第二十四章一元二次方程随堂练习（含答案）冀教版数学九年级上册

第二十四章一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用公式法解方程，其中根的判别式的值是（ ）
A． B． C．12 D．8
2．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
3．已知是关于的方程的根，则的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
4．方程 的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．有一个实根
5．已知一元二次方程，若，则该方程一定有一个根为（ ）
A． B．3 C． D．不能确定
6．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
7．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（ ）
A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法
B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法
C．①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法
D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法
8．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．用因式分解法解下列方程，正确的是（ ）
A．，所以或
B．，所以或
C．，所以或
D．，所以
10．《九章算术》中有一题：“今有二人同所立．甲行率七，乙行率三．乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会．问甲行几何．”大意是说：已知甲、乙两人同时从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3．乙一直往东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．那么相遇时甲走了多远（ ）
A．步 B．步 C．步 D．步
11．关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
12．为实施国家劳动教育课程实验，某校开发出一块长为30米、宽为25米的长方形菜园（如图），为了便于管理，现要在中间开辟一纵两横三条等宽的小道，要使种植面积为650平方米．设小道的宽为x米，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，在中，，cm，cm，点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，其速度均为．设运动时间为，则当的面积是的面积的一半时，的值为 ．
14．有一个数值转换机，其流程如图所示，若输入，则输出的x的值为 ；若输入，则输出的x的值为 ．
15．某学校有一矩形空地，长，宽，计划在这块空地上划出如图所示宽度（单位：m）相等的形区域建成花圃．已知花圃的面积为，则的值为 ．
16．“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本思维方，如：解方程，就可以利用该思维方式，设，将原方程转化为：这个熟悉的关于的一元二次方程，解出，再求，这种方法又叫“换元法”，请你用这种思维方式和换元法解方程：．方程的解为 ．
17．已知关于x的一元二次方程的一个根，且，则此方程的另一个根 ．
三、解答题
18．用配方法解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
19．解方程：
(1)；
(2)．
20．如图，在中，，动点从点沿边向以的速度移动（不与点重合）；动点从点沿边向以的速度移动（不与点C重合）
(1)设时间为，则________，________；
(2)如果、分别从、同时出发，出发多少秒后，四边形的面积为？
21．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)．
(2)．
(3)．
22．解下列方程：
(1) (配方法)
(2) (公式法)
23．石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施：
对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售
当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗碗
(1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；
(2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630；
(3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理．
①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗；
②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元．
24．已知关于的方程
(1)为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
《第二十四章一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D A B D D B A C
题号 11 12
答案 B A
1．B
【分析】本题考查了根的判别式的确定．代入根的判别式进行计算即可，注意首先确定一元二次方程的各项系数及常数项．
【详解】解：∵，，，
∴，
故选：B．
2．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：或（舍）
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了方程的解的定义，即使方程左右两边相等的未知数的值，掌握方程的解的意义是解题的关键．把代入求得．
【详解】解：把代入得
，
故
故选D．
4．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式．一元二次方程根的判别式．，一元二次方程有两个不相等的实数根；，一元二次方程有两个相等的实数根；，一元二次方程没有实数根．熟练掌握是解决问题的关键．
求出的值即可判断．
【详解】∵，
∴．
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
5．B
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，掌握一元二次方程的解的概念是解题的关键．
由于当时，，则可判断该方程一定有一个根为3．
【详解】解：当时，，所以若，则该方程一定有一个根为3．
故选B．
6．D
【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数（元），且未知数的最高次数是2，且两边都是整式，这样的方程叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义逐一判断各选项即可．
【详解】解：A. 方程 含有分式 ，不是整式方程，故不符合；
B. 方程 含有两个未知数 和 ，属于二元二次方程，故不符合；
C. 方程 中未知数的最高次数为3，属于三次方程，故不符合；
D. 方程 展开后为 ，仅含一个未知数且最高次数为2，是整式方程，符合定义；
故选：D．
7．D
【分析】根据各方程的特点逐一判别即可．
【详解】解：①适合直接开平方法；
②适合公式法；
③适合因式分解法；
④适合因式分解法；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
8．B
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤及方法是解题的关键．先移项，再给方程两边加上一次项系数一半的平方即可得出结果．
【详解】解：，
移项，得，
配方，得，
即，
故选：B．
9．A
【分析】根据因式分解法解方程的基本步骤去判断即可．
【详解】A. ，所以或，符合题意；
B. ，所以或，错误，不符合题意；
C. ，所以或，错误，不符合题意；
D. ，所以，错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查了因式分解法解方程，熟练掌握因式分解法解方程的基本步骤是解题的关键．
10．C
【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，勾股定理的运用，根据题意作出如下图所示，设经秒二人在处相遇，可得：，，，然后利用勾股定理列出方程求解，然后即可得出甲走的步数．
【详解】设经x秒二人在B处相遇，这时乙共行走：，
甲共行走：，
，
，
又，
，
，
解得：（舍去）或，
，
，
即甲走了步，
故选：C．
11．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式，解题的关键是掌握根的判别式．
根据根的情况利用根的判别式列出不等式，然后进行求解即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
∵，
∴，
综上，且，
故选：B．
12．A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意用x表示出矩形的长和宽是解题的关键．由题意得种植的矩形的长为，宽为，即可求解．
【详解】解：∵小道的宽为x米，
∴需要种植的矩形的长为米，宽为米，
则，
故选：A．
13．2
【分析】本题考查了一元二次方程在几何问题中的应用，解题的关键在于根据三角形面积公式分别表示出和的面积，然后根据面积关系列出方程求解．
根据运动速度，可得，，则可表示与，再表示出和的面积，列式求解即可．
【详解】解：∵点，分别从，两点出发沿，方向向终点匀速运动，
且其速度均为，运动时间为，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
，
∵的面积是的面积的一半，
∴，
整理可得，
解得，，
∵当时，点P运动路程为，不满足题意，
∴当的面积是的面积的一半时，的值为2．
故答案为：2 ．
14． 或 无解
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据题意分别列出一元二次方程，求解即可，熟练掌握解一元二次方程的方法是解此题的关键．
【详解】解：若输入，则，
∴，
解得或，即此时输出的x的值为或；
若输入，则，
此时，故此时输出的x的值为无解，
故答案为：或；无解．
15．10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出方程是解决问题的关键．
由列出方程，解方程即可求出．
【详解】解：由题意，得，
即，
解得，．
，
，
不符合题意，舍去．
故答案为：．
16．，
【分析】设，则原方程化为，求出的值，当时，，根据算术平方根具有非负性得出此时方程无解；当时，，求出，最后进行检验即可．
【详解】解：，
设，则原方程化为：
，
，
解得：，，
当时，，
算术平方根具有非负性，所以此方程无解；
当时，，
方程两边平方，得，
解得：，，
经检验，都是原方程的解．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了无理方程，解一元二次方程，用换元法解方程等知识点，能正确换元是解此题的关键，注意：解无理方程一定要进行检验．
17．
【分析】本题考查了利用根的判别式判断一元二次方程根的情况；
根据判别式等于0，可知一元二次方程有两个相等的实数根，从而求得答案.
【详解】解：∵一元二次方程满足，
∴一元二次方程有两个相等的实数根.
∴.
故答案为：．
18．(1)
(2)无实数根
(3)
(4)
【分析】（1）运用完全平方公式：移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，左右开平方，化为一次方程求解；
（2）移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，等式右边小于0，故方程无实数根；
（3）运用完全平方公式：移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，左右开平方，化为一次方程求解；
（4）运用完全平方公式：移项，未知项放左边，常数项放右边，二次项系数化为1，左右两边加上一次项系数一半的平方，左右开平方，化为一次方程求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
∴或，
∴．
（2）解：，
，
，
∴方程无实数根．
（3）解：，
，
，
，
∴或．
∴．
（4）解：，
，
，
，
∴或．
∴
【点睛】本题考查配方法求解一元二次方程，理解完全平方公式是解题的关键．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题考查了解一元二次方程，
（1）采用因式分解法作答即可；
（2）两边同时开方转化为一元一次方程，即可作答．
【详解】（1），
方程左边分解因式，得
所以或，
解得，；
（2），
开平方，得，或，
解得，．
20．(1)；
(2)秒后，四边形的面积为．
【分析】（1）根据题意列出代数式，即可求解；
（2）根据建立方程即可求解．
【详解】（1）解：设时间为，依题意，，，
故答案为：；．
（2）解：设秒后，四边形的面积为，
∴，
∴，
即，
解得：
当时，，
∵不与点重合，
∴不合题意舍去，
答：秒后，四边形的面积为．
【点睛】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
21．(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1
(2)，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6
(3)，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为
【分析】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案：
（1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
【详解】（1）解：整理，得，
故二次项系数为3，一次项系数为，常数项为1．
（2）整理，得，
故二次项系数为1，一次项系数为，常数项为6．
（3）整理，得，
故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为．
22．(1)，
(2)
【分析】（1）采用配方法解一元二次方程即可；
（2）采用公式法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：，
，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、直接开平方法、配方法、因式分解法，选择合适的方法解一元二次方程是解题的关键．
23．(1)；
(2)9元
(3)①每碗凉面的定价为10元时，当天米线、凉面销售总量最多，为270碗；②8
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键；
（1）根据题意列出，待定系数法求得；
（2）根据题意得，解一元二次方程，即可求解．
（3）①根据题意得出，设米线和凉面销售总量为，则，根据一次函数的性质，即可求解；
②根据销量乘以定价，列出一元二次方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：
设
当时，，当时，
∴
解得：
∴
（2）解：依题意，
解得：，
∵为整数，
∴，即每碗米线定价元
（3）解：①∵，即
设米线和凉面销售总量为，则
∵
随的增大而增大
又∵
∴当取得最大值时，最大值为
∴每碗凉面的定价为元时，当天米线和凉面销售总量最多，为碗；
②依题意，
解得：或（舍去）
故答案为：．
24．(1)
(2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为
【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
（1）利用一元一次方程的定义判断即可；
（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．
【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
由题意得：，
．
当时此方程是一元一次方程；
（2）由题意得：，
．
当时，此方程是一元二次方程．
此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m.