2025-2026年度上海进才中学高三上学期数学月考试卷（含答案）

进才中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
2．若，则 ．
3．设是等比数列，，则 ．
4．函数的定义域是 ．
5．已知向量满足，则 ．
6．若函数满足，则的值为 ．
7．已知多项式，则 ．
8．已知点与点的距离不大于1，则点到直线的距离最小值为 ．
9．有一个小制工艺品，其形色是一个圆柱被挖有一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ．
10．若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为 ．
11．在Rt中，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
12．已知数列，给出下列四个结论：
（1）；（2）；（3）为递增数列；（4），使得．
其中所有正确结论的序号是 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第题每题5分）．
13．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）.
A． B． C． D．
14．在中，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
15．若数列满足，其前项和为，则（ ）.
A．既无最大值，又无最小值 B．当且仅当时，取得最小值
C．当且仅当时，取得最小值 D．
16．已知函数，则（ ）.
A． B．不是周期函数
C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只行一个零点
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题.
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在中，．
（1）求；
（2）求以及的值。
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面分别为的中点，点在线段上．
（1）求证：平面；
（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；
（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及的数学期望；
（3）若中校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设常数．在平面直角坐标系中，己知点，直线，曲线与轴交于点、与交于点、分别是曲线与线段上的动点．
（1）用表示点到点的矩离；
（2）设，线段的中点在直线上，求的面积；
（3）设，是否存在以为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
己知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调递减区间；
（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围
进才中学2025-2026学年第一学期高三年级数学月考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．已知集合，则 ．
【答案】
2．若，则 ．
【答案】
3．设是等比数列，，则 ．
【答案】16
4．函数的定义域是 ．
【答案】
5．已知向量满足，则 ．
【答案】
6．若函数满足，则的值为 ．
【答案】－1
7．已知多项式，则 ．
【答案】5
8．已知点与点的距离不大于1，则点到直线的距离最小值为 ．
【答案】5
9．有一个小制工艺品，其形色是一个圆柱被挖有一个与其共底面的圆锥．已知圆柱的底面半径为3，高为5，圆锥的高为4，则这个木质工艺品的体积为 ．
【答案】
10．若直线与圆相交于两点，且（其中为原点），则的值为 ．
【答案】
11．在Rt中，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为 ．
【答案】－4
【解析】Rt中，为的中点，
所以，
设，点］，
所以
即当时，的最小值为4.故答案为：-4．
12．已知数列，给出下列四个结论：
（1）； （2）；
（3）为递增数列； （4），使得．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】（1）（2）（4）
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13、14题每题4分，第题每题5分）．
13．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
14．在中，则＂＂是＂＂的（ ）.
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
15．若数列满足，其前项和为，则（ ）.
A．既无最大值，又无最小值 B．当且仅当时，取得最小值
C．当且仅当时，取得最小值 D．
【答案】D
【解析】若数列满足，其前项和为，
由数列均为递增数列，可得数列为递增数列，
因为,
故当时，；当时，．无最大值，但有最小值，且最小值为，即．所以，对，均错．故选：．
16．已知函数，则（ ）.
A． B．不是周期函数
C．在区间上存在极值 D．在区间内有且只行一个零点
【答案】D
【解析】对于：因为函数，
所以，
所以关于点对称，所以，故错误；
对于：因为,
所以为函数的一个周期，故错误；
对于：因为，所以，
当时，单调递增，所以在上单调递增，故错误；
对于：令，即，即，
因为，则，所以，所以方程在上只有一个根，
所以函数在内有且只有一个零点，故正确.故选：D．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题.
17．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
在中，．
（1）求；
（2）求以及的值。
【答案】（1）； （2）
18．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面分别为的中点，点在线段上．
（1）求证：平面；
（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．
【答案】（1）证明略； （2）
19．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）
有一道选择题考查了一个知识点，甲、乙两校各随机抽取100人，甲校有80人答对，乙校有75人答对，用频率估计概率．
（1）从甲校随机抽取1人，求这个人做对该题目的概率；
（2）从甲、乙两校各随机抽取1人，设为做对的人数，求恰有1人做对的概率以及的数学期望；
（3）若中校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，乙校同学掌握这个知识点，则有的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，设甲校学生掌握该知识点的概率为，乙校学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小．（结论不要求证明）
【答案】（1）； （2）分布列如下，； （3）
20．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
设常数．在平面直角坐标系中，己知点，直线，曲线与轴交于点、与交于点、分别是曲线与线段上的动点．
（1）用表示点到点的矩离；
（2）设，线段的中点在直线上，求的面积；
（3）设，是否存在以为邻边的矩形，使得点在上？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由
【答案】（1）； （2）； （3）存在，
【解析】（1）方法一：由题意可知：设，
则，
方法二：由题意可知：设，
由抛物线的性质可知：；
（2），则，∴，
设的中点，，，则直线方程：，
联立，整理得：，解得：（舍去），
∴的面积；
（3）存在，设，则，
直线方程为，
根据，则，∴，解得：，
∴存在以为邻边的矩形，使得点在上，且．
21．（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）
己知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，求函数的单调递减区间；
（3）若函数在区间上只有一个极值点，求的取值范围
【答案】（1）； （2）； （3）
【解析】（1）由题知，，所以，
所以切线方程为：，即；
（2）由已知得：，
令得，解得
所以的递减区间为；
（3）由已知得在上有且只有一个变号根，
即在上只有一个变号零点，显然，
当时，在上有0个零点，
或者两个互异零点，或两个相等的零点，不符合题意，
当时，因对称轴，
所以在上有一个左负右正的零点，符合题意，
综上，的取值范围为．