21.3二次根式的加减
【题型1】同类二次根式 3
【题型2】二次根式的加减 4
【题型3】二次根式的混合运算 4
【题型4】二次根式的化简求值 5
【题型5】二次根式的实际应用 6
【题型6】海伦-秦九韶公式 7
【知识点1】同类二次根式 同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 1.（2025春 伊犁州期末）下列二次根式能与进行加减运算的是（ ） A．B．C．D．
【知识点2】二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 1.（2025春 旌阳区校级月考）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点
表示的数为x,则x+的值为（ ） A．1-B．1+C．-1D．2
【知识点3】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1.（2025春 武安市期末）下列运算正确的是（ ） A．B．2×=6C．=2D．3=3
【知识点4】二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 1.（2024秋 长安区校级月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．B．C．D．
2.（2024春 临淄区期末）已知一个矩形面积是，一边长是，则另一边长是（ ） A．12B．C．D．
【题型1】同类二次根式
【典型例题】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三1】与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三2】若最简二次根式与是同类根式，则x＝ ．
【举一反三3】已知最简根式和最简根式是同类根式，求a2002﹣b2001的值．
【举一反三4】是否存在实数m，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【题型2】二次根式的加减
【典型例题】已知，则x的值是（ ）
A. B.2 C. D.
【举一反三1】下列计算中，正确的是（ ）
A.
B.＝
C.
D.
【举一反三2】对于任意的正数m，n定义运算*为：m*n＝，计算（3*2）+（8*12）的结果为 ．
【举一反三3】化简+﹣（﹣）的结果是 ．
【举一反三4】计算：
（1）3﹣2+﹣；
（2）3﹣+；
（3）﹣+2；
（4）2+3﹣．
【题型3】二次根式的混合运算
【典型例题】计算的结果为（ ）
A. B. C. D.5
【举一反三1】小英在（）□中的“□”填入运算符号“×”得到的结果为m，小康在□中的“□”填入运算符号“÷”得到的结果为n，则m，n之间的关系为（ ）
A.m＝n B.m＝2n C.m＝n+1 D.n＝2m
【举一反三2】从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（）□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（ ）
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【举一反三3】计算÷（+）的结果是 ．
【举一反三4】下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式＝ 第一步
＝ 第二步
＝ 第三步
任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
【举一反三5】计算：．
【题型4】二次根式的化简求值
【典型例题】若，则化简4等于（ ）
A. B.2 C. D.1
【举一反三1】设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（ ）
A.+﹣1 B.﹣+1 C.﹣﹣1 D.++1
【举一反三2】定义：我们将（）与（）称为一对“对偶式”．因为（）（）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号．若，则＝ ．
【举一反三3】若点P（x，y）在第二象限，则化简的结果是 ．
【举一反三4】已知a＝，b＝．
（1）求a+b的值；
（2）求a2﹣3ab+b2．
【题型5】二次根式的实际应用
【典型例题】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt．已知导线的电阻为2 Ω，1 s时间导线产生50 J的热量，电流I的值是（ ）
A.2 B.5 C.8 D.10
【举一反三1】若三角形的面积为12，一边长为+1，则这边上的高为（ ）
A.12+12 B.24﹣24 C.12﹣12 D.24+24
【举一反三2】如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形的无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为3、宽为2，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A.大长方形的长为6
B.大长方形的宽为5
C.大长方形的长为11
D.大长方形的面积为300
【举一反三3】边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为2+，面积为，则a2b+ab2的值为 ．
【举一反三4】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）．
（1）计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？
（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
【题型6】海伦-秦九韶公式
【典型例题】如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式称为海伦﹣秦九韶公式，在△ABC中，AB＝4，BC＝9，AC＝11，则△ABC的面积是（ ）
A.12 B. C.24 D.
【举一反三1】海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（ ）
A. B. C. D.10
【举一反三2】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，若a＝8，b＝4，c＝6，则△ABC的面积为 ．
【举一反三3】数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦 秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为a，b，c，记，那么面积．若一个三角形的三边长为4，4，2，则三角形的面积为 ．
【举一反三4】古希腊的几何学家海伦，约公元50年，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a，b，c，记p＝（a+b+c），那么三角形的面积为：S＝（海伦公式）．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：S＝．海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦﹣秦九韶公式．
若△ABC的三边长为5，6，7，△DEF的三边长为，，，请利用上面的两个公式分别求出△ABC和△DEF的面积．21.3二次根式的加减
【题型1】同类二次根式 4
【题型2】二次根式的加减 6
【题型3】二次根式的混合运算 7
【题型4】二次根式的化简求值 10
【题型5】二次根式的实际应用 12
【题型6】海伦-秦九韶公式 14
【知识点1】同类二次根式 同类二次根式的定义：
一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
合并同类二次根式的方法：
只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变．
【知识拓展】同类二次根式
把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．
（1）同类二次根式类似于整式中的同类项．
（2）几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同．
（3）判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同． 1.（2025春 伊犁州期末）下列二次根式能与进行加减运算的是（ ） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】先把各个式子化成最简二次根式，再判断是否是同类二次根式，最后根据二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即可得出答案． 【解答】解：A、=2，与是同类二次根式，能进行加减运算，故本选项符合题意；
B、=2，与不是同类二次根式，不能进行加减运算，故本选项不符合题意；
C、=2，与不是同类二次根式，不能进行加减运算，故本选项不符合题意；
D、=，与不是同类二次根式，不能进行加减运算，故本选项不符合题意；
故选：A． 【知识点2】二次根式的加减法 （1）法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
（2）步骤：
①如果有括号，根据去括号法则去掉括号．
②把不是最简二次根式的二次根式进行化简．
③合并被开方数相同的二次根式．
（3）合并被开方数相同的二次根式的方法：
二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并．合并时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变． 1.（2025春 旌阳区校级月考）如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点B关于点A的对称点是C，设C点
表示的数为x,则x+的值为（ ） A．1-B．1+C．-1D．2
【答案】D 【分析】直接根据已知得出x的值，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【解答】解：由题意可得：AB=CA=-1，
则C点坐标为：x=1-（-1）=2-，
故x+=2-+=2．
故选：D． 【知识点3】二次根式的混合运算 （1）二次根式的混合运算是二次根式乘法、除法及加减法运算法则的综合运用．学习二次根式的混合运算应注意以下几点：
①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．
②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
（2）二次根式的运算结果要化为最简二次根式．
（3）在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 1.（2025春 武安市期末）下列运算正确的是（ ） A．B．2×=6C．=2D．3=3
【答案】C 【分析】根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断． 【解答】解：A、与 不能合并，所以A选项错误；
B、原式=6=6，所以B选项错误；
C、原式==2，所以C选项正确；
D、原式=2，所以D选项错误．
故选：C． 【知识点4】二次根式的应用 把二次根式的运算与现实生活相联系，体现了所学知识之间的联系，感受所学知识的整体性，不断丰富解决问题的策略，提高解决问题的能力．
二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 1.（2024秋 长安区校级月考）如图，从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．B．C．D．
【答案】A 【分析】根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案． 【解答】解：从一个大正方形中裁去面积为12和18的两个小正方形，
大正方形的边长是+=2+3，
留下部分（即阴影部分）的面积是（2+3）2-12-18=12．
故选：A． 2.（2024春 临淄区期末）已知一个矩形面积是，一边长是，则另一边长是（ ） A．12B．C．D．
【答案】B 【分析】根据矩形的面积求解即可． 【解答】解：÷===2，
故选：B．
【题型1】同类二次根式
【典型例题】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】A、与不是同类二次根式；
B、与不是同类二次根式；
C、＝2与是同类二次根式；
D、＝2与不是同类二次根式；
故选：C．
【举一反三1】与是同类二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，，
∴，，，中，与是同类二次根式的是；
故选：C．
【举一反三2】若最简二次根式与是同类根式，则x＝ ．
【答案】2
【解析】由题意得，，
解得．
故答案为：2．
【举一反三3】已知最简根式和最简根式是同类根式，求a2002﹣b2001的值．
【答案】解：∵最简根式和最简根式是同类根式，
∴，
解得：，
∴a2002﹣b2001＝1﹣1＝0．
【举一反三4】是否存在实数m，使最简二次根式与是同类二次根式？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：若与是同类二次根式，则m﹣2＝26﹣m，
解得：m＝14，当m＝14时，m﹣2＝12，
与都不是最简二次根式．
故不存在实数m，使最简二次根式与是同类二次根式．
【题型2】二次根式的加减
【典型例题】已知，则x的值是（ ）
A. B.2 C. D.
【答案】C
【解析】∵，
∴x＝5﹣3＝2＝，
故选：C．
【举一反三1】下列计算中，正确的是（ ）
A.
B.＝
C.
D.
【答案】C
【解析】A、3与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、与不是同类项，不能合并，故本选项错误；
C、4+＝5，故本选项正确；
D、m﹣n＝（m﹣n），故本选项错误．
故选：C．
【举一反三2】对于任意的正数m，n定义运算*为：m*n＝，计算（3*2）+（8*12）的结果为 ．
【答案】3+
【解析】∵3＞2，8＜12，
∴原式＝（﹣）+（+）＝﹣+2+2＝3+，
故答案为：3+．
【举一反三3】化简+﹣（﹣）的结果是 ．
【答案】4+
【解析】原式＝+3﹣（﹣6）＝4+，
故答案为：4+．
【举一反三4】计算：
（1）3﹣2+﹣；
（2）3﹣+；
（3）﹣+2；
（4）2+3﹣．
【答案】解：（1）3﹣2+﹣＝4﹣3；
（2）3﹣+＝6﹣5+＝2；
（3）﹣+2
＝2﹣+2×
＝2﹣+
＝2；
（4）2+3﹣
＝2+3×2﹣3
＝2+6﹣3
＝5．
【题型3】二次根式的混合运算
【典型例题】计算的结果为（ ）
A. B. C. D.5
【答案】B
【解析】
＝×4﹣×3+4×
＝3﹣2+3
＝+3，
故选：B．
【举一反三1】小英在（）□中的“□”填入运算符号“×”得到的结果为m，小康在□中的“□”填入运算符号“÷”得到的结果为n，则m，n之间的关系为（ ）
A.m＝n B.m＝2n C.m＝n+1 D.n＝2m
【答案】B
【解析】（）×
＝×﹣×
＝﹣
＝4﹣1
＝3，
∴m＝3；
÷
＝÷﹣÷
＝﹣
＝2﹣
＝，
∴n＝，
∴m＝2n，
故选：B．
【举一反三2】从“+，﹣，×，÷”中选择一种运算符号，填入算式“（）□”的“□”中，使其运算结果为有理数，则应选择的运算符号是（ ）
A.+ B.﹣ C.× D.÷
【答案】A
【解析】A、（）+＝﹣﹣1+＝﹣1，故A符合题意；
B、（）﹣＝﹣﹣1﹣＝﹣2﹣1，故B不符合题意；
C、（）×＝﹣×﹣1×＝﹣2﹣，故C不符合题意；
D、（）÷＝﹣÷﹣1÷＝﹣1﹣，故D不符合题意；
故选：A．
【举一反三3】计算÷（+）的结果是 ．
【答案】
【解析】÷（+）
＝÷（+）
＝÷
＝×
＝，
故答案为：．
【举一反三4】下面是小华同学解答题目的过程，请认真阅读并完成相应任务．
计算：．
解：原式＝ 第一步
＝ 第二步
＝ 第三步
任务一：以上步骤中，从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ．
任务二：请写出正确的计算过程．
【答案】解：任务一：从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是：乘除混合运算时，未按照从左到右顺序依次计算；
任务二：
＝
＝
＝．
【举一反三5】计算：．
【答案】解：
＝×﹣3
＝4×2﹣3
＝8﹣3
＝5．
【题型4】二次根式的化简求值
【典型例题】若，则化简4等于（ ）
A. B.2 C. D.1
【答案】C
【解析】由题意可得：2x﹣1＝0，y﹣3＝0，
∴x＝，y＝3，
4＝4××÷＝．
故选：C．
【举一反三1】设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（ ）
A.+﹣1 B.﹣+1 C.﹣﹣1 D.++1
【答案】B
【解析】∵﹣
＝﹣
＝﹣
＝
＝＝，
∴a的小数部分＝﹣1；
∵﹣
＝
＝﹣
＝
＝，
∴b的小数部分＝﹣2，
∴﹣＝
＝
＝
＝．
故选：B．
【举一反三2】定义：我们将（）与（）称为一对“对偶式”．因为（）（）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，可以有效的去掉根号．若，则＝ ．
【答案】7
【解析】∵（﹣）（+）＝18﹣x﹣（11﹣x）＝7，
而﹣＝1，
∴+＝7．
故答案为：7．
【举一反三3】若点P（x，y）在第二象限，则化简的结果是 ．
【答案】﹣
【解析】∵点P（x，y）在第二象限，
∴x＜0，y＞0，
∴＝﹣．
故答案为：﹣．
【举一反三4】已知a＝，b＝．
（1）求a+b的值；
（2）求a2﹣3ab+b2．
【答案】解：a＝＝＝+，
b＝＝＝，
（1）a+b＝++＝2；
（2）∵ab＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，
∴a2﹣3ab+b2＝（a+b）2﹣5ab＝（2）2﹣5＝12﹣5＝7．
【题型5】二次根式的实际应用
【典型例题】电流通过导线时会产生热量，电流I（单位：A）、导线电阻R（单位：Ω）、通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt．已知导线的电阻为2 Ω，1 s时间导线产生50 J的热量，电流I的值是（ ）
A.2 B.5 C.8 D.10
【答案】B
【解析】通电时间t（单位：s）与产生的热量Q（单位：J）满足Q＝I2Rt，
所以电流I＝＝＝5．
故电流I的值为5，
故选：B．
【举一反三1】若三角形的面积为12，一边长为+1，则这边上的高为（ ）
A.12+12 B.24﹣24 C.12﹣12 D.24+24
【答案】B
【解析】由题意得：这边上的高＝12×2÷（+1）
＝＝
＝24﹣24．
故选：B．
【举一反三2】如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形的无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为3、宽为2，下列是四位同学对该大长方形的判断，其中不正确的是（ ）
A.大长方形的长为6
B.大长方形的宽为5
C.大长方形的长为11
D.大长方形的面积为300
【答案】C
【解析】由题意大长方形的长为6，宽为5，故面积为300，
所以A、B、D正确．
故选：C．
【举一反三3】边长为a，b的长方形如图所示，若它的周长为2+，面积为，则a2b+ab2的值为 ．
【答案】5+
【解析】∵边长为a，b的长方形周长为2+，面积为，
∴ab＝，a+b＝1+，
∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝×（1+）＝5+，
故答案为：5+．
【举一反三4】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失．在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长．每一个苔藓都会长成近似的圆形，苔藓的直径和其生长年限近似地满足如下的关系式：，其中d表示苔藓的直径，单位是厘米，t代表冰川消失的时间（单位：年）．
（1）计算冰川消失21年后苔藓的直径为多少厘米？
（2）如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的？
【答案】解：（1）当t＝21时，＝7×3＝21（厘米），
答：冰川消失21年后苔藓的直径为21厘米．
（2）当d＝35时，即＝35，
t﹣12＝25，
t＝37，
答：冰川约是在37年前消失的．
【题型6】海伦-秦九韶公式
【典型例题】如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积S＝．这个公式称为海伦﹣秦九韶公式，在△ABC中，AB＝4，BC＝9，AC＝11，则△ABC的面积是（ ）
A.12 B. C.24 D.
【答案】B
【解析】∵AB＝4，BC＝9，AC＝11，
∴，
∴，
故选：B．
【举一反三1】海伦﹣秦九韶公式告诉我们，若一个三角形ABC三边长分别为a、b、c，记 ，三角形的面积为，如图，请你利用海伦﹣秦九韶公式计算△ABC的面积为（ ）
A. B. C. D.10
【答案】C
【解析】∵三角形ABC三边长分别为4，5，6，
∵p＝＝＝，
∴三角形ABC的面积为：＝＝，
故选：C．
【举一反三2】古希腊几何学家海伦和我国南宋数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式，如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记p＝，那么三角形的面积为S＝．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边长分别为a，b，c，若a＝8，b＝4，c＝6，则△ABC的面积为 ．
【答案】
【解析】∵a＝8，b＝4，c＝6，
∴p＝＝．
∴＝．
故答案为：．
【举一反三3】数学家秦九韶提出“三斜求积术”（已知三角形三边长求三角形的面积），它与海伦公式实质上是同一个公式，又称海伦 秦九韶公式，表述为：如果一个三角形的三边长为a，b，c，记，那么面积．若一个三角形的三边长为4，4，2，则三角形的面积为 ．
【答案】
【解析】把a＝4，b＝4，c＝2代入，可得：p＝＝5，
把a＝4，b＝4，c＝2，p＝5代入＝＝，
故答案为：．
【举一反三4】古希腊的几何学家海伦，约公元50年，在数学史上以解决几何测量问题而闻名．在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a，b，c，记p＝（a+b+c），那么三角形的面积为：S＝（海伦公式）．我国南宋时期数学家秦九韶（约1202﹣约1261），曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：S＝．海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦﹣秦九韶公式．
若△ABC的三边长为5，6，7，△DEF的三边长为，，，请利用上面的两个公式分别求出△ABC和△DEF的面积．
【答案】解：若△ABC的三边长为5，6，7时，p＝（5+6+7）＝9，
S△ABC＝＝6，
△DEF的三边长为，，时，
S△DEF＝＝．
