1.4 分数法 课件1
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课件26张PPT。选修4－7优选法与试验设计初步
第一讲 优选法
四.分数法问题提出 1.黄金分割法的基本原则是什么？两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例. 2.用黄金分割法寻找最优点时，第一个试点选在何处？后续试点的数量值如何计算？ 第一个试点在因素范围的0.618处；后续试点选在存优范围内，用“加两头，减中间”来确定数量值. 3.用黄金分割法确定试点时，n次试验后的精度δn为多少？δn＝0.618n－1 4.黄金分割法操作简单实用，是一种重要的优选法，是寻找单因素单峰目标函数最佳点的主要方法.但是，如果因素范围是由一些离散的点组成，就不便甚至不能利用黄金分割法来寻找最佳点.用此，我们希望以黄金分割法为基础，再研究一个类似的方法来弥补黄金分割法的不足.分数法探究（一）：分数法的概念 思考1：在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10ml，能否用0.618法找出这种材料的最优加入量？为什么？不方便，因为用0.618法算出的试点不是10ml的整数倍，锥形量杯难以精确计量. 思考2：0.618是黄金分割常数
的近似值，ω是方程ω2＋ω－1＝0的根，该方程可以作哪些变形？ω(ω＋1)＝1， 等.思考3：将等式 右边的ω反复
用 代替，可得什么关系式？思考4：上式右边是一个繁分式，叫做无穷连分数，为了书写简便，记作
,那么这个无穷分数的前6项
分别为多少？前一项的分母等于后一项的分子； F0＝F1＝1， . 思考6：上述数列{Fn}叫做斐波那契数
列，随着n的增大， 的值与ω有什么关系？逐渐趋向于ω思考7：分数 可作为ω的近似值，而
且n越大近似程度越高，数列 称为
ω的渐近分数列， 称为ω的第n项渐
近分数.如果用0.618法确定试点不方便，可以用哪些数代替0.618？用ω的渐近分数 思考8：在前述“配置清洗液”问题中，因素范围是0～130ml，锥形量杯能精确计量10ml的整数倍，用哪个渐近分数来代替0.618选取试点最合适？ 思考9：用 代替0.618，第1试点和第2
试点对应的加入量分别为多少ml？若第1试点是好点，则第3试点对应的加入量为多少ml？ x2＝0＋130－80＝50 x3＝50＋130－80＝100思考10：在优选法中，用渐近分数近似代替0.618确定试点的方法叫做分数法，那么在什么情况下使用分数法？ 因素范围由一些离散的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定值.探究（二）：分数法的操作原理 思考1：在测试某设备的线路中，要选一个电阻，但测试者手里只有阻值为0.5KΩ，1KΩ，1.3KΩ，2KΩ，3KΩ，5KΩ，5.5KΩ等七种阻值不等的定值电阻，用分数法优选这个阻值有何困难？如何解决？阻值间隔不均匀，电阻个数不是斐波那契数. 把这些电阻由小到大排序，并在两端各增加一个虚点，使因素范围凑成8格.
阻值 0.5 1 1.3 2 3 5 5.5
排序 0 1 2 3 4 5 6 7 83KΩ，1.3KΩ.思考2：通过上述处理，可以把阻值优
选变为排列序号优选，用渐近分数 代
替0.618确定试点，第1个试点选取哪个阻值的电阻？第2个试点选取哪个阻值的电阻？ 思考3：如果第2个试点是好点，则第3个试点选取哪个阻值的电阻？如果第1个试点是好点，则第3个试点选取哪个阻值的电阻？ 5KΩ.1KΩ.思考4：分数法的基本思想是用适当的渐近分数代替0.618，再类似黄金分割法的操作原理选取试点.设某试验的因素范围是[0，1]，如果只能做1次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？试点选在何处？精度为多少？精度为0.5. 思考5：设某试验的因素范围是[0，1]，如果只能做2次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？两个试点分别选在何处？精度为多少？第1试点选在 处，第2试点选在 处，
精度为 .思考6：如果只能做3次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？精度为多少？一般地，如果只能做k次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？精度为多少？渐近分数取 ，精度为 ； 渐近分数取 ，精度为 .思考7：用分数法安排试点时，若可能的试点总数正好是某一个Fn－1，则第1，2个试点分别选哪个点？经过两次试验后，存优范围中还剩下多少个试点可能是最佳点？第Fn－1和Fn－2点，剩Fn－1－1个试点. 思考8：在Fn－1个可能的试点中，最多做多少次试验就能找到其中的最佳点？最多做n－1次试验 思考9：若可能的试点总数大于某一个 Fn－1，且小于某一个Fn＋1－1，用分数法安排试点时应作如何处理？把所有可能的试点减少为Fn－1个， 或增设几个虚点凑成Fn＋1－1个.思考10：一般地，用分数法安排试点的操作步骤如何？（1）将试点个数调整为Fn－1个； （2）用 代替0.618确定第一个试点； （3）用“加两头，减中间”的方法确定后续试点.思考11：对目标函数为单峰的情形，用分数法寻找最佳点的试验次数与试点个数有什么关系？（1）当因素范围内有Fn＋1－1个试点时，最多只需作n次试验就能找出其中的最佳点.（2）通过n次试验，最多能从Fn＋1－1个试点中保证找出最佳点.（3）只有按照分数法安排试点，才能通过n次试验保证从Fn＋1－1个试点中找出最佳点.理论迁移 例 某化工厂拟对某一化工产品进行技术改良，需要优选加工温度，试验范围定为60～80°C，精度要求±1°，技术员准备用分数法进行优选.
（1）如何安排试验？
（2）最多通过几次试验就可以找出最佳点？
（3）若最佳点为70°C，求各试点的值.小结作业 1.分数法适用于单因素单峰函数的因素范围由一些离散的点组成，试点只能取某些特定值的情形，其基本思想是用适当的渐近分数代替0.618，然后按类似黄金分割法的操作原理选取试点. 即先用渐近分数确定第一个试点，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定. 2.现实中，由于时间、人力、物力和财力的关系，往往使试验次数受到限制，这种情况下采用分数法可以达到较好的效果.当试点个数一定时，用分数法找出其中的最佳点的试验次数最少. 3.若因素范围内的试点将试验范围所分的段数不是斐波那契数，则可以通过减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契数.作业：
P17习题1.4：1，2，3.
第一讲 优选法
四.分数法问题提出 1.黄金分割法的基本原则是什么？两个试点关于存优范围的中心对称，且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例. 2.用黄金分割法寻找最优点时，第一个试点选在何处？后续试点的数量值如何计算？ 第一个试点在因素范围的0.618处；后续试点选在存优范围内，用“加两头，减中间”来确定数量值. 3.用黄金分割法确定试点时，n次试验后的精度δn为多少？δn＝0.618n－1 4.黄金分割法操作简单实用，是一种重要的优选法，是寻找单因素单峰目标函数最佳点的主要方法.但是，如果因素范围是由一些离散的点组成，就不便甚至不能利用黄金分割法来寻找最佳点.用此，我们希望以黄金分割法为基础，再研究一个类似的方法来弥补黄金分割法的不足.分数法探究（一）：分数法的概念 思考1：在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入量，该量杯的量程分为15格，每格代表10ml，能否用0.618法找出这种材料的最优加入量？为什么？不方便，因为用0.618法算出的试点不是10ml的整数倍，锥形量杯难以精确计量. 思考2：0.618是黄金分割常数
的近似值，ω是方程ω2＋ω－1＝0的根，该方程可以作哪些变形？ω(ω＋1)＝1， 等.思考3：将等式 右边的ω反复
用 代替，可得什么关系式？思考4：上式右边是一个繁分式，叫做无穷连分数，为了书写简便，记作
,那么这个无穷分数的前6项
分别为多少？前一项的分母等于后一项的分子； F0＝F1＝1， . 思考6：上述数列{Fn}叫做斐波那契数
列，随着n的增大， 的值与ω有什么关系？逐渐趋向于ω思考7：分数 可作为ω的近似值，而
且n越大近似程度越高，数列 称为
ω的渐近分数列， 称为ω的第n项渐
近分数.如果用0.618法确定试点不方便，可以用哪些数代替0.618？用ω的渐近分数 思考8：在前述“配置清洗液”问题中，因素范围是0～130ml，锥形量杯能精确计量10ml的整数倍，用哪个渐近分数来代替0.618选取试点最合适？ 思考9：用 代替0.618，第1试点和第2
试点对应的加入量分别为多少ml？若第1试点是好点，则第3试点对应的加入量为多少ml？ x2＝0＋130－80＝50 x3＝50＋130－80＝100思考10：在优选法中，用渐近分数近似代替0.618确定试点的方法叫做分数法，那么在什么情况下使用分数法？ 因素范围由一些离散的、间隔不等的点组成，试点只能取某些特定值.探究（二）：分数法的操作原理 思考1：在测试某设备的线路中，要选一个电阻，但测试者手里只有阻值为0.5KΩ，1KΩ，1.3KΩ，2KΩ，3KΩ，5KΩ，5.5KΩ等七种阻值不等的定值电阻，用分数法优选这个阻值有何困难？如何解决？阻值间隔不均匀，电阻个数不是斐波那契数. 把这些电阻由小到大排序，并在两端各增加一个虚点，使因素范围凑成8格.
阻值 0.5 1 1.3 2 3 5 5.5
排序 0 1 2 3 4 5 6 7 83KΩ，1.3KΩ.思考2：通过上述处理，可以把阻值优
选变为排列序号优选，用渐近分数 代
替0.618确定试点，第1个试点选取哪个阻值的电阻？第2个试点选取哪个阻值的电阻？ 思考3：如果第2个试点是好点，则第3个试点选取哪个阻值的电阻？如果第1个试点是好点，则第3个试点选取哪个阻值的电阻？ 5KΩ.1KΩ.思考4：分数法的基本思想是用适当的渐近分数代替0.618，再类似黄金分割法的操作原理选取试点.设某试验的因素范围是[0，1]，如果只能做1次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？试点选在何处？精度为多少？精度为0.5. 思考5：设某试验的因素范围是[0，1]，如果只能做2次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？两个试点分别选在何处？精度为多少？第1试点选在 处，第2试点选在 处，
精度为 .思考6：如果只能做3次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？精度为多少？一般地，如果只能做k次试验，则应取哪个渐近分数代替0.618？精度为多少？渐近分数取 ，精度为 ； 渐近分数取 ，精度为 .思考7：用分数法安排试点时，若可能的试点总数正好是某一个Fn－1，则第1，2个试点分别选哪个点？经过两次试验后，存优范围中还剩下多少个试点可能是最佳点？第Fn－1和Fn－2点，剩Fn－1－1个试点. 思考8：在Fn－1个可能的试点中，最多做多少次试验就能找到其中的最佳点？最多做n－1次试验 思考9：若可能的试点总数大于某一个 Fn－1，且小于某一个Fn＋1－1，用分数法安排试点时应作如何处理？把所有可能的试点减少为Fn－1个， 或增设几个虚点凑成Fn＋1－1个.思考10：一般地，用分数法安排试点的操作步骤如何？（1）将试点个数调整为Fn－1个； （2）用 代替0.618确定第一个试点； （3）用“加两头，减中间”的方法确定后续试点.思考11：对目标函数为单峰的情形，用分数法寻找最佳点的试验次数与试点个数有什么关系？（1）当因素范围内有Fn＋1－1个试点时，最多只需作n次试验就能找出其中的最佳点.（2）通过n次试验，最多能从Fn＋1－1个试点中保证找出最佳点.（3）只有按照分数法安排试点，才能通过n次试验保证从Fn＋1－1个试点中找出最佳点.理论迁移 例 某化工厂拟对某一化工产品进行技术改良，需要优选加工温度，试验范围定为60～80°C，精度要求±1°，技术员准备用分数法进行优选.
（1）如何安排试验？
（2）最多通过几次试验就可以找出最佳点？
（3）若最佳点为70°C，求各试点的值.小结作业 1.分数法适用于单因素单峰函数的因素范围由一些离散的点组成，试点只能取某些特定值的情形，其基本思想是用适当的渐近分数代替0.618，然后按类似黄金分割法的操作原理选取试点. 即先用渐近分数确定第一个试点，后续试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定. 2.现实中，由于时间、人力、物力和财力的关系，往往使试验次数受到限制，这种情况下采用分数法可以达到较好的效果.当试点个数一定时，用分数法找出其中的最佳点的试验次数最少. 3.若因素范围内的试点将试验范围所分的段数不是斐波那契数，则可以通过减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契数.作业：
P17习题1.4：1，2，3.