24.3一元二次方程根与系数的关系随堂练习（含答案）冀教版数学九年级上册

24.3一元二次方程根与系数的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若关于的一元二次方程有实数解，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．设a，b是方程 的两个不相等的实数根，则 的值为（ ）
A．0 B．2025 C．2024 D．2023
3．已知方程的两个实数根分别为，．则等于（ ）
A．1 B．3 C． D．
4．若，是方程的两个实数根，则可以分解为（ ）
A． B．
C． D．
5．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．
A． B． C． D．
6．已知关于的方程的根都是整数，其中是实数，则可取的值有（　　）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
7．若关于x的一元二次方程的一个根是，则它的另一个根是（ ）
A． B． C． D．
8．若、是一元二次方程的两个根，则的值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
9．对于一元二次方程，有下列说法：
①若，则方程必有一个根为1；
②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；
③若c是方程的一个根，则一定有成立；
④若是一元二次方程的根，则．
其中正确的是（　　）
A．只有① B．只有②④ C．只有①②③ D．只有①②④
10．关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．若，是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
12．关于的一元二次方程没有实数根，则的值可能是（ ）
A．3 B． C．2 D．
二、填空题
13．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ．
14．已知关于x的方程 的两根分别是、，则的值是 ．
15．设m，n是方程的两个实数根，则的值为 ．
16．若关于x的方程的两个实数根之和大于，则k的取值范围是 ．
17．已知是方程的两个根，那么= ， ， ，
三、解答题
18．如果关于x的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程 的两个根是 ，，则方程 是“邻根方程”．
(1)通过计算，判断方程是否是“邻根方程”；
(2)已知关于 x 的方程（m 是常数）是“邻根方程”，求 m 的值；
(3)若关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，令，试求t的最大值．
19．已知
(1)化简A；
(2)若是一元二次方程两个实数解，，求A的值．
20．一元二次方程．
(1)若方程有两实数根，求m的范围．
(2)设方程两实根为，，且，求m．
21．定义：如果关于x的一元二次方程（）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)下列方程是“邻根方程”的是______（填序号）．
①；②；③；④．
(2)若方程是“邻根方程”，，是方程的两根，求：
①请求出k的值；
②求方程的两个根．
22．不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
(1)；
(2)．
23．已知一元二次方程的两个实数根分别为．若，求实数k的值．
24．已知是一元二次方程的两个实数根，求的值．
《24.3一元二次方程根与系数的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B A C C D B D
题号 11 12
答案 A B
1．B
【分析】先根据一元二次方程有实数解，求出满足题意的的取值范围；再根据关于的分式方程有正数解，可进一步求出满足分式方程的的取值范围，两者求共同部分即可，注意需要验证的取值是否符合题意．
【详解】∵关于的一元二次方程有实数解，
∴
解得：且
∵
∴
∴
∴
∵方程有正数解
∴
解得：
∴且
∵为整数
∴可取、、0
又∵时，，经检验：当时，，故舍去
∴符合条件的整数a有2个
故选：B
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的情况、解含参数的分式方程，熟练掌握对应的知识点是解题的关键．
2．C
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，一元二次方程根与系数的关系，由条件可得，，再进一步求解即可.
【详解】解：设a，b是方程 的两个不相等的实数根，
∴，，
∴，
∴.
故选：C
3．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：两根之和等于一次项系数除以二次项系数的商的相反数；据此即可求解．
【详解】解：∵方程的两个实数根分别为，
∴．
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解；已知一元二次方程的两根，可利用根与系数的关系求得字母未知系数，从而完成式子的因式分解．
【详解】解：根据根与系数的关系可得：，．
∴
因此．
故选：B．
5．A
【分析】本题考查了根与系数的关系，多项式乘以多项式，通过将三次方程写成因式分解形式并展开，与原方程比较系数，得出根与系数的关系，进而验证各结论的正确性，掌握相关知识的应用是解题的关键．
【详解】解：三次方程可表示为，
∴，
∴，，，
∴，，，故结论正确；
由，结论正确，
综上正确，
故选：．
6．C
【分析】本题主要考查一元二次方程的根的概念，因式解法求一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键，根据关于x的方程的根为整数，分类讨论，当时，运用因式分解求一元二次方程的根；当时，解一元二次方程得，，结合题意判定是否符合题意；由此即可求解．
【详解】解：①当时，即和时，
由原方程，得,
解得，，，
∴，，
∴，
整理得，
∴，
∵关于的方程的根是整数，，
∴或或或，
当时，，方程无解；
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，或或；
②当时，
解得，，，
当时，方程为，解得，
当时，方程为，解得，
因此，也可以；
综上所述，满足条件的值共有个．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，已知方程的一个根为，利用根的和等于即可求出另一个根即可.
【详解】解：设该方程的另一个根为t，由题意得：，
∴另一个根为：；
故选 C．
8．D
【分析】根据韦达定理解答即可．
本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：由、是一元二次方程的两个根，
则，
故选：D．
9．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，根据一元二次方程的根的含义、一元二次方程的根的判别式、等式的性质、一元二次方程的求根公式，对各选项分别讨论，即可得出答案．
【详解】解：①当时，，∴方程必有一个根为，故①错误，不符合题意；
②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确，符合题意；
③由c是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确，不符合题意；
④若是一元二次方程的根，可得，把的值代入，可得，故④正确，符合题意．
正确的结论为②④，
故选：B．
10．D
【分析】根据一元二次方程判别式与根情况的关系，列代数式求解即可．
【详解】解：一元二次方程无实数根，
则判别式
解得，
故选：D．
【点睛】此题考查了一元二次方程判别式与根情况的关系，解题的关键是掌握相关基础知识，一元二次方程的判别式，当时有两个不相等的实数根，当时，有两个相等的实数根，当时，无实数根．
11．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可．
【详解】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
故选：A．
12．B
【分析】本题考查根与判别式的关系，根据一元二次方程无实数根判别式小于0列式求解即可得到答案；
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
解得：，
故选：B．
13．且
【分析】本题考查了由一元二次方程根的判别式求参数的值；，由一元二次方程有两个不相等的实数根，可得即可求解；掌握根的判别式“时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根．”是解题的关键．
【详解】解：由题意得
，
方程有两个不相等的实数根，，
，，
即：
解得：，
且．
故答案为：且．
14．
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．
直接利用根与系数的关系求解．
【详解】解：根据题意得．
∴
故答案为：．
15．2
【分析】根据根与系数的关系进行求解即可
【详解】由题意为方程的两个实数根
∴，
把代入方程可得：
∴
故答案为2
【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．
16．
【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程根与系数关系等知识点，灵活利用根的判别式、一元二次方程根与系数关系列出不等式成为解题的关键．
由根的判别式列不等式可得，设关于x的方程的两个实数根为，由两个实数根之和大于结合根与系数的关系可得，解得，进而得到即可解答．
【详解】解：方程有两个实数根，
，解得：．
设关于x的方程的两个实数根为，
两个实数根之和大于，
，解得，
．
故答案为：．
17．
【分析】根据根与系数的关系得出，，再变形后代入，即可求出答案．
【详解】解：∵是方程的两个根，
∴，
∴；
∵
∴
故答案为：，，，．
18．(1)根为2，，不是邻根方程
(2)或
(3)
【分析】（1）分别解出方程的根，根据两根差值是否为1进行判断；
（2）解出方程的根，令两根差的绝对值为1，从而得到关于m的方程；
（3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值；
本题考查一元二次方程、根与系数的关系、解含绝对值方程、整体代入法、配方确定最值等知识点，熟练掌握各种方法是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
∵，
不符合邻根方程的定义，
∴不是邻根方程；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵关于x的方程是邻根方程，
∴，
∴，
故或；
（3）解：∵关于 x 的方程（a、b 是常数，）是“邻根方程”，设两个根分别为、，
∴，
由根与系数的关系：，
∴，
∴，
∴，
∴当时，；
答：t的最大值为4．
19．(1)
(2)
【分析】题目主要考查分式的混合运算，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）根据分式的混合运算法则计算即可；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出，再代入求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）∵是一元二次方程两个实数解，，
∴，
∴．
20．(1)；
(2)．
【分析】（1）根据关于x的一元二次方程有两个实数根，得出且，求出m的取值范围即可；
（2）根据方程两实根为，，求出，，再根据，得出，再代入计算即可．
【详解】（1）∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴且，即，
解得且，
∴m的取值范围为．
（2）∵方程两实根为，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
经检验是原方程的解．
【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握相关概念，正确计算是关键.
21．(1)②④
(2)①，②，
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根与系数的关系．
（1）分别求得①②③中两个方程的根，再根据“邻根方程”的定义判断即可；
（2）①利用根与系数的关系和“邻根方程”的定义列出关于k的方程求解即可；
②利用，即可求得、．
【详解】（1）解：①解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
②解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”；
③解方程得，，
∵，
∴方程不是“邻根方程”；
④解方程得，，
∵，
∴方程是“邻根方程”．
故答案为：②④；
（2）解：①∵方程是“邻根方程”， 、是方程的两根，
∴，，，
∵，
∴，
解得；
②∵方程是“邻根方程”，、是方程的两根，
∴，，
解得，．
22．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系．
（1）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可；
（2）先找出a，b，c，再根据，，代值计算即可．
【详解】（1）解：，
∵，，，
∴，；
（2）解：，
∵，，，
∴，．
23．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系.
利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积，将其代入所给的条件中求出k的值.
【详解】解：由得，.
.
．
当时，
方程为，其根的判别式，
方程有两个不相等的实数根，符合题意。
24．
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，以及二次根式的化简，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
根据根与系数的关系得到，，可知，然后化简代入求值．
【详解】解：，是一元二次方程的两根，
，，
，，
．