24.2解一元二次方程随堂练习（含答案）冀教版数学九年级上册

24.2解一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．无实数根 D．无法判断
2．用配方法解方程，将方程变成的形式，则的值分别为（ ）
A． B．
C． D．
3．关于的一元二次方程，则下列说法正确的是（ ）
A．时，方程无实数根
B．时，方程有两个相等的实数根
C．时，方程有两个不相等实数根
D．时，方程有一个实数根
4．已知，，下列结论正确的是（ ）
A．的最大值是0 B．的最小值是
C．当时，为正数 D．当时，为负数
5．方程的解是（ ）
A． B．
C． D．
6．用配方法解方程时，配方后所得的方程是（ ）
A． B．
C． D．
7．解一元二次方程时，可以将其转化为两个一元一次方程，若其中一个一元一次方程为，则另一个一元一次方程为（ ）
A． B． C． D．
8．解这个方程最简单的方法是（　　）
A．公式法 B．因式分解法
C．配方法 D．直接开平方法
9．小聪、小明、小伶、小刚四人共同探究代数式的值的情况他们做了如下分工：小聪负责找值为0时x的值，小明负责找值为4时x的值，小伶负责找最小值，小明负责找最大值，几分钟后，各自通报探究的结论，其中正确的是（ ）
（1）小聪认为找不到实数x，使得值为0；
（2）小明认为只有当时，的值为4；
（3）小伶发现没有最小值；
（4）小刚发现没有最大值．
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（2）（4） D．（2）（3）（4）
10．若2是方程的一个根，则的值和方程的另一个根分别是（　　）
A．4， B．2， C．， D．，
11．关于的方程的根的情况是（ ）．
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
12．求方程的根时，由求根公式得，则m的值为（ ）
A． B． C． D．7
二、填空题
13．一元二次方程的根是 ．
14．已知关于的一元二次方程的根为，那么关于y的一元二次方程的解 ．
15．若a，b是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为 ．
16．一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ．
17．已知关于x的一元二次方程恰有一个根小于，则k的取值范围为 ．
三、解答题
18．阅读下列内容，并解答问题．
我们知道，边形的对角线条数公式为．如果一个n边形共有20条对角线，那么可以得到方程．整理，得，解得，．
不合题意，舍去，
，即该多边形是八边形．
(1)若一个多边形共有14条对角线，则这个多边形的边数是多少？
(2)A同学说：“我求得一个多边形共有10条对角线．”你认为A同学的说法正确吗？请说明理由．
19．用适当的方法解下列一元二次方程
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
20．【阅读材料】
配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指把形如的二次三项式或（其一部分）配成完全平方式的方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即，配方法在解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等问题中都有着广泛应用．
例：求代数式的最小值．
解：，
，．
当时，的最小值为1．
【类比探究】
（1）按照上述方法，用配方法求代数式最小值；
【灵活运用】
（2）试说明：无论取何实数，二次根式都有意义．
21．已知关于x的一元二次方程，其中a，b，c分别为三边的长．
(1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；
(2)如果是等腰直角三角形，c为斜边，解这个一元二次方程．
22．解方程：
(1)；
(2)．
23．已知关于x的方程．
(1)求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
(2)若此方程有两个根，请用含有k的式子表示出方程的解；
(3)在（2）的情况下，若这两个方程的根为整数根，试求出正整数k的值；
24．解方程：．
《24.2解一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B B C C A B C A
题号 11 12
答案 B C
1．A
【分析】本题考查了根的判别式，根据方程根的判别式的符号确定方程解的情况是解题的关键．
首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可．
【详解】∵
∴
∴
∴有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．C
【分析】本题主要考查了运用配方法解一元二次方程，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
先整理方程，然后再运用完全平方公式配方即可解答．
【详解】解：，
，
，
所以．
故选C．
3．B
【分析】该题考查了直接开平方法解方程，根据选项中的k值得出方程，求解即可．
【详解】解：A． 时，，，方程有两个不相等的实数根，故错误，不符合题意；
B． 时，，，方程有两个相等的实数根，正确，符合题意；
C． 时，，方程没有实数根，故错误，不符合题意；
D． 时，，，，方程有两个不相等的实数根，故错误，不符合题意；
故选：B．
4．B
【详解】本题考查整式加减运算，配方法的应用．熟练掌握合并同类项，以及配方法，是解题的关键利用配方法表示出，以及时，用含的式子表示出，确定的符号，进行判断即可．
【分析】解：∵，，
∴
；
∴当时，有最小值；
当时，即：，
∴，
∴，
∴，即是非正数；
故选项错误，不符合题意，选项正确，符合题意；
故选B．
5．C
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，利用直接开平方的方法解方程即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
解得，
故选：C．
6．C
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．先把常数项移到等号的右边，再把等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即可得答案．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，即．
故选：C．
7．A
【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，根据直接开平方法求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：
∴，
∴，
∴或
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有4种，即直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
方程的前后两项都含有因式，故可用因式分解法分解因式．
【详解】解：解这个方程最简单的方法是因式分解法．
A、正确，但不符合题意；
B、正确，也符合题意；
C、正确，但不符合题意；
D、正确，但不符合题意．
故选：B．
9．C
【分析】本题考查配方法的应用，解一元二次方程，利用配方法确定的范围判断（1）（3）（4），解一元二次方程判断（2）即可．
【详解】解：∵，
又∵，
∴，
故不存在实数x，使得值为0，
当时，有最小值为4，不存在最大值，
当时，解得：；
故（1）（2）（4）正确，（3）错误；
故选C．
10．A
【分析】根据方程根的定义，把代入即可得出，再根据直接开平方法即可得出另一个根．
【详解】解：是方程的一个根，
，
解得，
则，
解得，．
故选：A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程直接开平方法，注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．③方法是根据平方根的意义开平方．
11．B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，
根据一元二次方程根的判别式可得，再根据结果可得结论．
【详解】解：一元二次方程中，
，
∴，
∴这个一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：B．
12．C
【分析】该题主要考查了一元二次方程求根公式，解题的关键是掌握求根公式．对照一元二次方程的一般式（为常数），根据求根公式，即可求解．
【详解】解：根据题意可得：，而求根公式得，
故，
故选：C．
13．，
【分析】本题考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴或，
解得：，，
故答案为：，．
14．和
【分析】根据一元二次方程的解的定义可得，进而解关于的一元二次方程即可求解．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根为，
∴关于y的一元二次方程可得，
解得和．
故答案为：和．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键．
15．3
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得，，
所以．
故答案为：3
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式及其与根的关系，具体涉及判别式的计算公式 和无实数根的条件 ．解题的关键在于准确应用判别式公式，建立并解不等式，最终得出 的取值范围．根据一元二次方程无实数根的条件，需满足判别式小于零，从而建立不等式求解m的取值范围．
【详解】解：一元二次方程无实数根，
，即，
解得．
故答案为：．
17．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，解一元一次不等式，解一元二次方程得出，，结合题意得出，解一元一次不等式即可得解．
【详解】解：由题意可得：，
∴此方程总有两个实数根，
∴，
∴，，
∵关于x的一元二次方程恰有一个根小于，
∴，
∴，
故答案为：．
18．(1)这个多边形的边数是7
(2)A同学的说法不正确．理由见解析
【分析】本题考查多边形的对角线，一元二次方程的应用．本题中列式比较容易，主要是理解多边形的边数为正整数．
（1）根据多边形的对角线公式列出方程求解即可；
（2）根据多边形的对角线公式列出方程，根据所求得的解要为正整数分析即可．
【详解】（1）解：根据颗意，得．
整理，得，
解得．
不合题意，舍去
，即这个多边形的边数是7．
（2）解：A同学的说法不正确．理由如下：
当，即时，解得，
∴符合方程的正整数n不存在，
∴多边形的对角线不可能有10条，即A同学的说法不正确．
19．(1)，；
(2)，；
(3)，；
(4)，．
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．
（1）运用开平方法求解；
（2）因式分解法求解即可；
（3）公式法求解即可；
（4）先移项，再运用因式分解法求解．
【详解】（1）解：
解得：，；
（2）解：
或
解得：，；
（3）解：
，
∴，
∴，．
（4）解：
或，
∴，．
20．（1）5；（2）见解析
【分析】本题考查了配方法的应用、二次根式有意义的条件，熟练掌握完全平方公式是解此题的关键．
（1）仿照题干所给例子求解即可；
（2）仿照题干所给例子求出当时，的最小值为5，再根据二次根式有意义的条件判断即可得解．
【详解】（1）解：，
，
，
当时，的最小值是5；
（2）无论取何实数，二次根式都有意义，理由如下：
，
，
当时，的最小值为5．
又，
无论取何实数，二次根式都有意义．
21．(1)是等腰三角形，理由见解析
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程的解、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）将代入方程得出，即可得解；
（2）由等腰直角三角形的性质结合勾股定理可得，，则原方程可得化为，再利用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下：
∵是方程的根，
∴，
∴，即，
∴是等腰三角形；
（2）解：∵是等腰直角三角形，c为斜边，
∴，，
∴，
∴原方程可得化为：，
解得：，．
22．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
则或，
解得，；
（2）解：，
∴，
∴，
则或，
解得，．
23．(1)证明见解析
(2)，
(3)或
【分析】（1）分和两种情况考虑：当时，方程为一元一次方程，有实数根；当时，根的判别式，由此可得出方程有实数根．综上即可证出结论；
（2）由方程有两个根，可得出，利用求根公式求出、的值，
（3）由和为整数以及k为正整数，即可求出k的值．
【详解】（1）证明：当，即时，原方程为，
解得：；
当，即时，
，
∴方程有实数根．
综上可知：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）∵方程有两个整数根，
∴，，且
（3）由（2）可得，
∵整数，k为正整数．
∴或．
【点睛】本题考查了根的判别式以及利用公式法解方程，解题的关键是：（1）分和两种情况考虑；（2）找出，．
24．或
【分析】本题考查了解一元二次方程．
先移项，再根据因式分解法计算即可．
【详解】
或
解得：或