22.3实践与探索
【题型1】循环比赛、传播问题 5
【题型2】增长率、销售问题 7
【题型3】几何问题 10
【题型4】数字问题 13
【知识点1】由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 1.（2025春 肥东县校级期末）在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景图的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，若使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm,则x满足的方程式（ ） A．（50+x）（80+x）=5400B．（50+2x）（80+x）=5400C．（50+2x）（80+2x）=5400D．（50-2x）（80-2x）=5400
【答案】C 【分析】根据矩形的面积=长×宽，我们可得出本题的等量关系应该是：（风景画的长+2个纸边的宽度）×（风景画的宽+2个纸边的宽度）=整个挂图的面积，由此可得出方程． 【解答】解：由题意可得，
（50+2x）（80+2x）=5400，
故选：C． 【知识点2】一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案． 1.（2024秋 源汇区校级月考）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ） A．11B．12C．22D．33
【答案】B 【分析】设参加会议有x人，每个人都与其他（x-1）人握手，共握手次数为，根据一共握了66次手列出方程求解． 【解答】解：设参加会议有x人，依题意得，
，
整理，得x2-x-132=0，
解得x1=12，x2=-11，（舍去），
则参加这次会议的有12人．
故选：B． 【知识点3】高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 1.（2024春 新乡期末）下列式子中，是二元一次方程的是（ ） A．2xy=5B．x+y＜1C．-2x+y=3D．x+=0
【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义，从二元一次方程的未知数次数为1这一方面考虑． 【解答】解：A、是二元二次方程，故A错误；
B、是二元一次不等式，故B错误；
C、是二元一次方程，故C正确；
D、是分式方程，故D错误；
故选：C． 【知识点4】无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．______（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．______ 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．______（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 1.（2024春 莱西市期中）下列方程中有实数根的是（ ） A．x2-x-1=0B．C．+3=0D．x2+=0
【答案】A 【分析】利用解一元二次方程的方法，解分式方程的方法和解无理方程的方法对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：对于方程x2-x-1=0，
∵Δ=（-1）2-4×1×（-1）=1+4=5＞0，
∴方程x2-x-1=0有两个不相等的实数根，
∴A选项符合题意；
对于方程，
去分母得：x=2，
经检验，x=2是原方程的增根，
∴原方程无实数根，
∴B选项不符合题意；
对于方程，
移项得：=-3，
∵≥0，
∴此方程无解，
∴C选项不符合题意；
对于方程=0，
移项得：x2=-，
由于x2≥0，
∴此方程无解，
∴D选项不符合题意，
故选：A．
【题型1】循环比赛、传播问题
【典型例题】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）
A.1轮后有（x+1）个人患了流感
B.第2轮又增加（x+1） x个人患流感
C.依题意可得方程（x+1）2＝121
D.不考虑其他因素经过三轮一共会有1210人感染
【答案】D
【解析】患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然患病，包括在总数中．设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第一轮后共有（x+1）人患流感，故A正确，不符合题意；
第二轮作为传染源的是（x+1）人，则增加传染x（x+1）人，故B正确，不符合题意；
根据题意列方程得到（x+1）2＝121，故C正确，不符合题意；
解（x+1）2＝121得x1＝10，x2＝﹣12．
经检验，x＝10符合题意．
答：平均一个人传染了10个人．
经过三轮传染后患上流感的人数为：121+10×121＝1331（人），故D错误，符合题意．
故选：D．
【举一反三1】2020年农历春节期间，“新型冠状病毒肺炎”疫情在神州大地暴发，为提高人们对疫情的认识，小要同学搜集整理了有关新型冠状病得和预防措施的一些资料，准备用微博的方式传播出去、他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有91个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.19
【答案】B
【解析】依题意得：1+n+n2＝91，
整理得：n2+n﹣90＝0，
解得：n1＝9，n2＝﹣10（不合题意，舍去）．
故选：B．
【举一反三2】一个容器盛满纯药液30升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的体积，这时容器中剩下的纯药液是升，则每次倒出药液（ ）
A.10升 B.20升 C.20升或10升 D.以上答案都不对
【答案】B
【解析】设每次倒出液体y L，由题意得：30﹣y﹣ y＝，
解得：y＝40（舍去）或y＝20．
所以每次倒出20升．
故选：B．
【举一反三3】开始有2人患了流感，经过两轮传染后，共有72人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．
【答案】5
【解析】设平均每人传染了x个人，第一轮有2x人被传染，总共有2x+2人患了流感，
第二轮有x（2x+2）人被传染，总共有2x+2+x（2x+2）人患了流感，
根据题意有：2x+2+x（2x+2）＝72，
整理得：x2+2x+1＝36，
即（x+1）2＝36，
则x+1＝±6，
则x+1＝6或x+1＝﹣6，
∴x1＝5，x2＝﹣7（舍去），
∴平均每人传染了5个人，
故答案为：5．
【举一反三4】某校九年级兴趣班的同学们，毕业前每位同学向其他同学各赠送一张不同贺卡，全班共互赠了132张，那么兴趣班有多少位学生？
【答案】解：设兴趣班有x位学生，
根据题意得：x（x﹣1）＝132，
解得：x1＝12，x2＝﹣11（不合题意，舍），
答：兴趣班有12位学生．
【举一反三5】某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病．
（1）每位发病者平均每天传染多少人？
（2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
【答案】解：（1）设每位发病者平均每天传染x人，则第一天传染中有2x人被传染，第二天传染中有x（2+2x）人被传染，
根据题意得：2+2x+x（2+2x）＝50，
整理得：（1+x）2＝25，
解得：x1＝4，x2＝﹣6（不符合题意，舍去）．
答：每位发病者平均每天传染4人；
（2）50×（1+4）＝250（人），
∵250＞200，
∴按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人．
【题型2】增长率、销售问题
【典型例题】华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（ ）
A.10% B.15% C.20% D.25%
【答案】C
【解析】设华为某型号手机的原价为a元，每次降价的百分比是x，
依题意得：a（1﹣x）2＝a，
化简得：（1﹣x）2＝，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8（不合题意，舍去）．
故选：C．
【举一反三1】超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（ ）
A.15元或20元 B.10元或15元 C.10元或20元 D.5元或10元
【答案】D
【解析】设每千克水果应涨价x元，
依题意得方程：（500﹣20x）（10+x）＝6000，
整理，得x2﹣15x+50＝0，
解这个方程，得x1＝5，x2＝10．
答：每千克水果应涨价5元或10元．
故选：D．
【举一反三2】某果园2021年水果产量为100吨，2023年水果产量为169吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 ．
【答案】30%
【解析】设该果园水果产量的年平均增长率为x，
根据题意得：100（1+x）2＝169，
解得：x1＝0.3＝30%，x2＝﹣2.3（不符合题意，舍去），
∴该果园水果产量的年平均增长率为30%．
故答案为：30%．
【举一反三3】某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元，
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元？（用含x的代数式表示）
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
【答案】解：（1）由题意得：50+x﹣40＝x+10；
（2）由已知得，（x+10）（400﹣10x）＝6000，
整理得：x2﹣30x+200＝0，
解得x1＝10，x2＝20，
∵进货量较少，
∴x＝20，
进货量为：400﹣10x＝400﹣200＝200．
答：当定价为70元时利润达到6000元，此时的进货量为200个．
【举一反三4】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（2）平均每天盈利1300元，可能吗？请说明理由．
【答案】解：（1）设每件童装降价y元，则每件盈利（40﹣y）元，每天的销售量为（20+2y）件，
依题意得：（40﹣y）（20+2y）＝1200，
整理得：y2﹣30y+200＝0，
解得：y1＝10，y2＝20．
又∵为了扩大销售量，尽快减少库存，
∴y＝20．
答：每件童装降价20元时，平均每天盈利1200元．
（2）不可能，理由如下：
设每件童装降价m元，则每件盈利（40﹣m）元，每天的销售量为（20+2m）件，
依题意得：（40﹣m）（20+2m）＝1300，
整理得：m2﹣30m+250＝0．
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×250＝﹣100＜0，
∴方程无实数解，即不可能每天盈利1300元．
【题型3】几何问题
【典型例题】如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（ ）
A.1 B.4 C.6 D.9
【答案】D
【解析】依题意，得：（x+2×2）2＝x2+24x，
解得：x＝1，
∴x2+4×2x＝9．
故选：D．
【举一反三1】如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6 cm，NC＝8 cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1 cm/s，则经过（ ）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半．
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】A
【解析】经过x秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半，
根据题意，得，
化简得x2﹣14x+24＝0，
解得x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去），
∴经过2秒后△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半．
故选：A．
【举一反三2】用一条长为40 cm的绳子围成一个矩形，下列围成的图形面积一定不可能的是（ ）
A.64 B.96 C.100 D.101
【答案】D
【解析】设围成面积为a，矩形形的长为x cm，则宽为（40÷2﹣x）cm，
依题意得x（40÷2﹣x）＝a，
整理得x2﹣20x+a＝0，
由于此方程有解，则Δ＝400﹣4a≥0，
解得a≤100，
∴a的值不可能为101，
故选：D．
【举一反三3】一个直角三角形的斜边长是2 cm，两条直角边长的和是6 cm，则这个直角三角形的面积为 ．
【答案】4 cm2
【解析】设一条直角边长为x cm，则另一条直角边长为（6﹣x）cm，
由勾股定理得：x2+（6﹣x）2＝（2）2，
整理得：x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
当x＝2时，6﹣x＝4，
当x＝4时，6﹣x＝2，
∴这个直角三角形的两条直角边长为2 cm、4 cm，
∴这个直角三角形的面积为×2×4＝4（cm2），
故答案为：4 cm2．
【举一反三4】小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为20 cm，宽10 cm，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形．如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边衬的宽．
【答案】解：∵画轴20 cm，宽10 cm，
∴画轴的长宽比为：2：1，
设中间的矩形的长为2x（cm），宽为x（cm），
由题意得：，
解得：x1＝8，x2＝﹣8，（不符合题意，舍去），
∴左、右边衬为：（20﹣16）÷2＝2（cm）．
答：左、右边衬的宽为2 cm．
【举一反三5】如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ＝28 cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：存在，t＝2 s或4 s．理由如下：
可设t秒后其面积为28 cm2，
即SABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ＝12×6﹣×12t﹣（6﹣t） 2t﹣×6×（12﹣2t）＝28，
解得t1＝2，t2＝4，
当其运动2秒或4秒时均符合题意，
所以2秒或4秒时面积为28 cm2．
【题型4】数字问题
【典型例题】若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为（ ）
A.15 B.﹣15 C.±15 D.﹣1
【答案】C
【解析】设这两个连续整数为x，x+1．
则x（x+1）＝56，
解得：x1＝7，x2＝﹣8，
则x+1＝8或﹣7，
则它们的和为±15．
故选：C．
【举一反三1】两个连续奇数的乘积为483，则这两个奇数分别为（ ）
A.19和21 B.21和23 C.20和22 D.23和25
【答案】B
【解析】设较小的奇数为x，则较大的奇数为x+2，根据题意得x（x+2）＝483，
解得x＝21，x＝﹣23，
那么这两个奇数为21，23和﹣23，﹣21，
故选：B．
【举一反三2】有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（ ）
A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321
【答案】D
【解析】设十位数字为x，则个位数字为：x﹣1，百位数字为：x+1，
根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x，
解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去），
则个位数字为：x﹣1＝1，百位数字为：x+1＝3，
故这个三位数是：321，
当设十位数字为x，则个位数字为：x+1，百位数字为：x﹣1，
根据题意可得：（x﹣1）2+（x+1）2＝5x，
解得：x1＝2，x2＝0.5（不合题意舍去），
则个位数字为：x+1＝3，百位数字为：x11＝1，
故这个三位数是：123，
同理可得：这个三位数可以为：±123或±321．
故选：D．
【举一反三3】一次数学测试，满分为100分，测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把她俩的分数进行计算，并有如图所示的一段对话，那么对于下面的两个结论：①两个人的说法都是正确的；②至少有一个人错了，其中正确的是 .（用序号①、②填写）
【答案】②
【解析】依题意得：李华和吴珊同学的测试分数是关于x的方程x2﹣100x+5500＝0的两根，
因为Δ＝10000﹣5500×4＝﹣12000＜0，
所以该方程无解，
则他们的说法中至少有1人错误．
故答案为：②．
【举一反三4】已知一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，且十位数字与个位数字的平方和为49，则这两位数字的个位数字为 ．
【答案】0
【解析】设两位数字的个位数字为x，则十位数字为7﹣x，
根据题意得：x2+（7﹣x）2＝49，
整理得：x2﹣7x＝0，
解得：x＝0或x＝7，
当x＝0时，7﹣x＝7，
当x＝7时，7﹣x＝0（不合题意，舍去），
∴x＝0，即这两位数字的个位数字为0，
故答案为：0．
【举一反三5】第十四届国际数学教育大会（ICME﹣﹣14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，2021表示ICME﹣14的举办年份．[注：a0＝1（a≠0）]
（1）八进制数256换算成十进制数是 ；
（2）张同学设计了一个n进制数505，换算成十进制数是250，求n的值．
【答案】解：（1）由题意可得八进制数256换算成十进制数是：
2×82+5×8+6×80＝128+40+6＝174；
（2）由题意可得：5n2+0×n+5×n0＝250，即5n2+5＝250，
∴n2+1＝50即n2＝49，
∴n＝7或n＝﹣7（不合题意，舍去）即n＝7．22.3实践与探索
【题型1】循环比赛、传播问题 3
【题型2】增长率、销售问题 4
【题型3】几何问题 5
【题型4】数字问题 6
【知识点1】由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 1.（2025春 肥东县校级期末）在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景图的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，若使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为x cm,则x满足的方程式（ ） A．（50+x）（80+x）=5400B．（50+2x）（80+x）=5400C．（50+2x）（80+2x）=5400D．（50-2x）（80-2x）=5400
【知识点2】一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．
2、列一元二次方程解应用题中常见问题：
（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．
（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数．
（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．
（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．
【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”
1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．
2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．
3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．
4．解：准确求出方程的解．
5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．
6．答：写出答案． 1.（2024秋 源汇区校级月考）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（ ） A．11B．12C．22D．33
【知识点3】高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．
（2）高次方程的解法思想：
通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．
对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． 1.（2024春 新乡期末）下列式子中，是二元一次方程的是（ ） A．2xy=5B．x+y＜1C．-2x+y=3D．x+=0
【知识点4】无理方程 （1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．
（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．______（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．______ 解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法． 常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．______（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根． 1.（2024春 莱西市期中）下列方程中有实数根的是（ ） A．x2-x-1=0B．C．+3=0D．x2+=0
【题型1】循环比赛、传播问题
【典型例题】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（ ）
A.1轮后有（x+1）个人患了流感
B.第2轮又增加（x+1） x个人患流感
C.依题意可得方程（x+1）2＝121
D.不考虑其他因素经过三轮一共会有1210人感染
【举一反三1】2020年农历春节期间，“新型冠状病毒肺炎”疫情在神州大地暴发，为提高人们对疫情的认识，小要同学搜集整理了有关新型冠状病得和预防措施的一些资料，准备用微博的方式传播出去、他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有91个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）
A.8 B.9 C.10 D.19
【举一反三2】一个容器盛满纯药液30升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的体积，这时容器中剩下的纯药液是升，则每次倒出药液（ ）
A.10升 B.20升 C.20升或10升 D.以上答案都不对
【举一反三3】开始有2人患了流感，经过两轮传染后，共有72人患了流感，每轮传染中平均每人传染了 个人．
【举一反三4】某校九年级兴趣班的同学们，毕业前每位同学向其他同学各赠送一张不同贺卡，全班共互赠了132张，那么兴趣班有多少位学生？
【举一反三5】某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病．
（1）每位发病者平均每天传染多少人？
（2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？
【题型2】增长率、销售问题
【典型例题】华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（ ）
A.10% B.15% C.20% D.25%
【举一反三1】超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（ ）
A.15元或20元 B.10元或15元 C.10元或20元 D.5元或10元
【举一反三2】某果园2021年水果产量为100吨，2023年水果产量为169吨，则该果园水果产量的年平均增长率为 ．
【举一反三3】某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元，
（1）写出售出一个可获得的利润是多少元？（用含x的代数式表示）
（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？
【举一反三4】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．
（1）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元；
（2）平均每天盈利1300元，可能吗？请说明理由．
【题型3】几何问题
【典型例题】如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（ ）
A.1 B.4 C.6 D.9
【举一反三1】如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6 cm，NC＝8 cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1 cm/s，则经过（ ）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半．
A.2 B.3 C.4 D.5
【举一反三2】用一条长为40 cm的绳子围成一个矩形，下列围成的图形面积一定不可能的是（ ）
A.64 B.96 C.100 D.101
【举一反三3】一个直角三角形的斜边长是2 cm，两条直角边长的和是6 cm，则这个直角三角形的面积为 ．
【举一反三4】小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为20 cm，宽10 cm，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形．如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边衬的宽．
【举一反三5】如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ＝28 cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
【题型4】数字问题
【典型例题】若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为（ ）
A.15 B.﹣15 C.±15 D.﹣1
【举一反三1】两个连续奇数的乘积为483，则这两个奇数分别为（ ）
A.19和21 B.21和23 C.20和22 D.23和25
【举一反三2】有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（ ）
A.321 B.123 C.321或123 D.±123或±321
【举一反三3】一次数学测试，满分为100分，测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把她俩的分数进行计算，并有如图所示的一段对话，那么对于下面的两个结论：①两个人的说法都是正确的；②至少有一个人错了，其中正确的是 .（用序号①、②填写）
【举一反三4】已知一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，且十位数字与个位数字的平方和为49，则这两位数字的个位数字为 ．
【举一反三5】第十四届国际数学教育大会（ICME﹣﹣14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的卦“”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3×83+7×82+4×81+5×80＝2021，2021表示ICME﹣14的举办年份．[注：a0＝1（a≠0）]
（1）八进制数256换算成十进制数是 ；
（2）张同学设计了一个n进制数505，换算成十进制数是250，求n的值．
