24.4一元二次方程的应用随堂练习（含答案）冀教版数学九年级上册

24.4一元二次方程的应用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，这是某市居民家庭人均住房建筑面积的一项调查情况，请观察图表，从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
2．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某商店购进一种商品，单价为30元．试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：．若商店在试销期间每天销售这种商品获得200元的利润，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，把一块长为，宽为的矩形硬纸板的四角剪去四个相同的小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为，设剪去小正方形的边长为，则可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．2020年3月，长沙市明德天心中学为湘西州龙山县思源实验学校捐赠了价值2万元体育器材，充实该校体育教学设备．到今年（2022年3月11日）止捐赠体育器材累计价值达到万元，设每年平均增长率为x，则x的值为（ ）
A．50% B．40% C．30% D．20%
6．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（ ）
A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或
8．在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则每个球队参赛的场数为（ ）
A．7场 B．8场 C．9场 D．10场
9．某校为了丰富学生的课余生活，增强学生的实践能力，计划在如图所示的长、宽的矩形空地上开展跳蚤市场活动，其中两块完全相同的阴影部分规划为学生摊位区域，四周空白部分为等宽的人行通道．已知学生摊位区域的总面积为，求人行通道的宽度．若设人行通道的宽度为，则根据题意可列方程为（ ）

A． B．
C． D．
10．如图是某月的月历表，在此月历表上可以用一个矩形圈出个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，设这个最小数为，则下列方程正确的是（　　）

A． B．
C． D．
11．中国地铁已经成为一张见证时代发展的名片，2022年我国地铁运营里程约为0.8万公里，2024年地铁运营里程约为0.91万公里．设地铁运营里程的年平均增长率为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，某校为生物兴趣小组规划一块长，宽的矩形试验田．现需在试验田中修建同样宽的两条互相垂直的小路（两条小路各与矩形的一条边平行），根据学校规划，小路分成的四块小试验田的总面积为．求小路的宽为多少米？若设小路的宽为，根据题意所列的方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．如图，小明家有一块长、宽的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为 m．

14．某学习小组为了在学习上更好地互帮互助，每位组员都给同组的其他同学各提一条建议，该小组一共收到72条建议．若设这个小组有人，则应列方程为 ．
15．淇淇在计算两个正数和时，误计算成这两个数的积，结果由正确答案8变成了15，则这两个正数中，较大的正数是 ．
16．数学老师设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为．甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了 秒．
17．如图所示，为矩形的四个顶点，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，点以的速度向点移动．若一点到达终点，另一点也随之停止运动．当两点出发 时，点和点的距离是10cm．
三、解答题
18．如下图所示的六边形是由两个全等的矩形和两个等腰直角三角形组成的，其中两个矩形的面积和等于两个等腰直角三角形的面积和．若矩形的一边长为2，求另一边长．
19．某小区有一块长方形草坪，为了加强保护，小区管理人员准备用篱笆沿草坪边缘将其围起来，已知该长方形草坪的长是宽的4倍，草坪的面积是．
(1)求所需篱笆总长度．
(2)若在草坪上种甲乙两种草，其中甲种草的总花费为360元，乙种草的总花费540元，又知每平米甲种草比每平米乙种草多3元，若最终所种的甲种草的面积是乙种草的一半，求甲、乙两种草每平米各多少元？
20．某商场销售一批服装，平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，每件服装每降价1元，商场平均每天就可以多售出2件．
(1)若每件服装降价x元，求用含x的代数式表示商场平均每天可售的件数；
(2)若使商场每天盈利1200元，每件服装应降价多少元？
21．荣昌区助农主播通过直播宣传家乡，成功吸引大量游客，促进了荣昌区非物质文化遗产夏布的销售，其夏布专卖店4月A款夏布制品销售额36000元，B款夏布制品销售额24000元，且B款复布制品的销量是A款复布制品的两倍，已知每件A款夏布制品的售价比每件B款复布制品的售价多240元．
(1)求每件A款夏布制品和B款夏布制品的售价分别是多少元？
(2)为推广非遗文化，该夏布专卖店在5月推出促销活动，A款夏布制品售价保持不变，B 款夏布制品售价在4月的基础上降低．统计5月的销量和销售额发现：A款夏布制品的销量在4月的基础上增加，B款夏布制品的销量在4月的基础上增加．两款夏布制品的总销售额比4月增加了，求a的值．
22．在一次聚会上，规定每两人见面必须握手，且只握手1次．
（1）①若参加聚会的人数为3，则共握手______次；若参加聚会的人数为5，则共握手______次．
②若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手______次．
（2）若参加聚会的人共握手28次，则参加聚会的人数为______．
【拓展】（3）如图，为锐角，在的内部分别引射线．在这种操作模式下，当图中共有55个角时（含），则n的值为______．
23．某种电脑病毒传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有100台电脑被感染．若病毒得不到有效控制，经过三轮后共有多少台感染的电脑？
24．某文具店新进一批体育中考专用排球，每个排球的进价为元，原计划以每个元的价格销售，为更好地满足学生的需求，现决定降价销售，已知这种排球销售量个与每个排球降价元之间满足一次函数关系，其图象如图所示：

(1)求与之间的函数关系式；
(2)在这次排球销售中，该文具店获利元，这种排球每个的实际售价多少元？
《24.4一元二次方程的应用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D A D C C D B C D
题号 11 12
答案 D A
1．C
【分析】本题考查了条形统计图的知识，一元二次方程的实际应用，设农村居民人均住房面积的增长率为x，列出方程求解即可．
【详解】解：设农村居民人均住房面积的增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（负值舍去），
∴从2009年到2011年农村人均住房建筑面积的年平均增长率为．
故选：C．
2．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出相关方程是解答本题的关键．根据百分率的意义及方程的意义即可得出答案．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
一次降价后价格可表示为，再次降价后价格表示为，
可列方程为，
故选：D．
3．A
【分析】一天的利润（售价进价）销售量，把相关数值代入即可．
【详解】解：每件商品的利润为元，可售出件，
根据每天的利润为200元可列的方程为，
故选：A．
【点睛】本题考查列一元二次方程；得到一天的利润的等量关系是解决本题的关键．
4．D
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面积是，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设剪去小正方形的边长是，则纸盒底面的长为，宽为，
根据题意得：．
故选：D．
5．C
【分析】设每年平均增长率为x，则2021年捐赠量为万元，2022年捐赠量为万元，再建立方程求解即可．
【详解】解：由题意可得， ，
整理得：，
解得（舍）或，
∴增长率为．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，由题意得，，则，由勾股定理得到，则，则由勾股定理可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
∴，
在中，，，，则，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或，
故选：C．
7．D
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设较小的连续奇数为，则较大的为，再列式，解方程得到两个解，对应两组连续奇数．
【详解】解：设较小的连续奇数为，则较大的为，
根据题意得：，
展开得：，
∴，
∴
解得：或，
∴当时，较大的奇数为，即和，
当时，较大的奇数为，即和．
故选：D．
8．B
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键．
设参赛的队数为，根据参赛的每两个队之间都要比赛一场，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设参赛的队数为，根据题意得，
解得：，（舍去），
∴每个球队参赛的场数为8场
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设人行通道的宽度为，根据题意列方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：设人行通道的宽度为，
根据题意得，，
故选：．
10．D
【分析】由圈出的9个数可知最大数与最小数的差为16，设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，由“最大数与最小数的积为192”即可列出方程，得到答案．
【详解】解：由圈出的9个数可知：最大数与最小数的差为：，
设这个最小数为，则圈出的9个数中最大数为，
根据题意得：，
故选：D．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意得出圈出的9个数中最大数与最小数的差为16是解题的关键．
11．D
【分析】设年平均增长率为，则2023年的里程为万公里，2024年的里程为万公里，2024年地铁运营里程约为0.91万公里．据此列出方程即可．
本题主要考查了一元二次方程中的增长率模型，正确找出初始量、最终量和增长年数是解题的关键．
【详解】解：设年平均增长率为，根据题意可得，
．
故选：D．
12．A
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程求解即可．
【详解】解：设道路的宽应为x米，由题意有：．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，把中间修建的两条道路分别平移到矩形地面的最上边和最左边是做本题的关键．
13．/
【分析】设花色地毯的宽为，根据题意：镶嵌后的面积=原来面积的2倍，直接可以列方程，再整理，解方程即可求解．
【详解】设花色地毯的宽为，
由题意得：；
整理得：，
即：，
解得（负值不符合题意，舍去），
花色地毯的宽为，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确的找出题目中的等量关系．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键．设该小组有人，则每人需提条建议，根据该小组一共收到72条建议，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设这个小组有人，则每人需提条建议，
则由题意得：，
故答案为：．
15．5
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设其中一个正数为，则另一个正数为，根据两个数的积是15，列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设其中一个正数为，则另一个正数为，
由题意得，
整理得，即，
解得，，
∴较大的正数是5，
故答案为：5．
16．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，利用甲乙的路程之和等于，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：根据题意得：，
整理得： ，
解得： (不符合题意，舍去)，
故答案为：．
17．2或
【分析】设当，两点从出发秒时，点和点的距离时cm，此时cm，cm，利用勾股定理即可列出关于的一元二次方程，解之即可得到结论.
【详解】解：设当两点出发时，点和点的距离是10cm，
此时．
根据题意，得，即，
解得．
故当两点出发2s或时，点和点的距离是10cm．
故答案为或.
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理找出关于的一元二次方程是解题的关键.
18．矩形的另一边长为或．
【分析】本题主要考查了矩形与等腰直角三角形的性质，一元二次方程的运用；掌握矩形，等腰直角三角形的性质和面积计算公式，根据题目中的等量关系列方程是解题的关键．
设矩形的另一边长为，由此可求出各图形的面积，再根据两个矩形的面积和等于两个等腰直角三角形的面积和，即可求解．
【详解】解：由题意得：小等腰直角三角形的腰长与矩形的一边长相等，
大等腰直角三角形的腰长与矩形的另一边长相等．
设矩形的另一边长为．
由题意，得，
解得，．
故矩形的另一边长为或．
19．(1)150
(2)甲12元，乙9元
【分析】（1）先设长方形的宽为，由长方形的面积列方程得出x的值，再由周长公式可得答案；
（2）先设甲种草面积为m平米，则乙种草面积为平米，求出两种草的面积；再设乙种草每平方a元，则甲种草每平方为元，列方程并解出即可．
【详解】（1）解：设长方形的宽为，则长为，
根据题意，得，
解得或（舍去），
则所需篱笆的总长度为．
（2）解：设甲种草面积为m平米，则乙种草面积为平米，
则，
解得：，
设乙种草每平方a元，则甲种草每平方为元，
，
解得：，
则，
所以甲种草每平米12元，乙种草每平米9元．
【点睛】本题考查了一元二次方程及一元一次方程的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式列出方程．
20．(1)
(2)每件服装应降价10元或20元
【分析】（1）根据平均每天可售出20件，每件服装每降价1元，商场平均每天就可以多售出2件即可表示商场平均每天可售的件数；
（2）利用利润×销售件数即可列得利润的方程，求解即可．
【详解】（1）商场平均每天可售的件数是；
（2）设每件服装降价x元，则平均每天可售件，根据题意得，
解得，
答：每件服装应降价10元或20元．
【点睛】此题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列得方程是解题的关键．
21．(1)每件A款夏布制品的售价为360元，B款夏布制品的售价为120元；
(2)10
【分析】本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解题关键是找准题目中的等量关系，列出方程，熟练运用相关知识解方程．
（1）设每件A款夏布制品的售价为x元，B款夏布制品的售价为元，根据题意列出分式方程，解方程即可；
（2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设每件A款夏布制品的售价为x元，B款夏布制品的售价为元，
∴，
解得方程是原方程的解，
∴每件A款夏布制品的售价为360元，B款夏布制品的售价为120元；
（2）解：根据题意得：4月份A款夏布制品的销量为100件，B款夏布制品的销量为200件，
则有
解得：，（不合题意 ，舍去）
故．
22．（1）①3；10；②；（2）8；（3）9
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：
（1）①、②根据题意每个人要与他自己以外的人握手一次，且两人只握手一次，所以握手次数为：聚会人数×（聚会人数），故可进行计算求解；
（2）参加聚会的人数为n人，根据（1）中结论列方程求解即可；
（3）由内部有n条射线，则相当于聚会人数为，则根据公式即可写出角的个数，然后列方程求解即可．
【详解】解：（1）①若参加聚会的人数为3，则共握手次；
若参加聚会的人数为5，则共握手次；
故答案为：3，10；
②若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手次，
故答案为：；
（3）参加聚会的人数为n人，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）
答：参加聚会的人数为8人，
故答案为：8；
（4）由的内部分别引射线，则相当于于聚会人数为，
故一共有个角，
根据题意，得，
解得，（不符合题意，舍去）
故答案为：9．
23．1000台
【分析】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了台电脑，这台电脑又感染给了台电脑，等量关系：经过两轮感染后就会有100台电脑被感染；用前两轮感染的电脑的台数乘以每轮传染的台数即可得到总数．
【详解】设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑．
根据题意，得，
解，得或（不合题意，应舍去）．
所以经过三轮后共有，
答：经过三轮后共有1000台感染的电脑．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染，是解决此题的关键．
24．(1)
(2)元
【分析】（1）根据图象上点的坐标，利用待定系数法，即可求出与之间的函数关系式；
（2）利用总利润每个排球的销售利润销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其符合题意的值代入中，即可求出结论．
【详解】（1）解：设与之间的函数关系式为，
将，代入得：，
解得：，
与之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得：，不符合题意，舍去，
．
答：这种排球每个的实际售价是元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：利用待定系数法，求出与之间的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程．