2025-2026学年河北省保定市四县六校高三（上）期中数学试卷（含答案）

2025-2026学年河北省保定市四县六校高三（上）期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，则向量在上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
4.已知某圆柱的高为，底面半径为，且其上、下底面圆周均在以为球心的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
5.已知函数的定义域为，，且在上单调递减，则不等式的解集是( )
A. B. C. D.
6.已知点，，线段为的一条直径设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则( )
A. B. C. D.
7.已知一条直线与抛物线交于，两点，过坐标原点引的垂线，垂足的坐标为，，则( )
A. B. C. D.
8.从点可向曲线引三条不同切线，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量服从正态分布，且，则
B. 一组数据，，，，，，，，，的第百分位数为
C. 若线性相关系数越接近，则两个变量的线性相关性越强
D. 对具有线性相关关系的变量，，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是
10.设函数，则下列结论正确的是( )
A. ，在上单调递减
B. 若且，则
C. 若在上有且仅有个不同的解，则的取值范围为
D. 存在，使得的图象向右平移个单位长度后得到的函数为奇函数
11.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点的直线与在第一、四象限的交点分别为，，与轴的交点为，，则( )
A. 直线的斜率为 B. 的离心率为
C. 到上最近点的距离为 D. ：：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的展开式中的系数是______用数字作答
13.函数的最小值为______．
14.已知的内角，，的对边分别为，，，其内切圆半径，则边长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，满足，．
求数列的通项公式；
若，且数列的前项和为，求证：．
16.本小题分
无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型，该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了个不同的路段作为测试样本，数据如下表：
测试
结果真实
路况 传感器 传感器 传感器
有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别
无障碍
有障碍
假设用频率估计概率，且三个传感器对路况的判断相互独立．
从这个路段中随机抽取一个路段，求传感器对该路况判断正确的概率；
从这个路段中随机抽取一个有障碍的路段进行测试，设为传感器和传感器判断正确的总路段数，求的分布列和数学期望；
现有一辆小汽车同时装载了以上种传感器在通过某路段时，只要个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速那么是否可以通过提高传感器的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于？结论不要求证明
17.本小题分
如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，．
求证：平面；
若平面平面，，．
当时，求证：平面；
当二面角的正弦值为时，求的值．
18.本小题分
椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为；点，为椭圆上的两个不同动点，面积的最大值为．
求椭圆的标准方程；
设直线的斜率为，直线的斜率为．
若，在轴上方，且，求证：直线过定点；
点，在运动过程中，是否存在某些位置使得且？若存在，求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数和．
若，证明：对，．
若函数和各有两个零点，求实数的取值范围；
若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”设和分别为和的“完美点”，比较与的大小，并说明理由．
参考答案
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15. 当时，由，可得，
两式相减可得，
得，
则，，，，，
将以上个式子相乘得．
上式对仍成立，所以．
证明：，
可得．
故命题得证．
16. 个路段中，传感器判断正确的路段有个，
所以所求概率为；
个路段中共有个有障碍的路段，
个有障碍的路段中，传感器判断正确的路段有个，错误的有个，传感器判断正确的路段有个，判断错误的路段有个，
所以随机变量的所有可能取值为，，，
，，，
故随机变量的分布列为：
所以；
可以通过提高传感器的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于，理由如下：
共有个无障碍地路段，传感器判断无障碍的有个，
由频率估计概率，故无障碍路段上，估计传感器判断无障碍的概率为，
传感判断无障碍的有个，由频率估计概率，
故无障碍路段上，估计传感器判断无障碍的概率为，
若传感器在无障碍路段上，判断为无障碍的概率为，
小汽车在无障碍的道路上减速的概率：，
故可以通过提高传感器的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于．
17. 证明：连接交于点，连接，
因为四边形是正方形，所以为中点，
又因为为中点，所以在中，有，
因为平面，平面，所以平面；
证明：因为平面平面，平面平面，
四边形为正方形，，平面，
所以平面．
因为平面，所以．
又，为中点，所以，
又，所以平面，
又平面，所以，
又，，所以，所以，
，，
又，
由余弦定理可得：
，
所以，所以，
又，所以平面；
因为平面，，平面，
所以，，
又因为平面，平面，
所以二面角的平面角为，
所以，，
在中，，，所以，
在中，，所以．
又因为，所以，
所以负值舍去．
在中，
，，
在中，
，
又，
由正弦定理，得，即，解得，
所以的值．
18. 由题意，即，
当点位于短轴端点时， 面积的最大值，得：，即，
又，
因此，即，
解得：，
故椭圆的标准方程为；
证明：设直线方程为：，，，
由得：，
，
因为，因此，
即，
因此，
整理得：，
代入韦达定理，
化简得：
因此直线方程为：，恒过定点；
设，显然，
则直线斜率为，直线的斜率为，
因为，，
因此直线斜率为，直线的斜率为，
因此直线的方程为：，
直线的方程为：，
两方程联立解得：，即，
因为点在椭圆上，因此，
即或，
又点在椭圆上，，
联立无解，
联立，解得：，
因此符合条件的点得坐标为．
19. 证明：当时，，
设，，
当时，设，，单调递增，
当，，所以，
所以当时，单调递增，
所以，所以，；
由，，得，，
则，的零点等价于，的零点．
，，
，，，；
在单调递减，在区间单调递增，
故当时，，
当时，，
若有两个零点，则，即．
，；，；
函数在单调递减，在区间单调递增，
当时，，且，当时，，
故当时在区间和各恰有一个零点．
综上的取值范围是．
不妨设和的两个零点分别为，和，，
则，，且，．
设，则，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
故，，单调递增，
故当时，，
即，当时，，即．
故F，，同理有，
故，即．
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