22.2一元二次方程的解法
【题型1】形如为x =p(p≥0)型方程的解法 7
【题型2】形如(mx＋n) =p型方程的解法 9
【题型3】用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 11
【题型4】用因式分解法解x ＋（p+q）x＋pq=0型的一元二次方程 13
【题型5】利用配方法进行配方 14
【题型6】用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 16
【题型7】用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 19
【题型8】利用配方构成非负数求值 21
【题型9】利用配方解决最值问题 22
【题型10】配方法的应用 25
【题型11】利用公式法解一元二次方程 27
【题型12】利用公式法解含字母的一元二次方程 30
【题型13】换元法解一元二次方程 32
【题型14】不解方程判断根的情况 34
【题型15】根据根的判别式确定字母的值 37
【题型16】根据根的判别式确定字母的取值范围 39
【题型17】求两根的和与积 42
【题型18】根据根与系数的关系式，求代数式或字母的值 43
【知识点1】解一元二次方程-直接开平方法 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方． 1.（2024秋 郸城县月考）方程x2=2的根是（ ） A．B．，C．D．
【答案】B 【分析】等式两边同时开方即可求解． 【解答】解：∵x2=2，
∴，
∴，
故选：B． 【知识点2】解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 1.（2024秋 恩平市期末）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程变形正确的是（ ） A．（x-1）2=6B．（x-2）2=9C．（x+1）2=6D．（x+2）2=9
【答案】A 【分析】方程移项，配方得到结果，即可做出判断． 【解答】解：方程变形得：x2-2x=5，
配方得：x2-2x+1=6，即（x-1）2=6，
故选：A． 2.（2024秋 海口期末）将一元二次方程x2-6x-4=0化成（x+a）2=b的形式，则b等于（ ） A．3B．4C．7D．13
【答案】D 【分析】在本题中，把常数项-4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数-6的一半的平方． 【解答】解：把方程x2-6x-4=0的常数项移到等号的右边，得到x2-6x=4，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2-6x+9=4+9，
配方得（x-3）2=13．
则b=13，
故选：D． 【知识点3】解一元二次方程-公式法 （1）把x=（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0． 1.（2024秋 泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2-1-4x=0时a,b,c的值是（ ） A．a=5，b=-1，c=-4B．a=5，b=-4，c=1C．a=5，b=-4，c=-1D．a=5，b=4，c=1
【答案】C 【分析】先按照未知数x的降幂排列，据此可得答案． 【解答】解：∵5x2-1-4x=0，
∴5x2-4x-1=0，
则a=5，b=-4，c=-1，
故选：C． 2.（2024秋 绥德县期末）用公式法解一元二次方程2x2+3x=1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（ ） A．2，-3，1B．2，3，-1C．-2，-3，-1D．-2，3，1
【答案】B 【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再确定a、b、c. 【解答】解：∵方程2x2+3x=1化为一般形式为：2x2+3x-1=0，
∴a=2，b=3，c=-1．
故选：B． 【知识点4】解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 1.（2024秋 阜宁县期中）一元二次方程x2=x的解是（ ） A．x1=x2=1B．x1=1，x2=0C．x1=x2=0D．x1=-1，x2=0
【答案】B 【分析】先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：移项得：x2-x=0，
因式分解得：x（x-1）=0，
∴x=0或x-1=0，
∴x1=1，x2=0，
故选：B． 2.（2024 南山区校级开学）方程x2=3x的解是（ ） A．x=3B．x=0C．x1=3，x2=0D．x1=-3，x2=0
【答案】C 【分析】先移项得到x2-3x=0，然后利用因式分解法解方程． 【解答】解：x2-3x=0，
x（x-3）=0，
x=0或x-3=0，
所以x1=0，x2=3．
故选：C． 【知识点5】根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立． 1.（2025 伍家岗区模拟）一元二次方程x2-x+2=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根
【答案】C 【分析】先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况． 【解答】解：Δ=b2-4ac=（-1）2-4×1×2=-7，
∵-7＜0，
∴原方程没有实数根．
故选：C． 【知识点6】根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=-（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 1.（2024秋 沭阳县校级期末）下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（ ） A．x2+x+2=0B．x2-x-5=0C．x2+x-3=0D．2x2-x-1=0
【答案】C 【分析】先根据根的判别式，判断有无实数根的情况，再根据根与系数的关系，利用x1+x2=-计算即可． 【解答】解：A、∵x2+x+2=0，
∴Δ=b2-4ac=-7＜0，
∴此方程没有实数根，
故此选项错误；
B、∵x2-x-5=0，
∴Δ=b2-4ac=21＞0，
∴此方程有实数根，
x1+x2=1，
故此选项错误；
C、∵x2+x-3=0，
∴Δ=b2-4ac=10＞0，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求x1+x2=-1，
故此选项正确；
D、∵2x2-x-1=0，
∴Δ=b2-4ac=9＞0，
∴此方程有实数根，
根据根与系数的关系可求x1+x2==，
故此选项错误．
故选：C．
【题型1】形如为x =p(p≥0)型方程的解法
【典型例题】方程3x2+10＝0的根为（ ）
A.3 B.﹣3 C.±3 D.无实数根
【答案】D
【解析】∵3x2+10＝0，
∴3x2＝﹣10，
∴x2＝﹣＜0，
∴此方程无实数根，
故选：D．
【举一反三1】某同学在一次作业中的解题过程如下：
①若x2＝a2，则x＝a；②x2＝﹣1的解为x＝±1．下列有关判断正确的是（ ）
A.①对 B.②对 C.①②都对 D.①②都错
【答案】D
【解析】①若x2＝a2，则x＝±a，故①不正确；
②x2＝﹣1，此方程无实数根，故②不正确；
所以，上列有关判断：①②都错，
故选：D．
【举一反三2】一元二次方程x2＝16的解为（ ）
A.x＝8 B.x＝±8 C.x＝4 D.x＝±4
【答案】D
【解析】x2＝16，
x＝±4，
所以x1＝4，x2＝﹣4．
故选：D．
【举一反三3】a，b，c，d为实数，先规定一种新的运算：，那么时，x＝ ．
【答案】0
【解析】∵，
∴＝x2﹣（﹣3）×2＝6，
∴x2+6＝6，
∴x2＝0，
∴x＝0，
故答案为：0．
【举一反三4】已知方程x2﹣64＝0，则此方程的解是x＝ ．
【答案】±8
【解析】∵x2﹣64＝0，
∴x2＝64，
解得：x＝±8，
故答案为：±8．
【举一反三5】用开平方法解下列方程：
（1）x2＝121；
（2）9y2＝25；
（3）3a2﹣27＝0．
【答案】解：（1）∵x2＝121，
∴x＝±11．
（2）∵9y2＝25，
∴y2＝，
∴y＝±．
（3）∵3a2﹣27＝0，
∴a2＝9，
∴a＝±3．
【举一反三6】已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，求x的值．
【答案】解：根据题意知2x2+3+2x2﹣4＝0，
整理可得：4x2﹣1＝0，
∴4x2＝1，
x2＝，
解得：x＝±．
【题型2】形如(mx＋n) =p型方程的解法
【典型例题】用直接开平方法解方程3（x﹣3）2﹣24＝0，得方程的根是（ ）
A.x＝3+2 B.x＝3﹣2 C.x1＝3+2，x2＝3﹣2 D.x＝﹣3±2
【答案】C
【解析】移项得，3（x﹣3）2＝24，两边同除3得，（x﹣3）2＝8，开方得，x﹣3＝±2，
所以x1＝3+2，x2＝3﹣2．
故选：C．
【举一反三1】用直接开平方法解方程（5x+6）2＝9，下列结论正确的是（ ）
A.5x+6＝3 B.5x+6＝﹣3 C.5x+6＝9或5x+6＝﹣9 D.5x+6＝3或5x+6＝﹣3
【答案】D
【解析】对方程（5x+6）2＝9两边同时开方，得5x+6＝3或5x+6＝﹣3．
故选：D．
【举一反三2】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中有两个相等的实数解的方程为（ ）
A.x2﹣3＝0 B.﹣2x2＝﹣1 C.x2+9＝0 D.（x﹣2）2＝0
【答案】D
【解析】A.x2﹣3＝0，x2＝3，解得x1＝﹣，x2＝，不符合题意；
B.﹣2x2＝﹣1，x2＝，解得x1＝﹣，x2＝，不符合题意；
C.x2+9＝0，x2＝﹣9＜0，方程无解，不符合题意；
D.（x﹣2）2＝0，解得x1＝x2＝2，符合题意．
故选：D．
【举一反三3】（x2+y2+1）2＝81，则x2+y2的值是 ．
【答案】8
【解析】（x2+y2+1）2＝81，
x2+y2+1＝±9，
x2+y2＝8，x2+y2＝﹣10，
∵x2+y2的值是非负数，
∴x2+y2的值只能是8．
故答案为：8．
【举一反三4】已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．
【答案】解：（1）根据题意得4m﹣1≥0，
解得m≥；
（2）把x＝2代入方程（x﹣1）2＝4m﹣1得（2﹣1）2＝4m﹣1，解得m＝，
∴方程化为（x﹣1）2＝1，
∴x﹣1＝±1，解得x1＝2，x2＝0，
∴方程的另一个根为0．
【题型3】用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程
【典型例题】一个三角形的两边长为3和8，第三边的边长是x（x﹣9）﹣13（x﹣9）＝0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A.20 B.20或24 C.9和13 D.24
【答案】A
【解析】方程x（x﹣9）﹣13（x﹣9）＝0，
分解因式得：（x﹣13）（x﹣9）＝0，
解得：x1＝13，x2＝9，
当第三边为13时，3+8＝11＜13，不能构成三角形，舍去，
则三角形周长为3+8+9＝20．
故选：A．
【举一反三1】若代数式a2﹣2a与a﹣2互为相反数，则a的值是（ ）
A.﹣1、﹣2 B.﹣1、2 C.1、﹣2 D.1、2
【答案】B
【解析】依题意有：（a2﹣2a）+（a﹣2）＝0，
a（a﹣2）+（a﹣2）＝0，
（a﹣2）（a+1）＝0，
∴a1＝2，a2＝﹣1．
故选：B．
【举一反三2】若x（x+1）＝（x+1），则x的值为 ．
【答案】或﹣1
【解析】方程变形得：x（x+1）﹣（x+1）＝0，
分解因式得：（x﹣）（x+1）＝0，
解得：x1＝，x2＝﹣1．
故答案为：或﹣1．
【举一反三3】阅读后解答问题．
解方程：2x2﹣3x﹣2＝0.
解：2x2﹣3x﹣2＝0，
拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0，
提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0，
所以x﹣2＝0或2x+1＝0．
即x1＝2，x2＝﹣．
运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0．
【答案】解：6x2+7x﹣3＝0，
拆项，分组得6x2+9x﹣2x﹣3＝0，
提公因式3x（2x+3）﹣（2x+3）＝0，
再提公因式得（2x+3）（3x﹣1）＝0，
即2x+3＝0，3x﹣1＝0，
x1＝﹣，x2＝．
【题型4】用因式分解法解x ＋（p+q）x＋pq=0型的一元二次方程
【典型例题】已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（ ）
A.x1＝1，x2＝5 B.x1＝1，x2＝﹣5 C.x1＝﹣1，x2＝5 D.x1＝﹣1，x2＝﹣5
【答案】B
【解析】把方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0看作关于（x+1）的一元二次方程，
∵方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，
∴x+1＝2或x+1＝﹣4，
解得x＝1或x＝﹣5，
∴方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解为x1＝1，x2＝﹣5．
故选：B．
【举一反三1】在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b＝a+b2，则方程x※（x+1）＝5的解是（ ）
A.x＝5 B.x＝1 C.x1＝1，x2＝﹣4 D.x1＝﹣1，x2＝4
【答案】B
【解析】x※（x+1）＝5，
即x+（x+1）2＝5，
x2+3x﹣4＝0，
（x﹣1）（x+4）＝0，
x﹣1＝0，x+4＝0，
x1＝1，x＝﹣4，
∵在正数范围内定义运算“※”，
∴x＝1．
故选：B．
【举一反三2】已知y1＝x2﹣9，y2＝3﹣x，当x＝ 时，y1＝y2．
【答案】﹣4或3
【解析】由题意，得：x2﹣9＝3﹣x，
x2+x﹣12＝0，
（x+4）（x﹣3）＝0，
解得：x1＝﹣4，x2＝3，
即当x＝﹣4或3时，y1＝y2．
故答案为：﹣4或3．
【举一反三3】现定义运算“ ”，对于任意实数a、b，都有a b＝a2﹣3a+b；如：3 5＝32﹣3×3+5，若x 2＝6，则实数x的值是 ．
【答案】4或﹣1
【解析】由题意可知：x2﹣3x+2＝6，
∴x2﹣3x﹣4＝0，
∴（x﹣4）（x+1）＝0，
∴x＝4或x＝﹣1．
故答案为：4或﹣1．
【举一反三4】已知等腰三角形的底边长为9，腰长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，求这个三角形的周长．
【答案】解：解方程x2﹣10x+24＝0得：x1＝4，x2＝6，
∴腰长为4或6，
当等腰三角形的三边为9，4，4时，4+4＜9，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形，
当等腰三角形的三边为9，6，6时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，三角形的周长为9+6+6＝21，
所以这个三角形的周长为21．
【题型5】利用配方法进行配方
【典型例题】珍珍将方程x2﹣4x﹣2＝0化为（x+p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（ ）
A.正确
B.不正确，p的值应为﹣2
C.不正确，q的值应为2
D.不正确，q的值应为4
【答案】B
【解析】x2﹣4x＝2，
x2﹣4x+4＝2+4，
（x﹣2）2＝6，
∴p＝﹣2，q＝6，
故选：B．
【举一反三1】若x2﹣2x+1＝（x﹣m）2，则m的值为（ ）
A.﹣1 B.1 C.0 D.2
【答案】B
【解析】∵x2﹣2x+1＝（x﹣1）2，
∴m＝1．
故选：B．
【举一反三2】一元二次方程x2﹣6x+a＝0，配方后为（x﹣3）2＝1，则a＝ ．
【答案】8
【解析】∵（x﹣3）2＝x2﹣6x+9＝1，
∴a＝8，
故答案为：8．
【举一反三3】若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，则a+c的值为 ．
【答案】11
【解析】x2+6x+c＝0，
移项，得x2+6x＝﹣c，
配方，得x2+6x+9＝9﹣c．
∴（x+3）2＝9﹣c．
∵一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，
∴a＝3，9﹣c＝1．
∴c＝8．
∴a+c＝3+8＝11．
故答案为：11．
【举一反三4】已知方程x2﹣5x+a＝（x﹣b）2+1，求a﹣b的值．
【答案】解：∵x2﹣5x+a＝（x﹣）2+a﹣＝（x﹣b）2+1，
∴b＝，a﹣＝1，
∴a＝，b＝，
∴a﹣b＝．
【举一反三5】已知方程x2+6x+m＝0可以配方成（x+n）2＝2，求m、n的值．
【答案】解：∵x2+6x+m＝0，
∴x2+6x＝﹣m，
∴x2+6x+9＝﹣m+9，
∴（x+3）2＝﹣m+9，
又∵方程x2+6x+m＝0可以配方成（x+n）2＝2，
∴n＝3，﹣m+9＝2，
∴m＝7，
由上可得，m的值是7，n的值是3．
【题型6】用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程
【典型例题】一元二次方程的根（ ）
A.， B.x1＝2，x2＝﹣2 C. D.
【答案】D
【解析】原方程左边配方，得（x﹣）2＝0，
∴x1＝x2＝．
故选：D．
【举一反三1】一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的解是（ ）
A.x1＝x2＝1
B.x1＝1+，x2＝﹣1﹣
C.x1＝1+，x2＝1﹣
D.x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
【答案】C
【解析】方程x2﹣2x﹣1＝0，变形得：x2﹣2x＝1，
配方得：x2﹣2x+1＝2，即（x﹣1）2＝2，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣．
故选：C．
【举一反三2】如表是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A.② B.③ C.④ D.⑤
【答案】A
【解析】x2﹣4x＝1……①，
x2﹣4x+4＝1+4……②，
故开始出现错误的步骤是②．
故选：A．
【举一反三3】一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的解是 ．
【答案】x1＝2+，x2＝2﹣
【解析】把方程﹣x2+4x﹣1＝0的常数项移到等号的右边，得到﹣x2+4x＝1，
把二次项的系数化为1，得x2﹣4x＝﹣1，
方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣4x+4＝﹣1+4，
配方得（x﹣2）2＝3，
解得x1＝2+，x2＝2﹣．
故答案为：x1＝2+，x2＝2﹣．
【举一反三4】规定：a b＝（a+b）b，如：2 3＝（2+3）×3＝15，若2 x＝3，则x＝ ．
【答案】1或﹣3
【解析】依题意得：（2+x）x＝3，
整理，得 x2+2x＝3，
所以 （x+1）2＝4，
所以x+1＝±2，
所以x＝1或x＝﹣3．
故答案为：1或﹣3．
【举一反三5】用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0．
【答案】解：x2﹣4x+2＝0，
x2﹣4x＝﹣2，
配方得：x2﹣4x+4＝﹣2+4，
（x﹣2）2＝2，
开方得：x﹣2＝±，
x1＝2+，x2＝2﹣．
【举一反三6】用配方法解一元二次方程ax2+bx﹣c＝0（a≠0，c＞0）得到（x﹣c）2＝4c2，从而解得方程一根为1，求a﹣3b的值．
【答案】解：由（x﹣c）2＝4c2可得x﹣c＝±2c，
∴x＝c±2c，
即x＝﹣c或x＝3c，
∵方程一根为1，且c＞0，
则3c＝1，即c＝，
∴原方程为（x﹣）2＝，
整理得：x2﹣x﹣＝0，
∴a＝1，b＝﹣，
∴a﹣3b＝1+2＝3．
【题型7】用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
【典型例题】若﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x+m）2+n，则m，n的值为（ ）
A.m＝1，n＝﹣5 B.m＝﹣1，n＝﹣5 C.m＝1，n＝9 D.m＝﹣1，n＝﹣9
【答案】B
【解析】∵﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x2﹣2x+1）﹣5＝﹣2（x﹣1）2﹣5＝﹣2（x+m）2+n，
∴m＝﹣1，n＝﹣5．
故选：B．
【举一反三1】将二次三项式2x2﹣4x+3配方后得（ ）
A.2（x﹣1）2+1 B.2（x﹣1）2﹣1 C.2（x﹣1）2+3 D.2（x﹣1）2﹣3
【答案】A
【解析】2x2﹣4x+3＝2（x2﹣2x）+3＝2（x﹣1）2+1．
故选：A．
【举一反三2】一元二次方程﹣x﹣3＝0的解为 ．
【答案】x1＝1+，x2＝1﹣
【解析】方程整理得：x2﹣2x＝6，
配方得：x2﹣2x+1＝7，即（x﹣1）2＝7，
开方得：x﹣1＝±，
解得：x1＝1+，x2＝1﹣，
故答案为：x1＝1+，x2＝1﹣.
【举一反三3】已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值.
【答案】解：（1）当M＝3时，x2﹣x+1＝3，
即x2﹣x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝﹣1，
（2）若M＝3x2+1，
则x2﹣x+1＝3x2+1，
即2x2+x＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣，
当x1＝0时，M＝1，
当x2＝﹣时，M＝3×（﹣）2+1＝1+＝.
【题型8】利用配方构成非负数求值
【典型例题】已知x＝2005a+2004，y＝2005a+2005，z＝2005a+2006，则x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】原式＝（2x2+2y2+2x2﹣2xy﹣2zx﹣2yz）＝[（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2]，
x﹣y＝﹣1，y﹣z＝﹣1，x﹣z＝﹣2，
代入得（1+1+4）＝3．
故选：B．
【举一反三1】无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（ ）
A.非负数 B.0 C.正数 D.负数
【答案】C
【解析】原式＝（a2﹣2a+1）+（b2+6b+9）+1＝（a﹣1）2+（b+3）2+1，
∵（a﹣1）2≥0，（b+3）2≥0，
∴（a﹣1）2+（b+3）2+1＞0，
即原式的值总是正数．
故选：C．
【举一反三2】已知代数式A＝3x2﹣x+1，B＝4x2+3x+7，则A B（填＞，＜或＝）．
【答案】＜
【解析】A﹣B＝3x2﹣x+1﹣（4x2+3x+7）＝﹣x2﹣4x﹣6＝﹣（x+2）2﹣2，
∵﹣（x+2）2≤0，
∴﹣（x+2）2﹣2＜0，
∴A﹣B＜0，
∴A＜B，
故答案为：＜．
【举一反三3】用配方法证明：﹣2x2+4x﹣10的值恒小于0．
【答案】证明：﹣2x2+4x﹣10＝﹣2（x2﹣2x）﹣10
＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）﹣10
＝﹣2（x﹣1）2﹣8，
∵2（x﹣1）2≥0，
∴﹣2（x﹣1）2≤0，
∴﹣2（x﹣1）2﹣8＜0，
即﹣2x2+4x﹣10＜0．
【举一反三4】小明与小丽在研究代数式2x2﹣4x﹣1和x2﹣2x﹣4时发生了争执，小明认为无论x取何值，2x2﹣4x﹣1的值总大于x2﹣2x﹣4的值；而小丽则认为它们的大小关系随x的变化而变化，你认为谁的判断正确？说明理由．
【答案】解：我认为小丽的判断正确，理由如下：
∵（2x2﹣4x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣4）＝2x2﹣4x﹣1﹣x2+2x+4＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，
又∵（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+2＞0，
即：2x2﹣4x﹣1的值总大于x2﹣2x﹣4的值
故：我认为小丽的判断正确．
【题型9】利用配方解决最值问题
【典型例题】已知关于x的多项式x2﹣mx+9的最小值为8，则m的值可能为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.5
【答案】B
【解析】原式＝+9﹣，
当x﹣＝0，即x＝时，原式取得最小值9﹣＝8，
整理得：m2＝4，
解得：m＝±2，
则m的值可能为2，
故选：B．
【举一反三1】关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a的值为（ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
【答案】D
【解析】x2+10x+a＝（x+5）2+a﹣25，
∵（x+5）2≥0，
∴（x+5）2+a﹣25≥a﹣25，
∵关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，
∴a﹣25＝﹣10．
解得a＝15．
故选：D．
【举一反三2】在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点B的坐标是（m，m﹣4），则OB的最小值是 ．
【答案】2
【解析】∵点O是坐标原点，点B的坐标是（m，m﹣4），
∴OB＝＝＝≥＝2．
∴OB的最小值是2．
故答案为：2．
【举一反三3】已知点P的坐标为（m﹣1，m2﹣2m﹣3），则点P到直线y＝﹣5的最小值为 ．
【答案】1
【解析】点P到直线y＝﹣5的距离是|m2﹣2m﹣3﹣（﹣5）|＝|m2﹣2m+2|＝|（m﹣1）2+1|，
当m﹣1＝0时，点P到直线y＝﹣5的最小值为1．
故答案为：1．
【举一反三4】已知代数式x2﹣5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【答案】解：由题意，得x2﹣5x+7＝（x﹣）2+，
∵（x﹣）2≥0，
∴（x﹣）2+≥，
∴（x﹣）2+＞0，
∴这个代数式的值总是正数．
设代数式的值为M，则有M＝x2﹣5x+7，
∴M＝（x﹣）2+，
∴当x＝时，这个代数式的值最小为．
【举一反三5】阅读材料：老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
因为（x﹣2）2≥0，
所以（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，解下列问题：
（1）代数式x2+6x+12的最小值为 ；
（2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值．
【答案】解：（1）x2+6x+12＝（x+3）2+3，
当x＝﹣3时，（x+3）2+3＝3，
因此（x+3）2+3有最小值3，即代数式x2+6x+12的最小值为3，
故答案为：3．
（2）∵﹣x2+2x+9＝﹣（x﹣1）2+10，
由于（x﹣1）2≥0，所以﹣（x﹣1）2≤0，
当x＝1时，﹣（x﹣1）2＝0，
则﹣x2+2x+9的最大值为10.
【题型10】配方法的应用
【典型例题】已知：在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0，则（ ）
A.a+c＞2b
B.a+c＝2b
C.a+c＜2b
D.a+c与2b的大小关系不能确定
【答案】B
【解析】∵a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝a2+9b2+6ab﹣25b2﹣c2+10bc＝（a+3b）2﹣（c﹣5b）2＝0，
∴（a+3b+c﹣5b）（a+3b﹣c+5b）＝0，
即（a+c﹣2b）（a﹣c+8b）＝0，
∴a+c﹣2b＝0或a﹣c+8b＝0，
∴a+c＝2b或a+8b＝c，
∵a+b＞c，
∴a+8b＝c不符合题意，舍去，
∴a+c＝2b．
故选：B．
【举一反三1】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
【答案】A
【解析】△ABC是等腰三角形，理由是：
∵a2﹣4b＝1，b2﹣4c＝﹣4，c2﹣6a＝﹣14，
∴a2﹣4b+b2﹣4c+c2﹣6a＝﹣17，
∴（a﹣3）2+（b﹣2）2+（c﹣2）2＝0，
∴a＝3，b＝2，c＝2，
∴△ABC是等腰三角形．
故选：A．
【举一反三2】如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为．正五边形的边长为（2b﹣5）m，则这段铁丝的总长是 m．
【答案】25
【解析】根据题意得：＝5（2b﹣5），
4a2﹣4ab+2b2＝10b﹣25，
4a2﹣4ab+2b2﹣10b+25＝0，
4a2﹣4ab+b2+b2﹣10b+25＝0，
（2a﹣b）2+（b﹣5）2＝0，
∵（2a﹣b）2≥0，（b﹣5）2≥0，
∴2a﹣b＝0，b﹣5＝0，
∴b＝5，a＝，
∴这段铁丝的总长是5（2b﹣5）＝5×（2×5﹣5）＝25（m）．
故答案为：25．
【举一反三3】已知△ABC的三边a，b，c，且满足c＝5，a2﹣6a+b2﹣8b+25＝0，求证：△ABC是直角三角形．
【答案】证明：∵a2﹣6a+b2﹣8b+25＝0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
∴a＝3，b＝4，
∵c＝5，
∴a2+b2＝32+42＝25＝c2，
∴△ABC是直角三角形．
【举一反三4】已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足，求△ABC中c边的长．
【答案】解：∵+b2﹣2b+1＝+（b﹣1）2＝0，
∴a﹣4＝0，且b﹣1＝0，
解得：a＝4，b＝1，
∵4﹣1＜c＜4+1，即3＜c＜5，且c为正整数，
则c＝4．
【题型11】利用公式法解一元二次方程
【典型例题】用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5＝0的解是（ ）
A.x1＝1+，x2＝1﹣
B.x1＝2+，x2＝2﹣
C.x1＝1+，x2＝1﹣
D.x1＝2+，x2＝2﹣
【答案】A
【解析】Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣5）＝24，
x＝＝1±，
所以x1＝1+，x2＝1﹣．
故选：A．
【举一反三1】下列各数中，是方程x2﹣（1+）x+＝0的解的有（ ）
①1+；②1﹣；③1；④﹣.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【答案】B
【解析】a＝1，b＝﹣（1+），c＝，
Δ＝（1+）2﹣4＝（1﹣）2＞0，
∴x＝，
∴x1＝1，x2＝，所以四个选项中，是方程的解的只有一个1．
故选：B．
【举一反三2】用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a，b，c的值依次是（ ）
A.0，﹣2，﹣3 B.1，3，﹣2 C.1，﹣3，﹣2 D.1，﹣2，﹣3
【答案】B
【解析】整理得：x2+3x﹣2＝0，
这里a＝1，b＝3，c＝﹣2．
故选：B．
【举一反三3】如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为 ．
【答案】
【解析】根据题意，得：x2+x﹣（2x﹣1）＝5，
整理，得：x2﹣x﹣4＝0，
∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣4，
∴Δ＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣4）＝17＞0，
则x＝＝，
∴x1＝，x2＝，
∵点A在数轴的负半轴，
∴2x﹣1＜0，即x＜，
∴x＝，
故答案为：．
【举一反三4】用公式法解关于x的一元二次方程，得x＝，则该一元二次方程是 ．
【答案】3x2+9x﹣1＝0
【解析】用公式法解关于x的一元二次方程，得x＝，
所以a＝3，b＝9，c＝﹣1，
则该一元二次方程是3x2+9x﹣1＝0，
故答案为：3x2+9x﹣1＝0．
【举一反三5】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a2，同时B区就会自动加上3a，已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣15，如图．如：第一次按键后，A，B两区分别显示．
问：（1）第一次按键后A区代数式与B区代数式的值相等，请通过计算求a的值．
（2）从初始状态按3次后，A，B两区代数式的和为1，请通过计算求a的值．
【答案】解：（1）根据题意得25﹣a2＝﹣15+3a，
整理得a2+3a﹣40＝0，
（a+8）（a﹣5）＝0，
a+8＝0或a﹣5＝0，
解得a1＝﹣8，a2＝5，
即a的值为﹣8或5；
（2）根据题意得25﹣3a2+（﹣15+9a）＝1，
整理得a2﹣3a﹣3＝0，
Δ＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣3）＝21＞0，
a＝，
所以a1＝，a2＝，
即a的值为或．
【题型12】利用公式法解含字母的一元二次方程
【典型例题】一元二次方程x2﹣2x﹣c＝0能用公式法求解的前提是（ ）
A.c＝1 B.c≥1 C.c≥﹣1 D.c≤﹣1
【答案】C
【解析】∵一元二次方程x2﹣2x﹣c＝0能用公式法求解，
∴（﹣2）2﹣4×1×（﹣c）≥0，即4c≥﹣4．
∴c≥﹣1．
故选：C．
【举一反三1】关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，当满足b2﹣4c＞0时，方程的两个根是（ ）
A.x＝ B.x＝ C. D.
【答案】B
【解析】关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，当满足b2﹣4c＞0时，方程的两个根是x＝．
故选：B．
【举一反三2】若一元一次方程x+3＝的解满足关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0），则2017﹣a﹣b的值是 ．
【答案】2022
【解析】x+3＝，
x+3﹣3＝﹣3，
x＝，
x＝1．
把x＝1代入ax2+bx+5＝0（a≠0），得a+b+5＝0，
所以a+b＝﹣5，
则2017﹣a﹣b＝2017﹣（a+b）＝2017+5＝2022．
故答案为：2022．
【举一反三3】已知实数a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c＝0的根．
【答案】解：∵，
∴a2﹣3a+2＝0，b+1＝0，c+3＝0，
解得a＝1或a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3．
所以当a＝1，b＝﹣1，c＝﹣3时，原方程为x2﹣x﹣3＝0，
∵Δ＝1+12＝13＞0，
∴，
∴，，
当a＝2，b＝﹣1，c＝﹣3时，原方程为2x2﹣x﹣3＝0，
∴（2x﹣3）（x+1）＝0，
∴2x﹣3＝0或x+1＝0，
∴x3＝，x4＝﹣1．
【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣6＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求k的值；
（2）若k＝1，解此方程．
【答案】解：（1）把x＝﹣1代入方程x2﹣6x+k﹣6＝0得1+6+k﹣6＝0，
解得k＝﹣1；
（2）当k＝1时，方程化为x2﹣6x﹣5＝0，
∵a＝1，b＝﹣6，c＝﹣5，
∴Δ＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣5）＝56＞0，
∴x＝＝3±，
∴x1＝3+，x2＝3﹣．
【题型13】换元法解一元二次方程
【典型例题】已知若x2+xy+2y＝10，y2+xy+2x＝14，则x+y的值是（ ）
A.±4 B.±6 C.﹣4或6 D.4或﹣6
【答案】D
【解析】∵x2+xy+2y＝10，y2+xy+2x＝14，
∴（x+y）2+2（x+y）﹣24＝0．
设x+y＝a，则原方程变形为：
a2+2a﹣24＝0，
解得：a1＝﹣6，a2＝4，
∴x+y＝﹣6或x+y＝4，
故选：D．
【举一反三1】若（a﹣b）2+2（a﹣b）+1＝0，则（a﹣b）2013等于（ ）
A.2013 B.﹣1 C.0 D.1
【答案】B
【解析】设t＝a﹣b，则由原方程转化为关于t的方程t2+2t+1＝0，
整理，得（t+1）2＝0，
解得t＝﹣1，
即a﹣b＝﹣1，
所以（a﹣b）2013＝（﹣1）2013＝﹣1．
故选：B．
【举一反三2】在利用方程（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10＝0求x2+y2时，嘉琪令x2+y2＝m则原方程转化为 ，聪明又谨慎的你可以利用m得到x2+y2的值为 ．
【答案】m2﹣3m﹣10＝0；5
【解析】令x2+y2＝m，则原方程转化为m2﹣3m﹣10＝0，
整理得（m﹣5）（m+2）＝0．
解得m＝5或m＝﹣2．
因为x2+y2的值是非负数，
所以x2+y2的值为5．
故答案为：m2﹣3m﹣10＝0；5．
【举一反三3】设e＝，且e＞1，2c2﹣5ac+2a2＝0，求e的值．
【答案】解：∵2c2﹣5ac+2a2＝0，
∴（2c2﹣5ac+2a2）÷a2＝0，
即﹣5×+2＝0，
∵e＝，
∴2e2﹣5e+2＝0，
因式分解得，（2e﹣1）（e﹣2）＝0，
解得e1＝，e2＝2．
∵e＞1，
∴e＝2．
【举一反三4】2（x+y）2﹣3x﹣3y﹣2＝0，求x+y的值．
【答案】解：∵2（x+y）2﹣3x﹣3y﹣2＝0，
∴2（x+y）2﹣3（x+y）﹣2＝0，
设x+y＝t，
则2t2﹣3t﹣2＝0，
解得：，t2＝2，
∴x+y＝或2．
【题型14】不解方程判断根的情况
【典型例题】已知实数m，现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0讨论如下，则下列判断正确的是（ ）
A.甲和丙说得对 B.甲和丁说得对 C.乙和丙说得对 D.乙和丁说得对
【答案】D
【解析】当m﹣2≠0，即m≠2时，方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0为一元二次方程，所以乙的判断正确；
当m﹣2＝0，即m＝2，方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0变形为2x﹣1＝0，此时方程为一元一次方程，所以甲的判断错误；
若m＝2，解方程2x﹣1＝0得x＝，
若m≠2，当Δ≥0时，方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，即22﹣4（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得m≥1且m≠2，所以丁的判定正确；
若m≠2，当Δ＜0时，方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0有两个实数根，即22﹣4（m﹣2）×（﹣1）＜0，解得m＜1，所以丙的判定错误．
故选：D．
【举一反三1】下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A.x2+1＝0 B.x2+2x+1＝0 C.x2+2x+3＝0 D.x2+2x﹣3＝0
【答案】D
【解析】A.x2+1＝0中Δ＜0，没有实数根；
B.x2+2x+1＝0中Δ＝0，有两个相等的实数根；
C.x2+2x+3＝0中Δ＜0，没有实数根；
D.x2+2x﹣3＝0中Δ＞0，有两个不相等的实数根．
故选：D．
【举一反三2】定义一种新运算“m※n”，对于任意实数m，n，则有m※n＝m2﹣2mn﹣1，如3※4＝32﹣2×3×4﹣1＝﹣16，若x※k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
【答案】C
【解析】∵x※k＝0，
∴x2﹣2kx﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×（﹣1）＝4k2+4，
∵k为实数，
∴4k2≥0，
∴Δ＝4k2+4＞0，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
【举一反三3】关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是：原方程 实数根.
【答案】有两个不相等的实数根
【解析】∵Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣1）＝m2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有两个不相等的实数根．
【举一反三4】一元二次方程2x2﹣4x+1＝0 实数根（填“有”或“无”）．
【答案】有
【解析】因为Δ＝（﹣4）2﹣4×2×1＝8＞0，
所以方程有两个不相等的实数根．
故答案为：有．
【举一反三5】求证：不论m为何值，关于x的方程x2+（m+4）x+2m﹣1＝0一定有两个不相等的实数根．
【答案】解：∵Δ＝（m+4）2﹣4（2m﹣1）＝m2+8m+16﹣8m+4＝m2+20＞0，
∴不论m为何值，关于x的方程x2+（m+4）x+2m﹣1＝0一定有两个不相等的实数根．
【举一反三6】判断关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2根的情况，并说明理由．
【答案】解：方程有两个不相等的实数根．理由如下：
（x﹣3）（x﹣2）＝p2，整理为一般式得x2﹣5x+6﹣p2＝0，
∵Δ＝25﹣4（6﹣p2）＝25﹣24+4p2＝4p2+1，
∵4p2≥0，
∴1+4p2＞0，即Δ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
【题型15】根据根的判别式确定字母的值
【典型例题】若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则c的值不可能是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】D
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4c≥0，解得c≤4，
故选项D中的5不符合题意，
故选：D．
【举一反三1】已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+5＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A.m＝﹣5 B.m＝1 C.m＝﹣5或m＝1 D.m＝﹣1或m＝5
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+5＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝（﹣2m）2﹣4×1×（﹣4m+5）＝0，即m2+4m﹣5＝0，
∴m＝﹣5或m＝1．
故选：C．
【举一反三2】已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 .
【答案】﹣1
【解析】当a+1＝0时，原方程为﹣2x+3＝0，解得x＝，
∴a＝﹣1符合题意；
当a+1≠0时，Δ＝（﹣2）2﹣4×（a+1）×3≥0，
解得：a≤﹣，
∴a≤﹣且a≠﹣1．
综上所述，a≤﹣．
又∵a为整数，
∴a的最大值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【举一反三3】已知a，b分别为矩形ABCD两条对角线的长，且是关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0的根，则k的值为 ．
【答案】2
【解析】∵a，b分别为矩形ABCD两条对角线的长，
∴a＝b，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4（k+2）＝0，
解得k＝2．
故答案为：2．
【举一反三4】已知关于x的一元二次方程kx2+（3k﹣4）x﹣12＝0．
（1）判断该方程实数根的情况；
（2）若该方程的根为整数，求k的值．
【答案】解：（1）由判别式可知：Δ＝（3k﹣4）2﹣4 k （﹣12）＝9k2+24k+16，
∵9k2+24k+16＝（3k+4）2≥0，
∴Δ≥0，
∴该方程有两个实数根；
（2）∵kx2+（3k﹣4）x﹣12＝0，
∴（kx﹣4）（x+3）＝0，
解得x1＝，x2＝﹣3，
∵该方程的根为整数，
∴k的值为±1，±2，±4．
【举一反三5】若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+3＝0有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根．
【答案】解：∵一元二次方程x2﹣4x+m+3＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（m+3）＝4﹣4m＝0，
解得，m＝1，
∴x2﹣4x+4＝0，
∴（x﹣2）2＝0，
∴x1＝x2＝2．
【题型16】根据根的判别式确定字母的取值范围
【典型例题】若关于x的方程a（x+1）2﹣b＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则（ ）
A.a﹣b＞0 B.a﹣b＜0 C.ab＞0 D.ab＜0
【答案】C
【解析】∵关于x的方程a（x+1）2﹣b＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，
∴a≠0，
∴（x+1）2＝＞0，
∴ab＞0．
故选：C．
【举一反三1】若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+1＝0有实数根，则m的取值范围中，正整数值有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【答案】C
【解析】∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+1＝0有实数根，
∴，
解得：m≤且m≠3，
∴m的取值范围中，正整数值有1，2，4，5，
即正整数值有4个．
故选：C．
【举一反三2】已知关于x的方程x2﹣6x+（a﹣2）|x﹣3|+9﹣2a＝0有且仅有两个不相等的实根．则实数a的取值范围为 ．
【答案】a＞0或a＝﹣2
【解析】方程变为：（x﹣3）2+（a﹣2）|x﹣3|﹣2a＝0，
则|x﹣3|2+（a﹣2）|x﹣3|﹣2a＝0，方程看作|x﹣3|的一元二次方程，
Δ＝（a﹣2）2﹣4×（﹣2a）＝（a+2）2≥0，
当Δ＝0，即a＝﹣2时，方程|x﹣3|2+（a﹣2）|x﹣3|﹣2a＝0有两个不同的实数根，
当Δ＞0，关于|x﹣3|的方程有一正根和一负根，原方程有两个不同的实数根，
所以﹣2a＜0，即a＞0，
所以a的范围为a＞0或a＝﹣2．
故答案为：a＞0或a＝﹣2．
【举一反三3】如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，那么k的最大整数值是 ．
【答案】﹣2
【解析】根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＜0，
解得k＜﹣1，
所以k的最大整数值是﹣2．
故答案为：﹣2．
【举一反三4】已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|1﹣m|+．
【答案】解：（1）∵关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0，即[2（m﹣1）]2﹣4（m2+5）＞0，
解得m＜﹣2；
（2）∵m＜﹣2，
∴1﹣m＞0，m+2＜0，
∴
＝
＝|1﹣m|+|m+2|
＝1﹣m﹣（m+2）
＝1﹣m﹣m﹣2
＝﹣2m﹣1．
【举一反三5】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+1﹣k＝0．
（1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围．
（2）当k＝﹣2时，若等腰三角形的两边长分别为该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【答案】解：（1）根据题意，得Δ＝（﹣4）2﹣4×1×（1﹣k）＝16﹣4（1﹣k）＜0，
∴16﹣4+4k＜0，
∴4k＜﹣12，
解得k＜﹣3．
（2）当k＝﹣2时，方程为x2﹣4x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝1．
若3为腰，则周长＝3+3+1＝7，
若1为腰，∵1+1＜3，
∴构不成三角形，舍去，
∴等腰三角形的周长为7．
【题型17】求两根的和与积
【典型例题】若关于x的一元二次方程x2﹣（a2﹣3a﹣10）x+a＝0的两根互为相反数，则两根之积是（ ）
A.﹣2 B.5 C.﹣2或5 D.2或﹣5
【答案】C
【解析】设x1，x2是一元二次方程x2﹣（a2﹣3a﹣10）x+a＝0的两根，
∴x1+x2＝a2﹣3a﹣10，x1 x2＝a，
又∵关于x的一元二次方程x2﹣（a2﹣3a﹣10）x+a＝0的两根互为相反数，
∴a2﹣3a﹣10＝0，
解得a＝﹣2或a＝5．
∵两根互为相反数，
∴x1 x2＝a＜0，
∴两根之积是﹣2，
故选：A．
【举一反三1】若x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则（ ）
A.x1+x2＝﹣3 B.x1+x2＝3 C.x1x2＝﹣ D.x1x2＝2
【答案】A
【解析】∵x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两个根，
∴,，
故选：A．
【举一反三2】若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为m，n，则一次函数y＝（m+n）x+mn的图象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】∵一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为m，n，
∴m+n＝2，mn＝﹣1，
∴一次函数解析式为y＝2x﹣1，
则一次函数图象经过第一、三、四象限．
故选：B．
【举一反三3】若a，b是方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根，则（a+2）（b+2）的值为 ．
【答案】﹣4
【解析】∵a，b是方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根，
∴a+b＝﹣2，ab＝﹣4，
∴（a+2）（b+2）＝ab+2（a+b）+4＝﹣4+2×（﹣2）+4＝﹣4．
故答案为：﹣4．
【举一反三4】已知x1，x2是一元二次方程mx2+2x+n＝0的两根．若m＝3，n＝﹣1，求x1+x1x2+x2的值．
【答案】解：∵m＝3，n＝﹣1，
∴x1，x2是一元二次方程3x2+2x﹣1＝0的两根．
∴x1+x2＝﹣，x1x2＝﹣，
∴x1+x1x2+x2＝﹣﹣＝﹣1．
【题型18】根据根与系数的关系式，求代数式或字母的值
【典型例题】已知一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1，x2，下列式子正确的是（ ）
A.x1 x2＝4 B.x1+x2＝﹣2 C. D.
【答案】C
【解析】根据根与系数的关系得x1+x2＝2，x1x2＝﹣4，所以A选项、B选项不符合题意；
＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝22﹣2×（﹣4）＝12，所以C选项符合题意；
＝＝＝﹣，所以D选项不符合题意．
故选：C．
【举一反三1】若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（ ）
A.﹣3 B.3 C.﹣5 D.5
【答案】A
【解析】由题意得，x1+x2＝﹣b，x1x2＝﹣4，
∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝﹣4+b＝﹣7，
∴b＝﹣3，
故选：A．
【举一反三2】解某个一元二次方程时，小明看错了方程的常数项，得到两根为2和8，小军看错了方程的一次项系数，得到两根为﹣9和﹣1，那么原方程的根应为（ ）
A.﹣1和9 B.1和﹣9 C.﹣1和﹣9 D.1和9
【答案】D
【解析】由于小军看错了一次项的系数，得出的两个根x1＝﹣9，x2＝﹣1，
则常数项为﹣9×（﹣1）＝9，
而小明看错了常数项，得出的两根x1＝8，x2＝2，则一次项系数为﹣（8+2）＝﹣10，
所以原一元二次方程为x2﹣10x+9＝0，
解得：x＝1或9．
故选：D．
【举一反三3】对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 ．
【答案】
【解析】由题意得（x+2）*3＝0即为（x+2）2+6（x+2）﹣9＝0，
化简得x2+10x+7＝0，
∵m，n是该方程的两根，
∴m+n＝﹣10，mn＝7，
∴＝＝，
故答案为：．
【举一反三4】在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程 ．
【答案】x2﹣7x+2＝0
【解析】∵小明看错了一次项系数b，
∴c＝x1 x2＝1×2＝2，
∵小刚看错了常数项c，
∴﹣b＝x1+x2＝3+4＝7，
∴b＝﹣7．
∴正确的一元二次方程为x2﹣7x+2＝0．
故答案为：x2﹣7x+2＝0．
【举一反三5】已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0，当m为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解．
【答案】解：∵关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0两根相互为相反数，
∴﹣（m+2）＝0，
解得m＝﹣2，
则方程为x2﹣5＝0，
解得x1＝，x2＝﹣．22.2一元二次方程的解法
【题型1】形如为x =p(p≥0)型方程的解法 4
【题型2】形如(mx＋n) =p型方程的解法 5
【题型3】用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程 6
【题型4】用因式分解法解x ＋（p+q）x＋pq=0型的一元二次方程 6
【题型5】利用配方法进行配方 7
【题型6】用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 7
【题型7】用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程 8
【题型8】利用配方构成非负数求值 9
【题型9】利用配方解决最值问题 9
【题型10】配方法的应用 10
【题型11】利用公式法解一元二次方程 11
【题型12】利用公式法解含字母的一元二次方程 12
【题型13】换元法解一元二次方程 12
【题型14】不解方程判断根的情况 13
【题型15】根据根的判别式确定字母的值 13
【题型16】根据根的判别式确定字母的取值范围 14
【题型17】求两根的和与积 15
【题型18】根据根与系数的关系式，求代数式或字母的值 15
【知识点1】解一元二次方程-直接开平方法 形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；
如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方． 1.（2024秋 郸城县月考）方程x2=2的根是（ ） A．B．，C．D．
【知识点2】解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 1.（2024秋 恩平市期末）用配方法解方程x2-2x-5=0时，原方程变形正确的是（ ） A．（x-1）2=6B．（x-2）2=9C．（x+1）2=6D．（x+2）2=9
2.（2024秋 海口期末）将一元二次方程x2-6x-4=0化成（x+a）2=b的形式，则b等于（ ） A．3B．4C．7D．13
【知识点3】解一元二次方程-公式法 （1）把x=（b2-4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式．
（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．
（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：
①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；
②求出b2-4ac的值（若b2-4ac＜0，方程无实数根）；
③在b2-4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．
注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2-4ac≥0． 1.（2024秋 泉州期末）用求根公式解一元二次方程5x2-1-4x=0时a,b,c的值是（ ） A．a=5，b=-1，c=-4B．a=5，b=-4，c=1C．a=5，b=-4，c=-1D．a=5，b=4，c=1
2.（2024秋 绥德县期末）用公式法解一元二次方程2x2+3x=1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（ ） A．2，-3，1B．2，3，-1C．-2，-3，-1D．-2，3，1
【知识点4】解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义
因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：
①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 1.（2024秋 阜宁县期中）一元二次方程x2=x的解是（ ） A．x1=x2=1B．x1=1，x2=0C．x1=x2=0D．x1=-1，x2=0
2.（2024 南山区校级开学）方程x2=3x的解是（ ） A．x=3B．x=0C．x1=3，x2=0D．x1=-3，x2=0
【知识点5】根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）判断方程的根的情况．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：
①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；
②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△＜0时，方程无实数根．
上面的结论反过来也成立． 1.（2025 伍家岗区模拟）一元二次方程x2-x+2=0的根的情况是（ ） A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根
【知识点6】根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q，反过来可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．
（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=，反过来也成立，即=-（x1+x2），=x1x2．
（3）常用根与系数的关系解决以下问题：
①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 1.（2024秋 沭阳县校级期末）下列一元二次方程中，两根之和为-1的是（ ） A．x2+x+2=0B．x2-x-5=0C．x2+x-3=0D．2x2-x-1=0
【题型1】形如为x =p(p≥0)型方程的解法
【典型例题】方程3x2+10＝0的根为（ ）
A.3 B.﹣3 C.±3 D.无实数根
【举一反三1】某同学在一次作业中的解题过程如下：
①若x2＝a2，则x＝a；②x2＝﹣1的解为x＝±1．下列有关判断正确的是（ ）
A.①对 B.②对 C.①②都对 D.①②都错
【举一反三2】一元二次方程x2＝16的解为（ ）
A.x＝8 B.x＝±8 C.x＝4 D.x＝±4
【举一反三3】a，b，c，d为实数，先规定一种新的运算：，那么时，x＝ ．
【举一反三4】已知方程x2﹣64＝0，则此方程的解是x＝ ．
【举一反三5】用开平方法解下列方程：
（1）x2＝121；
（2）9y2＝25；
（3）3a2﹣27＝0．
【举一反三6】已知2x2+3与2x2﹣4互为相反数，求x的值．
【题型2】形如(mx＋n) =p型方程的解法
【典型例题】用直接开平方法解方程3（x﹣3）2﹣24＝0，得方程的根是（ ）
A.x＝3+2 B.x＝3﹣2 C.x1＝3+2，x2＝3﹣2 D.x＝﹣3±2
【举一反三1】用直接开平方法解方程（5x+6）2＝9，下列结论正确的是（ ）
A.5x+6＝3 B.5x+6＝﹣3 C.5x+6＝9或5x+6＝﹣9 D.5x+6＝3或5x+6＝﹣3
【举一反三2】用直接开平方法解下列一元二次方程，其中有两个相等的实数解的方程为（ ）
A.x2﹣3＝0 B.﹣2x2＝﹣1 C.x2+9＝0 D.（x﹣2）2＝0
【举一反三3】（x2+y2+1）2＝81，则x2+y2的值是 ．
【举一反三4】已知关于x的方程（x﹣1）2＝4m﹣1有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根．
【题型3】用因式分解法中的提公因式法解一元二次方程
【典型例题】一个三角形的两边长为3和8，第三边的边长是x（x﹣9）﹣13（x﹣9）＝0的根，则这个三角形的周长是（ ）
A.20 B.20或24 C.9和13 D.24
【举一反三1】若代数式a2﹣2a与a﹣2互为相反数，则a的值是（ ）
A.﹣1、﹣2 B.﹣1、2 C.1、﹣2 D.1、2
【举一反三2】若x（x+1）＝（x+1），则x的值为 ．
【举一反三3】阅读后解答问题．
解方程：2x2﹣3x﹣2＝0.
解：2x2﹣3x﹣2＝0，
拆项，分组得2x2﹣4x+x﹣2＝0，
提公因式，得2x（x﹣2）+（x﹣2）＝0，
再提公因式，得（x﹣2）（2x+1）＝0，
所以x﹣2＝0或2x+1＝0．
即x1＝2，x2＝﹣．
运用以上因式分解法解方程6x2+7x﹣3＝0．
【题型4】用因式分解法解x ＋（p+q）x＋pq=0型的一元二次方程
【典型例题】已知方程x2+2x﹣8＝0的解是x1＝2，x2＝﹣4，那么方程（x+1）2+2（x+1）﹣8＝0的解是（ ）
A.x1＝1，x2＝5 B.x1＝1，x2＝﹣5 C.x1＝﹣1，x2＝5 D.x1＝﹣1，x2＝﹣5
【举一反三1】在正数范围内定义运算“※”，其规则为a※b＝a+b2，则方程x※（x+1）＝5的解是（ ）
A.x＝5 B.x＝1 C.x1＝1，x2＝﹣4 D.x1＝﹣1，x2＝4
【举一反三2】已知y1＝x2﹣9，y2＝3﹣x，当x＝ 时，y1＝y2．
【举一反三3】现定义运算“ ”，对于任意实数a、b，都有a b＝a2﹣3a+b；如：3 5＝32﹣3×3+5，若x 2＝6，则实数x的值是 ．
【举一反三4】已知等腰三角形的底边长为9，腰长是方程x2﹣10x+24＝0的一个根，求这个三角形的周长．
【题型5】利用配方法进行配方
【典型例题】珍珍将方程x2﹣4x﹣2＝0化为（x+p）2＝q的形式时，得到p的值为2，q的值为6，则珍珍所得结果（ ）
A.正确
B.不正确，p的值应为﹣2
C.不正确，q的值应为2
D.不正确，q的值应为4
【举一反三1】若x2﹣2x+1＝（x﹣m）2，则m的值为（ ）
A.﹣1 B.1 C.0 D.2
【举一反三2】一元二次方程x2﹣6x+a＝0，配方后为（x﹣3）2＝1，则a＝ ．
【举一反三3】若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+a）2＝1，则a+c的值为 ．
【举一反三4】已知方程x2﹣5x+a＝（x﹣b）2+1，求a﹣b的值．
【举一反三5】已知方程x2+6x+m＝0可以配方成（x+n）2＝2，求m、n的值．
【题型6】用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程
【典型例题】一元二次方程的根（ ）
A.， B.x1＝2，x2＝﹣2 C. D.
【举一反三1】一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的解是（ ）
A.x1＝x2＝1
B.x1＝1+，x2＝﹣1﹣
C.x1＝1+，x2＝1﹣
D.x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣
【举一反三2】如表是嘉淇用配方法解一元二次方程的具体过程，老师说这个解法出现了错误，则开始出现错误的步骤是（ ）
A.② B.③ C.④ D.⑤
【举一反三3】一元二次方程x2﹣6x﹣1＝0的解是 ．
【举一反三4】规定：a b＝（a+b）b，如：2 3＝（2+3）×3＝15，若2 x＝3，则x＝ ．
【举一反三5】用配方法解方程：x2﹣4x+2＝0．
【举一反三6】用配方法解一元二次方程ax2+bx﹣c＝0（a≠0，c＞0）得到（x﹣c）2＝4c2，从而解得方程一根为1，求a﹣3b的值．
【题型7】用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
【典型例题】若﹣2x2+4x﹣7＝﹣2（x+m）2+n，则m，n的值为（ ）
A.m＝1，n＝﹣5 B.m＝﹣1，n＝﹣5 C.m＝1，n＝9 D.m＝﹣1，n＝﹣9
【举一反三1】将二次三项式2x2﹣4x+3配方后得（ ）
A.2（x﹣1）2+1 B.2（x﹣1）2﹣1 C.2（x﹣1）2+3 D.2（x﹣1）2﹣3
【举一反三2】一元二次方程﹣x﹣3＝0的解为 ．
【举一反三3】已知M＝x2﹣x+1．
（1）当M＝3时，求x的值；
（2）若M＝3x2+1，求M的值.
【题型8】利用配方构成非负数求值
【典型例题】已知x＝2005a+2004，y＝2005a+2005，z＝2005a+2006，则x2+y2+z2﹣xy﹣yz﹣xz的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】无论a，b为何值代数式a2+b2+6b+11﹣2a的值总是（ ）
A.非负数 B.0 C.正数 D.负数
【举一反三2】已知代数式A＝3x2﹣x+1，B＝4x2+3x+7，则A B（填＞，＜或＝）．
【举一反三3】用配方法证明：﹣2x2+4x﹣10的值恒小于0．
【举一反三4】小明与小丽在研究代数式2x2﹣4x﹣1和x2﹣2x﹣4时发生了争执，小明认为无论x取何值，2x2﹣4x﹣1的值总大于x2﹣2x﹣4的值；而小丽则认为它们的大小关系随x的变化而变化，你认为谁的判断正确？说明理由．
【题型9】利用配方解决最值问题
【典型例题】已知关于x的多项式x2﹣mx+9的最小值为8，则m的值可能为（ ）
A.1 B.2 C.4 D.5
【举一反三1】关于x的二次三项式x2+10x+a有最小值﹣10，则常数a的值为（ ）
A.12 B.13 C.14 D.15
【举一反三2】在平面直角坐标系xOy中，点O是坐标原点，点B的坐标是（m，m﹣4），则OB的最小值是 ．
【举一反三3】已知点P的坐标为（m﹣1，m2﹣2m﹣3），则点P到直线y＝﹣5的最小值为 ．
【举一反三4】已知代数式x2﹣5x+7，先用配方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数；再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？
【举一反三5】阅读材料：老师在求代数式x2﹣4x+5的最小值时，利用公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，对式子作如下变形：x2﹣4x+5＝x2﹣4x+4+1＝（x﹣2）2+1．
因为（x﹣2）2≥0，
所以（x﹣2）2+1≥1．
当x＝2时，（x﹣2）2+1＝1，
因此（x﹣2）2+1有最小值1，即x2﹣4x+5的最小值为1．
通过阅读，解下列问题：
（1）代数式x2+6x+12的最小值为 ；
（2）求代数式﹣x2+2x+9的最大或最小值．
【题型10】配方法的应用
【典型例题】已知：在△ABC中，三边长a，b，c满足等式a2﹣16b2﹣c2+6ab+10bc＝0，则（ ）
A.a+c＞2b
B.a+c＝2b
C.a+c＜2b
D.a+c与2b的大小关系不能确定
【举一反三1】已知一个三角形三边长为a，b，c，且满足a2﹣4b＝7，b2﹣4c＝﹣6，c2﹣6a＝﹣18，则此三角形的形状是（ ）
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
【举一反三2】如图，同一段铁丝分成相等的四段可围成正方形，若分成相等的五段，则可围成正五边形，其中正方形的边长为．正五边形的边长为（2b﹣5）m，则这段铁丝的总长是 m．
【举一反三3】已知△ABC的三边a，b，c，且满足c＝5，a2﹣6a+b2﹣8b+25＝0，求证：△ABC是直角三角形．
【举一反三4】已知△ABC的三边长a，b，c均为整数，且a和b满足，求△ABC中c边的长．
【题型11】利用公式法解一元二次方程
【典型例题】用求根公式法解方程x2﹣2x﹣5＝0的解是（ ）
A.x1＝1+，x2＝1﹣
B.x1＝2+，x2＝2﹣
C.x1＝1+，x2＝1﹣
D.x1＝2+，x2＝2﹣
【举一反三1】下列各数中，是方程x2﹣（1+）x+＝0的解的有（ ）
①1+；②1﹣；③1；④﹣.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【举一反三2】用公式法解方程x2﹣2＝﹣3x时，a，b，c的值依次是（ ）
A.0，﹣2，﹣3 B.1，3，﹣2 C.1，﹣3，﹣2 D.1，﹣2，﹣3
【举一反三3】如图，点A在数轴的负半轴，点B在数轴的正半轴，且点A对应的数是2x﹣1，点B对应的数是x2+x，已知AB＝5，则x的值为 ．
【举一反三4】用公式法解关于x的一元二次方程，得x＝，则该一元二次方程是 ．
【举一反三5】有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a2，同时B区就会自动加上3a，已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣15，如图．如：第一次按键后，A，B两区分别显示．
问：（1）第一次按键后A区代数式与B区代数式的值相等，请通过计算求a的值．
（2）从初始状态按3次后，A，B两区代数式的和为1，请通过计算求a的值．
【题型12】利用公式法解含字母的一元二次方程
【典型例题】一元二次方程x2﹣2x﹣c＝0能用公式法求解的前提是（ ）
A.c＝1 B.c≥1 C.c≥﹣1 D.c≤﹣1
【举一反三1】关于x的一元二次方程x2+bx+c＝0，当满足b2﹣4c＞0时，方程的两个根是（ ）
A.x＝ B.x＝ C. D.
【举一反三2】若一元一次方程x+3＝的解满足关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0），则2017﹣a﹣b的值是 ．
【举一反三3】已知实数a、b、c为实数，且，求方程ax2+bx+c＝0的根．
【举一反三4】已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k﹣6＝0．
（1）若方程的一个根为x＝﹣1，求k的值；
（2）若k＝1，解此方程．
【题型13】换元法解一元二次方程
【典型例题】已知若x2+xy+2y＝10，y2+xy+2x＝14，则x+y的值是（ ）
A.±4 B.±6 C.﹣4或6 D.4或﹣6
【举一反三1】若（a﹣b）2+2（a﹣b）+1＝0，则（a﹣b）2013等于（ ）
A.2013 B.﹣1 C.0 D.1
【举一反三2】在利用方程（x2+y2）2﹣3（x2+y2）﹣10＝0求x2+y2时，嘉琪令x2+y2＝m则原方程转化为 ，聪明又谨慎的你可以利用m得到x2+y2的值为 ．
【举一反三3】设e＝，且e＞1，2c2﹣5ac+2a2＝0，求e的值．
【举一反三4】2（x+y）2﹣3x﹣3y﹣2＝0，求x+y的值．
【题型14】不解方程判断根的情况
【典型例题】已知实数m，现甲、乙、丙、丁四人对关于x的方程（m﹣2）x2+2x﹣1＝0讨论如下，则下列判断正确的是（ ）
A.甲和丙说得对 B.甲和丁说得对 C.乙和丙说得对 D.乙和丁说得对
【举一反三1】下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A.x2+1＝0 B.x2+2x+1＝0 C.x2+2x+3＝0 D.x2+2x﹣3＝0
【举一反三2】定义一种新运算“m※n”，对于任意实数m，n，则有m※n＝m2﹣2mn﹣1，如3※4＝32﹣2×3×4﹣1＝﹣16，若x※k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（ ）
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
【举一反三3】关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣1＝0根的情况是：原方程 实数根.
【举一反三4】一元二次方程2x2﹣4x+1＝0 实数根（填“有”或“无”）．
【举一反三5】求证：不论m为何值，关于x的方程x2+（m+4）x+2m﹣1＝0一定有两个不相等的实数根．
【举一反三6】判断关于x的方程（x﹣3）（x﹣2）＝p2根的情况，并说明理由．
【题型15】根据根的判别式确定字母的值
【典型例题】若关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0有实数根，则c的值不可能是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三1】已知关于x的一元二次方程x2﹣2mx﹣4m+5＝0有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A.m＝﹣5 B.m＝1 C.m＝﹣5或m＝1 D.m＝﹣1或m＝5
【举一反三2】已知关于x的方程（a+1）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是 .
【举一反三3】已知a，b分别为矩形ABCD两条对角线的长，且是关于x的方程x2﹣4x+k+2＝0的根，则k的值为 ．
【举一反三4】已知关于x的一元二次方程kx2+（3k﹣4）x﹣12＝0．
（1）判断该方程实数根的情况；
（2）若该方程的根为整数，求k的值．
【举一反三5】若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m+3＝0有两个相等的实数根，求m的值及此方程的根．
【题型16】根据根的判别式确定字母的取值范围
【典型例题】若关于x的方程a（x+1）2﹣b＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则（ ）
A.a﹣b＞0 B.a﹣b＜0 C.ab＞0 D.ab＜0
【举一反三1】若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+3x+1＝0有实数根，则m的取值范围中，正整数值有（ ）
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
【举一反三2】已知关于x的方程x2﹣6x+（a﹣2）|x﹣3|+9﹣2a＝0有且仅有两个不相等的实根．则实数a的取值范围为 ．
【举一反三3】如果关于x的方程x2﹣2x﹣k＝0没有实数根，那么k的最大整数值是 ．
【举一反三4】已知关于x的方程x2+2（m﹣1）x+m2+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）化简：|1﹣m|+．
【举一反三5】已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+1﹣k＝0．
（1）若这个方程没有实数根，求k的取值范围．
（2）当k＝﹣2时，若等腰三角形的两边长分别为该方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
【题型17】求两根的和与积
【典型例题】若关于x的一元二次方程x2﹣（a2﹣3a﹣10）x+a＝0的两根互为相反数，则两根之积是（ ）
A.﹣2 B.5 C.﹣2或5 D.2或﹣5
【举一反三1】若x1，x2是方程x2+3x﹣2＝0的两个根，则（ ）
A.x1+x2＝﹣3 B.x1+x2＝3 C.x1x2＝﹣ D.x1x2＝2
【举一反三2】若一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根为m，n，则一次函数y＝（m+n）x+mn的图象是（ ）
A. B. C. D.
【举一反三3】若a，b是方程x2+2x﹣4＝0的两个实数根，则（a+2）（b+2）的值为 ．
【举一反三4】已知x1，x2是一元二次方程mx2+2x+n＝0的两根．若m＝3，n＝﹣1，求x1+x1x2+x2的值．
【题型18】根据根与系数的关系式，求代数式或字母的值
【典型例题】已知一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两根为x1，x2，下列式子正确的是（ ）
A.x1 x2＝4 B.x1+x2＝﹣2 C. D.
【举一反三1】若x1，x2是关于x的一元二次方程x2+bx﹣4＝0的两个根，x1x2﹣x1﹣x2＝﹣7且，则b的值为（ ）
A.﹣3 B.3 C.﹣5 D.5
【举一反三2】解某个一元二次方程时，小明看错了方程的常数项，得到两根为2和8，小军看错了方程的一次项系数，得到两根为﹣9和﹣1，那么原方程的根应为（ ）
A.﹣1和9 B.1和﹣9 C.﹣1和﹣9 D.1和9
【举一反三3】对于任意实数a，b，我们定义新运算“*”：a*b＝a2+2ab﹣b2，例如3*5＝32+2×3×5﹣52＝14．若m，n是方程（x+2）*3＝0的两根，则的值为 ．
【举一反三4】在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到解为x1＝1，x2＝2；小刚看错了常数项c，得到的解为x1＝3，x2＝4．请你写出正确的一元二次方程 ．
【举一反三5】已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1＝0，当m为何值时，方程的两根相互为相反数？并求出此时方程的解．
