第二讲 试验设计初步
一、正交试验设计法 教案
教学过程;
为了方便起见，在试验中变化的因素用A，B，C，...表示，因素在试验中所取的不同状态称为水平，因素A的r个不同的水平用A1，A2，...，Ar表示.
案例1 某化工产品的产量受到温度A、反应时间B和催化剂浓度C三个因素的影响.在具体生产过程中，根据经验，温度、反应时间及催化剂浓度分别可以取两个水平:
温度：A1=80℃，A2=90℃；
反应时间：B1=1h，B2=2h；
催化剂浓度：C1=5%，C2=6%.
现要在上述的情况下找出产量最佳的因素组合方案，并分析影响结果的主次因素.
如果按它们所有可能组合的情况做试验，全面试验为：
相互位置如图所示，每个小黑圆点代表一个试验，共需做23=8次试验.
然后从所有的试验结果中选择最佳方案.这样做，原则上是可以的，但
当因素和水平个数较大时，试验的次数会相当大(比如因素为4，水平为6时，需64=1296次试验)，实际操作很困难.
为了减少试验次数，人们通常会这样进行试验：先把两个因素固定在某个水平上(如A1=80℃ ，B1=1h)，然后将第三个因素的两个水平C1，C2分别与之搭配进行试验，若与C1的搭配结果好，则固定C1，并选择A1，再与B2搭配试验，并比较与B1搭配的结果.若与B2搭配结果好，则规定C1和B2 ，再与A1和A2搭配试验，经比较得到最后的结果，等等.这样做的问题在于最初选择的因素C的水平C1是在两个因素A，B分别固定在A1，B1的情况下得到的，但后来A，B又变化了，这时因素C选择水平C1不能说一定仍是最好的，所以所得结果未必是最好的.
那么，是否有一种方法，只做少量一部分试验，就能对多个因素同时进行考察，在各个因素都处于变动的情况下，既能找出最优的试验方案，又能分析出各因素对试验结果影响的大小呢？
人们在长期的科学试验和生产实践中，总结出了一种解决这类安排多因素试验问题的方法--正交试验设计法.它借助预先设计好的"正交表"来安排试验和对数据进行统计分析，帮助人们通过较少的试验次数得到较好的因素组合，形成较好的试验方案.
1. 正交表
先介绍记号L4(23)的含意.符号"L"表示正交表，L右下角的数字4表示这张正交表有4行，它意味着需要做4次试验.括号里的指数3表示这张正交表有3列，每列中的数字代表试验因素，每列仅可放一个因素，它意味着最多可安排3个因素.括号内的数字2表示表的主要部分只有两种数字--1和2，它们分别是因素的1水平和2水平的代号，因此L4(23)是一张2水平的正交表.
常用的正交表有二水平正交表L4(23)，L8(27)，L12(211)，L16(215)；三水平正交表L9(34)，L27(213)；四水平正交表L16(45).
2. 正交试验设计
下面用正交试验设计法安排案例1中的试验.
首先要确定试验的因素和水平，这里已知影响试验结果的有3个因素，每个因素有2个水平；然后根据确定的因素和水平，选用一张合适的正交表.从附录二中找到二水平正交表有：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231). 本试验考察3个因素，由于每个因素各需占用1列，故所选表的列数不得少于3列.查二水平正交表，从中找出列数不少于3列的最小正交表L4(23).
下面用正交试验设计法安排案例1中的试验.
接着可以着手安排试验方案了.用L4(23)表安排试验就是先在表中任选3列，由于L4(23)中有且仅有3列，所以就不用选择了.将温度A，反应时间B，催化剂浓度C三个试验因素分别填入1，2，3三列上.哪一个因素安排在哪一列，一般来说是任意的.
排定因素后，编排具体试验方案，就是"对号入座".按照这个安排需要做4次试验.第一个试验就是按照表的第1行排出的水平组合(A1, B1, C1)，在温度为80℃ ，反应时间为1h，催化剂浓度为5%的条件下完成；第二个试验就是按照表的第2行排出的水平组合(A1,B2,C2)，在温度为80℃ ，反应时间为2h，催化剂浓度为6%的条件下完成；等等.
经过试验，将试验的结果，即产量列在表2-2中.表2-23. 试验结果的分析
(1) 直接对比法
从表2-2的试验结果列中可以看到，第3号试验在4个试验中的产量最高.这种直接对比法的好处是，不必另作计算，只凭试验结果及实际经验进行分析.显然，直接对比的结论十分重要，因为这是拿到手的现实成果.
但是，由于每个试验号之间因素的水平有变化，究竟哪个因素的哪个水平引起试验结果的好坏，就难于分辨了.而且正交试验是从所有可能的因素组合中抽取其中一部分做试验，本案例中从23个组合中抽取了4个.未做过试验的组合情况如何？更好的组合有有没有漏掉？这是难以回答的.显然，这对选区最优生产条件是一个很大的缺陷.
案例1中，除温度、反应时间和催化剂浓度这三个考察因素之外，其他因素(如测量仪器、操作方法等)也会影响试验结果.当这些其他因素都处于某种理想状态时，所得试验结果叫做理论结果.观察到的试验结果与理论结果之间的偏离量，叫做试验误差.观察结果大于理论结果时，误差为正；反之，误差为负.
如果试验中考察因素之外的其他因素的状态差异难以把握，试验误差带有随机性，则称之为随机误差.一般地说，随机误差在试验活动中是难以避免的.我们要进一步考虑：是否可以设法克服随机误差对分析试验结果的影响?
(2) 直观分析法
直观分析法是分析各个因素对试验结果影响大小的一种数学方法，它弥补了直接对比法的缺陷.
用Kpq表示L4(23)表中对应第q列中水平p的试验结果之和，kpq表示Kpq的平均值，即 表2-3 表2-4
为了直观起见，我们把k和R的计算结果绘成产量和因果图.
4. 正交表的特性
上述特征性在正交表中是通过以下方式表现的：
(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等，即同一因素的任一水平在试验中出现的机会相等.例如在表L4(23)中，每一列的水平数字1和2出现的次数都是两次.
(2)任意两列，将同一行的两个数字看成有序数对时，每种数对出现的次数相等，即任何两因素的各种水平搭配，在试验中出现的机会也相等.例如在表L4(23)中，有序数对共有四个：(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，每种出现的次数都是一次.
由于实际问题的复杂性，试验中有各种各样的情形.有的考虑因素多些，有的考虑因素想好些；有时因素的水平分为2个，有时是3个或更多个.为了适应各种试验的需要，数学家已编制了多种正交表.了解这些表的结构、功能和使用方法后，只要根据试验目的，准确选用正交表安排试验即可.
课后作业
1. 阅读教材P. 29-P.35；2.《学案》第二讲第一课时.
教学后记
课件27张PPT。第二讲 试验设计初步一、正交试验设计法复习引入 为了方便起见，在试验中变化的
因素用A，B，C，…表示，因素在试
验中所取的不同状态称为水平，因素
A的r个不同的水平用A1，A2，…，Ar
表示.讲授新课 案例1 某化工产品的产量受到温度A、
反应时间B和催化剂浓度C三个因素的影响.
在具体生产过程中，根据经验，温度、反应
时间及催化剂浓度分别可以取两个水平: 温度：A1=80℃，A2=90℃； 反应时间：B1=1h，B2=2h； 催化剂浓度：C1=5%，C2=6%. 现要在上述的情况下找出产量最佳的因
素组合方案，并分析影响结果的主次因素.讲授新课 如果按它们所有可能组合的情况做
试验，全面试验为：A1B1C1C2A1B2C1C2A2B1C1C2A2B2C1C2讲授新课相互位置如图所示，每个小黑圆点代表
一个试验，共需做23=8次试验.然后从所
有的试验结果中选择最佳方案.这样做，
原则上是可以的，但当因素和水平个数
较大时，试验的次数 会相当大(比如因素为 4，水平为6时，需64 =1296次试验)，实际 操作很困难.讲授新课 为了减少试验次数，人们通常会这样进行试
验：先把两个因素固定在某个水平上(如A1=80℃ ，B1=1h)，然后将第三个因素的两个水平C1，C2分
别与之搭配进行试验，若与C1的搭配结果好，则
固定C1，并选择A1，再与B2搭配试验，并比较与
B1搭配的结果.若与B2搭配结果好，则规定C1和B2，再与A1和A2搭配试验，经比较得到最后的结果，
等等.这样做的问题在于最初选择的因素C的水平
C1是在两个因素A，B分别固定在A1，B1的情况
下得到的，但后来A，B又变化了，这时因素C选
择水平C1不能说一定仍是最好的，所以所得结果
未必是最好的.讲授新课 那么，是否有一种方法，只做少量一部
分试验，就能对多个因素同时进行考察，在
各个因素都处于变动的情况下，既能找出较
优的试验方案，又能分析出各因素对试验结
果影响的大小呢？ 人们在长期的科学试验和生产实践中，
总结出了一种解决这类安排多因素试验问题的方法——正交试验设计法.它借助预先设计
好的“正交表”来安排试验和对数据进行统
计分析，帮助人们通过较少的试验次数得到
较好的因素组合，形成较好的试验方案.讲授新课1. 正交表列号试验号表2-1讲授新课 先介绍记号L4(23)的含意.符号“L”表示正
交表，L右下角的数字4表示这张正交表有4行，
它意味着需要做4次试验.括号里的指数3表示
这张正交表有3列，每列中的数字代表试验因
素，每列仅可放一个因素，它意味着最多可安
排3个因素.括号内的数字2表示表的主要部分
只有两种数字——1和2，它们分别是因素的1
水平和2水平的代号，因此L4(23)是一张2水平
的正交表. 常用的正交表有二水平正交表L4(23)，
L8(27)，L12(211)，L16(215)；三水平正交表
L9(34)，L27(213)；四水平正交表L16(45).讲授新课 下面用正交试验设计法安排案例1中的试
验. 首先要确定试验的因素和水平，这里已
知影响试验结果的有3个因素，每个因素有2
个水平； 然后根据确定的因素和水平，选用一张
合适的正交表.从附录二中找到二水平正交表
有：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231). 本试
验考察3个因素，由于每个因素各需占用1列，
故所选表的列数不得少于3列.查二水平正交表，
从中找出列数不少于3列的最小正交表 L4(23).2. 正交试验设计讲授新课2. 正交试验设计 接着可以着手安排试验方案了.用L4(23)表
安排试验就是先在表中任选3列，由于L4(23)中
有且仅有3列，所以就不用选择了.将温度A，
反应时间B，催化剂浓度C三个试验因素分别
填入1，2，3三列上.哪一个因素安排在哪一列，
一般来说是任意的.讲授新课表2-2列号试验号讲授新课 排定因素后，编排具体试验方案，就是
“对号入座”.按照这个安排需要做4次试验.
第一个试验就是按照表2-2的第1行排出的水
平组合(A1，B1，C1)，在温度为80℃ ，反应
时间为1h，催化剂浓度为5%的条件下完成；
第二个试验就是按照表的第2行排出的水平
组合(A1，B2，C2)，在温度为80℃ ，反应时
间为2h，催化剂浓度为6%的条件下完成；
等等. 经过试验，将试验的结果，即产量列在
表2-2中.讲授新课表2-2列号试验号讲授新课3. 试验结果的分析 从表2-2的试验结果列中可以看到，第
3号试验在4个试验中的产量最高.这种直接
对比法的好处是，不必另作计算，只凭试
验结果及实际经验进行分析.显然，直接对
比的结论十分重要，因为这是拿到手的现
实成果.(1) 直接对比法讲授新课 但是，由于每个试验号之间因素的水
平有变化，究竟哪个因素的哪个水平引起
试验结果的好坏，就难于分辨了.而且正交
试验是从所有可能的因素组合中抽取其中
一部分做试验，本案例中从23个组合中抽
取了4个.未做过试验的组合情况如何？更
好的组合有有没有漏掉？这是难以回答的.
显然，这对选取最优生产条件是一个很大
的缺陷.讲授新课 案例1中，除温度、反应时间和催化
剂浓度这三个考察因素之外，其他因素
(如测量仪器、操作方法等)也会影响试验
结果.当这些其他因素都处于某种理想状
态时，所得试验结果叫做理论结果.观察
到的试验结果与理论结果之间的偏离量，
叫做试验误差.观察结果大于理论结果时，
误差为正；反之，误差为负.讲授新课 如果试验中考察因素之外的其他因素
的状态差异难以把握，试验误差带有随机
性，则称之为随机误差.一般地说，随机误
差在试验活动中是难以避免的.我们要进一
步考虑：是否可以设法克服随机误差对分
析试验结果的影响?讲授新课(2) 直观分析法 直观分析法是分析各个因素对试验结
果影响大小的一种数学方法，它弥补了直
接对比法的缺陷.讲授新课 用Kpq表示L4(23)表中对应第q列中水平
p的试验结果之和，kpq表示Kpq的平均值，
即讲授新课列号试验号讲授新课讲授新课列号试验号讲授新课 为了直观起见，我们把k和R的计算结果
绘成产量和因果图.讲授新课4. 正交表的特性 上述特征性在正交表中是通过以下方式表
现的：
(1)每一列中，不同的数字出现的次数相等，
即同一因素的任一水平在试验中出现的机会相
等.例如在表L4(23)中，每一列的水平数字1和2
出现的次数都是两次. (2)任意两列，将同一行的两个数字看成有
序数对时，每种数对出现的次数相等，即任何
两因素的各种水平搭配，在试验中出现的机会
也相等.例如在表L4(23)中，有序数对共有四个：
(1, 1)，(1, 2)，(2, 1)，(2, 2)，每种出现的次数
都是一次. 由于实际问题的复杂性，试验中有各种
各样的情形.有的考察因素多些，有的考察因
素少些；有时因素的水平分为2个，有时是3
个或更多个.为了适应各种试验的需要，数学
家已编制了多种正交表.了解这些表的结构、
功能和使用方法后，只要根据试验目的，准
确选用正交表安排试验即可.讲授新课课后作业1.阅读教材P. 29-P.35；
