25.1比例线段随堂练习（含答案）冀教版数学九年级上册

25.1比例线段
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则（　　　）
A． B． C． D．
2．已知线段a、b，如果，那么下列各式中一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．若线段，点P是线段的黄金分割点，且，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如果线段，那么的值为（　　）
A． B． C． D．2
5．神奇的自然界处处隐含着数学美！生物学家在向日葵圆盘中发现：向日葵籽粒成螺线状排列，螺线的发散角是．我们知道圆盘一周为，，．这体现了（ ）
A．轴对称 B．旋转 C．平移 D．黄金分割
6．如图，点在线段上，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．下列各组中的四条线段成比例的是（ ）
A．1、2、3、5 B．2、3、6、8 C．3、4、5、6 D．4、3、8、6
8．大自然巧夺天工，一片小小树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）．
A． B． C． D．
9．新定义：两边之比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形，如图，矩形是黄金矩形（），点E、F分别在边、上，将矩形沿直线折叠，使点B的对应点落在CD边上，点A的对应点为，过点E作于点G，当矩形也是黄金矩形（）时，则（ ）
A． B． C． D．
10．下面四组线段中，成比例的是（ ）
A． B．
C． D．a＝
11．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：如图，点将一条线段分割成长、短两条线段、，若较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与全长之比，这种分割称为黄金分割，这个点叫做线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走米（的长为米）时恰好站在舞台的黄金分割点上，则满足的方程是（　　）

A． B．
C． D．
12．如图，P为正方形内一点，，延长交于点E．若，则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．射影中有一种拍摄手法叫黄金分割构图法，其原理是：如图，将正方形的边取中点，以为圆心，线段为半径作圆，其与边的延长线交于点，这样就把正方形延伸为黄金矩形，若，则 ．
14．安徽建省于清朝康熙六年（公元1667年），省名取当时安庆、徽州两府首字合成．如图，这是“安”字在正方形米字格中的书写形态，已知正方形的边长为，笔画横钩“”与正方形对角线交于点，点为线段的黄金分割点，，则的长为 ．（结果保留根号）
15．线段8cm、5cm的比例中项是 cm．
16．已知线段，线段，则的值为 ．
17．如图，某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车的倒车镜设计在整个车身黄金分割点的位置，如果车头与倒车镜的水平距离为米，则该车车身总长为 米．
三、解答题
18．两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，即：如图，点P是线段上一点，若满足，则称点P是AB的一个黄金分割点．黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走多少米时恰好站在舞台的黄金分割点上？（结果保留根号）
19．如图，已知，求证：．
20．如图，已知线段，用尺规作图法按如下步骤作图．

（1）过点B作的垂线，并在垂线上取．
（2）连接，以点C为圆心，为半径画弧，交于点E．
（3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点D．则点D是线段的黄金分割点，请说明其中的道理．
21．采用如下方法可以得到黄金分割点：如图所示，设是已知线段，以为边作正方形；取的中点E，连接；延长至点F，使；以线段为边作正方形，点H就是的黄金分割点．
任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点，你能说说这种作法的道理吗？
22．（1）已知，，是，的比例中项，求；
（2）如图，是的黄金分割点，且，，求的长．
23．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的（全身）的高度比，可以增加视觉美感，按比例，如果雕像的高为2m，那么它的下部设计为多高？（结果保留小数点后两位）
参考数据：，，

24．（1）若，则___________；
（2）若，则___________；
（3）若，则___________．
《25.1比例线段》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C D B D D D D D A
题号 11 12
答案 A D
1．C
【分析】根据已知等式可得，再代入所求代数式计算可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴
故选C．
【点睛】此题考查的是比例的性质，能够对所给等式进行正确变形是解决此题的关键．
2．C
【分析】根据比例的性质进行判断即可．
【详解】解：A、由，得，故本选项错误，不符合题意；
B、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意；
C、由，得，故本选项正确，符合题意；
D、当，时，，但是，故本选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形，用到的知识点：在比例里，两外项的积等于两内项的积，比较简单．
3．D
【分析】根据黄金分割的定义即可解答．
【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点，且，
∴，
故选：D．
【点睛】此题考查了黄金分割，应该熟记黄金分割的公式：较长线段=原线段长的倍，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
4．B
【分析】根据线段的比的定义，按照题中条件直接求解即可得到结论．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查线段的比，熟记线段的比的定义是解决问题的关键．
5．D
【分析】根据黄金分割数的近似值为可直接得出答案．
【详解】解：，黄金分割数的近似值为，
体现了“黄金分割”．
故选：D．
【点睛】本题考查黄金分割的应用，解题的关键是牢记黄金比的近似值为．
6．D
【分析】本题考查比例的性质，掌握运用表示和的长是解题的关键．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴,
故选D．
7．D
【分析】本题考查比例线段，理解比例线段的概念，注意在线段相乘时，要让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等进行判断．根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案．
【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
、四个数排序后为3、4、6、8，因为，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意；
故选：D．
8．D
【分析】本题考查黄金分割的应用，正确记忆相关知识点是解题关键．由黄金分割且知：，，由此可求得的长．
【详解】解：为的黄金分割点，且，
，
即，
，
故选：D
9．D
【分析】本题考查黄金比，矩形与折叠，勾股定理．
连接，根据黄金矩形的定义设，，则，证明得到，从而，设，则
，在中，根据构造方程，求解得到，从而．
【详解】连接，
∵矩形是黄金矩形，，，
∴设，，
∵矩形是黄金矩形，，
∴，
∴，
∵四边形是四边形翻折得到，
∴，，
，
∴，
∵在矩形中，，
又
∴，
∴，
∴，
设，则
，
∵在中，，
∴
解得：，
∴，
∴．
故选：D
10．A
【分析】本题考查了比例线段，比例的基本性质，利用比例的基本性质判断比例线段是解题的关键；根据比例的基本性质，若两条线段的乘积等于另两条线段的乘积，则这四条线段成比例，据此可求解．
【详解】解：A、，即，故四条线段成比例；
B、，即，故四条线段不成比例；
C、，即，故四条线段不成比例；
D、，即，故四条线段不成比例；
故选：A．
11．A
【分析】本题主要考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解题的关键．根据题意得到，则即可求出答案．
【详解】解：由题意可知，点是的黄金分割点，且，
，故，
，
故，
故选A．
12．D
【分析】作，延长与交于点，设正方形边长为，由，得到等边，由平行线截线段成比例得到，，的长度，在中，应用勾股定理，即可求解，
本题考查了，正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，平行线截线段成比例，勾股定理，解题的关键是：连接辅助线，得到等边．
【详解】解：过点作，垂足为，延长与交于点，连接，
设正方形边长为，
∵，
∴，，
∴，
∴是等边三角形，
∵，
∴平行于，
∴，，，，
在中，，即：，解得：，（舍），
故选：D．
13．/
【分析】本题考查了黄金分割，矩形的性质，正方形的性质，设，根据正方形的性质可得，则，然后根据黄金矩形的定义可得，从而可得，最后进行计算即可解答，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
【详解】解：设，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是黄金矩形，
∴，
∴，
解得：，
经检验：是原方程的解，
∴，
故答案为：．
14．/
【分析】本题主要考查黄金分割点的定义，勾股定理，正方形的性质；根据勾股定理和正方形的性质求出，在根据黄金分割点的定义即可求出结果．
【详解】解：，
∵点为线段的黄金分割点，
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了比例中项的定义，根据定义可得，即可求解；掌握定义“如果作为比例内项的两条线段是相等的，即线段a，b，c 之间有，那么线段b叫做线段a，c的比例中项．”是解题的关键．
【详解】解：设比例中项为，由题意得
，
解得：，（舍去），
故答案：．
16．
【分析】本题考查了单位换算和分数除法，熟练掌握相关知识点是解题的关键.
先将线段进行单位换算，将线段统一单位，再进行比值运算．
【详解】解：线段cm换算为毫米，
cmmmmm
则
故答案为： ．
17．/
【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．设该车车身总长为米，根据车尾与倒车镜的距离与车长之比为列方程，即可求解．
【详解】解：设该车车身总长为米，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的根，
该车车身总长为：米，
故答案为：．
18．米
【分析】根据黄金分割的概念，可求出，即可求解．
【详解】解：由题意知米，，
∴米，
∴米，
答：主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走米时恰好站在舞台的黄金分割点上．
【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
19．见解析
【分析】本题主要考查了比例的性质以及合比性质，熟知合比性质是解题的关键．
已知，根据比例的性质可得，再根据合比性质可得，整理即可．
【详解】证明：，
，
，
．
20．见解析
【分析】设长为x，则长为，利用勾股定理可得，进而可得，即可得，问题得解．
【详解】解：设长为x，则长为，
，
．
，
，
，
，
即点D是线段的黄金分割点．
【点睛】本题主要考查了黄金分割的相关知识，根据题意，求出，，掌握黄金分割点的定义，是解答本题的关键．
21．见解析
【分析】本题主要考查了黄金分割的概念、正方形的性质、勾股定理等知识点，掌握黄金比是 是解题的关键．
设，根据题意和勾股定理求出的长，求出，再根据黄金比的定义求解即可．
【详解】解：设，
∵E是的中点，
∴，
由勾股定理得，，
则，
∴，
∴点H就是的黄金分割点，
∴任意作一条线段，用上述方法作出这条线段的黄金分割点．
22．（1）为或；（2）
【分析】本题主要考查了黄金分割点以及比例中项，正确理解比例中项和黄金分割点的定义是解题的关键．
（1）由是，的比例中项，可得，由此求解即可；
（2）根据黄金分割点的定义进行求解即可．
【详解】解：（1）∵是的比例中项，
∴
∴，
∴为或；
（2）∵是的黄金分割点，且，，
∴
23．1.24米．
【分析】设下部应设计为x米，表示出上部长为(2﹣x)米，然后根据“上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度的比等于下部与全部（全身）的高度比”列出方程求解即可．
【详解】解：设下部应设计为x米，则上部的长度为(2﹣x)米，
根据题意得，，
整理得，，
解得，（舍去），
∴雕像的下部应设计为米．
答：雕像的高为，它的下部设计约为1.24米．
【点睛】本题考查了黄金分割，解题的关键在于读懂题目信息并列出比例式，难度不大．
24．（1）；（2）；（3）．
【分析】（1）对化简得，再把代入，即可；
（2）根据，得，把的值代入，即可；
（3）对化简，得，把的值代入，即可
【详解】（1）∵，
∴；
故答案为：．
（2）∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（3）∵，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】考查比例性质运用中的基本计算，关键是掌握比例的基本性质．