2025-2026年度上海进才中学高二上学期数学月考试卷（含答案）

进才中学2025-2026学年第一学期高二年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．若，那么 ．
2．若数列满足，则 ．
3．已知，若，则 ．
4．函数的相邻两条对称轴之间的距离为，则 ．
5．已知曲线在点处的切线斜率为1，则的坐标是 ．
6．平面与平面相交于直线，点在平面上，点在平面上但不在直线上，直线与直线相交于点．设三点确定的平面为，则与的交线是 ．
7．已知等比数列共有10项，其和为80，且偶数项的和比奇数项的和大60，则公比 ．
8．在空间四边形中，对角线的长分别为6和8，异面直线与所成的角为，则连接各边中点所得四边形的面积为 ．
9．函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围为 ．
10．设表示不超过的最大整数，例如是平面上的三个单位向量，且，则的取值范围是 ．
11．空间给定不共面的四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是 个.
12．如图所示，已知内有一点与的距离为，垂足分别为且．当四边形的面积为最大值时，则 ．（结果精确至0.01）
二、选择题（本大题共有4题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）
13．已知，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．已知函数，则角所处象限为（ ）.
A．第一象限或第二象限 B．第一象限或第三象限
C．第二象限或第四象限 D．第二象限或第三象限
15．已知两条不重合的直线，两个互不重合的平面，给出下列命题：
（1）若、且，则； （2）若，且，则；
（3）若，则; （4）若,且，则．
其中正确命题的个数为（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．3
16．已知是平面内两两互不相等的非零向量，且满足，且对任意的.当时，都有。则正整数的最大值为（ ）.
A．2 B．4 C．6 D．8
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第二小题满分7分．）
如图，在长方体中，，点为棱上一点．
（1）试确定点的位置，使得平面，并说明理由；
（2）若，求异面直线与所成角的大小．
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分8分．）
已知函数在处取得极值．
（1）求实数的值；
（2）若关于的方程在区间只有两解，求实数的取值范围．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分8分．）
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中，且，，点分别为棱的中点．
（1）若，线段中点为，且，求证：；
（2）若，请作出四棱锥过点三点的截面，并求出截面的周长．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．）
定义非零向量的＂相伴函数＂为，向量称为函数的＂相伴向量＂（其中为坐标原点）．
（1）设，写出函数的相伴向量；
（2）已知的内角的对边分别为，记向量的相伴函数，若且，求最值；
（3）已知为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标：若不存在，说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题湖分6分，第3小题满分8分．）
己知集合（其中i是虚数单位），定义：，
（1）计算的值；
（2）记，若，且满足，求的最大值；
（3）若，且满足，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，．
参考答案
一、填空题
1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.； 11. 12.
11．空间给定不共面的四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是 个.
【答案】
【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；
然后分3分个点到平面的距离相等，有以下两种可能性：
（1）全同侧，这样的平面有2个；
（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，
1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，
考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，
故共有6个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有个，
故答案为：32
12．如图所示，已知内有一点与的距离为，垂足分别为且．当四边形的面积为最大值时，则 ．（结果精确至0.01）
【答案】
【解析】设，则，由题意得，则，
在Rt中，，则
同理在Rt中，求得，
所以
令即
令，则，解得，
由，可设，且，
当，即时，，即；
当，即时，，即，
所以在上单调递增，在上单调递减．
故，即当时，取到最大值
由，可得，
所以
此时．故答案为：．
二、选择题
13.A 14.B 15.B 16.B
15．已知两条不重合的直线，两个互不重合的平面，给出下列命题：
（1）若、且，则； （2）若，且，则；
（3）若，则; （4）若,且，则．
其中正确命题的个数为（ ）.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】（1）利用当两个平面的法向量互相垂直时，这两个平面垂直，可以知道（1）正确；
（2）由题意画出反例图为：有图符合题中一切条件但两平面相交，故（2）错；
（3）由题意话反例图为：此图符合题中的条件，但，所以（3）错；
（4）因为，又因为，利用线面平行的性质定理可知
总可以在面内作使得，所以，利用面面垂直的判定定理可以知道，故（4）错．故选：B．
三、解答题
17.（1）为棱的中点 （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略 （2）
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．）
定义非零向量的＂相伴函数＂为，向量称为函数的＂相伴向量＂（其中为坐标原点）．
（1）设，写出函数的相伴向量；
（2）已知的内角的对边分别为，记向量的相伴函数，若且，求最值；
（3）已知为（2）中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标：若不存在，说明理由．
【答案】（1） （2）最大值为，无最小值．
（3）存在点，使得．
【解析】（1）
所以函数的相伴向量；
（2）由题知，由，得．
又因为，即，所以．
又因为，由正弦定理，得，
即
．
因为，所以，所以当，
即时，取得最大值1，即的最大值为，无最小值．
（3）由（2）知，，
所以
设，因为，
所以，），
又因为，所以，
所以
即，所以
因为，所以所以，
又因为，所以当且仅当时，和同时等于，
所以在图像上存在点，使得．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题湖分6分，第3小题满分8分．）
己知集合（其中i是虚数单位），定义：，
（1）计算的值；
（2）记，若，且满足，求的最大值；
（3）若，且满足，记，求证：当时，函数必存在唯一的零点，且当时，．
【答案】（1）2 （2） （3）证明见解析
【解析】（1）．
（2）的最大值为
（3）证明：由条件可知，所以，
记，
①当时，和是严格增函数，
则在上严格增，且
所以在上有唯一的零点，即在上有唯一的零点．
②当时，是严格增函数，得0,先增后减，且，因此，即在上有没有零点.
③当时，是严格增函数，则，而，
因此，即在上有没有零点．
综上，当时，必存在唯一的零点
当时，，且得，
所以，其中0．
此时是严格增函数，所以，
从而所以当时，．