2025-2026年度下上海七宝中学高一上学期数学摸底考试卷（PDF版，含答案）

七宝中学2025-2026学年第一学期高一年级数学摸底考
一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）
1．请把命题“当两圆相切时，连心线过两圆的切点”改为“若，则”的形式：________．
2．若正实数，满足，则的最小值为________．
3．已知全集为，若，，，则________．
4．关于的不等式的解集为________．
5．关于的不等式的解集为________．
6．已知集合，若用列举法表示，则________．
7．已知，且，，则________．（填，，，，中最恰当的一个）
8．若反比例函数满足“当时，随增大而增大”，则一次函数的图像不经过第________象限．
9．关于的不等式的解集为________．
10．若关于为程恰有两不同实根，则实数的取值范围为________．
11．已知在中，，分别是斜边上的高，中线，，．若，则________．
12．已知集合是由某些正整数组成的集合，并满足：，当且仅当，（，且）或（正整数，且）．则________．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13．已知集合的三个元素，，是的三边长，则一定不是（ ）．
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
14．图中阴影部分所表示的集合是（ ）．（全集）
A． B．
C． D．
15．若是完全平方数（完全平方数即为某个整数的平方），则（ ）．
A．一定是完全平方数 B．一定不是完全平方数
C．一定是完全平方数 D．一定不是完全平方数
16．已知，均为的非空子集，为坐标平面的子集，集对任意，有．集合对任意，有，给出下列四个命题，其中为真命题是（ ）．
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知集合，，全集为．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）
如图，在边长为6的正方形中，弧的圆心为，过上的点作的切线，与，分别相交于点，，的延长线交边于点．
（1）设，，试用表示；
（2）当时，求的长．
19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分，）
求证：（1）若整数满足能被3整除，则也能被3整除；
（2）是无理数；
（3）是无理数．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系．例如时，与都是上的关系．
设为非空集合上的关系．给出如下定义：
①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；
②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；
③（传递性）若对任意，，有，则称在上是传递的．
如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系．
任给集合，，…，，定义为．
（1）若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由）
（2）若集合有个元素，的非空子集，，…，两两相交为空集，且，求证：为等价关系．
（3）若集合有个元素，问：对于上的任意等价关系，是否存在的非空子集，，…，，其中任意两个相交为空集，且，使得？请判断并说明理由．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
20世纪形式主义数学哲学流派的奠基人，数学家大卫·希尔伯特，在前人的研究基础之上，通过严格的公理化方法重塑了欧几里得几何．在他的观点下，最简单的几何就是所谓的“相交几何”，即一个非空有限集合（的元素称为“点”）带上的若干非空子集，，…，（，，…，均称为“线”，并称该子集组为“线组”），并满足下述三条：
（A1两点确定一条线）对于任意不同两点，，存在唯一的线，使得且；
（A2一线至少含两点）对于任意的线，存在不同两点，，使得且；
（A3总有三点不共线）存在不同三点，，，使得对任意的线，，，不同时成立．
比如三元集带上其所有二元子集组，，，就构成了一个相交几何．
（1）对于四元集，请写出两种不同的线组，使之成为两种不同结构的相交几何．
（2）若一个相交几何中的两不同线满足，则称线，平行．
问：此意义下的两线平行是否一定具有传递性？请判断并说明理由．
（3）是否存在某个相交几何，使中点的总数大于线的总数？请判断并说明理由．
参考答案
一、填空题
1.若两圆相切，则连心线过两圆切点; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.三; 9.; 10.； 11. 12.
11．已知在中，，分别是斜边上的高，中线，，．若，则________．
【答案】
【解析】在Rt中，∵，
在Rt中，∵，
整理得，
由题目知：，∴（不合题意，舍去）故答案为：
二、选择题
13.D 14.A 15.B 16.D
15．若是完全平方数（完全平方数即为某个整数的平方），则（ ）．
A．一定是完全平方数 B．一定不是完全平方数
C．一定是完全平方数 D．一定不是完全平方数
【答案】B
【解析】是一个完全平方数，设，所以，
对于选项是一个完全平方数，设，当时—定不是完全平方数，
故选项错误，选项正确．
对于选项，（1）当时，，（2）当时不为完全平方数．
故错误．故选：．
三、解答题
17.（1） （2）
18.（1） （2）
19.（1）证明略（2）证明略
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
设为非空集合，定义（其中表示有序对），称的任意非空子集为上的一个关系．例如时，与都是上的关系．
设为非空集合上的关系．给出如下定义：
①（自反性）若对任意，有，则称在上是自反的；
②（对称性）若对任意，有，则称在上是对称的；
③（传递性）若对任意，，有，则称在上是传递的．
如果上关系同时满足上述3条性质，则称为上的等价关系．
任给集合，，…，，定义为．
（1）若，问：上关系有多少个？上等价关系有多少个？（不必说明理由）
（2）若集合有个元素，的非空子集，，…，两两相交为空集，且，求证：为等价关系．
（3）若集合有个元素，问：对于上的任意等价关系，是否存在的非空子集，，…，，其中任意两个相交为空集，且，使得？请判断并说明理由．
【答案】（1）上的关系有511个，上等价关系有5个 （2）证明见解析
（3）存在，理由见解析
【解析】（1）由题意得，，，
共有9个元素，则有个非空子集，即上的关系有511个.
所有等价关系，
（2）证明：令，
因为的非空子集两两交集为空集，且，
设，则除了集合外，其余集合不包含，则，
又因为，则，
即在上是自反的．
设，则除了集合外，其余集合不包含，
则，
又因为
则，即在上是对称的．
设，则除了集合外，其余集合不包含，
则，
因为．．．；
则，即在上是传递的；
综上所述，为上的等价关系．
（3）令，
因为为上的等价关系，则为集合的非空子集，
因为的非空子集两两交集为空集，且，
设，则除了集合外，其余集合不包含，
则，必有，则
设，则除了集合外，其余集合不包含，
则
设，则除了集合外，其余集合不包含，
则，则，，
故，∴不管集合中有几个元素，都能保证，
则；
综上所述，对上的任意等价关系，存在的非空子集，
其中任意两个交集为空集，且，
使得
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
20世纪形式主义数学哲学流派的奠基人，数学家大卫·希尔伯特，在前人的研究基础之上，通过严格的公理化方法重塑了欧几里得几何．在他的观点下，最简单的几何就是所谓的“相交几何”，即一个非空有限集合（的元素称为“点”）带上的若干非空子集，，…，（，，…，均称为“线”，并称该子集组为“线组”），并满足下述三条：
（A1两点确定一条线）对于任意不同两点，，存在唯一的线，使得且；
（A2一线至少含两点）对于任意的线，存在不同两点，，使得且；
（A3总有三点不共线）存在不同三点，，，使得对任意的线，，，不同时成立．
比如三元集带上其所有二元子集组，，，就构成了一个相交几何．
（1）对于四元集，请写出两种不同的线组，使之成为两种不同结构的相交几何．
（2）若一个相交几何中的两不同线满足，则称线，平行．
问：此意义下的两线平行是否一定具有传递性？请判断并说明理由．
（3）是否存在某个相交几何，使中点的总数大于线的总数？请判断并说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）不具有，理由见解析 （3）不存在
【解析】（1）线组；
线组
（2）不具有传递性
理由：假设存在三条线
根据相交几何定义，对于任意不同两点，存在唯一线，使得且
若，则，但可能存在点，
即，不满足平行的定义，所以两线平行不具有传递性
（3）不存在
理由：假设存在这样的相交几何，设点的总数为，线的总数为，且
根据相交几何定义，对于任意不同两点，存在唯一线，使得且
每条线至少含两点，那么线的总数至少为（从个点中选2个点的组合数）
当时，，即，
但根据相交几何定义，存在不同三点，
使得对任意线不同时在一条线上
若，则至少有4个点，根据组合数公式，线的总数至少为，
而点的总数，不满足，所以假设不成立，
即不存在点的总数大于线的总数的相交几何