9.1.2 余弦定理 教学设计

《余弦定理》教学设计
一、教材分析
学习本章之前，已经研究过有关三角形、三角函数和解直角三角形、平面向量等知识，解三角形是在这些知识的基础上，对任意三角形的边长和角度关系作进一步的探索研究．实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，通过研究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；通过研究，培养学生的归纳、猜想、论证能力以及分析问题和解决问题的能力，同时让学生在学习中感受数学的对称美与和谐美；通过解决一些实际问题，培养学生的数学应用意识，激发学生学习数学的兴趣，让学生感受到数学知识既来源于生活，又服务于生活．
二、学情分析
一方面，学生在初中阶段已经知道：已知三角形的两边及夹角，那么这个三角形是唯一确定的，对此有一个定性的认识，不过还不能定量去描述它们的关系。另一方面，学生学习余弦定理之前已经学习了向量和三角函数等相关知识，具备自主探究推导余弦定理的知识储备.
三、教学目标
1. 通过问题探究，学生能运用向量推导出余弦定理，发展学生的逻辑推理能力，达到逻辑推理核心素养水平一的要求；
2. 通过多种方法证明余弦定理，发展培养学生的数学思想方法，达到数学抽象核心素养水平一的要求；
3.通过解决简单的解三角形问题，巩固学生对余弦定理的理解于与应用，达到数学运算核心素养水平一的要求.
四、教学重难点
教学重点：余弦定理的内容、证明及基本应用.
教学难点：余弦定理的发现及证明.
五、教学过程
1.问题引入
用豆包和剪映生成视频：航海船甲板上，船员手持望远镜观察两座灯塔，背景是海洋和天空。画面从实景渐变为 GeoGebra AI 生成的平面几何模型：- 标注 “船的位置 O”“灯塔 A”“灯塔 B”- 显示已知数据：OB=8 海里（船到 B 灯塔距离），OA=6 海里（船到 A 灯塔距离），∠AOB=60°（两视线夹角）- 用红色问号标注 “AB=？”（待求距离）
问题1：你能将这个实际问题转化为数学问题吗？
在 ABC中，已知：a，b，∠C，求c
追问：这个三角形是唯一确定的吗？
设计意图：通过 AI 可视化呈现非直角三角形的边长计算问题，引发学生对 “勾股定理局限性” 的思考，自然导入余弦定理。
2.研究探讨
探究：在中，三个角所对的边分别是，怎样用和表示？
问题2：在中，记,,, 那么在中，用和表示的本质就是用和向量的夹角来表示，你能表示出来吗？
因为
故
所以
同理可得
【设计意图】通过探究，由向量证明余弦定理，提高学生分析问题、概括能力.
3.概念生成
通过以上探究，我们得到了三角形边角关系的一个重要定理：
余弦定理 三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍. 即
探究思考：你还能用其它方法证明余弦定理吗？
问题3：在问题1中我们是用向量的线性运算和数量积来得到余弦定理的，那你能否利用向量的坐标运算证明余弦定理呢？
学生解答：
如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，根据任意角三角函数的定义，可得则,则有
,
所以
同理可得
问题4：我们发现，当三角形其中一个角为时，余弦定理就是初中阶段所学的勾股定理，那你能否用平面几何方法证明余弦定理呢？
学生解答：
当为直角时，根据勾股定理得；
当为锐角时，如图1，,, ,
在中， ；
当为钝角时，如图2，, , , 在中， ；
综上，.
同理可得:
【设计意图】学生刚学完向量，通过问题2的引导，可以得到问题2的解答，从而得到余弦定理.问题2的解答是利用向量的线性运算和数量积运算，向量还有坐运算，由此设计了问题3，帮助学生更全面的应用向量，在运算过程中需要注意B点坐标的求法.问题4的设置目的是鼓励学生建立数学知识之间的联系，培养学生解题思维的灵活性，也更进一步说明了向量强大之处！
4.概念深化
问题4 (1)根据余弦定理，我们可以从三角形已知的两条边及其夹角直接求出第三边，其余的两个角如何求呢？
学生解答：
根据余弦定理，可以得到下列推论：
(2)一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形.余弦定理及推论可以解已知三角形哪些元素的三角形？
学生解答：
可以解已知两边及其夹角和已知三边的三角形.
【设计意图】问题设置帮助学生加深对余弦定理的记忆，并掌握余弦定理的应用方向. 通过问题的设置，培养学生自主研讨能力、合作交流能力、分析问题能力。
5.应用举例
例1：（教科书第43页例5）在中，已知，，，解这个三角形（角度精确到，边长精确到）
师生活动：学生独立完成，规范书写，教师根据学生完成情况，做点评和总结.（选取学生解答，拍照上传deepseek检验是否正确）
解：由余弦定理，得
所以
利用计算器，可得
所以
设计意图：让学生学会应用余弦定理及其推论，在老师的引导下逐步完善并规范步骤，体会解三角形的过程，培养数学运算核心素养.
例2：在中，已知，，，则等于？
师生活动：教师引导学生思考本题与上一个例题的相同和不同之处。学生独立思考后回答：两道题都是已知两边一角，不同在于例1是已知两边及其夹角，例2是已知两边和其中一边的对角.针对例2，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边. （选取学生解答，拍照上传deepseek检验是否正确）
解：由余弦定理，得
所以
解得或（负值舍去）.
所以
设计意图：进一步熟练、巩固定理，强化学生求解“已知两边及一角”这类基本解三角形问题的能力，培养数学运算核心素养.
例3：（教科书第44页练习2）在中，已知，，，解这个三角形.
师生活动：学生独立完成，规范书写，教师根据学生完成情况，做点评和总结. （选取学生解答，拍照上传deepseek检验是否正确）
解：由余弦定理推论，得
由于，可得，
同理可得，
由于，可得，
进而.
6.归纳小结
问题5：请你带着下列问题回顾本节课内容，并给出回答：
（1）这节课我们学习的余弦定理及其推论的内容是什么？从公式中你能分析出哪些特点？
（2）什么是解三角形？余弦定理及其推论可以解决哪两类解三角形问题？
师生活动：学生独立回答，教师补充点评，师生共同归纳总结.
设计意图：进一步反思巩固所学知识，厘清公式中的特点，让学生在将余弦定理纳入知识体系时能够清晰地抓住结构特点、明确解三角形问题的类型，同时能够提升思维，发展素养.