反比例函数图象在一次函数图象上方（下图红线区域），
∴或．
故答案为：或．
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）首先根据点，可求得这两个函数的表达式，进而解方程组，即可求得B的坐标；（2）根据，，结合函数图象，即可得出或时， y1＞y2 。
17．（2025九上·拱墅月考） 我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为12欧姆时，电流I为12安培.
（1） 求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数表达式；
（2） 若，求电流I的变化范围.
【答案】（1）解：设，当R=12欧姆时，I=12安培，则有，得k=144
故
（2）解：由图像知I随着R的增大而减少，当R=4时，I=36，当R=16时，I=9.
故.
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)设，将(12，12)代入解析式可得k的值，即得函数表达式；
(2)I随R的增大而减少，代入R=4和16求I的值，即可得电流I的取值范围.
18．（2024九上·张店月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴一次函数解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立，
解得：或，
∴，
设，
由题意得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出，得到，解直角三角形得到，则，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，从而求出点的坐标，进而再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）联立两函数的解析式得到方程组并解之可求出点的坐标，然后设，由题意得，可利用勾股定理建立方程求出点的坐标，最后根据，结合三角形面积公式即可求解；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
19．（2024九上·太平月考）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）是轴上一点，且，求点的坐标；
（3）直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）解：将点代入反比例函数中，得，，
解得：，
反比例函数表达为：，
将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，
即，
将、两点代入一次函数中，得，，
解得：，，
一次函数表达式为：；
（2）解：设，即，
对于一次函数，令，则，
即，
，，
而，
，
解得：，
或；
（3）或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴由图象可知，关于的不等式的解集为： 或．
【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数和一次函数的表达式即可；
（2）根据题意先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求出a的值，最后求点M的坐标即可；
（3）根据题意先求出，再根据点A和点B的坐标，结合函数图象求解即可.
（1）解：将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，
反比例函数，
将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，即，
将、两点代入一次函数中，
得，，
解得：，，
一次函数；
（2）解：设，即，
对于一次函数，令，则，即，
，，
而，
，
解得：，
或；
（3）解：，
∴，
即，
∵，
由图象可知：或．
20．（2025九上·杭州月考）小杭在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小杭记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 100
（1）小杭通过分析表格数据发现， F是l的函数.在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的
点，并画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据和图象，判断F是l的什么函数？直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）. 并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：F是l的反比例函数，函数表达式为F，
当OA的长增大时，拉力F减小，
理由：在第一象限内，F随l的增大而减小．
【知识点】反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】(1)将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象；
(2)根据反比例函数的性质即可得到答案.
21．（2025九上·温州开学考）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动.已知OA=OC=12cm，BC=28cm，一个100g的砝码.
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm时，天平平衡.
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP.（不计托盘与横梁重量）
（1）任务1：设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围.
（2）任务2：求这个空矿泉水瓶的重量.
【答案】（1）解：∵左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP，右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），砝码的质量是100g，OA=12cm，
∴100×12=xy.
∴y=．
∵OC=12cm，BC=28cm，
∴OB=40cm.
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴12≤OP≤40．
即12≤x≤40．
∴30≤y≤100．
答：y关于x的函数表达式为：y=（30≤y≤100）；
（2）解：设空瓶的重量为a g，两次加水的重量均为b g，根据题意，得：
．
解得：．
答：这个空矿泉水瓶的重量为10 g.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式，根据OP也就是x的取值范围可得y的取值范围；
任务2：设空瓶的质量为 ag，两次加水的质量均为 bg，根据左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP列出二元一次方程组求解即可得到空瓶的质量.
22．（2024九上·重庆市开学考）如图1，在平面直角坐标系中，，经过A，B两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过A，C两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为（3，5）．
（1）求直线AC的解析式及E点的坐标；
（2）若轴上有一动点F，直线AB上有一动点G．当最小时，求周长的最小值；
（3）如图2，若轴上有一动点Q，直线AB上有一动点，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出P点到直线AC的距离．
【答案】（1）解：∵OA=OB=OC=2，
∴A（-2，0），B（0，2），OC=10，
∴C（0，10），
设直线AC的解析式为y=mx+10，
∴-2m+10=0，
解得m=5，
∴直线AC的解析式为y=5x+10①，
∵点D（3，5）在反比例函数的图象上，
∴k=3×5=15，
∴反比例函数解析式为：，
联立①②解得：或
∴点E在第一象限内，
∴点E坐标为：（1，15）；
（2）解：如图1，
由（1）值，A（-2，0），B（0，2），
设直线AB为y=kx＋b，
将A（-2，0），B（0，2）分别代入得
解得
∴直线AB的解析式为：y=x+2，
过点G作GH⊥x轴于点H，
∵OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∴GH=，
∴，
点G在EH上，且EH⊥x轴，
即G（1，3）时，EG＋最小，如图2，
作点G（1，3）关于y轴的对称点，连接，则，
∴（-1，3），连接交y轴于，
此时，△EFG的周长最小，其值为：
．
即△EFG的周长最小值为+12；
（3）解：或或0
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（3）解：由（2）知，直线AB的解析式为y=x+2，
设P（p，p+2），Q（0，q），
∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，D（3，5），E（1，15），
①当PQ与DE为对角线时，
，
∴p=4，
∴P（4，6），
如图3，
过P作PK⊥AC于K，
∵A（-2，0），C（0，10），
∴AC=，
∴，
∴，
∴，即点P到直线AC的距离为；
②当PE与DQ为对角线时，
，
∴p=2，
∴P（2，4），此时，点P与点B重合，
同①方法可得，点P到直线AC的距离为，
③当PD与QE为对角线时，
，
∴p=-2，
∴P（-2，0），此时，点P与点A重合，
∴点P到直线AC的距离为0，
综上所述点P到直线AC的距离为或或0．
【分析】（1）根据点的坐标与图形性质先确定出点A， C坐标，用待定系数法求出直线AC及反比例函数解析式，联立两函数解析式组成方程组，求解可得点E坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点G作GH⊥x轴于点H，先根据等腰直角三角形性质判断出GH =AG，进而判断出EH垂直于x轴时，EG+AG最小，进而求出点G坐标，作点G（1，3）关于y轴的对称点，连接，则，连接交y轴于，此时△EFG的周长最小，即可求出答案；
（3）分三种情况，①当PQ与DE为对角线时，②当PE与DQ为对角线时，③当PD与QE为对角线时，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标，最后用三角形的面积求出点P到直线AC的距离．
（1）解：∵OA=OB=OC=2，
∴A（-2，0），B（0，2），OC=10，
∴C（0，10），
设直线AC的解析式为y=mx+10，
∴-2m+10=0，
解得m=5，
∴直线AC的解析式为y=5x+10①，
∵点D（3，5）在反比例函数的图象上，
∴k=3×5=15，
∴反比例函数解析式为：，
联立①②解得：，
∴点E在第一象限内，
∴点E坐标为：（1，15）；
（2）如图1，
由（1）值，A（-2，0），B（0，2），
代入y=kx＋b中，可得k=1，b=2，
∴直线AB的解析式为：y=x+2，
过点G作GH⊥x轴于点H，
∵OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∴GH=，
∴，
点G在EH上，且EH⊥x轴，
即G（1，3）时，EG＋最小，如图2，
作点G（1，3）关于y轴的对称点，连接，则，
∴（-1，3），连接交y轴于，
此时，△EFG的周长最小，其值为：
．
即△EFG的周长最小值为+12；
（3）解：由（2）知，直线AB的解析式为y=x+2，
设P（p，p+2），Q（0，q），
∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，D（3，5），E（1，15），
①当PQ与DE为对角线时，
，
∴p=4，
∴P（4，6），
如图3，
过P作PK⊥AC于K，
∵A（-2，0），C（0，10），
∴AC=，
∴，
∴，
∴，即点P到直线AC的距离为；
②当PE与DQ为对角线时，
，
∴p=2，
∴P（2，4），此时，点P与点B重合，
同①方法可得，点P到直线AC的距离为，
③当PD与QE为对角线时，
，
∴p=-2，
∴P（-2，0），此时，点P与点A重合，
∴点P到直线AC的距离为0，
综上所述点P到直线AC的距离为或或0．
1 / 16.3 反比例函数的应用-北师大版数学九年级上册
一、选择题
1．（2023九上·桥西期末）三角形的面积为5，底边长为，底边上的高为，则与的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025九上·兰州期末）近似眼镜的度数（度）与镜片焦距（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是（ ）
A．0米米 B．米
C．0米米 D．米
3．（2024九上·长春月考）如图所示，学校九年级举行跳绳比赛，图中的四个点分别描述了九年级的四个班级竞赛成绩的优秀率（班级优秀人数占班级参加竞赛人数的百分率）与该班参加竞赛人数的情况，其中描述1班和3班两个班级情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则成绩优秀人数最多的是（ ）
A．1班 B．2班 C．3班 D．4班
4．（2023九上·灵丘期末）已知蓄电池两端电压U为定值，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是（ ）
A．函数表达式为
B．在有效范围内，电流I随着电阻R的增大而减小
C．当时，
D．当时，
5．（2023九上·任城期末）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（ ）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
6．（2023九上·青岛月考）在同一直角坐标系中，反比例函数y＝与一次函数y＝ax+b的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·岱岳期中）函数y＝ 和y＝ 在第一象限内的图象如图，点P是y＝ 的图象上一动点，PC⊥x轴于点C，交y＝ 的图象于点B．给出如下结论：①△ODB与△OCA的面积相等；②PA与PB始终相等；③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；④CA＝ AP．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
8．（2025九上·义乌开学考） 如图，点A在反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第一象限. 点C在x轴正半轴上，连接AC交反比例函数图象于点D. AE为的平分线. 过点B作AE的垂线，垂足为E，连接DE. 若，的面积为 8，则k的值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
二、填空题
9．（2023九上·涟源期末）一定质量的氧气，它的密度（kg/m3）是它的体积（m3）的反比例函数，当V＝20m3时，kg/m3，当V＝40m3时， kg/m3．
10．（2024九上·临湘月考）如图，直线与双曲线交于点，，当时，则的取值范围是 ．
11．（2025九上·上城开学考）在平面直角坐标系xOy中，对于任意的实数，直线都经过平面内一个定点．反比例函数的图象与直线交于点和另外一点．当时，的取值范围为 ．
12．（2025九上·柳南期末）机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度 ．
13．（2025九上·温州开学考） 如图，点 A，B 分别在反比例函数 ， 的图象上，连结 AB 交 y 轴于点 C，作点 B 关于 x 轴的对称点 D，连结 AD，线段 AD 恰好经过坐标原点 O，若 ，则 的值为 .
三、解答题
14．（2024九上·岳阳期中）某工程队修建一条村村通公路，所需天数（单位：天）与每天修建该公路长度（单位：米）是反比例函数关系，已知该函数关系的图象经过点，如图．
（1）求与之间的函数表达式（不用写出自变量的取值范围）；
（2）其它条件不变，求该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前多少天完成此项工程
15．（2025九上·北京月考）在坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交点为．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值，直接写出的取值范围．
16．（2025九上·兰州期末）如图，已知反比例函数（k≠0）的图象与一次函数y2＝x＋b（b为常数）的图象相交于点A（1，3）．
（1）求这两个函数的表达式及其图象的另一交点B的坐标；
（2）观察图象，写出使函数值y1＞y2的自变量x的取值范围；
17．（2025九上·拱墅月考） 我们知道当电压一定时，电流与电阻成反比例函数关系，现有某学生利用一个最大电阻为72欧姆的滑动变阻器及一电流表测电源电压，结果如图所示，当电阻R为12欧姆时，电流I为12安培.
（1） 求电流I（安培）关于电阻R（欧姆）的函数表达式；
（2） 若，求电流I的变化范围.
18．（2024九上·张店月考）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与，轴分别相交于点，．且．
（1）分别求这两个函数的表达式；
（2）以点为圆心，线段的长为半径作弧与轴正半轴相交于点，连接，．求的面积；
（3）根据函数的图象直接写出关于的不等式的解集．
19．（2024九上·太平月考）如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）是轴上一点，且，求点的坐标；
（3）直接写出关于的不等式的解集．
20．（2025九上·杭州月考）小杭在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔（gāo）的古代汲水工具（如图1），有一横杆固定于桔槔上O点，并可绕O点转动．在横杆A处连接一竹竿，在横杆B处固定300N的物体，且OB＝1m．若图中人物竖直向下的拉力为F，当改变点A与点O的距离l时，横杆始终处于水平状态，小杭记录了拉力的大小F与l的变化，如下表：
点A与点O的距离l/m 1 1.5 2 2.5 3
拉力的大小F/N 300 200 150 120 100
（1）小杭通过分析表格数据发现， F是l的函数.在如图2所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的
点，并画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据和图象，判断F是l的什么函数？直接写出F关于l的函数表达式（不要求写自变量x取值范围）. 并判断当OA的长增大时，拉力F是增大还是减小？请说明理由．
21．（2025九上·温州开学考）综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的重量？
素材1：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘的点P可以在横梁BC段滑动.已知OA=OC=12cm，BC=28cm，一个100g的砝码.
素材2：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘滑动点P至点B，空瓶中加入适量的水使天平平衡，再向瓶中加入等量的水，发现点P移动到PC长12cm时，天平平衡.
链接：根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP.（不计托盘与横梁重量）
（1）任务1：设右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），求y关于x的函数表达式，并求出y的取值范围.
（2）任务2：求这个空矿泉水瓶的重量.
22．（2024九上·重庆市开学考）如图1，在平面直角坐标系中，，经过A，B两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点D，经过A，C两点的直线与反比例函数在第一象限内的图象交于点E，已知点D的坐标为（3，5）．
（1）求直线AC的解析式及E点的坐标；
（2）若轴上有一动点F，直线AB上有一动点G．当最小时，求周长的最小值；
（3）如图2，若轴上有一动点Q，直线AB上有一动点，以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出P点到直线AC的距离．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】反比例函数的实际应用；三角形的面积
【解析】【解答】
解：根据三角形面积公式可得：，
∴xy=10，
∴．
故答案为：A.
【分析】根据三角形面积公式可得出，进一步变形，即可得到。
2．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】设反比例函数的解析式为，
由题意，将点代入得：，解得，
则反比例函数的解析式为，
当时，，
在范围内，y随x的增大而减小，
当时，，
即若要配制一副度数小于400度的近似眼镜，则镜片焦距的取值范围是米，
故答案为：B．
【分析】根据点在反比例函数图象上，可得出反比例函数的解析式为，进而根据反比例函数的性质，即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
分别过四个点作坐标轴的垂线，
则与原点围成的矩形面积即为，也就是优秀人数，
由矩形面积可得，
即：4班优秀人数1班优秀人数3班优秀人数2班优秀人数，
故答案为：D．
【分析】根据题意知xy表示的是各班成绩优秀人数 ，根据k的几何意义，可以过四个点作坐标轴的垂线，根据两条垂线与两坐标轴组成的矩形的面积大小，即可得出结论。
4．【答案】C
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，将代入可得，故A正确，不符合题意；
∵，∴电流I随着电阻R的增大而减小，故B正确，不符合题意；
当时，，故C错误，符合题意；
观察图象得，当时，，故D正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2，
故选：D．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B点坐标，借助图象得到一次函数图象在反比例函数图象上方时x的取值范围解答即可．
6．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】A.∵一次函数图象应该过第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，A错误，
B.∵一次函数图象应该过第一、三、四象限，
∴a＞0，b＜0，
∴ab＜0，
∴反比例函数的图象经过二、四象限，B错误；
C.∵一次函数图象应该过第一、二、三象限，
∴a＞0，b＞0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，C错误；
D.∵一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∴反比例函数的图象经经过一、三象限，D正确；
故选：D．
【分析】本题考查反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质.根据 一次函数图象应该过第一、二、四象限， 据此可推出 a＜0，b＞0 ，进而可得： ab＜0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断A选项；根据 一次函数图象应该过第一、三、四象限， 据此可推出 a＞0，b＜0 ，进而可得：ab＜0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断B选项；根据一次函数图象应该过第一、二、三象限， 据此可推出 a＜0，b＜0，进而可得： ab＞0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断C选项；根据 一次函数图象经过第二、三、四象限， 据此可推出 a＜0，b＜0，进而可得：ab＞0， 据此可判断反比例函数的图象所过的象限，据此可判断D选项；
7．【答案】C
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵A、B是反比函数 上的点，∴S△OBD=S△OAC= ，故①符合题意；
当P的横纵坐标相等时PA=PB，故②不符合题意；
∵P是 的图象上一动点，∴S矩形PDOC=4，∴S四边形PAOB=S矩形PDOC﹣S△ODB﹣﹣S△OAC=4﹣ ﹣ =3，故③符合题意；
连接OP， =4，∴AC= PC，PA= PC，∴ =3，∴AC= AP；故 ④符合题意；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数k的几何意义和反比例函数图象上点坐标的特征及矩形的性质逐一分析求解即可。
8．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：连接OE， CE， 过点A作 轴，过点D作DH 轴，过点D作
∵过原点的直线与反比例函数 (x>0)的图象交于A， B两点，
∴ A与B关于原点对称，
∴O是AB的中点，
∵AE为 的平分线，
∴AD∥OE，
的面积为8，
设点
∴3DH = AF，
∵CH∥GD，AG∥DH，
∴
故答案为：B.
【分析】根据A与B关于原点对称可知O是AB的中点，由直角三角形的性质得出OE=OA，故可得出AE为 '的平分线，再由AD∥OE得出， 根据AC=3DC， 的面积为8可知， 设点 根据相似三角形的判定定理得出再由 可得出结论.
9．【答案】0.68
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，当V＝20m3时，kg/m3，
∴，
解得：，
∴当V＝40m3时，把代入得：（kg/m3），
故答案为：0.68．
【分析】设，根据待定系数法将V＝20m3，kg/m3代入解析式可得，再将V＝40代入解析式即可求出答案.
10．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵ 直线与双曲线交于点，，
∴当时，则的取值范围是：或，
故答案为：或．
【分析】当时，x的取值范围就是一次函数的图象落在反比例函数图象的上方时，对应的x的取值范围．
11．【答案】或
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵直线，
∴当，即时，有，
∴直线经过平面内一个定点，
∵反比例函数的图象与直线交于点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
若点在第一象限，当时，有，
若点在第三象限，当时，有，
综上所述，当时，的取值范围为：或，
故答案为：或．
【分析】先求出点，利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后根据反比例函数的性质即可判定点在第一象限或第三象限两种情况，分别讨论即可．
12．【答案】4
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】设反比例函数解析式为，
机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
，
反比例函数解析式为，
当时，，
当其载重后总质量时，它的最快移动速度．
故答案为：4．
【分析】首先设反比例函数解析式为，然后根据已知对应值时，，即可求得系数k的值，得出函数关系式，再把代入解析式，即可得出答案。
13．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：作 轴于F，作 轴于E，如图：
故
又·
故设点A的坐标为 点B的坐标为 ，
则.AF=m，BE=-n，
故点D的坐标为(
设直线AD的解析式为y=kx，
将 代入，得 即
将 代入，得 即 故
整理得
将 代入，得
∴
故答案为：
【分析】作 轴于F，作 轴于E，根据相似三角形的判定和性质得出 结合题意设点A的坐标为 点B的坐标为( ，得出AF=m，BE=-n，求出 根据对称性得出点D的坐标为 根据求一次函数解析式的方法得出 即可求解.
14．【答案】（1）解：设与之间的函数表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：由（1）得，
∴当时，有，当时，有，
∵，
∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法进行求解；
（2）求出当，时的函数值，作差后即可求解.
（1）解：设与之间的函数表达式为，
∵该函数关系的图象经过点，
∴，
∴，
∴与之间的函数表达式为；
（2）解：当时，，
当时，，
∵，
∴该工程队每天修建该公路30米要比每天修建24米提前天完成此项工程．
15．【答案】（1）解：将点代入一次函数
∴2n-3=1，解得：n=2
∴
再将点代入反比例函数
∴，解得：k=2
∴
（2）
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：（2）当时，随x的增大而较小，随x的增大而减小
当x=1时，
当x=2时，
∵当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于反比例函数的值，且大于的值
∴当x=1时，-2当x=2时，-1<2m<1
∴
【分析】（1）将点A坐标代入一次函数解析式可得，再根据待定系数法将点A坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
（2）根据反比例函数性质可得当时，随x的增大而较小，随x的增大而减小，再根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
16．【答案】解：（1）∵反比例函数（k≠0）的图象与一次函数y2＝x＋b（b为常数）的图象相交于点A（1，3），
∴，
，
解得：，
∴，，
将两函数联立得：
解得：，，
∴B点坐标为：；
故答案为：；，；
（2）利用图象以及A，B点的坐标可得出，
函数值y1＞y2的自变量x的取值范围也就是反比例函数图象在一次函数图象上方（下图红线区域），
∴或．
故答案为：或．
【知识点】解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；一次函数与不等式（组）的关系；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）首先根据点，可求得这两个函数的表达式，进而解方程组，即可求得B的坐标；（2）根据，，结合函数图象，即可得出或时， y1＞y2 。
17．【答案】（1）解：设，当R=12欧姆时，I=12安培，则有，得k=144
故
（2）解：由图像知I随着R的增大而减少，当R=4时，I=36，当R=16时，I=9.
故.
【知识点】反比例函数的图象；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】(1)设，将(12，12)代入解析式可得k的值，即得函数表达式；
(2)I随R的增大而减少，代入R=4和16求I的值，即可得电流I的取值范围.
18．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与轴交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴一次函数解析式为，
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立，
解得：或，
∴，
设，
由题意得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）先求出，得到，解直角三角形得到，则，然后利用待定系数法求出一次函数解析式，从而求出点的坐标，进而再利用待定系数法求出反比例函数解析式；
（2）联立两函数的解析式得到方程组并解之可求出点的坐标，然后设，由题意得，可利用勾股定理建立方程求出点的坐标，最后根据，结合三角形面积公式即可求解；
（3）利用函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案．
（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函数解析式为，
在中，当时，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函数解析式为；
（2）解：联立
解得或，
∴；
设，
由题意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函数图象可知，当一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围为或，
∴关于的不等式的解集为或．
19．【答案】（1）解：将点代入反比例函数中，得，，
解得：，
反比例函数表达为：，
将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，
即，
将、两点代入一次函数中，得，，
解得：，，
一次函数表达式为：；
（2）解：设，即，
对于一次函数，令，则，
即，
，，
而，
，
解得：，
或；
（3）或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】（3）解：∵，
∴，
即，
∵，
∴由图象可知，关于的不等式的解集为： 或．
【分析】（1）利用待定系数法求反比例函数和一次函数的表达式即可；
（2）根据题意先求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式求出a的值，最后求点M的坐标即可；
（3）根据题意先求出，再根据点A和点B的坐标，结合函数图象求解即可.
（1）解：将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，
反比例函数，
将点代入反比例函数中，
得，，
解得：，即，
将、两点代入一次函数中，
得，，
解得：，，
一次函数；
（2）解：设，即，
对于一次函数，令，则，即，
，，
而，
，
解得：，
或；
（3）解：，
∴，
即，
∵，
由图象可知：或．
20．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：F是l的反比例函数，函数表达式为F，
当OA的长增大时，拉力F减小，
理由：在第一象限内，F随l的增大而减小．
【知识点】反比例函数的实际应用；作图-反比例函数图象
【解析】【分析】(1)将表格中的数值在平面直角坐标系中描出各点，将所描出的点用平滑的曲线连接起来就得到这个函数的图象；
(2)根据反比例函数的性质即可得到答案.
21．【答案】（1）解：∵左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP，右侧托盘放置y（g）物体，OP长x（cm），砝码的质量是100g，OA=12cm，
∴100×12=xy.
∴y=．
∵OC=12cm，BC=28cm，
∴OB=40cm.
∵点P可以在横梁BC段滑动，
∴12≤OP≤40．
即12≤x≤40．
∴30≤y≤100．
答：y关于x的函数表达式为：y=（30≤y≤100）；
（2）解：设空瓶的重量为a g，两次加水的重量均为b g，根据题意，得：
．
解得：．
答：这个空矿泉水瓶的重量为10 g.
【知识点】二元一次方程组的其他应用；反比例函数的实际应用
【解析】【分析】任务1：根据左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式，根据OP也就是x的取值范围可得y的取值范围；
任务2：设空瓶的质量为 ag，两次加水的质量均为 bg，根据左盘砝码重量×OA=右盘物体重量×OP列出二元一次方程组求解即可得到空瓶的质量.
22．【答案】（1）解：∵OA=OB=OC=2，
∴A（-2，0），B（0，2），OC=10，
∴C（0，10），
设直线AC的解析式为y=mx+10，
∴-2m+10=0，
解得m=5，
∴直线AC的解析式为y=5x+10①，
∵点D（3，5）在反比例函数的图象上，
∴k=3×5=15，
∴反比例函数解析式为：，
联立①②解得：或
∴点E在第一象限内，
∴点E坐标为：（1，15）；
（2）解：如图1，
由（1）值，A（-2，0），B（0，2），
设直线AB为y=kx＋b，
将A（-2，0），B（0，2）分别代入得
解得
∴直线AB的解析式为：y=x+2，
过点G作GH⊥x轴于点H，
∵OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∴GH=，
∴，
点G在EH上，且EH⊥x轴，
即G（1，3）时，EG＋最小，如图2，
作点G（1，3）关于y轴的对称点，连接，则，
∴（-1，3），连接交y轴于，
此时，△EFG的周长最小，其值为：
．
即△EFG的周长最小值为+12；
（3）解：或或0
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】（3）解：由（2）知，直线AB的解析式为y=x+2，
设P（p，p+2），Q（0，q），
∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，D（3，5），E（1，15），
①当PQ与DE为对角线时，
，
∴p=4，
∴P（4，6），
如图3，
过P作PK⊥AC于K，
∵A（-2，0），C（0，10），
∴AC=，
∴，
∴，
∴，即点P到直线AC的距离为；
②当PE与DQ为对角线时，
，
∴p=2，
∴P（2，4），此时，点P与点B重合，
同①方法可得，点P到直线AC的距离为，
③当PD与QE为对角线时，
，
∴p=-2，
∴P（-2，0），此时，点P与点A重合，
∴点P到直线AC的距离为0，
综上所述点P到直线AC的距离为或或0．
【分析】（1）根据点的坐标与图形性质先确定出点A， C坐标，用待定系数法求出直线AC及反比例函数解析式，联立两函数解析式组成方程组，求解可得点E坐标；
（2）先利用待定系数法求出直线AB的解析式，过点G作GH⊥x轴于点H，先根据等腰直角三角形性质判断出GH =AG，进而判断出EH垂直于x轴时，EG+AG最小，进而求出点G坐标，作点G（1，3）关于y轴的对称点，连接，则，连接交y轴于，此时△EFG的周长最小，即可求出答案；
（3）分三种情况，①当PQ与DE为对角线时，②当PE与DQ为对角线时，③当PD与QE为对角线时，利用平行四边形的对角线互相平分建立方程求出点P坐标，最后用三角形的面积求出点P到直线AC的距离．
（1）解：∵OA=OB=OC=2，
∴A（-2，0），B（0，2），OC=10，
∴C（0，10），
设直线AC的解析式为y=mx+10，
∴-2m+10=0，
解得m=5，
∴直线AC的解析式为y=5x+10①，
∵点D（3，5）在反比例函数的图象上，
∴k=3×5=15，
∴反比例函数解析式为：，
联立①②解得：，
∴点E在第一象限内，
∴点E坐标为：（1，15）；
（2）如图1，
由（1）值，A（-2，0），B（0，2），
代入y=kx＋b中，可得k=1，b=2，
∴直线AB的解析式为：y=x+2，
过点G作GH⊥x轴于点H，
∵OA=OB，
∴∠OAB=45°，
∴GH=，
∴，
点G在EH上，且EH⊥x轴，
即G（1，3）时，EG＋最小，如图2，
作点G（1，3）关于y轴的对称点，连接，则，
∴（-1，3），连接交y轴于，
此时，△EFG的周长最小，其值为：
．
即△EFG的周长最小值为+12；
（3）解：由（2）知，直线AB的解析式为y=x+2，
设P（p，p+2），Q（0，q），
∵以Q，P，E，D四点为顶点的四边形为平行四边形，D（3，5），E（1，15），
①当PQ与DE为对角线时，
，
∴p=4，
∴P（4，6），
如图3，
过P作PK⊥AC于K，
∵A（-2，0），C（0，10），
∴AC=，
∴，
∴，
∴，即点P到直线AC的距离为；
②当PE与DQ为对角线时，
，
∴p=2，
∴P（2，4），此时，点P与点B重合，
同①方法可得，点P到直线AC的距离为，
③当PD与QE为对角线时，
，
∴p=-2，
∴P（-2，0），此时，点P与点A重合，
∴点P到直线AC的距离为0，
综上所述点P到直线AC的距离为或或0．
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