广东省深圳市宝安中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·宝安期中）已知命题：“”，则为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·宝安期中）已知，那么的值是（ ）
A． B．4 C． D．
3．（2024高一上·宝安期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．{或} B．
C．{或} D．
4．（2024高一上·宝安期中）若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·宝安期中）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．丙同学和甲同学 B．乙同学和甲同学
C．甲同学和丙同学 D．乙同学和丙同学
6．（2024高一上·宝安期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．（2024高一上·宝安期中）定义，设，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C．当时，的最大值为 D．在上单调递减
8．（2024高一上·宝安期中）正实数满足，则下列选项不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2024高一上·宝安期中）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024高一上·宝安期中）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．若在定义域上是增函数，则
C．若的值域为.则
D．当时，若，则
11．（2024高一上·宝安期中）已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为8 D．的最小值为
12．（2024高一上·宝安期中）函数的定义域是 .
13．（2024高一上·宝安期中）写出一个同时具有下列性质①②的函数： ．
①；②
14．（2024高一上·宝安期中）实数满足，则的最小值为 .
15．（2024高一上·宝安期中）已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16．（2024高一上·宝安期中）已知函数为上的偶函数.
（1）求实数a，b的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若，求实数m的取值范围.
17．（2024高一上·宝安期中）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，.
（1）求的周长；
（2）试用表示，并求的取值范围；
（3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值.
18．（2024高一上·宝安期中）已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）当时，若对于恒成立，求的取值范围.
19．（2024高一上·宝安期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”.
（1）写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)；
（2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；
（3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：“”，则为：“”.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的概念直接判断即可．
2．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，令，解得，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，令，解得，代入求解即可.
3．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由关于的不等式的解集为，可得，，
不等式化为，即，解得，
则关于的不等式的解集是.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：，，不等式化为，根据一元二次不等式的解法求解即可.
4．【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为，所以a-b＞0，ab＞0，所以，但与1的大小不确定，所以无法比较大小，故选项A错误；
对于选项B，因为，所以a-b＞0，ab＞0，所以，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以b-a＜0，ab＞0，所以，故选项C错误；
对于选项D，因为，所以b-a＜0，a+b＞0，a+2b＞0，
所以，故选项D错误；
故选：B.
【分析】结合已知条件，利用作差法即可判断求解.
5．【答案】C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，
，，所以，
，所以，
所以甲同学制作的最薄，丙同学制作的最厚.
故答案为：C
【分析】1. 对数化简：利用换底公式将转化为常用对数，代入近似值计算出具体数值.
2. 根式比较：通过取相同的高次方（ 最小公倍数次方 ），将根式转化为整数幂，比较整数幂的大小，从而确定根式的大小.
3. 综合比较：将对数的近似值与根式的比较结果结合，得出三个数的大小顺序，再结合“折射率越高镜片越薄”的条件，确定最薄和最厚镜片的制作者.
6．【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由于在上单调递减，令，，
因为为减函数，又在区间上单调递增，
由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，
且在上恒成立，因为为二次函数，开口向下，
对称轴为，由在上单调递减，可得，解得，
由在上恒成立，即，，可得在上恒成立，则，综上，实数a的取值范围为
故答案为：D.
【分析】 用复合函数单调性的“同增异减”法则，结合对数函数、二次函数的单调性与定义域要求来求解参数范围 .
7．【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：，解得或，所以，函数图象如图所示，
，A选项正确；
不等式的解集为，B选项错误；
当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确；
时，，在上单调递减，D选项正确.
故答案为：B.
【分析】通过解不等式确定分段函数的表达式，再结合函数图象和解析式，对每个选项逐一分析判断.
8．【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；分析法和综合法
【解析】【解答】解：，满足，
A、，
当且仅当，即时等号成立，则，故A不符合；
B、 ，当且仅当，即时等号成立，故B不符合；
C、要证 ，只需证，
正实数满足，则，
只需证 ，即证，
因为，所以，则成立，故C不符合；
D、，
当且仅当，即时等号成立，原不等式不一定成立，故D符合.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式妙用“1”的代换求解即可判断A；利用基本不等式求解即可判断B；利用分析法证明即可判断C；利用基本不等式妙用“1”的代换求解即可判断D.
9．【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，满足，
即为偶函数且在上单调递增，故A正确；
B、函数的定义域为，满足，则为奇函数，故B错误；
C、函数的定义域为，
满足，则为偶函数，
当时，，由对勾函数性质可得，在上单调递减，故C错误；
D、函数的定义域为，满足，则为偶函数，
当时，在上单调递增，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求函数的定义域，结合偶函数定义，函数的单调性逐项分析判断即可.
10．【答案】A,B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：A：函数定义域为，关于原点对称；
当时，，，；
当时，，，。
故是奇函数，A正确。
B：若在定义域上是增函数，则需满足分段点处的单调性衔接，即，解得，B正确。
C：当时，的值域为；当时，的值域为，若值域为，则，即，C错误。
D：当时，是增函数且为奇函数，由得，则且，，解得，D错误。
故答案为：AB
【分析】分别从奇偶性定义、单调性衔接条件、值域范围、函数单调性与奇偶性的综合应用四个角度，结合分段函数的性质逐一分析选项。
11．【答案】B,C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解： 当时，对任意的，不等式恒成立等价于对任意的，
不等式恒成立，显然不成立；则，故B正确；
令，再同一坐标系中作出其大致图象，如图所示：
则，解得，故A错误；
，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
，因为，所以取不到，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】分析的取值范围，再结合函数图象的交点条件得到与的关系，最后利用基本不等式对各选项逐一分析.
12．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据偶次根式，对数函数有意义列不等式组求解即可.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由①、，可知函数单调递增；
由②、，由指数幂的运算性质，
设，代入性质②得，即，解得或，
因为函数单调递增函数，所以，
则，的形式均可．
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】由①可得函数单调递增，由②可知函数满足指数幂的运算性质，据此写出一个满足条件的函数解析式即可.
14．【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：令，，即，，
由，则，即，
则，
当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】 通过换元法将指数式转化为对数式，再结合基本不等式求解最值.
15．【答案】（1）解： 当时，，则或，
且，则或
（2）解：由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；充分条件
【解析】【分析】(1)先代入的值确定集合，再求其补集，最后与集合求并集.
(2)将充分不必要条件转化为集合的真子集关系，分集合为空集和非空集两种情况讨论，列出不等式求解.
（1）当时，，则或，
且，则或；
（2）由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
16．【答案】（1）解：因为函数为上的偶函数，则有，解得，所以，
则，由，得，则.
（2）解：是上的增函数，证明如下：
由（1）知，当时，，任取，则
，
因为，所以，，，，则，即，则，所以是上的增函数.
（3）解：令，即，当时，，解得或，
当时，，解得或，又，则，
由，即可转化为，因为是上的偶函数，即求，
由（2）知是上的增函数，则，解得或，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）依据偶函数的定义域对称性和函数解析式的奇偶性来确定、的值.
（2）用定义法，通过取值、作差、变形、判断符号来证明函数单调性.
（3）结合函数的奇偶性与单调性解不等式.
（1）因为函数为上的偶函数，
则有，解得，所以，
则，
由，得，则.
（2）是上的增函数，证明如下：
由（1）知，当时，，任取，
则
，
因为，所以，，，，
则，即，则，
所以是上的增函数.
（3）令，即，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
又，则，
由，即可转化为，
因为是上的偶函数，即求，
由（2）知是上的增函数，则，
解得或，
故实数的取值范围为.
17．【答案】（1）解：易知，≌，
则，即，
则的周长为定值4
（2）解：由折叠知，则，即，
由（1）知，即，则，
在中，由勾股定理得，
即，化简得，
而，，则且，即，
所以，；
（3）解：在中，，，
则，当且仅当，即时等号成立，
故当时，的面积取得最大值，最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，先证明，由三角形全等得到，，再求的周长即可；
（2）由折叠知，则，即，在利用勾股定理并结合（1）的结论建立和的关系，结合题意求的范围即可；
（3）在中，表示的面积，利用基本不等式求最大值即可.
（1）依题意，，
则≌，于是，
因此，
所以的周长为定值4.
（2）由折叠知，则，即，
由（1）知，即，则，
在中，由勾股定理得，
即，化简得，
而，，则且，即，
所以，.
（3）在中，，，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的面积取得最大值，为.
18．【答案】（1）解：函数，
不等式等价于，
令，则，即，
即，即，
当时，，解得，则，解得且；
当时，，的解为或，
则或，解得或；
当时，，的解为或，
则或，解得或，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
（2）解：由于对于上恒成立，
令，，则，即在上恒成立，
则在上恒成立，
易知函数在上单调递增，最大值为，
故时，对于恒成立．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意，不等式等价于，令，不等式转化为，对分类讨论解一元二次不等式，再根据对数函数的单调性求解不等式即可；
（2）令令，分离参数，将问题转化为在上恒成立，利用函数的单调性求解最值即可.
（1）不等式，
令，则，即，
即，即，
当时，，解得，所以，解得且；
当时，，的解为或，
所以或，解得或；
当时，，的解为或，
所以或，解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）由于对于上恒成立，
令，，则，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
19．【答案】（1）解：令，满足，符合要求；
（2）解：集合是“二元和谐集”，设，
则，可以看成一元二次方程的两正根，则，
解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2；
（3）解：设正整数集为“三元和谐集”，则，不妨设，
则，解得，
因为，故只有，满足要求，
综上，满足要求，其他均不合要求，
存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即.
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)令检验是否满足“二元和谐集”的定义即可；
(2)由题意，设，构造一元二次方程利用判别式法证明即可；
(3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，，求出答案.
（1）不妨令，此时，满足要求；
（2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，，
故可设，，两边同时除以得，，因为，
所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立，
元素，中至少有一个大于2；
法二；集合是“二元和谐集”，设，
则，可以看成一元二次方程的两正根，则，
解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2；
（3）设正整数集为“三元和谐集”，则，
不妨设，则，解得，
因为，故只有，满足要求，
综上，满足要求，其他均不合要求，
存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即.
1 / 1广东省深圳市宝安中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·宝安期中）已知命题：“”，则为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：“”，则为：“”.
故答案为：C.
【分析】根据命题否定的概念直接判断即可．
2．（2024高一上·宝安期中）已知，那么的值是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，令，解得，则.
故答案为：A.
【分析】由题意，令，解得，代入求解即可.
3．（2024高一上·宝安期中）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（ ）
A．{或} B．
C．{或} D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：由关于的不等式的解集为，可得，，
不等式化为，即，解得，
则关于的不等式的解集是.
故答案为：B.
【分析】由题意可得：，，不等式化为，根据一元二次不等式的解法求解即可.
4．（2024高一上·宝安期中）若，则下列不等式中成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于选项A，
因为，所以a-b＞0，ab＞0，所以，但与1的大小不确定，所以无法比较大小，故选项A错误；
对于选项B，因为，所以a-b＞0，ab＞0，所以，故选项B正确；
对于选项C，因为，所以b-a＜0，ab＞0，所以，故选项C错误；
对于选项D，因为，所以b-a＜0，a+b＞0，a+2b＞0，
所以，故选项D错误；
故选：B.
【分析】结合已知条件，利用作差法即可判断求解.
5．（2024高一上·宝安期中）镜片的厚度是由镜片的折射率决定，镜片的折射率越高，镜片越薄，同时镜片越轻，也就会带来更为舒适的佩戴体验．某次社会实践活动中，甲、乙、丙三位同学分别制作了三种不同的树脂镜片，折射率分别为，则这三种镜片中，制作出最薄镜片和最厚镜片的同学分别为（ ）
A．丙同学和甲同学 B．乙同学和甲同学
C．甲同学和丙同学 D．乙同学和丙同学
【答案】C
【知识点】根式与有理数指数幂的互化；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：，
，，所以，
，所以，
所以甲同学制作的最薄，丙同学制作的最厚.
故答案为：C
【分析】1. 对数化简：利用换底公式将转化为常用对数，代入近似值计算出具体数值.
2. 根式比较：通过取相同的高次方（ 最小公倍数次方 ），将根式转化为整数幂，比较整数幂的大小，从而确定根式的大小.
3. 综合比较：将对数的近似值与根式的比较结果结合，得出三个数的大小顺序，再结合“折射率越高镜片越薄”的条件，确定最薄和最厚镜片的制作者.
6．（2024高一上·宝安期中）若函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复合函数的单调性；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：由于在上单调递减，令，，
因为为减函数，又在区间上单调递增，
由复合函数的单调性法则可知，在上单调递减，
且在上恒成立，因为为二次函数，开口向下，
对称轴为，由在上单调递减，可得，解得，
由在上恒成立，即，，可得在上恒成立，则，综上，实数a的取值范围为
故答案为：D.
【分析】 用复合函数单调性的“同增异减”法则，结合对数函数、二次函数的单调性与定义域要求来求解参数范围 .
7．（2024高一上·宝安期中）定义，设，则下列结论不正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C．当时，的最大值为 D．在上单调递减
【答案】B
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法
【解析】【解答】解：，解得或，所以，函数图象如图所示，
，A选项正确；
不等式的解集为，B选项错误；
当时，在上单调递增，最大值为，C选项正确；
时，，在上单调递减，D选项正确.
故答案为：B.
【分析】通过解不等式确定分段函数的表达式，再结合函数图象和解析式，对每个选项逐一分析判断.
8．（2024高一上·宝安期中）正实数满足，则下列选项不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用；分析法和综合法
【解析】【解答】解：，满足，
A、，
当且仅当，即时等号成立，则，故A不符合；
B、 ，当且仅当，即时等号成立，故B不符合；
C、要证 ，只需证，
正实数满足，则，
只需证 ，即证，
因为，所以，则成立，故C不符合；
D、，
当且仅当，即时等号成立，原不等式不一定成立，故D符合.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式妙用“1”的代换求解即可判断A；利用基本不等式求解即可判断B；利用分析法证明即可判断C；利用基本不等式妙用“1”的代换求解即可判断D.
9．（2024高一上·宝安期中）下列函数中是偶函数，且在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、函数定义域为，满足，
即为偶函数且在上单调递增，故A正确；
B、函数的定义域为，满足，则为奇函数，故B错误；
C、函数的定义域为，
满足，则为偶函数，
当时，，由对勾函数性质可得，在上单调递减，故C错误；
D、函数的定义域为，满足，则为偶函数，
当时，在上单调递增，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】求函数的定义域，结合偶函数定义，函数的单调性逐项分析判断即可.
10．（2024高一上·宝安期中）已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．若在定义域上是增函数，则
C．若的值域为.则
D．当时，若，则
【答案】A,B
【知识点】函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合
【解析】【解答】解：A：函数定义域为，关于原点对称；
当时，，，；
当时，，，。
故是奇函数，A正确。
B：若在定义域上是增函数，则需满足分段点处的单调性衔接，即，解得，B正确。
C：当时，的值域为；当时，的值域为，若值域为，则，即，C错误。
D：当时，是增函数且为奇函数，由得，则且，，解得，D错误。
故答案为：AB
【分析】分别从奇偶性定义、单调性衔接条件、值域范围、函数单调性与奇偶性的综合应用四个角度，结合分段函数的性质逐一分析选项。
11．（2024高一上·宝安期中）已知对任意的，不等式恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为8 D．的最小值为
【答案】B,C
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解： 当时，对任意的，不等式恒成立等价于对任意的，
不等式恒成立，显然不成立；则，故B正确；
令，再同一坐标系中作出其大致图象，如图所示：
则，解得，故A错误；
，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；
，因为，所以取不到，故D错误；
故答案为：BC.
【分析】分析的取值范围，再结合函数图象的交点条件得到与的关系，最后利用基本不等式对各选项逐一分析.
12．（2024高一上·宝安期中）函数的定义域是 .
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数，则，解得，
故函数的定义域为.
故答案为：.
【分析】根据偶次根式，对数函数有意义列不等式组求解即可.
13．（2024高一上·宝安期中）写出一个同时具有下列性质①②的函数： ．
①；②
【答案】（答案不唯一）
【知识点】函数单调性的判断与证明；有理数指数幂的运算性质
【解析】【解答】解：由①、，可知函数单调递增；
由②、，由指数幂的运算性质，
设，代入性质②得，即，解得或，
因为函数单调递增函数，所以，
则，的形式均可．
故答案为：（答案不唯一）.
【分析】由①可得函数单调递增，由②可知函数满足指数幂的运算性质，据此写出一个满足条件的函数解析式即可.
14．（2024高一上·宝安期中）实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】指数式与对数式的互化；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：令，，即，，
由，则，即，
则，
当且仅当，时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
【分析】 通过换元法将指数式转化为对数式，再结合基本不等式求解最值.
15．（2024高一上·宝安期中）已知集合，.
（1）若，求；
（2）若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）解： 当时，，则或，
且，则或
（2）解：由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】集合间关系的判断；交、并、补集的混合运算；充分条件
【解析】【分析】(1)先代入的值确定集合，再求其补集，最后与集合求并集.
(2)将充分不必要条件转化为集合的真子集关系，分集合为空集和非空集两种情况讨论，列出不等式求解.
（1）当时，，则或，
且，则或；
（2）由题可知“”是“”成立的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，实数的取值范围是.
16．（2024高一上·宝安期中）已知函数为上的偶函数.
（1）求实数a，b的值；
（2）判断在上的单调性，并用定义证明；
（3）若，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数为上的偶函数，则有，解得，所以，
则，由，得，则.
（2）解：是上的增函数，证明如下：
由（1）知，当时，，任取，则
，
因为，所以，，，，则，即，则，所以是上的增函数.
（3）解：令，即，当时，，解得或，
当时，，解得或，又，则，
由，即可转化为，因为是上的偶函数，即求，
由（2）知是上的增函数，则，解得或，
故实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）依据偶函数的定义域对称性和函数解析式的奇偶性来确定、的值.
（2）用定义法，通过取值、作差、变形、判断符号来证明函数单调性.
（3）结合函数的奇偶性与单调性解不等式.
（1）因为函数为上的偶函数，
则有，解得，所以，
则，
由，得，则.
（2）是上的增函数，证明如下：
由（1）知，当时，，任取，
则
，
因为，所以，，，，
则，即，则，
所以是上的增函数.
（3）令，即，
当时，，解得或，
当时，，解得或，
又，则，
由，即可转化为，
因为是上的偶函数，即求，
由（2）知是上的增函数，则，
解得或，
故实数的取值范围为.
17．（2024高一上·宝安期中）如图，在周长为8的矩形中（其中），现将沿折叠到，设与交于点，设，.
（1）求的周长；
（2）试用表示，并求的取值范围；
（3）当为何值时，的面积取得最大值，并求出该最大值.
【答案】（1）解：易知，≌，
则，即，
则的周长为定值4
（2）解：由折叠知，则，即，
由（1）知，即，则，
在中，由勾股定理得，
即，化简得，
而，，则且，即，
所以，；
（3）解：在中，，，
则，当且仅当，即时等号成立，
故当时，的面积取得最大值，最大值为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式
【解析】【分析】（1）由题意，先证明，由三角形全等得到，，再求的周长即可；
（2）由折叠知，则，即，在利用勾股定理并结合（1）的结论建立和的关系，结合题意求的范围即可；
（3）在中，表示的面积，利用基本不等式求最大值即可.
（1）依题意，，
则≌，于是，
因此，
所以的周长为定值4.
（2）由折叠知，则，即，
由（1）知，即，则，
在中，由勾股定理得，
即，化简得，
而，，则且，即，
所以，.
（3）在中，，，
则，当且仅当，即时等号成立，
所以当时，的面积取得最大值，为.
18．（2024高一上·宝安期中）已知函数.
（1）求关于的不等式的解集；
（2）当时，若对于恒成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数，
不等式等价于，
令，则，即，
即，即，
当时，，解得，则，解得且；
当时，，的解为或，
则或，解得或；
当时，，的解为或，
则或，解得或，
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为
（2）解：由于对于上恒成立，
令，，则，即在上恒成立，
则在上恒成立，
易知函数在上单调递增，最大值为，
故时，对于恒成立．
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；对数函数的单调性与特殊点；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意，不等式等价于，令，不等式转化为，对分类讨论解一元二次不等式，再根据对数函数的单调性求解不等式即可；
（2）令令，分离参数，将问题转化为在上恒成立，利用函数的单调性求解最值即可.
（1）不等式，
令，则，即，
即，即，
当时，，解得，所以，解得且；
当时，，的解为或，
所以或，解得或；
当时，，的解为或，
所以或，解得或；
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（2）由于对于上恒成立，
令，，则，即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
19．（2024高一上·宝安期中）已知元有限集，若，则称集合为“元和谐集”.
（1）写出一个“二元和谐集”(无需写计算过程)；
（2）若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2；
（3）是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由.
【答案】（1）解：令，满足，符合要求；
（2）解：集合是“二元和谐集”，设，
则，可以看成一元二次方程的两正根，则，
解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2；
（3）解：设正整数集为“三元和谐集”，则，不妨设，
则，解得，
因为，故只有，满足要求，
综上，满足要求，其他均不合要求，
存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即.
【知识点】集合中元素的确定性、互异性、无序性；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)令检验是否满足“二元和谐集”的定义即可；
(2)由题意，设，构造一元二次方程利用判别式法证明即可；
(3)设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，，求出答案.
（1）不妨令，此时，满足要求；
（2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2，因为 ，，
故可设，，两边同时除以得，，因为，
所以，与矛盾，不合要求，故假设不成立，
元素，中至少有一个大于2；
法二；集合是“二元和谐集”，设，
则，可以看成一元二次方程的两正根，则，
解得：(舍)或，即，所以至少有一个大于2；
（3）设正整数集为“三元和谐集”，则，
不妨设，则，解得，
因为，故只有，满足要求，
综上，满足要求，其他均不合要求，
存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即.
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