1.4 分数法 课件2
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课件42张PPT。1.试验点的选取：
x1=小+0.618× (大－小)；
x2=小+大－x1.
一般：xn=小+大-xm.
概括为“加两头，减中间”. 下面，我们就对分数法进行进一步的讲解……第四节 分数法1. 知识与技能(1) 了解并掌握分数法的基本概念. (2) 了解什么是斐波那数列. (3) 学会使用斐波那数列来解决问题. (4) 能够使用分数法解决实际的优选问题. (5) 了解并掌握什么是分数法的最优性.2.过程与方法 （１）教师案例引入分数法，通过演示案例，指导学生观察分析，总结归纳. （２）学生积极思考认真学习，理解分数法的概念，通过自己动手演算，进行推导. （3）通过学生的自主学习，掌握分数法的使用方法，并能通过分数法解决实际的优选问题.3.情感态度与价值观 （１）通过学生之间的讨论、交流与协作探究，培养学生之间的团队合作精神. （２）让学生在探究过程中体验解决问题的成功喜悦，增强学生的学习兴趣. （ 3 ）通过学生的自主探究学习，培养学生的创新能力，开阔学生的思维空间. （1）了解并掌握分数法的概念. （2）学会使用分数法解决实际的优选问题. （3）利用优选法的最优性找出最佳点. （1） 用分数法解决实际的优选问题. （2） 比较分数法和黄金分割法解决优选问题的不同. （3） 利用分数法的最优性找出最佳点.一、分数法二、分数法的最优性一、分数法案例1 ： 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入量,该量杯的量程分为15格，每格代表10ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.
接下来，我们就来解决案例……我们利用分数代替黄金分割常数来解决问题……解： 案例1中，加入量大于130ml时肯定不好，因此试验范围就定在0～130ml. 我们看到，10ml、20ml、30ml,……,120ml把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果8/13=F5/F6来代替0.618，那么我们有X1=0+(8/13)*(130-0)=80, 这样，第1个试点安排在80ml处，其对称点用“加两头，减中间”的方法，得：X2=0+130-80=50, 即第2个试点安排在50ml处，在整个因素范围的5/13=F4/F6位置， 比较两次试验结果，如果x1时好点，则去掉x2一下部分，存优范围为50~130ml，其中有8格（7个试点，包括一个已做过试验的80ml处）. 在存优范围50~130ml内，用“加两头，减中间”的方法求x1的对称点，得：X3=50+130-80=100, 所以第3个试点在100ml处，这个点相当于存优范围重新进行编号后的F4/F5位置，而x1在存优范围的F3/F5位置. 继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果. 优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.案例2 ： 调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5KΩ,1KΩ, 1.3KΩ, 2KΩ,3KΩ, 5KΩ,5.5 KΩ等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值？针对上述问题，我们进行解决：解： 如果采用0.618法，则计算出来的电阻测试者手里可能没有，这时，可以先把这些电阻由小到大顺序排列： 这样，就把阻值优选变为排列序号的优选，问题就容易解决了. 为了便于用分数法，可在两端增加虚点(0),(8),使因素范围凑成为8格，用5/8来代替0.618.第一个试点序号(5)，即3KΩ；第二个试点按“加两头，减中间”的方法得(0)+(8)- (5)= (3),即取1.3KΩ.以下按分数法顺序确定试点，就可以较快的找到较好的试点. 通过以上例题，我们学会了解决分数法的最优点问题. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.
（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn-1）.
（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn-1） ， 而小于（Fn+1-1）.
总而言之，分数法也是适合单因素单峰函数的方法，它与0.618法的本质是相同的，两者的区别只是用分数代替0.618和0.382来确定试点，后续的步骤都是相同的.
二、分数法的最优性 根据第一节的学习，我们知道，当有(Fn+1-1)个试点时，用分数法安排试验，最多只需要作n次试验就能找出其中的最佳点.现在，反过来考虑问题，无论用什么方法安排试验，作n次试验最多能从多少个试点中找出最优点. 以下假设目标函数为单峰的，我们分两种情况进行讨论. 当有2个试点时，在每个试点各做一次试验，通过比较就能找出其中的最佳点. 当有3个试点时，只在其中两个试点各做一次试验，不能确定全部试点中的最佳点. 因此，作两次试验最多能从2个试点中保证找出最佳点. 注意到当n=2时，Fn+1-1=F3-1=2,事实上，我们可以将上面做2次试验的情形，推广到一般情形：作n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点. （1）在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点. （2）在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从（Fn+1-1）个试点中找出最佳点. 综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数法的最优性.分数法在有有限个试点的优选问题中被广泛使用.
优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法. 具体就是利用分数作为黄金分割数的近似数来解决优选问题. （1）在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.
（2）在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从（Fn+1-1）个试点中找出最佳点.
1.目标函数为单峰函数，可以应用于试点只能取整数或某些特定数的情形，以及限定次数或给定精确度的问题，因为和0.618一样，这些分数都是黄金分割数的近似数，所以对试验范围为连续的情形也可以用. 2.用分数法进行优选，试验区间为[29,50],等分为21段，分点为30，31······，48，49，第一试点选在29+（13/21）*（50-29）=42℃，第二个试点选在29+(8/21)*(50-29)=37℃. 3.至少有一台水泵安排在第10层，考虑另一台水泵的位置，用分数法进行优选，现有10个试点（第1······，10层），在虚设2个试点，共12=F6-1个试点，将范围分为13段，第一试点选在对应8/13的第8层，第二试点选在对应5/13的第5层. 4.略.
x1=小+0.618× (大－小)；
x2=小+大－x1.
一般：xn=小+大-xm.
概括为“加两头，减中间”. 下面，我们就对分数法进行进一步的讲解……第四节 分数法1. 知识与技能(1) 了解并掌握分数法的基本概念. (2) 了解什么是斐波那数列. (3) 学会使用斐波那数列来解决问题. (4) 能够使用分数法解决实际的优选问题. (5) 了解并掌握什么是分数法的最优性.2.过程与方法 （１）教师案例引入分数法，通过演示案例，指导学生观察分析，总结归纳. （２）学生积极思考认真学习，理解分数法的概念，通过自己动手演算，进行推导. （3）通过学生的自主学习，掌握分数法的使用方法，并能通过分数法解决实际的优选问题.3.情感态度与价值观 （１）通过学生之间的讨论、交流与协作探究，培养学生之间的团队合作精神. （２）让学生在探究过程中体验解决问题的成功喜悦，增强学生的学习兴趣. （ 3 ）通过学生的自主探究学习，培养学生的创新能力，开阔学生的思维空间. （1）了解并掌握分数法的概念. （2）学会使用分数法解决实际的优选问题. （3）利用优选法的最优性找出最佳点. （1） 用分数法解决实际的优选问题. （2） 比较分数法和黄金分割法解决优选问题的不同. （3） 利用分数法的最优性找出最佳点.一、分数法二、分数法的最优性一、分数法案例1 ： 在配置某种清洗液时，需要加入某种材料.经验表明，加入量大于130ml肯定不好.用150ml的锥形量杯计量加入量,该量杯的量程分为15格，每格代表10ml.用试验法找出这种材料的最优加入量.
接下来，我们就来解决案例……我们利用分数代替黄金分割常数来解决问题……解： 案例1中，加入量大于130ml时肯定不好，因此试验范围就定在0～130ml. 我们看到，10ml、20ml、30ml,……,120ml把试验范围分为13格，对照ω的渐进分数列，如果8/13=F5/F6来代替0.618，那么我们有X1=0+(8/13)*(130-0)=80, 这样，第1个试点安排在80ml处，其对称点用“加两头，减中间”的方法，得：X2=0+130-80=50, 即第2个试点安排在50ml处，在整个因素范围的5/13=F4/F6位置， 比较两次试验结果，如果x1时好点，则去掉x2一下部分，存优范围为50~130ml，其中有8格（7个试点，包括一个已做过试验的80ml处）. 在存优范围50~130ml内，用“加两头，减中间”的方法求x1的对称点，得：X3=50+130-80=100, 所以第3个试点在100ml处，这个点相当于存优范围重新进行编号后的F4/F5位置，而x1在存优范围的F3/F5位置. 继续用“加两头，减中间”的方法确定试点，几次试验后，就能找到满意的结果. 优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法.案例2 ： 调试某设备的线路中，要选一个电阻，但调试者手里只有阻值为0.5KΩ,1KΩ, 1.3KΩ, 2KΩ,3KΩ, 5KΩ,5.5 KΩ等七种阻值不等的定值电阻.他应当如何优选这个阻值？针对上述问题，我们进行解决：解： 如果采用0.618法，则计算出来的电阻测试者手里可能没有，这时，可以先把这些电阻由小到大顺序排列： 这样，就把阻值优选变为排列序号的优选，问题就容易解决了. 为了便于用分数法，可在两端增加虚点(0),(8),使因素范围凑成为8格，用5/8来代替0.618.第一个试点序号(5)，即3KΩ；第二个试点按“加两头，减中间”的方法得(0)+(8)- (5)= (3),即取1.3KΩ.以下按分数法顺序确定试点，就可以较快的找到较好的试点. 通过以上例题，我们学会了解决分数法的最优点问题. 一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑.
（1）可能的试点总数正好是某一个（Fn-1）.
（2）所有可能的试点总数大于某一（Fn-1） ， 而小于（Fn+1-1）.
总而言之，分数法也是适合单因素单峰函数的方法，它与0.618法的本质是相同的，两者的区别只是用分数代替0.618和0.382来确定试点，后续的步骤都是相同的.
二、分数法的最优性 根据第一节的学习，我们知道，当有(Fn+1-1)个试点时，用分数法安排试验，最多只需要作n次试验就能找出其中的最佳点.现在，反过来考虑问题，无论用什么方法安排试验，作n次试验最多能从多少个试点中找出最优点. 以下假设目标函数为单峰的，我们分两种情况进行讨论. 当有2个试点时，在每个试点各做一次试验，通过比较就能找出其中的最佳点. 当有3个试点时，只在其中两个试点各做一次试验，不能确定全部试点中的最佳点. 因此，作两次试验最多能从2个试点中保证找出最佳点. 注意到当n=2时，Fn+1-1=F3-1=2,事实上，我们可以将上面做2次试验的情形，推广到一般情形：作n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点. （1）在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点. （2）在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从（Fn+1-1）个试点中找出最佳点. 综上所述，对于试点个数为某常数时，用分数法找出其中最佳点的试验次数最少，这就是分数法的最优性.分数法在有有限个试点的优选问题中被广泛使用.
优选法中，像上面这样用渐进分数近似代替ω确定试点的方法叫分数法. 具体就是利用分数作为黄金分割数的近似数来解决优选问题. （1）在目标函数为单峰的情形，通过n次试验，最多能从（Fn+1-1）个试点中保证找出最佳点，并且这个最佳点就是n次试验中的最优试验点.
（2）在目标函数为单峰的情形，只有按照分数法安排试验，才能通过n次试验保证从（Fn+1-1）个试点中找出最佳点.
1.目标函数为单峰函数，可以应用于试点只能取整数或某些特定数的情形，以及限定次数或给定精确度的问题，因为和0.618一样，这些分数都是黄金分割数的近似数，所以对试验范围为连续的情形也可以用. 2.用分数法进行优选，试验区间为[29,50],等分为21段，分点为30，31······，48，49，第一试点选在29+（13/21）*（50-29）=42℃，第二个试点选在29+(8/21)*(50-29)=37℃. 3.至少有一台水泵安排在第10层，考虑另一台水泵的位置，用分数法进行优选，现有10个试点（第1······，10层），在虚设2个试点，共12=F6-1个试点，将范围分为13段，第一试点选在对应8/13的第8层，第二试点选在对应5/13的第5层. 4.略.