第二十三章旋转同步习题（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级上册

第二十三章 旋转 同步习题
一、单选题
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．点与点关于原点对称，则（ ）
A．1 B． C． D．3
3．如图，将绕点A逆时针旋转得到，若点D落在线段的延长线上，，则（ ）
A． B． C． D．
4．对如图所示的图形，下列说法错误的是（ ）
A．图绕点“”顺时针旋转到图
B．图绕点“”逆时针旋转到图
C．图绕点“”顺时针旋转到图
D．图绕点“”顺时针旋转到图
5．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若可以由旋转得到，则正确的旋转方式是（ ）
A．绕点D逆时针旋转 B．绕点O顺时针旋转
C．绕点O逆时针旋转 D．绕点B逆时针旋转
7．如图，在平面直角坐标系中，的顶点的横、纵坐标都是整数．若将以某点为旋转中心，顺时针旋转得到，其中A，B，C分别与D，E，F对应，则旋转中心的坐标是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，等腰，，，将绕点旋转，得到，点，的对应点分别为，，且点在的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（ ）
A．顺时针， B．逆时针， C．顺时针， D．逆时针，
9．如图，与是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是（ ）
A．， B．
C． D．
10．如图所示，在正方形网格中，将三角形绕点A旋转后得到三角形，则旋转角为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为 ．
12．如图，正方形的边长为6，点，分别是，边上的点，且，则面积的最小值为 ．
13．如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，延长交的延长线于点，则的长为 ．
14．剪纸是中国最古老的民间艺术之一，如图，这个剪纸图案绕着它的中心旋转角后能够与它本身完全重合，则角可以为 度（写出一个即可）．
15．如图，直线、垂直相交于点，曲线是关于点的中心对称图形，点的对称点是于点于点，若，则阴影部分的面积之和 ．
三、解答题
16．如图，是等边内一点，，，，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
(1)求点与的距离；
(2)求的度数；
(3)求与的面积之和，请直接写出结果．
17．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点分别为，，．
(1)将沿轴正方向平移个单位长度得到，画出，并写出点的坐标
(2)将绕着点顺时针旋转后得到，请在图中画出，并写出点的坐标．
18．综合与探究
(1)如图1，在和中，，将绕点A顺时针旋转，连接；当点E落在边上且D、E、C三点共线时，在这个“手拉手”模型中，和全等的三角形是 ；
(2)求的度数；
(3)如图2，在和中，，将绕点A逆时针旋转，连接；当点B、D、E在同一条直线上时，请判断线段与的数量和位置关系，并说明理由．
19．如图，已知点D是等边内一点，
(1)若，求的度数；
以下是甲，乙，丙三位同学对（1）题的谈话：
甲：我认为这道题的解决思路是借助旋转进行构造，我选择将绕点C顺时针旋转或绕B逆时针旋转；
乙：我也赞成旋转，不过我是将进行旋转；
丙：我是将进行旋转．
请你借助甲，乙，丙三位同学的提示，选择适当的方法求的度数；
(2)若，求的面积．
20．在等腰直角，，．
(1)如图1，，是等腰直角斜边上两动点，且，将绕点逆时针旋转得到，连接，．
①求证：；
②当，时， ．
(2)如图2，是等腰直角斜边所在直线上的一动点，连接，以为直角顶点作等腰直角，当，时，则 ．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C A C B C C A D C
1．A
【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，理解其定义是解题的关键．
根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐项判断即可．
【详解】解：
A．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故该选项符合题意；
B．不是中心对称图形，是轴对称图形，故该选项不符合题意；
C．是中心对称图形，不是轴对称图形，故该选项不符合题意；
D．既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故该选项不符合题意．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律．根据关于原点对称的点的坐标特征，点A的横坐标和纵坐标分别与点B的横坐标和纵坐标互为相反数，由此求出a和b的值，再计算a的b次方．
【详解】解：∵点与点关于原点对称，
∴，
∴．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质，根据旋转的性质结合等腰三角形的性质求出的度数是解题的关键．
根据旋转的性质可得出，再根据等腰三角形的性质可求出的度数，此题得解．
【详解】解：根据旋转的性质，可得：，
∴．
∴．
∴．
故选：A．
4．C
【分析】本题主要考查旋转作图，要注意：①旋转方向；②旋转角度．整个旋转作图，就是把整个图案的每一个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动．根据图形逐个判定即可．
【详解】解：A、图绕点“”顺时针旋转到图，原说法正确，不符合题意；
B、图绕点“”逆时针旋转到图，原说法正确，不符合题意；
C、图绕点“”逆时针旋转到图，原说法错误，符合题意；
D、图绕点“”顺时针旋转到图，原说法正确，不符合题意；
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理．先根据勾股定理得出，再根据旋转的性质得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵将绕点顺时针旋转得到，
∴，
则，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了图形旋转的性质（旋转中心、旋转方向、旋转角度的判断），解题的关键是确定旋转中心，分析对应点绕旋转中心的旋转方向与角度．
观察与的对应点，确定旋转中心为；分析到、到的旋转方向和角度，可知绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，从而确定旋转方式．
【详解】解：观察图形，由旋转得到，对应点，，旋转中心为；
绕点逆时针旋转到绕点逆时针旋转到，
故旋转方式是绕点逆时针旋转．
故选：C．
7．C
【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的性质是解题关键．分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就是旋转中心，根据其在平面直角坐标系中的位置即可得旋转中心的坐标．
【详解】解：如图，与的垂直平分线相交于点，则点即为旋转中心．
故选：C．
8．A
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，图形旋转的性质，解决本题的关键是利用三角形内角和求出等腰三角形的底角是解决本题的关键．
根据为等腰三角形，，由此可求解底角，再根据旋转的性质，即旋转前后角度不变求解即可．
【详解】解：将绕点旋转，得到，
旋转方向为顺时针，
在等腰，，，
∴，
∵将绕点旋转，得到，
∴，
∴，
∴，
∴将绕点旋转，得到，
旋转方向为顺时针，旋转角可能为．
故选：A ．
9．D
【分析】本题考查了中心对称的基本性质“1、中心对称的两个图形是全等图形；2、中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；3、中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，熟练掌握中心对称的基本性质是解题关键．根据中心对称的基本性质、平行线的性质逐项判断即可得．
【详解】解：∵与是成中心对称的两个图形，
∴，，，，，
无法得到，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质求解即可．
【详解】解：∵将绕点A旋转得到，
∴旋转角是或．
故选：C．
11．/40度
【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．
根据旋转的性质可得，根据可得．
【详解】解：∵将在平面内绕点旋转到的位置，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值（或配方法求最值），解题的关键是通过旋转构造全等三角形，将的面积转化为可求的形式，再结合勾股定理和二次函数最值求解．
将绕点旋转得到，证明，从而将转化为；设，，利用勾股定理得到与的关系，再将表示为关于的函数，最后通过配方法（或二次函数性质）求出最小值．
【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转90°得到，
由旋转的性质得，，，
，，
，
，
在和中，
（SAS），
，
．
设，，则，，，，
在中，，
，
化简得：，
，
当时，，
的最小值为．
故答案为：．
13．
【分析】本题考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握旋转的性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
如图所示，过点作于点，则，根据旋转的性质可得，在中，可得，，，由等腰三角形的性质可得，，，则有，是等腰直角三角形，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，则，
∵将绕点A顺时针旋转得到，
∴，，
在中，，
∴，，
则，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
故答案为： ．
14．60（答案不唯一）
【分析】本题主要考查正多边形的性质，能够熟练计算正多边形的中心角是解题关键．正六边形是中心对称图形也是轴对称图形，中心角是，故而只要旋转角度是的整数倍即可．
【详解】解：正六边形的中心角是，
∴．
故答案为：60（答案不唯一）．
15．60
【分析】本题考查了中心对称图形的概念，理解中心对称的概念是解题的关键．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
【详解】解：∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，，
∴，
∴图形①与图形②面积相等，
∴阴影部分的面积之和长方形的面积．
故答案为：60．
16．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，含的直角三角形的性质等知识，掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据旋转的性质可得，，可证明是等边三角形，即可得解；
（2）根据证明，得出，然后根据勾股定理的逆定理判断是直角三角形，即可得解；
（3）将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点E作于点，同理（1）（2）求出，，同理（2）得，推出，，再根据与的面积之和等于与的面积之和，即可解答．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵等边，
∴，．
∵线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，
∴，，
∴是等边三角形．
∴；
（2）解：∵，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∵，
∴是直角三角形．
∴；
（3）解：将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，过点E作于点，
同理（1）得，是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理（2）得，是直角三角形，且，，
∴，
同理（2）得，，
∴，
∴与的面积之和等于与的面积之和，
∴与的面积之和为．
17．(1)图见解析；点坐标为
(2)图见解析；点坐标为
【分析】本题考查了作图旋转变换，作图平移变换，解题的关键是熟练掌握平移和旋转作图的步骤．
（1）将点分别向右平移个单位长度得到，再顺次连接，即可得到以及点的坐标；
（2）将点分别点顺时针旋转得到点，再顺次连接，即可得到以及点的坐标．
【详解】（1）解：如图，即为所求，点坐标为；
（2）解：如图，即为所求，点坐标为
18．(1)
(2)
(3) 且． 理由见解析
【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用相关性质定理是解题的关键．
（1）利用证明即可解答；
（2）根据全等三角形的对应角相等结合三角形的外角的性质推出即可；
（3）利用证明即可得到，再根据角的和差以及等量代换即可证明．
【详解】（1）解：在和中：
，
∴，
故答案为．
（2）解：，
∴，
∵，
∴．
（3）解： 且． 理由如下：
，
．
．
在和中，
，
，
，
，
， 即，
，
．
19．(1)，见解析
(2)
【分析】（1）甲：将绕点逆时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数．乙：将绕点顺时针旋转，得到，连接，分别计算与的度数即可得到的度数；
（2）将绕点顺时针旋转得到，连接，同上可得，为等边三角形，得到点共线，过点作交延长线于，再利用角直角三角形的性质和勾股定理求解．
【详解】（1）解：选择甲：如图1，将绕B逆时针旋转得到，连接，
∴
∴是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
；
乙：如图2，同理可得，，，
；
丙：如图3同理可得，，，
；
（2）解：将绕点顺时针旋转得到，连接，
同上可得，为等边三角形，
∴，，
∴，
∴点共线，
过点作交延长线于，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是通过旋转构造全等三角形．
20．(1)①证明见解析；②
(2)或
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质，用勾股定理解三角形等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路．
（1）①先证，再利用全等三角形的判定定理即可求证；
②证，进而在中利用勾股定理即可求解；
（2）分情况讨论点在线段，点在线段的延长线上，即可求解．
【详解】（1）①证明：如图1中，

由题意得，，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
，，
，
，
在和中，
，
．
②解：如图1中，设，则．
∵，，
，
，
，
，
，
∴在中，，，
∴，解得，
∴．
故答案为：．
（2）解：当点在线段上时，如图2中所示，连接：
，
，
，
，
，
，
，
；
当点在线段的延长线上，如图3中所示，连接：

同法可证是直角三角形，
，
，
故答案为：或．