沪科版数学八年级上册13.2命题与证明分层练习

沪科版数学八年级上册13.2命题与证明分层练习
一、夯实基础
1．（7.2第3课时 定理与证明 —数学北师大版八年级上册）在证明过程中可以作为推理依据的是（　　）
A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理
C．命题 D．真命题
2．下列命题中，是真命题的是(　　)
A．同位角相等
B．垂直于同一条直线的两直线平行
C．相等的角是对顶角
D．平行于同一条直线的两直线平行
3．（北师大版数学八年级上册7.2 认识证明 同步练（第1课时））把命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，改写正确的是(　　)
A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角
B．如果同角，那么补角相等
C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等
D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
4．（2025八上·西湖月考）如图，在中，是边上的高，平分，若，，求和的度数．
5．（2024八上·常德期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且是的中点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的长为，求的周长．
6．（2024八上·长春开学考）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），
∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），
∴________（等量代换）．
7．如图，，求的度数.
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.
解：(已知)，
　 　(等量代换)，
∴　 　∥　 　.（　 　）
　 　 （　 　），
(已知)，
(等式的性质).
8．（2021八上·沂南期中）如图，，垂足为D，点E在AC上，，．求的度数．
9．（2019八上·铁西期末）如图，直线AB、CD交直线MN于点E、F，过AB上的点H作HG⊥MN于点G，若∠EHG＝27°，∠CFN＝117°，判断直线AB、CD是否平行？并说明理由.
10．（2024八上·北京市期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在图中的处，若，．求的度数．
11．（2023八上·巴楚期中）如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，求∠1和∠2的度数.
二、能力提高
12．（2025八上·雷州月考）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
13．如图，将 沿直线DE折叠，点A 落在BC 的延长线点 F 处，若 则 的度数为（　　)
A． B．50 C． D．
14． 如图， 连接AC， AD， BD， BE， CE， 求证
15．（2024八上·台江期中）如图，是的角平分线，平分，交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）直接写出与之间的数量关系．
16．（2019八上·保山期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=80°，∠ABC=70°.求∠BAD，∠AOF的度数.

17．（2018八上·焦作期末）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数.
18．（2025八上·廉江期末）在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，．
（1）如图①，若，，求的度数；
（2）如图②，已知，判断是否平分，并说明理由．
19．如图， 与 的平分线相交于点E，若 ，求∠E 的度数.
三、拓展创新
20．（2023八上·赤壁期中）如图1，点P是两外角平分线的交点．
（1）若，则 ；
（2）探究与的数量关系并说明理由；
（3）如图2，点P是四边形相邻两外角平分线的交点，请直接写出与，的数量关系．
21．（2023八上·天门月考）（1）如图①，△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC， ， ，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠F的度数．
22．（2024八上·杭州月考）阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在中，，图1﹣图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1， ；
如图2， ；
如图3， ；
如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ．
（2）如图5，点O是△两条内角平分线的交点，则 ．
（3）如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】 定义是明确概念的基础，公理是无需证明的基本事实，定理是已被严格证明为真的命题。命题是陈述句，但未被证明前不能作为依据。真命题包含定义、公理、定理等， 根据数学证明的基本规则，定理、定义、公理是直接可引用的依据，
故答案为：B.
【分析】 根据数学证明的基本规则，定理、定义、公理是直接可引用的依据.
2．【答案】D
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；同位角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A项，前提条件没有确定，同位角不一定相等，故本选项错误，
B项，垂直于同一条直线的两直线平行，必须在同一平面内，故本选项错误，
C项，相等的角是对顶角，不符合对顶角的定义，故本选项错误，
D项，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题．
故选：D．
【分析】根据同位角，平行线的判定，对顶角的定义即可求解.
3．【答案】D
【知识点】补角；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：把命题“同角的补角相等”改写成“ 如果……，那么…… ”的形式得：“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”.
故选：D.
【分析】根据命题是题设与结论两部分组成改写，然后选择答案即可.
4．【答案】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据垂直定义得到，然后根据直角三角形两锐角互余可求出∠ACB的度数；根据角平分线的定义得到∠BCE的度数，最后根据三角形的外角性质可求出∠AEC的度数.
5．【答案】（1）解：∵，且是的中点，垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴
（2）解：∵是的中点，
∴，
∵，且，
∴的周长
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形的内角和定理可得，最后利用三角形的外角性质即可解答．
（2）根据已知可得，再用线段的和差关系，以及等量代换可得，即可求得的周长．
（1）解：（1）∵，且是的中点，垂直平分，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵是的中点，
∴，
∵，且，
∴的周长．
6．【答案】解：（1）∵（已知），
∴，
∴（三角形外角的性质）
∴（等量代换）．
（2）∵，
∴（等式的性质），
∴（已知），
∴（等量代换）．
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CDB=90°，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，可得∠A=∠EBC-∠ACB，从而代入计算进即可．
7．【答案】；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：(已知)，
(等量代换)，
∴∥.（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补），
(已知)，
(等式的性质).
【分析】根据等量代换原则，可得∠E=∠BAC；根据同位角相等，两直线平行可得∥，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，进而根据等式的性质，移项，可得∠ABD的度数.
8．【答案】解：∵，
∴∠ADC=90°，
∴∠C=90°-∠A=58°，
∵．
∴=∠B+∠C=58°+40°=98°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出∠C的度数，再利用三角形外角的性质可得∠AEF的度数。
9．【答案】解：结论：AB CD.
理由：∵HG⊥MN，
∴∠HGE＝90°，
∵∠AEF＝∠HGE+∠EHG＝90°+27°＝117°，∠CFN＝117°，
∴∠CFN＝∠AEF，
∴AB CD.
【知识点】平行线的判定；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据垂直定义及外角性质求∠AEF的度数，通过∠AEF与∠CFN的关系判断直线AB、CD的位置关系.
10．【答案】解：∵，，
∴，
∵纸片沿折叠，使点落在图中的处，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】首先由平角解得的值，再利用折叠性质得，，根据三角形外角性质和三角形内角和定理可得，的值，然后由进行计算即可．
11．【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠A，
∵∠A=40°，
∴∠1=40°，
∵∠D=45°，
∴∠2=∠D+∠1=45°+40°=85°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1的度数，再根据三角形外角性质即可求出答案.
12．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
13．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠可知，∠DFE=∠A =25°，
∵∠ADF=∠B+∠BFD=95°，∠B=40°，
∴∠BFD=55°，
∴∠EFB=∠DFE+∠BFD=25°+55°=80°.
故答案为：D
【分析】根据折叠性质可得∠DFE=∠A =25°，再根据三角形外角性质可得∠BFD=55°，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．【答案】证明：如图，
∵∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据三角形外角性质可得∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2，再根据角之间的关系及三角形内角和定理即可求出答案.
15．【答案】（1）∵是的外角，
∴.
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（2），理由如下
∵是的外角，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即．
【分析】（1）根据三角形外角性质可得，再根据角平分线定义可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据三角形外角性质可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）∵是的外角，
∴.
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）．
∵是的外角，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即．
16．【答案】解：∵AD是高，∠ABC=70°，∴∠BAD=90°﹣70°=20°.
∵AE、BF是角平分线，∠BAC=80°，∠ABC=70°，∴∠ABO=35°，∠BAO=40°，∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=75°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数，根据角平分线的定义得出 ∠ABO=35°，∠BAO=40° ，最后根据∠AOF=∠ABO+∠BAO即可算出答案.
17．【答案】解：∵EF GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°.
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】由平行线的性质求出∠ABD=108°，由三角形的外角性质得出∠ABD=∠ACD+∠BDC，即可求出∠BDC的度数.
18．【答案】（1）解：根据题意可知，
由三角形外角的性质可得，
；
（2）解：是平分的，理由如下：
由三角形外角的性质可得，由题意可得：
，
，
，
，
平分．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据题意可知，由三角形外角的性质可得：，即可求解；
（2）根据三角形外角的性质可得，由题意可得，再根据，可得，即可证出平分
（1）解：，，
，
，
；
（2）解：是平分的，
理由如下：
，且，，
，
，
，
平分．
19．【答案】解：∵AE平分∠CAB，BE平分∠CBD，
∵∠CBD=∠CAB+∠C，∠EBD=∠BAE+∠E，
∵∠C=100°，
∴∠E=50°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【分析】根据角平分线定义可得 ，根据三角形外角性质可得∠CBD=∠CAB+∠C，∠EBD=∠BAE+∠E，再根据角之间的关系化简可得，即可求出答案.
20．【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵点P是两外角平分线的交点，
∴
，
在中，，
（3）．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵点P是两外角平分线的交点，
∴
，
在中，，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：如图，
延长交于Q，
则，
∴．
∴
．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）延长交于Q，则，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵点P是两外角平分线的交点，
∴
，
在中，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：由（1）知；
（3）解：如图，
延长交于Q，
则，
∴．
∴
．
21．【答案】（1）解：
∵AD平分∠BAC，
，
，
，
，
；
（2）解：作AH⊥BC于H，如图②，
由（1）可得，
，
，
；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠BAC的度数；根据角平分线的定义，可得∠BAD的度数；根据直角三角形的性质，可得∠BAE的度数；根据等量关系，列代数式，即可求出∠DAE的度数；
（2）根据平行线的判定定理，两条直线同时垂直于一条直线，则这两条直线相互平行，可得AH∥EF；根据两直线平行，同位角相等，可得∠DFE的度数.
22．【答案】（1）；；；
（2）
（3）解：如图6，
是△的外角，
，
，，
，
、是的三等分线，
，，
，
是的平分线，
，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图1，
，，
，
，分别平分和
，
，
，
如图2，
是的外角，
，
，分别平分和，
，，
是的外角，
，
，
如图3，
是的外角，
，
平分，平分，
，，
，
，
如图4，
，的三等分线交于点，，
，，
平分，平分，
平分，
，
，
，
故答案为：，，，.
（2）平分，平分，
，，
．
故答案为：
【分析】（1）图1，根据三角形的内角和定理和角平分线定义即可直接计算；图2和图3，根据三角形的外角性质和角平分线定义即可直接计算；图4，根据线段等分的性质可得，；根据角平分线定义和三角形内角和定理即可计算；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理直接计算即可；
（3）根据三角形外角性质可得的度数；根据线段等分线的性质可得相应教的度数；再根据三角形内角和定理可得的度数；最后根据角平分线的定义直接计算即可.
（1）解：如图1，
，，
，
，分别平分和
，
，
，
如图2，
是的外角，
，
，分别平分和，
，，
是的外角，
，
，
如图3，
是的外角，
，
平分，平分，
，，
，
，
如图4，
，的三等分线交于点，，
，，
平分，平分，
平分，
，
，
，
故答案为：，，，；
（2）解：平分，平分，
，，
．
故答案为：；
（3）解：如图6，
是△的外角，
，
，，
，
、是的三等分线，
，，
，
是的平分线，
，
．
1 / 1沪科版数学八年级上册13.2命题与证明分层练习
一、夯实基础
1．（7.2第3课时 定理与证明 —数学北师大版八年级上册）在证明过程中可以作为推理依据的是（　　）
A．命题、定义、公理 B．定理、定义、公理
C．命题 D．真命题
【答案】B
【知识点】证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】 定义是明确概念的基础，公理是无需证明的基本事实，定理是已被严格证明为真的命题。命题是陈述句，但未被证明前不能作为依据。真命题包含定义、公理、定理等， 根据数学证明的基本规则，定理、定义、公理是直接可引用的依据，
故答案为：B.
【分析】 根据数学证明的基本规则，定理、定义、公理是直接可引用的依据.
2．下列命题中，是真命题的是(　　)
A．同位角相等
B．垂直于同一条直线的两直线平行
C．相等的角是对顶角
D．平行于同一条直线的两直线平行
【答案】D
【知识点】平行线的判定；对顶角及其性质；同位角的概念；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A项，前提条件没有确定，同位角不一定相等，故本选项错误，
B项，垂直于同一条直线的两直线平行，必须在同一平面内，故本选项错误，
C项，相等的角是对顶角，不符合对顶角的定义，故本选项错误，
D项，平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题．
故选：D．
【分析】根据同位角，平行线的判定，对顶角的定义即可求解.
3．（北师大版数学八年级上册7.2 认识证明 同步练（第1课时））把命题“同角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式，改写正确的是(　　)
A．如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角
B．如果同角，那么补角相等
C．如果两个角相等，那么这两个角的补角也相等
D．如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等
【答案】D
【知识点】补角；命题的概念与组成
【解析】【解答】解：把命题“同角的补角相等”改写成“ 如果……，那么…… ”的形式得：“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”.
故选：D.
【分析】根据命题是题设与结论两部分组成改写，然后选择答案即可.
4．（2025八上·西湖月考）如图，在中，是边上的高，平分，若，，求和的度数．
【答案】解：∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】根据垂直定义得到，然后根据直角三角形两锐角互余可求出∠ACB的度数；根据角平分线的定义得到∠BCE的度数，最后根据三角形的外角性质可求出∠AEC的度数.
5．（2024八上·常德期中）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且是的中点，连接．
（1）若，求的度数；
（2）若的长为，求的周长．
【答案】（1）解：∵，且是的中点，垂直平分，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴
（2）解：∵是的中点，
∴，
∵，且，
∴的周长
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得，进而利用等腰三角形的性质可得，，然后利用三角形的内角和定理可得，最后利用三角形的外角性质即可解答．
（2）根据已知可得，再用线段的和差关系，以及等量代换可得，即可求得的周长．
（1）解：（1）∵，且是的中点，垂直平分，
∴，
∵，，
∵，
∴，
∴
（2）解：∵是的中点，
∴，
∵，且，
∴的周长．
6．（2024八上·长春开学考）如图，在直角三角形中，是斜边上的高，，求：
（1）的度数；
（2）的度数．
对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）．
解：（1）∵（已知），
∴________，
∴（________）
∴________________（等量代换）．
（2）∵________，
∴________（等式的性质），
∴（已知），
∴________（等量代换）．
【答案】解：（1）∵（已知），
∴，
∴（三角形外角的性质）
∴（等量代换）．
（2）∵，
∴（等式的性质），
∴（已知），
∴（等量代换）．
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠CDB=90°，然后根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，进行求解即可；
（2）根据三角形的外角的性质“三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”，可得∠A=∠EBC-∠ACB，从而代入计算进即可．
7．如图，，求的度数.
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据.
解：(已知)，
　 　(等量代换)，
∴　 　∥　 　.（　 　）
　 　 （　 　），
(已知)，
(等式的性质).
【答案】；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补
【知识点】平行线的判定与性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【解答】解：(已知)，
(等量代换)，
∴∥.（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同旁内角互补），
(已知)，
(等式的性质).
【分析】根据等量代换原则，可得∠E=∠BAC；根据同位角相等，两直线平行可得∥，再根据两直线平行，同旁内角互补可得，进而根据等式的性质，移项，可得∠ABD的度数.
8．（2021八上·沂南期中）如图，，垂足为D，点E在AC上，，．求的度数．
【答案】解：∵，
∴∠ADC=90°，
∴∠C=90°-∠A=58°，
∵．
∴=∠B+∠C=58°+40°=98°．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】先利用三角形的内角和求出∠C的度数，再利用三角形外角的性质可得∠AEF的度数。
9．（2019八上·铁西期末）如图，直线AB、CD交直线MN于点E、F，过AB上的点H作HG⊥MN于点G，若∠EHG＝27°，∠CFN＝117°，判断直线AB、CD是否平行？并说明理由.
【答案】解：结论：AB CD.
理由：∵HG⊥MN，
∴∠HGE＝90°，
∵∠AEF＝∠HGE+∠EHG＝90°+27°＝117°，∠CFN＝117°，
∴∠CFN＝∠AEF，
∴AB CD.
【知识点】平行线的判定；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据垂直定义及外角性质求∠AEF的度数，通过∠AEF与∠CFN的关系判断直线AB、CD的位置关系.
10．（2024八上·北京市期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在图中的处，若，．求的度数．
【答案】解：∵，，
∴，
∵纸片沿折叠，使点落在图中的处，
∴，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】首先由平角解得的值，再利用折叠性质得，，根据三角形外角性质和三角形内角和定理可得，的值，然后由进行计算即可．
11．（2023八上·巴楚期中）如图，AB∥CD，∠A=40°，∠D=45°，求∠1和∠2的度数.
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠1=∠A，
∵∠A=40°，
∴∠1=40°，
∵∠D=45°，
∴∠2=∠D+∠1=45°+40°=85°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠1的度数，再根据三角形外角性质即可求出答案.
二、能力提高
12．（2025八上·雷州月考）如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故选：A．
【分析】根据三角形外角性质即可求出答案.
13．如图，将 沿直线DE折叠，点A 落在BC 的延长线点 F 处，若 则 的度数为（　　)
A． B．50 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠可知，∠DFE=∠A =25°，
∵∠ADF=∠B+∠BFD=95°，∠B=40°，
∴∠BFD=55°，
∴∠EFB=∠DFE+∠BFD=25°+55°=80°.
故答案为：D
【分析】根据折叠性质可得∠DFE=∠A =25°，再根据三角形外角性质可得∠BFD=55°，再根据角之间的关系即可求出答案.
14． 如图， 连接AC， AD， BD， BE， CE， 求证
【答案】证明：如图，
∵∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2
∴
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据三角形外角性质可得∠A+∠C=∠1，∠B+∠E=∠2，再根据角之间的关系及三角形内角和定理即可求出答案.
15．（2024八上·台江期中）如图，是的角平分线，平分，交于点E．
（1）若，求的度数；
（2）直接写出与之间的数量关系．
【答案】（1）∵是的外角，
∴.
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（2），理由如下
∵是的外角，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即．
【分析】（1）根据三角形外角性质可得，再根据角平分线定义可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据三角形外角性质可得，再根据角平分线定义可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）∵是的外角，
∴.
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即，
∴；
（2）．
∵是的外角，
∴．
∵是的角平分线，
∴，
∴，
即．
16．（2019八上·保山期中）如图，在△ABC中，AD是高，AE、BF是角平分线，它们相交于点O，∠BAC=80°，∠ABC=70°.求∠BAD，∠AOF的度数.

【答案】解：∵AD是高，∠ABC=70°，∴∠BAD=90°﹣70°=20°.
∵AE、BF是角平分线，∠BAC=80°，∠ABC=70°，∴∠ABO=35°，∠BAO=40°，∴∠AOF=∠ABO+∠BAO=75°.
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数，根据角平分线的定义得出 ∠ABO=35°，∠BAO=40° ，最后根据∠AOF=∠ABO+∠BAO即可算出答案.
17．（2018八上·焦作期末）如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC=72°，∠ACD=58°，点D在GH上，求∠BDC的度数.
【答案】解：∵EF GH，∴∠ABD+∠FAC=180°，∴∠ABD=180°﹣72°=108°，∵∠ABD=∠ACD+∠BDC，∴∠BDC=∠ABD﹣∠ACD=108°﹣58°=50°.
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】由平行线的性质求出∠ABD=108°，由三角形的外角性质得出∠ABD=∠ACD+∠BDC，即可求出∠BDC的度数.
18．（2025八上·廉江期末）在中，，D，E分别是边和延长线上的点，连接，，．
（1）如图①，若，，求的度数；
（2）如图②，已知，判断是否平分，并说明理由．
【答案】（1）解：根据题意可知，
由三角形外角的性质可得，
；
（2）解：是平分的，理由如下：
由三角形外角的性质可得，由题意可得：
，
，
，
，
平分．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【分析】（1）根据题意可知，由三角形外角的性质可得：，即可求解；
（2）根据三角形外角的性质可得，由题意可得，再根据，可得，即可证出平分
（1）解：，，
，
，
；
（2）解：是平分的，
理由如下：
，且，，
，
，
，
平分．
19．如图， 与 的平分线相交于点E，若 ，求∠E 的度数.
【答案】解：∵AE平分∠CAB，BE平分∠CBD，
∵∠CBD=∠CAB+∠C，∠EBD=∠BAE+∠E，
∵∠C=100°，
∴∠E=50°.
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【分析】根据角平分线定义可得 ，根据三角形外角性质可得∠CBD=∠CAB+∠C，∠EBD=∠BAE+∠E，再根据角之间的关系化简可得，即可求出答案.
三、拓展创新
20．（2023八上·赤壁期中）如图1，点P是两外角平分线的交点．
（1）若，则 ；
（2）探究与的数量关系并说明理由；
（3）如图2，点P是四边形相邻两外角平分线的交点，请直接写出与，的数量关系．
【答案】（1）
（2）解：，理由如下：
∵点P是两外角平分线的交点，
∴
，
在中，，
（3）．
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【解答】（1）解：∵点P是两外角平分线的交点，
∴
，
在中，，
∵，
∴；
故答案为：；
（3）解：如图，
延长交于Q，
则，
∴．
∴
．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）根据角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（3）延长交于Q，则，即，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵点P是两外角平分线的交点，
∴
，
在中，，
∵，
∴；
故答案为：；
（2）解：由（1）知；
（3）解：如图，
延长交于Q，
则，
∴．
∴
．
21．（2023八上·天门月考）（1）如图①，△ABC中，点D，E在边BC上，AD平分∠BAC，AE⊥BC， ， ，求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把（1）中的条件“AE⊥BC”变成“F为DA延长线上一点，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠F的度数．
【答案】（1）解：
∵AD平分∠BAC，
，
，
，
，
；
（2）解：作AH⊥BC于H，如图②，
由（1）可得，
，
，
；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，可得∠BAC的度数；根据角平分线的定义，可得∠BAD的度数；根据直角三角形的性质，可得∠BAE的度数；根据等量关系，列代数式，即可求出∠DAE的度数；
（2）根据平行线的判定定理，两条直线同时垂直于一条直线，则这两条直线相互平行，可得AH∥EF；根据两直线平行，同位角相等，可得∠DFE的度数.
22．（2024八上·杭州月考）阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在中，，图1﹣图3的的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1， ；
如图2， ；
如图3， ；
如图4，，的三等分线交于点，，连接，则 ．
（2）如图5，点O是△两条内角平分线的交点，则 ．
（3）如图6，中，的三等分线分别与的平分线交于点，，若，，求的度数．
【答案】（1）；；；
（2）
（3）解：如图6，
是△的外角，
，
，，
，
、是的三等分线，
，，
，
是的平分线，
，
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：如图1，
，，
，
，分别平分和
，
，
，
如图2，
是的外角，
，
，分别平分和，
，，
是的外角，
，
，
如图3，
是的外角，
，
平分，平分，
，，
，
，
如图4，
，的三等分线交于点，，
，，
平分，平分，
平分，
，
，
，
故答案为：，，，.
（2）平分，平分，
，，
．
故答案为：
【分析】（1）图1，根据三角形的内角和定理和角平分线定义即可直接计算；图2和图3，根据三角形的外角性质和角平分线定义即可直接计算；图4，根据线段等分的性质可得，；根据角平分线定义和三角形内角和定理即可计算；
（2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理直接计算即可；
（3）根据三角形外角性质可得的度数；根据线段等分线的性质可得相应教的度数；再根据三角形内角和定理可得的度数；最后根据角平分线的定义直接计算即可.
（1）解：如图1，
，，
，
，分别平分和
，
，
，
如图2，
是的外角，
，
，分别平分和，
，，
是的外角，
，
，
如图3，
是的外角，
，
平分，平分，
，，
，
，
如图4，
，的三等分线交于点，，
，，
平分，平分，
平分，
，
，
，
故答案为：，，，；
（2）解：平分，平分，
，，
．
故答案为：；
（3）解：如图6，
是△的外角，
，
，，
，
、是的三等分线，
，，
，
是的平分线，
，
．
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