探究杨辉三角的性质与应用 教学设计
文档属性
| 名称 | 探究杨辉三角的性质与应用 教学设计 |
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| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 333.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-11 18:57:45 | ||
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文档简介
探究杨辉三角的性质与应用教学设计
教学要素分析
1.1教材分析
本节是人教A版高中数学选择性必修三第六章《计数原理》的内容，是本章最后一节，本节紧接着二项式定理一节，对二项式定理的展开式系数特征进行了探究、归纳、总结，是对整章计数原理，尤其是组合数性质的升华。
1.2 教学内容的地位和作用
二项式定理的应用非常广泛，排列组合数性质的推导也是尤为重要的，除此之外，给学生在大学学习概率、统计、组合数学也奠定了基础。这一节内容可以提升学生的数学素养，可以使得学生对概率统计知识系统化形成有促进作用。
1.3学生情况分析
在学习本节内容前，学生对排列组合实际应用问题、排列数、组合数性质推导都感到非常困难，二项式定理、通项公式有所掌握。使用AI工具，通过可视化、交互式体验，降低抽象知识的理解门槛，适配学生认知水平。
1.4教法分析
本节将融合AI技术设计沉浸式探究活动，通过虚拟实验、动态演示等功能，让学生自主探索二项式系数特征，结合AI大数据分析，精准推送个性化学习资源。通过创设一系列探究活动，让学生通过自己动手做完成活动，自行探究二项式系数的特征、归纳性质并总结方法。教学中还会通过AI工具嵌入贾宪、杨辉的生平视频，让学生了解我国在宋代的数学成就，提高民族荣誉感。
1.5教学目标
借助AI工具查阅贾宪、杨辉相关数字史料，深入了解杨辉三角
通过AI动态演示，精准推导二项式系数的性质
3. 利用AI交互平台完成杨辉三角虚拟制作，直观感知其与二项式系数的关联通过AI数据分析功能，自主提炼组合数的系列性质
4. 通过杨辉三角推得二项式系数的性质
1.6教学重难点
教学重点：
①杨辉三角和二项式系数的关系；
②二项式系数的性质。
（2）教学难点：
①二项式系数的性质；
②利用二项式系数的性质解决实际的问题。
2 教学过程
2.1 创设情境，引入课题
活动1：1. 教师通过Deepseek编写代码设置互动任务：生成二项式展开式系数动态表格，学生可拖动n的取值（0-6），实时观察系数叠放形成的图形，自主完成课本探究任务。
【设计意图】让学生进行探究，将二项式的展开式写出，直观感受二项式系数叠放之后的形状，让学生明白杨辉三角的来源，增强探究的兴趣。
2:杨辉三角简介
由AI推送贾宪、杨辉的数字传记（含动画、史料图片、语音讲解），学生自主浏览后，平台自动弹出2道基础思考题（如“杨辉三角的最早记录者是谁”），即时反馈作答结果，强化数学史认知。
[设计意图]介绍贾宪的生平和杨辉抄录贾宪三角得以流传的事迹，让学生通过数学史的简介，提高民族荣誉感，学习科学家的钻研精神。
2.2 课堂活动，知识初探
（1）活动2：自制杨辉三角
在白纸上第一行写上1，第二行对应上方错开，左右各写一个1，这三个1将构成一个小三角形。接下来的每一行的左右两边各写一个1，中间的数字是上一行每相邻两个数之和。请你照这样的规律写出6行。
这个规律可以写为：
（2）活动3：自制杨辉三角
借助AI虚拟实验系统，模拟生成棋子，把棋子按照每行1,2,3,4,5个的顺序排好。注意不要对齐，让每两行之间交错排列，摆成三角状。学生用手指拖动模拟下落过程，系统自动记录每条路径的通过次数，生成动态统计图表。支持重复模拟、放慢速度、分步演示等操作，直观呈现路径次数与杨辉三角数字的关联，无需实物棋子即可完成探究。
【设计意图】以多种方式让学生自制杨辉三角，让学生深刻了解组合数与杨辉三角的关系，继而知道二项式定理系数与组合数之间的联系，为推出性质打下基础。
2.3 性质探索，知识深化
请同学们逐项分析二项式系数的性质：
对称性：
问题：你能写出能解释“杨辉三角”左右对称的式子吗？
由学生得：
增减性与最大值：
问题：展开式中的二项式系数 ，最大项是哪一项？
展开式中的二项式系数 ，最大项是哪一项？
展开式中的二项式系数 ，最大项是哪一项？
展开式中的二项式系数，当n是偶数时，最大项是哪一项？当n是奇数时，最大项又是哪一项？请将结果填在35页练习1（1）的横线上。
【设计意图】让学生边探究结论，边完成个别练习。
问题：观察一下图形，请问展开式中的二项式系数之和是？
由学生得到展开式二项式之和为，即为：
再让学生考虑如何证明，可提示在展开式中使用赋值法来证。
例3 试证：在展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式之和。
分析：写好奇数项和偶数项系数之和后，提示依然使用赋值法来证明，由学生完成。
【设计意图】用赋值法进行证明是二项式定理中常用的方法，通过一个性质和一个例题让学生掌握该方法。
通过杨辉三角，研究斜行上的数有什么规律？
1.
2.
观察图像，如图的斜行上数字之和有什么规律？
生：这些数字和为斐波那契数列。
【设计意图】这几个性质都比较隐蔽，也不好用组合数的公式进行推导，但在杨辉三角中非常显然，让学生自己探究，再写出来，降低了难度，也便于学生记忆。
2.4 课堂小结
请一位同学进行课堂小结
【设计意图】引导该同学讲二项式系数的性质再梳理一遍。
3 教学反思
1. AI工具显著提升了探究活动的直观性与效率，有效解决了传统课堂中实物操作繁琐、时间不足的问题，但需提前调试平台稳定性，避免技术故障影响进度。
2. 后续可优化AI数据分析功能，增加学生课堂行为数据（如探究时长、错题类型）的实时反馈，进一步精准调整教学节奏与内容。
教学要素分析
1.1教材分析
本节是人教A版高中数学选择性必修三第六章《计数原理》的内容，是本章最后一节，本节紧接着二项式定理一节，对二项式定理的展开式系数特征进行了探究、归纳、总结，是对整章计数原理，尤其是组合数性质的升华。
1.2 教学内容的地位和作用
二项式定理的应用非常广泛，排列组合数性质的推导也是尤为重要的，除此之外，给学生在大学学习概率、统计、组合数学也奠定了基础。这一节内容可以提升学生的数学素养，可以使得学生对概率统计知识系统化形成有促进作用。
1.3学生情况分析
在学习本节内容前，学生对排列组合实际应用问题、排列数、组合数性质推导都感到非常困难，二项式定理、通项公式有所掌握。使用AI工具，通过可视化、交互式体验，降低抽象知识的理解门槛，适配学生认知水平。
1.4教法分析
本节将融合AI技术设计沉浸式探究活动，通过虚拟实验、动态演示等功能，让学生自主探索二项式系数特征，结合AI大数据分析，精准推送个性化学习资源。通过创设一系列探究活动，让学生通过自己动手做完成活动，自行探究二项式系数的特征、归纳性质并总结方法。教学中还会通过AI工具嵌入贾宪、杨辉的生平视频，让学生了解我国在宋代的数学成就，提高民族荣誉感。
1.5教学目标
借助AI工具查阅贾宪、杨辉相关数字史料，深入了解杨辉三角
通过AI动态演示，精准推导二项式系数的性质
3. 利用AI交互平台完成杨辉三角虚拟制作，直观感知其与二项式系数的关联通过AI数据分析功能，自主提炼组合数的系列性质
4. 通过杨辉三角推得二项式系数的性质
1.6教学重难点
教学重点：
①杨辉三角和二项式系数的关系；
②二项式系数的性质。
（2）教学难点：
①二项式系数的性质；
②利用二项式系数的性质解决实际的问题。
2 教学过程
2.1 创设情境，引入课题
活动1：1. 教师通过Deepseek编写代码设置互动任务：生成二项式展开式系数动态表格，学生可拖动n的取值（0-6），实时观察系数叠放形成的图形，自主完成课本探究任务。
【设计意图】让学生进行探究，将二项式的展开式写出，直观感受二项式系数叠放之后的形状，让学生明白杨辉三角的来源，增强探究的兴趣。
2:杨辉三角简介
由AI推送贾宪、杨辉的数字传记（含动画、史料图片、语音讲解），学生自主浏览后，平台自动弹出2道基础思考题（如“杨辉三角的最早记录者是谁”），即时反馈作答结果，强化数学史认知。
[设计意图]介绍贾宪的生平和杨辉抄录贾宪三角得以流传的事迹，让学生通过数学史的简介，提高民族荣誉感，学习科学家的钻研精神。
2.2 课堂活动，知识初探
（1）活动2：自制杨辉三角
在白纸上第一行写上1，第二行对应上方错开，左右各写一个1，这三个1将构成一个小三角形。接下来的每一行的左右两边各写一个1，中间的数字是上一行每相邻两个数之和。请你照这样的规律写出6行。
这个规律可以写为：
（2）活动3：自制杨辉三角
借助AI虚拟实验系统，模拟生成棋子，把棋子按照每行1,2,3,4,5个的顺序排好。注意不要对齐，让每两行之间交错排列，摆成三角状。学生用手指拖动模拟下落过程，系统自动记录每条路径的通过次数，生成动态统计图表。支持重复模拟、放慢速度、分步演示等操作，直观呈现路径次数与杨辉三角数字的关联，无需实物棋子即可完成探究。
【设计意图】以多种方式让学生自制杨辉三角，让学生深刻了解组合数与杨辉三角的关系，继而知道二项式定理系数与组合数之间的联系，为推出性质打下基础。
2.3 性质探索，知识深化
请同学们逐项分析二项式系数的性质：
对称性：
问题：你能写出能解释“杨辉三角”左右对称的式子吗？
由学生得：
增减性与最大值：
问题：展开式中的二项式系数 ，最大项是哪一项？
展开式中的二项式系数 ，最大项是哪一项？
展开式中的二项式系数 ，最大项是哪一项？
展开式中的二项式系数，当n是偶数时，最大项是哪一项？当n是奇数时，最大项又是哪一项？请将结果填在35页练习1（1）的横线上。
【设计意图】让学生边探究结论，边完成个别练习。
问题：观察一下图形，请问展开式中的二项式系数之和是？
由学生得到展开式二项式之和为，即为：
再让学生考虑如何证明，可提示在展开式中使用赋值法来证。
例3 试证：在展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式之和。
分析：写好奇数项和偶数项系数之和后，提示依然使用赋值法来证明，由学生完成。
【设计意图】用赋值法进行证明是二项式定理中常用的方法，通过一个性质和一个例题让学生掌握该方法。
通过杨辉三角，研究斜行上的数有什么规律？
1.
2.
观察图像，如图的斜行上数字之和有什么规律？
生：这些数字和为斐波那契数列。
【设计意图】这几个性质都比较隐蔽，也不好用组合数的公式进行推导，但在杨辉三角中非常显然，让学生自己探究，再写出来，降低了难度，也便于学生记忆。
2.4 课堂小结
请一位同学进行课堂小结
【设计意图】引导该同学讲二项式系数的性质再梳理一遍。
3 教学反思
1. AI工具显著提升了探究活动的直观性与效率，有效解决了传统课堂中实物操作繁琐、时间不足的问题，但需提前调试平台稳定性，避免技术故障影响进度。
2. 后续可优化AI数据分析功能，增加学生课堂行为数据（如探究时长、错题类型）的实时反馈，进一步精准调整教学节奏与内容。