1.3 黄金分割法——0.618法 课件3

课件26张PPT。1.3 黄金分割法-0.618法1. 黄金分割常数1. 黄金分割常数***探究*** 对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？ 对于单峰函数，在同侧，离最佳点越近的点越是好点，且最佳点与好点必在差点的同侧．由此，可按如下想法安排试点:先在因素范围[a, b]内任选两点各做一次试验，根据试验结果确定差点与好点，在差点处把[a, b]分成两段，截掉不含好点的一1. 黄金分割常数***探究*** 对于一般的单峰函数，如何安排试点才能迅速找到最佳点？段，留下存优范围[a1, b1]，显然有[a1, b1]?[a, b]；再在[a1, b1]内任选两点各做一次试验，并与上次的好点比较，确定新的好点和新的差点，并在新的差点处把[a1, b1]分成两段，截掉不包含新好点的那段，留下新的存优范围[a2, b2]，同样有[a2, b2]?[a1, b1]… …重复上述步骤，可使存优范围逐步缩小. 在这种方法中，试点的选取是任意的,只要试点在前一次留下的范围内就行了.这种任意性会给寻找最佳点的效率带来影响.例如，假设因素区间为[0, 1]，取两个试点2/10、1/10，那么对峰值在(0, 1/10)中的单峰函数，两次试验便去掉了长度为4/5的区间(图1)；但对于峰值在(2/10, 1)的函数，只能去掉长度为1/10的区间(图2)，试验效率就不理想了.***思考*** 怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点?***思考*** 怎样选取各个试点，可以最快地达到或接近最佳点? 我们希望能“最快”找到或接近最佳点的方法不只针对某个具体的单峰函数，而是对这类函数有普遍意义.由于在试验之前无法预先知道哪一次试验效果好，哪一次差，即这两个试点有同样的可能性作为因素范围[a, b]的分界点，所以为了克服盲目性和侥幸心理，在安排试点时，最好使两个试点关于[a, b]的中心(a+b)/2对称.同时，为了尽快找到最佳点，每次截去的区间不能太短，但是也不能很长.因为为了一次截得足够长，就要使两个试点x1和x2与(a+b)/2足够近，这样，第一次可以截去[a, b]的将近一半.但是按照对称原则，做第三次试验后就会发现，以后每次只能截去很小的一段，结果反而不利于很快接近最佳点. 为了使每次去掉的区间有一定的规律性，我们这样来考虑：每次舍去的区间占舍去前的区间的比例数相同. 下面进一步分析如何按上述两个原则确定合适的试点.2. 黄金分割法——0.618法2. 黄金分割法——0.618法 [例1] 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料，使炼出的钢满足一定的指标要求.假设为了炼出某种特定用途的钢，每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间，问如何通过试验的方法找到它的最优加入量？ [例2] 若某原始的因素范围是[100, 1100]，现准备用黄金分割法进行试验找到最优加入量.分别以an表示第n次试验的加入量(结果都取整数).
(1) 求a1，a2.
(2) 若干次试验后的存优范同包含在区间[700, 750]内，请写出{an}的前6项.
(3) 在条件(2)成立的情况下，写出第6次试验后的存优范围. 解：(1) 由黄金分割法知：第一次的加入量为：a1=100+0.618×(1100－100)=718. 所以a2=100+1100－718=482. (2) 因为[700, 750]包含存优范围．所以最优点在区间[700, 750]上.
由此知前两次试验结果中，好点是718，所以此时存优范围取[482, 1100]，
所以a3=482+1100－718=864，
同理可知第三次试验后，好点仍是718，此时存优范围是[482, 864]
所以a4=482+864－718=628. 同理可求得a5=628+864－718=774； a6=628+774－718－684. (3) 由(2)知第6次试验前的存优范围是[628, 774]， 又718是一个好点，第6次试验点是684，比较可知718是好点，去掉684以下的范围，故所求存优范围是[684, 774]. [例3] 调酒师为了调制一种鸡尾酒.每100k烈性酒中需要加入柠檬汁的量1000g到2000g之间，现准备用黄金分割法找到它的最优加入量.
(1) 写出这个试验的操作流程.
(2) 如果加入柠檬汁误差不超出1g，问需要多少次试验? 解：(1)试验可按以下进行：
①做第一次试验：第一次试验的加入量为:(2000－1000)×0.618+1000=1618(g)，即取1618g柠檬汁进行第一次试验.
②做第二次试验：在第一点的对称点处做为第二次试验点，这一点的加入量可用下面公式计算(此后各次试验点的加入量也按下面公式计算)：大－中+小=第二点.
即第二点的加入量为：2000－1618+1000=1382(g).
③比较两次试验结果，如果第二点比第一点好，则去掉1618克以上的部分；如果第一点较好，则去掉1382克以下部分．假定试验结果第一点较好，那么去掉1382克以下的部分，即存优范围为[1382，2000]，在此范围找出第一点(即1618)的对称点做第三次试验.其加入量用公式计算：加入量=大－中+小.即第三次试验的加入量为：2000－1618+1382=1764(g). ④再将第三次试验结果与第一点比较，如果仍然是第一点好些，则去掉1764克以上部分，如果第三点好些，则去掉1618克以下部分.假设第三点好些，则在留下部分(即[1618, 2000])找出第三点(即1764)的对称点做第四次试验.第四点加入量为：2000－1764+1618=1854(g). ⑤第四次试验后，再与第二点比较，并取舍.在留下部分用同样方法继续试验，直至找到最佳点为止.
(2) 若误差不超出1g，即精度??(2×1)/1000=0.002.
所以0.618n－1?0.002，得n?lg0.002/lg0.618+1，即n?18.697. 故需要19次试验.作业布置：《学海导航》P10-12(要点归纳要填空完整)