3.3数量之间的关系随堂练习（含答案）冀教版数学七年级上册

3.3数量之间的关系
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，是由正方形和相同大小的圆按照一定规律摆放而成，按此规律，则第10个图形中圆的个数是（ ）
A．40 B．41 C．31 D．19
2．在同一平面内，我们把n条直线中任一条直线都和其余的直线相交叫做直线两两相交．两条直线相交，最多有1个交点；三条直线两两相交，最多有3个交点；四条直线两两相交，最多有6个交点…按照此规律，12条直线两两相交，最多交点个数是（ ）
A．66 B．78 C．156 D．143
3．小时候，我们就用手指练习过数数，一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2024时对应的指头是（ ）
A．无名指 B．食指 C．中指 D．大拇指
4．如图，用同样大小的铜币摆放以下四个图案，根据摆放图案的规律，则第8个图案需要铜币的个数为（　　）
A．29 B．32 C．37 D．46
5．某学校楼阶梯教室，第一排有m个座位，后面每一排都比前面一排多2个座位，则第n排座位数是（ ）
A． B． C． D．
6．已知下列一组数：1，，，，，…，则用式子表示第个数（ ）
A． B． C． D．
7．青苗小组的同学在探究的结果时，发现可以进行如下操作：如图，将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了（ ）
A．方程思想 B．分类讨论思想 C．模型思想 D．数形结合思想
8．如图是2022年11月份的月历表，用图中所示的方式（阴影部分）任意圈出4个数，设这四个数中最小的数为x，则这四个数中最大的数为（ ）

A． B． C． D．
9．正方形纸板 在数轴上的位置如图所示，顶点 A，D对应的数分别为1 和0，若正方形纸板绕着顶点按顺时针方向在数轴上连续翻转，则在数轴上与1999对应的顶点是（ ）
A．D B．C C．B D．A
10．某次社团活动中的有奖竞猜游戏共有4道单选题，分别有、、、四个选项，每道题10分，满分40分，答对得10分，答错得0分．甲、乙、丙、丁四名同学的解答及得分情况如表所示，已知乙同学答对了一半以上，则的值为（ ）
题号学生 1 2 3 4 得分
甲
乙
丙
丁
A．50 B．40 C．30 D．20
11．有一组数：，它们是按一定规律排列的，这一组数的第n个数是（ ）
A． B． C． D．
12．按一定规律排列的代数式：，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．学校礼堂第一排有个座位，后面每排比前一排多个座位，则第排的座位个数有 个．
14．观察下面一列数：，，，， ，按照这个规律，第12个数应该是 ．
15．下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，第个图形一共有个实心圆点，…．按此规律排列下去，第个图形中一共有 个实心圆点．
16．如图，长方形的长为，宽为用含a，b的式子表示图中阴影部分的面积为 ．
17．定义：a是不为1的有理数，把叫做a的差倒数．如2的差倒数是，的差倒数是，设，是的差倒数，是的差倒数，……那么 ．
三、解答题
18．（1）观察下列点阵图，写出与第4个点阵相对应的等式；
．，，，______；
（2）结合（1）观察下列点阵图，写出与第5个点阵相对应的等式．
，，，，______；
（3）写出（2）中与第个点阵相对应的等式：______．
19．用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放：
(1)第④个图案有___________张白色小正方形纸片；
(2)第⑤个图案有___________张白色小正方形纸片；
(3)第个图案有多少张白色小正方形纸片？
20．已知公式：．
(1)_____；
(2)求；（写出计算过程）
(3)观察下列图形：图1中共有正方形1个，图2中共有正方形5个，图3中共有正方形_____个，图4中共有正方形______个，图100中共有正方形______个．
21．观察下列等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
…
(1)请按这个顺序仿照前面的等式写出第个等式；
(2)根据你上面所发现的规律、用含字母的式子表示第个等式；
22．小明在做题的时候发现，两个连续正整数的积的倒数可以写成两个式子差的形式．
观察下面式子，完成以下问题：，，，…
(1)请写出第15个式子： ；
(2)请用含n的式子表示第n个式子： ；
(3)计算：．
23．如图，用几根火柴拼成的两把椅子和一张方桌，请移动其中的3根火柴，将方桌挪到椅子中间．
24．幼儿园的小朋友聪聪用小木棒拼图，他在老师的指导下完成了前3个图形摆放（如图所示），如果按这种方式拼图，请解答下列问题．
(1)填写下表：
图形编号 （1） （2） （3） （4）
木棒根数
(2)第个图形需要的木棒根数用代数式表示是___________
(3)有人说按这种方式拼图，其中有一个图形刚好用了100根木棒，他的说法对吗？如果正确，请指明是第几号图形、如果不正确，请说明理由．
《3.3数量之间的关系》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B C B B D D B B
题号 11 12
答案 C A
1．C
【分析】本题考查了图形规律探究，掌握图形规律探究方法善于总结规律是解题的关键．先列出前几个图形中圆的个数，然后推论出第n个图形中圆的个数为，最后把代入求解即可．
【详解】解：第1个图形中有个圆，
第2个图形中有个圆，
第3个图形中有个圆，
…
第n个图形中有个圆，
当时，有个圆 ．
故选：C ．
2．A
【分析】本题考查了规律型—数字的变化类；根据所给数据，发现规律：n条直线两两相交，最多有个交点，然后进行计算即可．
【详解】解：两条直线相交，最多有个交点，
三条直线两两相交，最多有个交点，
四条直线两两相交，最多有个交点．．．
按照此规律，条直线两两相交，最多交点个数是，
∴12条直线两两相交，最多交点个数是，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了根据数列之间数的特征，确定数的位置，解题的关键是认真观察数与数字之间的关系．并把这种关系用代数式表示出来．
通过题图可以看出，大拇指对应的数每相邻两个数之间差8，所以在这个数列当中的每个数可用代数式表示，中指对应的数每相邻两个数之间差4，所以在这个数列当中每个数可用代数式，再根据2024与这两个数据的关系，从而确定2024的位置．
【详解】解：由题图可得，大拇指对应的数列用代数式表示为，
当时，大拇指对应的数为：2025，
由题图可得，中指对应的数列为，
当时，中指对应的数为：2023，
所以2024对应的手指为：实指，
故选：B．
4．C
【分析】本题考查用代数式表示图形的规律，观察图中铜币的数量增加规律可以发现：第n个图形总是比前一个图形增加n个铜币，根据此规律即可求出第n个图形的铜币数量代数式，再将代入即可求解．
【详解】解：当时，铜币的个数，
当时，铜币的个数，
当时，铜币的个数，
当时，铜币的个数，
……
第n个图案需要铜币的个数为，
第8个图案需要铜币的个数为，
故选C．
5．B
【分析】本题主要考查了列代数式，理解题意是解题的关键．根据题意列出代数式即可．
【详解】解：由题意可知，第一排有m个座位，
第二排有个座位，
第三排有个座位，
第四排有个座位，
故第n排座位数是，
故选B．
6．B
【分析】此题主要考查了数字变化规律，根据已知分别得出分子与分母的变化规律是解题关键．根据数字规律，分母是连续数字平方，分子是连续奇数，进而得出答案．
【详解】解：∵
∴分母是：
分子是：
第n个数为：，
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了图形变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题．这种探究问题的方法体现了数形结合思想．
【详解】将边长为1的大正方形纸片进行分割，①的面积为大正方形面积的一半，即；②的面积为①的面积的一半，即；③的面积为②的面积的一半，即；……由此得到结论：．这种探究问题的方法体现了数形结合思想．
8．D
【分析】本题考查列代数式，数字规律，比较有理数的大小，找出月历表中数的规律是解题的关键．观察分析，得出同一列数，上一行数比下一行数小7，同一行中，左边列的数比右边列的数小1，据此列代数式，表示出其它三个数，再比较即可求解．
【详解】解：设这四个数中最小的数为x，则其它三个数为， ， ，
，
∴这四个数中最大的数为，
故选：D．
9．B
【分析】本题考查了数轴的定义的实际应用，读懂题意，归纳类推出规律是解题关键．先翻转一次和两次确认点、对应的数，再根据正方形的性质归纳类推出每个顶点对应的数的规律，从而即可得出答案．
【详解】解：翻转一次可得：点对应的数为；再翻转一次可得：点对应的数为3；
在正方形纸板连续翻转的过程中，各顶点对应的数的规律归纳类推如下：
点A对应的数分别为，，，，，为非负整数；
点对应的数分别为，，，，，为非负整数；
点对应的数分别为，，，，，为非负整数；
点对应的数分别为，，，，，为非负整数；
，
只有点对应的数可以为，此时为非负整数，符合要求，
故选：B．
10．B
【分析】本题主要考查了逻辑推理，有理数加减运算，根据乙同学答对了一半以上，得出乙同学至少答对了3道题，即，求出，然后根据四个同学的答案，进行推理，得出答案即可．
【详解】解：∵乙同学答对了一半以上，
∴乙同学至少答对了3道题，
∴，
∴，
∴甲、丙至少答对了2道题，
假设乙同学第3题答错，则另外3题都答对，而甲、丙的答案中另外3题答案都与乙不同，因此甲、丙一道题也没有答对，即，不符合题意；
∴第3题的答案一定是B，
假设乙同学4道题都答对，则甲、丙最多答对1道题，即，不符合题意；
∴乙同学答对了3道题，
假设第1题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意；
假设第4题甲答对，乙答错，丙也答错了，则丙只答对了1道题，不符合题意；
假设第1题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意；
假设第4题丙答对，乙答错，甲也答错了，则甲只答对了1道题，不符合题意；
假设第2题甲答对，乙答错，丙也答对了，则甲丙都答对了2道题，符合题意；
∴第1，4两个题甲、丙都答错，第2题甲、丙都答对了，乙答错了，即乙答对了另外3个题，
∴第1题答案为D，第2题答案为C，第3题答案为B，第4题答案为A，
∴甲、丙、丁都答对了2题，即，，
∴．
故选：B．
11．C
【分析】根据题目中的数字，可以发现数字的分子和分母的变化特点，从而可以写出第n个数．
【详解】解：一组数为
∴这组数据第1个数为：，
第2个数为：，
第3个数为：
…
∴第n个数为：
故选：C
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的数字．
12．A
【分析】本题考查了数字变化的规律，找到代数式的系数和指数规律是解题的关键．观察代数式的系数和指数，找到变化的规律即可解答．
【详解】解：第1个代数式是，
第2个代数式是，
第3个代数式是，
第4个代数式是，
第5个代数式是，
……
依此类推，第个代数式是．
故选：A．
13．
【分析】根据第一排有个座位，后面每排比前一排多个座位，列出代数式即可求解．
【详解】解：∵第一排有个座位，后面每排比前一排多个座位，
∴第排的座位个数有，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，找到规律是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，根据已知一列数得出第n个数为，将代入即可得．
【详解】解：观察一列数：，，，， ，
按照这个规律，
第n个数为，
所以第12个数应该是．
故答案为：．
15．
【分析】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第个图形一共有个实心圆点是解题的关键．根据已知图形中实心圆点的个数得出规律第个图形有个实心圆点即可．
【详解】解：由题知，第①个图形一共有个实心圆点，
第②个图形一共有个实心圆点，
第③个图形一共有个实心圆点，
…，
第个图形一共有个实心圆点，
∴第个图形中一共有个实心圆点，
故答案为：．
16．
【分析】利用长方形的面积减去一个圆的面积即可．
【详解】解：阴影部分的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列代数式，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
17．3
【分析】此题主要考查了新定义以及数字变化规律，根据已知得出数据之间的变化规律是解题关键．理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可．
【详解】解：根据差倒数定义可得：，．
∴每三个循环一次，又余 1 ，
故和的值相等．
故答案为：3．
18．（1）；（2）；（3）
【分析】本题主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目中的难点．
（1）根据①②③观察会发现第四个式子的等号的左边是，右边分子上是，从而得到规律；
（2）通过观察发现左边是，右边是25即5的平方；
（3）过对一些特殊式子进行整理、变形、观察、比较，归纳出一般规律．
【详解】解：（1）根据题中所给出的规律可知：；
（2）由图示可知点的总数是，所以；
（3）由（1）（2）可知．
19．(1)13
(2)16
(3)
【分析】（1）（2）（3）找到规律即可解答：第n个图案有张白色小正方形纸片．本题考查图形的规律，找到规律是解题关键．
【详解】（1）解：第①个图案有4个白色小正方形，
第②个图案有个白色小正方形，
第③个图案有个白色小正方形，
第④个图案有个白色小正方形，
故答案为：13；
（2）解：第⑤个图案有个白色小正方形，
故答案为：16；
（3）解：第n个图案有张白色小正方形纸片．
20．(1)
(2)；
(3)14；30；338350．
【分析】本题主要考查了乘方的应用，图形变化类，通过观察归纳出各图形的正方形个数所符合的规律是解题的关键，同时，也考查了代数运算的能力．
（1）直接使用给定的公式来计算从1到10的所有整数的平方和．
（2）通过计算从1到60的所有整数的平方和，减去从1到32的所有整数的平方和来即可．
（3）观察图形规律，找出图n中正方形的数量，然后将代入公式中计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：根据图形，图1中有1个正方形，可以表示为 ；
图2中有5个正方形，可以表示为 ；
图3中有 个正方形；
图4中有 个正方形；
因此，图n中有正方形的数量为 ．
图100中正方形的数量为：
故答案为：14；30；338350．
21．(1)
(2)
【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字变化归纳出第n个等式为是解题的关键．
（1）根据规律写出第6个等式即可；
（2）由（1）归纳出第n个等式即可；
【详解】（1）解：∵第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
…
∴第个等式为；
（2）解：∵第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
…
第个等式为；
∴第n个等式为．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了代数式规律，并根据规律进行求解；
（1）根据已知等式找出第个式子，即可求解；
（2）根据已知等式找出第个式子，即可求解；
（3）根据已知等式进行拆项化为，进行消项运算， 即可求解；
能够根据已知找出规律进行计算是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得
，
故答案：；
（2）由题意得
，
故答案：；
（3）解：原式
．
23．见解析
【分析】本题考查操作设计，将，，进行移动即可。
【详解】解：如图：
将，，分别按如图所示移动即可；
24．(1)2，6，12，20
(2)
(3)他的说法不正确，理由见解析
【分析】（1）通过观察得到图形（1）（2）（3）的木棒根数，再通过图形前后的规律即可得到图形（4）的木棒根数；
（2）观察图形前后的规律，即可得到答案；
（3）能找到两个连续的正整数，代入表示木棒根数的代数式求值，发现100在这两个值之间，说明不可能有一个图形刚好用了100根木棒．
本题考查图形类规律探究、解一元一次方程，关键是找出前后两个图形的变化规律．
【详解】（1）解：第1个图形需要根木棒，
第2个图形需要根木棒，
第3个图形需要根木棒，
∴第4个图形需要根木棒，
故答案为：2，6，12，20；
（2）以此类推，第个图形需要根木棒；
故答案为：；
（3）不正确，理由如下：
当，，
当，，
∵，
∴9和10之间不存在正整数满足题意．
∴不可能有一个图形刚好用了100根木棒，他的说法不正确．