中小学教育资源及组卷应用平台
专题18 力学综合计算
1．（2025·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块
(1)滑到B点处的速度大小；
(2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功；
(3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度；
(4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。
【答案】(1)4m/s
(2)0.9J
(3)0.2m
(4)3N
【详解】（1）滑块从P点到B点由动能定理
解得到达B点的速度
（2）物块滑上传送带后做加速运动直到与传送带共速，摩擦力对其做的功
（3）物块在传送带上加速运动的加速度为
加速到共速时用时间
在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度
（4）从滑块开始进入圆弧槽到到达圆弧槽最高点由水平方向动量守恒和能量关系可知，
联立解得
（另一组，因不合实际舍掉）
对滑块在最高点时由牛顿第二定律
解得F=3N
2．（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
（2）若μ2=0，滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
（3）若μ2=0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm。
【答案】（1）5m/s；（2）0.625J；（3）6m/s
【详解】（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时
从滑块离开弹簧到C过程，根据动能定理
解得
（2）平板加速至与滑块共速过程，根据动量守恒
根能量守恒
解得
（3）若μ2=0.1，平板与滑块相互作用过程中，加速度分别为
共速后，共同加速度大小为
考虑滑块可能一直减速直到H，也可能先与木板共速然后共同减速；
假设先与木板共速然后共同减速，则共速过程
共速过程，滑块、木板位移分别为
共速时，相对位移应为
解得
，
随后共同减速
到达H速度
说明可以到达H，因此假设成立，若滑块初速度再增大，则会从木板右侧掉落。
3．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，）
（1）若，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在上经过的总路程；
③在上向上运动时间和向下运动时间之比。
（2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1∶2；（2）0.2m
【详解】（1）①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有
第一次经过C点的向心加速度大小为
②小物块a在DE上时，因为
所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，最终小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设其在上经过的总路程为s，根据功能关系有
解得
③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为
将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有
解得
（2）对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有
解得
设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定律有
解得
4．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。
（1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN；
（2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能；
（3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。
【答案】（1）10m/s；31.2；（2）0；（3）0.2m
【详解】（1）滑块a从D到F，由能量关系
在F点
解得
FN=31.2N
（2）滑块a返回B点时的速度vB=1m/s，滑块a一直在传送带上减速，加速度大小为
根据
可得在C点的速度
vC=3m/s
则滑块a从碰撞后到到达C点
解得
v1=5m/s
因ab碰撞动量守恒，则
解得碰后b的速度
v2=5m/s
则碰撞损失的能量
（3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，则ab碰后的共同速度
解得
v=2.5m/s
当弹簧被压缩到最短或者伸长到最长时有共同速度
则
当弹簧被压缩到最短时压缩量为x1，由能量关系
解得
同理当弹簧被拉到最长时伸长量为
x2=x1
则弹簧最大长度与最小长度之差
5．（2023·浙江·高考真题）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角的直轨道、螺旋圆形轨道，倾角的直轨道、水平直轨道组成，除段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道、相切于处．凹槽底面水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁处，摆渡车上表面与直轨道、平台位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径，B点高度为，长度，长度，摆渡车长度、质量。将一质量也为的滑块从倾斜轨道上高度处静止释放，滑块在段运动时的阻力为其重力的0.2倍。（摆渡车碰到竖直侧壁立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，，）
（1）求滑块过C点的速度大小和轨道对滑块的作用力大小；
（2）摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G到J所用的时间。
【答案】（1），；（2）；（3）
【详解】（1）滑块从静止释放到C点过程，根据动能定理可得
解得
滑块过C点时，根据牛顿第二定律可得
解得
（2）设滑块刚滑上摆渡车时的速度大小为，从静止释放到G点过程，根据动能定理可得
解得
摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，说明滑块到达摆渡车右端时刚好与摆渡车共速，以滑块和摆渡车为系统，根据系统动量守恒可得
解得
根据能量守恒可得
解得
（3）滑块从滑上摆渡车到与摆渡车共速过程，滑块的加速度大小为
所用时间为
此过程滑块通过的位移为
滑块与摆渡车共速后，滑块与摆渡车一起做匀速直线运动，该过程所用时间为
则滑块从G到J所用的时间为
6．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
（3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
【答案】（1）①，②，k = 0，1，2，3…；（2），n = 0，1，2，…；（3），
【详解】（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
ω′t′ = 2nπ + θ
转筒的转动角速度
，n = 0，1，2，…
动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中
k = 1，，n = 0，2或者（舍）
可得
，
7．（2022·浙江·高考真题）如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知，，，，，物块与MN、CD之间的动摩擦因数，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE平滑连接，物块可视为质点，取。
（1）若，求a、b碰撞后瞬时物块a的速度的大小；
（2）物块a在DE最高点时，求管道对物块的作用力与h间满足的关系；
（3）若物块b释放高度，求物块a最终静止的位置x值的范围（以A点为坐标原点，水平向右为正，建立x轴）。
【答案】（1）；
（2）（方向竖直向上）；
（3）当时，，当时，
【详解】（1）滑块b摆到最低点过程中，由机械能守恒定律有
解得
与发生弹性碰撞，根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得
联立解得
（2）由（1）分析可知，物块与物块在A发生弹性正碰，速度交换。
设物块刚好可以到达点，物块的释放高度为，则根据动能定理可得
解得
此时物块a到达E点时的速度恰好为零，则有
（方向竖直向上）
当时，在E点管道对物块a有弹力，取竖直向下为正方向，则在E点由牛顿第二定律有
由动能定理
联立可得
（）
则综上可得
（）
当时，弹力为负，则弹力方向竖直向上，当时，弹力为正，则方向竖直向下。故
（3）当时，物块位置在点或点右侧，根据动能定理得
从点飞出后，竖直方向
水平方向
根据几何关系可得
联立解得
代入数据解得
当时，从释放时，根据动能定理可得
解得
可知物块达到距离点0.8m处静止，滑块a由E点速度为零，返回到时，根据动能定理可得
解得
距离点0.6m，综上可知当时
代入数据得
8．（2022·浙江·高考真题）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为，货物可视为质点（取，，重力加速度）。
（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度的大小；
（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度的大小；
（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据牛顿第二定律可得
代入数据解得
（2）根据运动学公式
解得
（3）根据牛顿第二定律
根据运动学公式
代入数据联立解得
9．（2022·浙江·高考真题）第24届冬奥会将在我国举办。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长12m水平直道AB与长20m的倾斜直道BC在B点平滑连接，斜道与水平面的夹角为15°。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速到B点时速度大小为8m/s，紧接着快速俯卧到车上沿BC匀加速下滑（图2所示），到C点共用时5.0s。若雪车（包括运动员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为110kg，sin15°=0.26，重力加速度取，求雪车（包括运动员）
（1）在直道AB上的加速度大小；
（2）过C点的速度大小；
（3）在斜道BC上运动时受到的阻力大小。
【答案】（1）；（2）12m/s；（3）66N
【详解】（1）AB段
解得
（2）AB段
解得
BC段
过C点的速度大小
（3）在BC段有牛顿第二定律
解得
10．（2021·浙江·高考真题）如图所示，水平地面上有一高的水平台面，台面上竖直放置倾角的粗糙直轨道、水平光滑直轨道、四分之一圆周光滑细圆管道和半圆形光滑轨道，它们平滑连接，其中管道的半径、圆心在点，轨道的半径、圆心在点，、D、和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道上距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道、轨道从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，，，取重力加速度。
（1）若小滑块的初始高度，求小滑块到达B点时速度的大小；
（2）若小球能完成整个运动过程，求h的最小值；
（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值。
【答案】（1）4m/s；（2）；（3）0.8m
【详解】（1）小滑块在轨道上运动
代入数据解得
（2）小球沿轨道运动，在最高点可得
从C点到E点由机械能守恒可得
解得
，
小滑块与小球碰撞后动量守恒，机械能守恒，因此有
，
解得
，
结合(1)问可得
解得h的最小值
（3）设F点到G点的距离为y，小球从E点到G点的运动，由动能定理
由平抛运动可得
，
联立可得水平距离为
由数学知识可得当
取最大，最大值为
11．（2021·浙江·高考真题）机动车礼让行人是一种文明行为。如图所示，质量的汽车以的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线处，驾驶员发现小朋友排着长的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。
（1）求开始刹车到汽车停止所用的时间和所受阻力的大小；
（2）若路面宽，小朋友行走的速度，求汽车在斑马线前等待小朋友全部通过所需的时间；
（3）假设驾驶员以超速行驶，在距离斑马线处立即刹车，求汽车到斑马线时的速度。
【答案】（1），；（2）20s；（3）
【详解】（1）根据平均速度
解得刹车时间
刹车加速度
根据牛顿第二定律
解得
（2）小朋友过时间
等待时间
（3）根据
解得
12．（2021·浙江·高考真题）如图所示，质量m=2kg的滑块以v0=16m/s的初速度沿倾角θ=37°的斜面上滑，经t=2s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求滑块
(1)最大位移值x；
(2)与斜面间的动摩擦因数；
(3)从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率P。
【答案】(1)16m；(2)0.25；(3)67.9W
【详解】(1)小车向上做匀减速直线运动，有
得
(2)加速度
上滑过程
得
(3)下滑过程
由运动学公式
重力的平均功率
13．（2021·浙江·高考真题）如图所示，竖直平面内由倾角α=60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ=30°，G点与竖直墙面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
(1)若释放处高度h=h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vc及在此过程中所受合力的冲量的大小和方向；
(2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
【答案】(1)，，水平向左；(2)（h≥R）；(3)或
【详解】(1)机械能守恒
解得
动量定理
方向水平向左
(2)机械能守恒
牛顿第二定律
解得
满足的条件
(3)第1种情况:不滑离轨道原路返回，条件是
第2种情况：与墙面垂直碰撞后原路返回，在进入G之前是平抛运动
其中，，则
得
机械能守恒
h满足的条件
1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图所示为一游戏闯关装置，该装置由倾斜直轨道AB、竖直圆形轨道BCDEF、水平直轨道FG、传送带GH、水平直轨道HI、两个相同的四分之一圆拼接成的管道IJ、水平直轨道JK组成。直线轨道JK右端为弹性挡板（滑块与挡板碰撞后能原速率返回）。已知螺旋圆形轨道半径，，，，，四分之一圆轨道IJ的半径。现将质量的小滑块从倾斜轨道上某高度h处静止释放，滑块与FG、HI、JK间的动摩擦因数，与传送带间的动摩擦因数，其余轨道光滑，各轨道间平滑连接。不计空气阻力，
(1)若滑块恰能经过圆形轨道最高点D，求其过C点时受到的支持力大小；
(2)将滑块从高处静止释放
①传送带静止，问滑块最终静止的位置；
②传送带以恒定速度v顺时针转动，要使滑块停在JK上，v需满足的条件。
【答案】(1)
(2)①停在HI段的中间；②
【详解】（1）圆周最高点D处，根据
解得
C到D点过程，由机械能守恒
圆周C点，根据
解得
（2）设滑块运动到J点时的速度为，考察A→J过程，由动能定理
无解，说明滑块到不了J点。
设滑块从I点返回x距离后停下，则
解得
即滑块距离I点2m（停在HI段的中间）
②考察A→G过程，由动能定理
得
经过传送带变速后
考察H→J过程，由动能定理
得
考察H→J→K→J过程，由
得
这两个临界值在范围内，则
2．（2025·浙江·二模）如图所示，游戏装置由光滑倾斜轨道AB、半径的光滑圆弧轨道BC、长为L=9.0m水平轨道CD和高为光滑高台EF构成，倾角为的直角斜面体紧贴着高台边缘ED，且与高台EF等高。现将质量m=0.5kg的小物块从倾斜轨道上高度为的A处由静止释放，小物块恰好能到达高台边缘E点。若斜面体向左移动，固定在CD间的任一位置，小物块仍从同一高度H处由静止释放，发现小物块从斜面体顶端斜抛后也恰好落在E点。已知小物块与水平轨道CD和与斜面体之间的动摩擦因数均为μ，小物块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。
(1)求小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小；
(2)求动摩擦因数μ和斜面体倾角θ；
(3)在高台EF上放置表面光滑、质量M=2.0kg的“小山坡”，小物块以速度v0=2.0m/s冲向“小山坡”，设小物块始终贴着“小山坡”表面运动，求“小山坡”获得的速度。
【答案】(1)25N
(2)，30°
(3)0.8m/s，0
【详解】（1）小物块到达圆弧轨道最低点C时速度为vC，由机械能守恒
小物块在圆弧轨道最低点C时，由向心力公式
解得
由牛顿第三定律得小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小25N
（2）小物块由A到E的过程中，由能量关系
解得
设斜面体与平台相距为x，小物块到E点的速度为vE，由能量关系
解得
根据斜抛运动的规律
运动时间为
联立解得
代入得
即（θ与x无关）
则
解得
（3）小物块从“小山坡”返回或越过“小山坡”，满足动量守恒
满足机械能守恒
解得，
或，
①若小物块不能越过“小山坡”，则“小山坡”获得的速度为0.8m/s
②若小物块能够越过“小山坡”，则“小山坡”获得的速度为0
3．（2025·浙江·二模）如图所示，倾角α=37°的斜面AB通过平滑的小圆弧与水平直轨道BC连接，BC右端与顺时针转动的传送带相连，DE为水平长直轨道，左端与该传送带相连，右端与半径为R=0.4m的竖着的光滑半圆弧轨道EF相切，轨道最高点左侧有一小车放置在足够长的水平直轨道GH，小车右侧与F点相齐平，小车左侧安装了一个轻弹簧装置（质量不计）。DE轨道以及传送带长度均为L=1m，DE段铺设特殊材料，其动摩擦因数μ1=0.2x+0.2（x表示DE上一点到D点的距离）。物块与AB、传送带和小车上表面之间（除弹簧原长部分外）的动摩擦因数均为，其余部分均光滑。现在一质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从斜面上某点静止下滑。已知小车质量M=3kg， d=1.2m， sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)物块恰好到达F点，求物块进入圆弧E点时对轨道的压力；
(2)若物块释放的高度为3m，为让物块能到达F点，求传送带的转动速度至少多大；
(3)物块滑上小车后，与弹簧碰撞时机械能无损失，若小车撞上弹簧弹性势能超过18J时会触发机关把物块锁定，反之，物块被弹回，为使物块最终停留在小车上，求物块到达F点时的速度应满足的条件。
【答案】(1)60N；方向竖直向下
(2)
(3)
【详解】（1）恰好过F点，则满足
解得vF=2m/s
E到F 由动能定理
解得
在E点，由牛顿第二定律
解得FN = 60N
根据牛顿第三定律得，对轨道压力 60N，方向竖直向下。
（2）D到E 摩擦力做功
由 （1）知，物块能到达F点，E点速度至少，由动能定理
解得
物体斜面上下滑到C点，则
解得
假如一直加速，到D点速度为
所以物块在传送带先加速再匀速，传送带的速度至少。
（3）过F点且挤压弹簧锁定
由动量守恒和能量关系可得，
可得
过F点挤压弹簧弹回共速在小车右侧
，
可得
则
4．（2025·浙江·二模）如图所示，长为L2=1.5m的水平传送带左右两端与水平轨道平滑连接，以v0=4.0m/s的速度逆时针匀速转动；左侧粗糙轨道RQ的长为L1=3.25m，左端R点固定有弹性挡板；右侧光滑轨道PN的长为L3=3.5m，其右端与光滑圆弧轨道相切（N点为圆弧轨道的最低点）。现将一可视为质点的小物块从圆弧轨道上某处静止释放，与挡板发生弹性碰撞后向右恰好能运动到P点。已知小物块与传送带以及左侧轨道的滑动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速g取10m/s2，π2=10，不计物块与挡板的碰撞时间。
(1)求物块第一次到达Q点时的速度大小；
(2)为满足上述运动，求物块从圆弧轨道上释放高度的范围；
(3)当物块从半径大于100m圆弧轨道上高度为0.8m的位置由静止释放后，发现该物块在圆弧轨道上运动的时间与从N点运动至第二次到达P点的时间相等，求圆弧轨道的半径。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设物块质量为，由动能定理可得
解得
（2）物块做匀加速运动，有
解得
物块做匀减速运动，有
解得
（3）物块由处下滑，有
解得
，
解得
而
解得
5．（2025·浙江·一模）一固定装置由水平的光滑直轨道AB、倾角为的光滑直轨道BC、圆弧管道（圆心角为）CD组成，轨道间平滑连接，其竖直截面如图所示。BC的长度，圆弧管道半径（忽略管道内径大小），D和圆心O在同一竖直线上。轨道ABCD末端D的右侧紧靠着光滑水平地面放置的一轻质木板，小物块在木板最左端紧挨着管道出口D，板右上方有一水平位置可调节的挡板P，小物块静止于木板右端。现有一质量为可视为质点的物体，从A端弹射获得的动能后，经轨道ABCD水平滑到D点，并与小物块发生弹性碰撞，经过一段时间后和右侧挡板发生弹性碰撞，整个运动过程中、未发生碰撞，与挡板P碰撞后均反向弹回，碰撞前后瞬间速度大小相等。已知、与木板间的动摩擦因数均为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。试求：
(1)求滑块到达D点时对轨道的作用力；
(2)若整个运动过程中只与挡板碰撞1次，且返回后最终、停止了运动，求最初与挡板P的水平距离；
(3)调节与挡板P的水平距离，使整个运动过程中与挡板总共碰撞2次，且最终、停止了运动，求整个运动经过的时间t和此过程最初与挡板P的水平距离。
【答案】(1)，方向竖直向下
(2)
(3)1.5s，
【详解】（1）根据动能定理，则有
可解得
在D点列圆周运动的方程，则有
可解得
根据牛顿第三定律可知，滑块对轨道的作用力方向竖直向下，大小为1N。
（2）发生弹性碰撞，则由动量守恒定律和能量守恒定律有，
可解得
根据动量守恒，在与挡板P碰撞前的过程中，则有
在与挡板P碰后直到停止的过程中，根据动量守恒定律有
可解得，
对小物块和轻质木板整体列动能定理，则有
可解得
（3）根据动量守恒，在与挡板P第一次碰撞前的过程中，则有
从第一次碰撞后，到第二次碰撞的过程中，对于小物块和轻质木板整体根据牛顿第二定律，则有
可解得
对于小物块根据运动学公式，则有，
可解得
对于小物块根据牛顿第二定律，则有
可解得
对于小物块根据运动学公式，则有
对于第二次碰撞到停止的过程中，根据动量守恒，则有
综上所述，可解得
对小物块和轻质木板整体列动能定理，则有
可解得
对于整个过程列动量定理，则有
可解得
6．（2025·浙江温州·三模）某游戏装置的竖直截面如图所示。半径的竖直螺旋圆轨道与倾斜直轨道、水平面分别相切于B、，段圆弧对应的圆心角。水平传送带在电动机带动下，以顺时针转动，传送带两端分别与左、右两侧水平面平滑对接于E、F两点，长，右侧水平面上等间距摆放许多质量的小滑块，从左到右标号分别为1、2、3…n，n足够大。间是一个宽、高的矩形坑。游戏开始，一质量的滑块P从轨道上距水平面高度为h处由静止释放，到达C点时速度。滑块P与轨道间动摩擦因数，与传送带间动摩擦因数，其余摩擦力与空气阻力均忽略。各滑块均可视为质点，滑块间的碰撞均为弹性碰撞，滑块与坑壁碰撞后竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向，各碰撞时间不计，滑块到达坑底时立即停止运动。求：
(1)滑块P到达圆轨道最高点D时受到轨道的弹力大小，以及释放高度h；
(2)标号为n的滑块到达坑底时距坑底右边缘T的距离；
(3)滑块P与滑块1发生第一次碰撞后，滑块P在传送带上运动的总时间t以及电动机多消耗的电能。
【答案】(1)
(2)
(3)，
【详解】（1）对滑块P，从C到D，由动能定理得
解得
在
联立解得
从开始下滑到C，由动能定理
联立解得
（2）因为
若一直减速，则有
滑块P在传送带上一直减速，滑块P与滑块1第1次碰撞，规定向右为正方向，则有
联立解得
之后，通过滑块间的碰撞，速度依次传递
对物块n，从J抛出到落到坑底，由平抛规律有
联立可得
（3）滑块P与滑块1发生第一次碰撞后，每次进传送带和出传送带速度大小相等：滑块P与滑块1每发生一次碰撞，速度反向，大小减半，则有
滑块P与滑块1发生第一次碰撞后的在传送带上总时间
电动机多消耗电能
7．（2025·浙江·二模）如图所示固定装置，由弧形光滑轨道AB、竖直光滑圆轨道、水平光滑直轨道BD、倾角为37°的粗糙斜轨道DE、圆弧形光滑管道EF（圆心位于水平地面上）平滑连接而成，D点处小圆弧光滑连接。现将一质量为的小滑块由弧形轨道AB上高h处由静止释放（h未知），通过圆轨道后与静置于BD上质量为的小滑块碰撞，碰撞时间极短且碰后立即粘在一起形成一组合体，组合体在F点与静止在水平台面上质量为M的长木板发生弹性碰撞。已知圆轨道半径R=0.25m，，、与轨道DE间的动摩擦因数，M与水平台面间的动摩擦因数，M最右端停放一质量为的小滑块，M与间的动摩擦因数；水平台面和木板M足够长，已知、、、；从轨道AB上滑下后进入圆弧轨道，运动到与圆心O等高的C点时对轨道的压力为32N。忽略空气阻力，重力加速度g取，、。
(1)求h的大小；
(2)求、组合体刚到达F点时的速度大小；
(3)求最终与M最右端之间的距离。
【答案】(1)2.25m
(2)2.4m/s
(3)0.236m
【详解】（1）运动到C点时，根据牛顿第二定律得
可得
从A到C的运动过程，根据动能定理得
联立代入数据解得
（2）从A到B的运动过程，根据动能定理得
可得
与相碰过程，根据动量守恒定律得
可得
碰撞后到组合体到达F点过程，根据动能定理可得
代入数据解得
（3）与组合体与M进行弹性碰撞，根据动量守恒定律可得
弹性碰撞中没有动能损失可得
解得
与组合体与M碰撞后，对分析得：其做加速运动，加速度
对M分析，做减速运动，有
可得
设经过时间t，与M共速，则有
解得，
该过程中运动的位移
M运动的位移
共速后，与M分别减速运动，对分析得：做减速运动，加速度
对M分析，做减速运动，有
可得
运动的位移
M运动的位移
最终计算可得距离M最右端的长度
8．（2025·浙江宁波·三模）某游戏装置如图所示，水平传送带左端点和右端点分别与两个光滑水平台面平滑对接，A、两点间的距离。左侧水平台面上有一被压缩的弹簧，弹簧的左端固定，右端与一质量的滑块接触（与弹簧不栓接，且滑上传送带前已经脱离弹簧），与传送带间的动摩擦因数。右侧水平台面上有一倾角为，高的固定光滑斜面（水平台面与斜面底端用平滑小圆弧连接），在斜面左侧水平台面上放置一质量也为的相同滑块，右侧固定一上表面光滑且很大的水平桌面。桌面上放置一质量，长的薄木板（厚度不计），木板左端点与桌面左端相齐、并与斜面顶端点等高，且间距。游戏开始，将从压缩弹簧的右端由静止释放，与静止在水平台面上的发生碰撞后粘在一起组成滑块，离开斜面后将在木板的上表面与木板发生弹性碰撞（碰撞时间极短），每次碰撞前后瞬间，沿竖直方向的分速度大小不变、方向反向。P、Q、W均可视为质点，不计空气阻力。在某次游戏中，恰好击中木板的中点。
(1)求离开点时的速度大小；
(2)若传送带不动，求弹簧最初储存的弹性势能；若传送带转动，则弹簧最初储存的弹性势能的大小范围；
(3)W击中木板中点后瞬间，和木板的速度分别为多大；
(4)若落在桌面上时不反弹，则在桌面上的落点与桌面左端间的距离为多少。
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，
(4)
【详解】（1）滑块在离开D点后做斜抛运动，水平位移为，且光滑斜面倾角为，滑块离开D点后水平和竖直方向的速度分别为、，则
根据斜抛运动特点，有，
得
则离开点时的速度大小为
（2）设、碰前的速度，碰后的速度为。根据机械能和动量守恒，有，
代入数据得
①传送带不动
由动能定理得
代入数据得
②传送带转动
若是逆时针转动，由于的运动与①情况相同，则弹簧最初储存的弹性势能也为。
若是顺时针转动，被加速，当在传送带上全程被加速时，对应的弹簧最初储存的弹性势能最小。由动能定理得
代入数据得
所以，传送带转动时，弹簧最初储存的弹性势能至少为1.6J。
（3）击中木板中点后瞬间，和木板的速度分别为和，的水平、竖直分速度为，。由斜抛运动规律、水平方向动量守恒及碰撞前后动能不变，可知，
得
板的速度
的速度为
（4）当滑块落在木板中点碰后上升到最大高度的时间为
则，滑块与木板碰撞后反弹再落到碰前高度时，与木板的水平位移差为
落点距E点距离为
9．（2025·浙江湖州·三模）如图为一弹射游戏装置，它由安装在水平台面上的固定弹射器，水平直轨道AB，圆心为O的水平半圆细管道BCD，水平直轨道DE、FG、HI和逆时针转动的传送带EF等组成。木板静止在HI上，其上表面与FG相平，左端紧靠竖直边GH。游戏时滑块由A点弹出，经过轨道AB、管道BCD、轨道DE、传送带EF和轨道FG后，滑上木板。已知可视为质点的滑块质量，轨道DE长度，传送带长度，速度大小，木板质量，长度，BCD的半径，滑块与轨道DE、传送带及木板间的动摩擦因数均为，木板与轨道HI间的动摩擦因数，其余各处均光滑，不考虑弹射过程中能量损失，各轨道间平滑连接。
(1)若弹簧的弹性势能，求滑块运动到管道最高点时，受到的管道作用力大小；
(2)若滑块最终静止在轨道DE某处，求弹簧的弹性势能的范围；
(3)若弹簧的弹性势能，求木板运动的位移x。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）滑块由A点弹出到管道最高点的过程，有
解得
在最高点有
解得
（2）①滑块超过C点的条件为
则有
②滑块到达F点时，速度恰好为零，则有
所以滑块最终静止在轨道DE某处，求弹簧的弹性势能的范围为
（3）若弹簧的弹性势能，到E点的过程有
解得
若刚好能通过皮带的速度大小
解得
所以滑块减速通过皮带，有
解得
滑块在木块上滑行，达到共同速度后一起减速运动直到速度为0。有
，
，
解得
达到共速时的木板位移
达到共速后的木板位移
则木板位移
10．（2025·浙江金华·三模）如图所示，一倾角为的斜面AB与水平面BCD在B点平滑相接，圆轨道最低点为C（稍有错开），E为最高点，半径，CD段长L=1.275m，D端与一足够长的光滑斜面平滑相接。质量的小物块1从斜面顶点A以的速度水平向右抛出，落在斜面上的P点，假设小物块1落到P点前后，平行斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度立即变为零。在CD段距离C点x处有一与物块1完全相同的小物块2，两物块相碰后立即粘连在一起。已知小物块1第一次过圆轨道最高点E时的速度为，两小物块与CD段的动摩擦因数均为，轨道其余部分均光滑，调整小物块2与C点间的距离x，使得小物块合体最终停在CD上的某点M且全程不脱离轨道（，，），求：
(1)小物块1第一次运动到C点时对轨道的压力；
(2)小物块1在斜面上的落点P距离水平面的高度h；
(3)M与C点间的距离s与x的关系。（结果用x表示）
【答案】(1)，方向竖直向下
(2)
(3)见解析
【详解】（1）小物块1从E→C过程，根据动能定理有
小物块1在C点，根据牛顿第二定律有
解得
由牛顿第三定律，物块对轨道的压力，方向竖直向下。
（2）小物块1从A→P过程做平抛运动，则有
在P点，将速度沿斜面与垂直于斜面分解，则有
小物块1从P→C过程，根据动能定理有
结合上述解得
（3）两物块相碰后立即粘连在一起，根据动量守恒定律有
则有
即碰后两物块总动能变为碰前一半
若时，小物块第一次过D点前就停止，则有
解得（）
若时，小物块第二次过D点后返回C点前停止，则有
解得（）
11．（2025·浙江台州·二模）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角θ=37°的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE，倾角θ=37°的直轨道EF、足够长水平直轨道FG组成，半径R=0.32m的螺旋圆形轨道与轨道AB、EF相切于B(E)处，B点高度为1.2R，轨道间平滑连接。质量M=5kg的滑块b放置在轨道FG上，滑块b的上端面是一水平台面，台面的长度和高度均为l=0.8m，滑块b的侧面是圆周的圆弧形光滑槽，槽底跟水平面相切。质量m=2kg的物块a从倾斜轨道AB上高度为H处静止释放。（各段轨道均光滑，物块a视为质点，不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
(1)若H=1.12m，求
①物块a经过B点时螺旋圆形轨道对物块a的作用力大小FB；
②物块a冲上滑块b后能达到的最大离地高度h；
(2)欲使物块a击中滑块b的水平台面，求释放高度H的取值范围。
【答案】(1)①；②
(2)
【详解】（1）①从A到B由机械能守恒定律
在B点时
解得
②从A到F由机械能守恒定律
当物块上升到最大高度时，假设没有离开圆弧面，则物块与滑块共速，此时由动量守恒和能量关系
解得
假设正确，因此最大高度为0.8m。
（2）恰过C点，根据机械能守恒
在C点时
解得
恰好击中平台右端：
由动量守恒和能量关系； ，
且；
其中
综上解得
由（1）得时，恰好到达平台左端；综上得：
12．（2025·浙江嘉兴·三模）某游戏装置如图所示，由弹射装置、圆心为和的两个圆弧构成的竖直轨道ABC、水平轨道CD和逆时针转动的倾斜传送带DE平滑连接而成。水平接收平台FJ的位置可自由调节，其上方静置个相同的小球。现弹射装置将质量的滑块（视为质点）以初动能水平射入A点，通过轨道ABCD和传送带DE后，恰好沿水平进入接收平台并与其上的小球发生碰撞，则游戏成功。已知轨道ABC中，，传送带DE的长度、倾斜角度、运行速度，接收平台上的小球质量，滑块与传送带之间的动摩擦因数，其余各段光滑，不计空气阻力。取，。
(1)若滑块恰好不脱离圆弧轨道ABC，求滑块通过点时的速度及轨道对滑块的支持力；
(2)某次调试中，当接收平台左端与点的水平距离时，游戏恰好成功，求滑块在本次运行过程中与传送带之间因摩擦产生的热量；
(3)若所有碰撞均为弹性正碰，则在游戏成功的条件下，接收平台上第个小球获得的动量与滑块的初动能之间的关系。
【答案】(1)，
(2)
(3)
【详解】（1）根据临界条件
解得
根据机械能守恒
解得
根据圆周运动最低点受力，由牛顿第二定律可得
解得
（2）根据运动合成与分解
可得
根据牛顿第二定律
解得
根据匀变速直线运动规律
解得
根据摩擦生热规律
解得
（3）根据动能定理
解得
滑块与小球1碰撞，根据弹性碰撞规律，
联立，解得
随后小球1与小球2碰撞，由于质量相等，速度交换，以此类推……因此，小球的速度
由此可得
13．（2025·浙江·模拟预测）光滑水平平台上有一个滑块D，滑块D右侧面是半径为的圆弧，圆弧面与平台相切，滑块B在平台右端。平台右侧有一长木板C放在光滑水平地面上，木板上表面与平台平齐。小球从滑块D的最高点沿圆弧面从静止释放。已知A、B、C、D的质量分别为、、、，滑块B和木板间的动摩擦因数，小球与滑块B均可视为质点，重力加速度为。
(1)求小球刚滑到圆弧面底端时，小球的水平位移大小；
(2)求小球刚滑到圆弧面底端时，小球对圆弧面的压力大小；
(3)若初始时将滑块D固定在水平面上，小球在水平面上与滑块B发生弹性碰撞（碰后小球即被取走），求滑块B与木板共速时，木板的运动距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）小球下滑过程，小球和滑块组成的系统水平方向动量守恒，有
由几何关系有
解得
（2）当小球滑到圆弧面底端时有
由机械能守恒有
解得
小球相对于圆弧的速度
,
解得
（3）小球从滑块D上滑下，有
解得小球到达平台时的速度
小球和滑块B碰撞过程有，
解得碰后滑块B的速度
滑块B在木板上滑行过程有
对木板由动量定理有
解得
所以
14．（2025·浙江·模拟预测）如图甲所示，斜轨道高度可调，恒为2m，水平直轨道长度，竖直圆轨道半径，在最低点处稍微错开，在右侧，倾角的直轨道与半径也为的圆弧管道平滑连接，长度。在处圆弧的切线水平，的右侧紧靠着一放置在光滑平台上质量的长木板，长度，其上表面与轨道末端所在水平面平齐，木板右端固定一竖直挡板。质量为的滑块从点由静止下滑，与、、长木板间的动摩擦因数均为，轨道由特殊材料制成，滑块与间的动摩擦因数随距离变化规律如图乙所示。忽略其他阻力，滑块可视为质点，。
(1)若滑块恰能过点，求到点的速度大小和释放点的高度；
(2)若要保证滑块能到达竖直圆轨道且第一次到达竖直圆轨道时不脱离轨道，求斜轨道高度的调节范围；
(3)滑块与长木板右侧的竖直挡板可发生弹性碰撞，若滑块最终能停在长木板上，求高度的调节范围。
【答案】(1)2m/s，2.5m
(2)或
(3)
【详解】（1）滑块恰能过最高点，在该点有
解得
由到由动能定理得
解得
（2）滑块第一次到达竖直圆轨道时不脱离轨道，则有两种情况：
①若滑块能经过最高点，结合上述可知
结合上述解得
②滑块不能越过圆轨道上与圆心等高点处，临界条件为滑块在等高点时速度恰好为0，由动能定理得
解得
又滑块能到达圆轨道，故有
此时满足该情况的取值范围为
综合上述可知，满足条件的的取值范围是或
（3）滑块最终能停在长木板上，临界条件分为两者：
①滑块到点时速度恰好为0，在段，滑块与间的动摩擦因数随距离呈现线性关系，则滑块克服摩擦力做的功
根据几何关系可知，点的高度为
滑块从到过程，根据动能定理有
解得
②滑块与挡板发生弹性碰撞后，回到木板左端时恰好和木板共速，对该过程由动量守恒定律有
由能量守恒定律有
解得
滑块由点到点过程，由动能定理可得
解得
综合上述高度的范围为
15．（2025·浙江·模拟预测）如图所示的装置，半圆形轨道的直径与水平面垂直，轨道的最低点与右侧光滑的台阶相切，台阶右侧紧靠着上表面与台阶齐平的长木板。在台阶上两个铁块、间压缩一轻质弹簧（弹簧与铁块间不固定），某次由静止释放两铁块，铁块脱离弹簧后恰好沿半圆形轨道运动到轨道最高点。铁块滑上木板的上表面，与右侧固定在地面上的竖直弹性挡板碰撞时，、恰好速度相同。、接触面间的动摩擦因数，其余摩擦不计，木板与弹性挡板的碰撞过程中没有机械能损失且时间极短，半圆形轨道的半径，铁块、与木板的质量之比是，铁块始终没有碰到挡板，求：
(1)铁块滑上木板时的速度大小；
(2)木板的右端到挡板的距离；
(3)木板的最小长度；
(4)从铁块滑上木板，到停止，木板运动的总路程。
【答案】(1)
(2)
(3)4.5m
(4)3.25m
【详解】（1）设铁块、与木板的质量分别为、、。铁块A、B弹开过程动量守恒，有
铁块弹开后恰好过半圆形轨道最高点，则由牛顿第二定律得
铁块弹开后，一直运动到半圆形轨道最高点，机械能守恒
解得
（2）铁块滑上木板后动量守恒，设共速时速度为，则
对木板由动能定理得
代入数据解得
（3）经多次碰撞后，和最终停止，由能量守恒得
解得
（4）碰撞过程的速度大小不变，方向反向，到再次碰撞时、速度已相同，从第2次碰撞开始（以下），由动量守恒得
设第次碰撞后木板的位移最大值为，则由动能定理得
求得
所以
其中，则结合等比数列求和公式，可得从铁块滑上木板，到停止，木板运动的总路程
解得
16．（2025·浙江·模拟预测）如图所示，带有四分之一圆弧的滑块（顶端为，底端为，半径）固定在水平面上，竖直面内直径为的圆轨道与水平面的切点为（与水平面接触处稍错开），圆轨道右侧有一上表面和等高的矩形长木板，紧贴足够长光滑凹槽左端放置，木板上右端有一挡板。一小物块（可视为质点）从点上方距点处由静止释放，滑块固定时，物块经过圆轨道，与挡板发生弹性碰撞后恰好运动到木板左端。已知滑块，物块和木板质量均为，仅物块与、木板上表面间存在摩擦，且动摩擦因数均为，木板，长度均为2.5m。
(1)求物块与挡板碰后运动到木板左端时，物块的速度大小；
(2)求的值；
(3)若改变物块释放位置，求能使物块沿圆轨道运动到木板上并停在木板上的的范围；
(4)若滑块不固定，求物块第一次进入圆轨道时对轨道的压力大小与的关系式（物理量单位均用国际单位制基本单位表示）。
【答案】(1)
(2)0.75m
(3)］
(4)
【详解】（1）设物块滑上木板时速度为，从物块滑上木板到两者稳定过程，由动量守恒定律有
由功能关系有
解得
（2）由动能定理有
解得
（3）根据上述分析可知，当时，物块从木板左端脱离物块能运动到木板上的速度取最小值时，物块恰通过圆轨道最高点，设物块恰通过圆轨道最高点时速度为，有
根据
解得
则的范围为
（4）当滑块不固定时，物块从释放到运动到滑块底端过程，水平方向动量守恒，物块与滑块水平速度大小时刻相等，有 ，
且
则从释放到物块第一次进入圆轨道有，
结合牛顿第三定律知物块对圆轨道压力
17．（2025·浙江·模拟预测）如图所示，倾角为的斜面与长度为的水平面平滑连接，，光滑细管道是由两个半径均为的四分之一圆弧组成，为两圆弧的连接点，入口和出口处切线均水平，出口的右侧是光滑水平台阶，台阶右侧地面（足够长）上放置长度，质量下表面光滑的木板，木板紧靠台阶右侧且水平上表面与台阶齐平。质量的滑块从斜面上高度的点由静止释放，恰好能到达点。滑块与斜面及水平面间的动摩擦因数均为，整个装置位于竖直平面内，滑块可以看成质点，经过连接点时无机械能损失，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求水平面的长度；
(2)求滑块经过点时对管道的压力大小；
(3)若滑块能滑上木板，且不滑离木板，求滑块释放的高度和滑块与木板间的动摩擦因数应满足的关系。
【答案】(1)1.2m
(2)6N
(3)
【详解】（1）滑块恰好能到达点，即到达点时速度恰为零。对滑块从到的过程，根据动能定理有
解得
（2）对滑块从到的过程，根据动能定理得
解得
在点根据牛顿第二定律有
解得
根据牛顿第三定律可知，滑块对管道的压力大小为6N
（3）滑块恰不能滑上木板时，释放高度为。要使滑块恰不滑离木板，即滑块恰能运动到木板右端，此时两者速度相同。对滑块从到，根据动能定理有
滑块与木板组成的系统动量守恒，有
由能量守恒定律有
联立解得
故
18．（2025·浙江·模拟预测）如图（a）所示，在光滑水平地面上固定一粗糙斜面，一个质量为的物块B（包含左端固定的轻弹簧，弹簧劲度系数未知）静止在水平地面上；物块以的速度向B运动，时刻与弹簧接触，到时与弹簧分离。A、B的图像如图（b）所示。已知在时间内，物块B运动的距离为。A、B分离后，B与静止在水平地面上、质量为的物块C发生弹性正碰，此后物块C滑上粗糙斜面，然后反向滑下，与一直在水平面上的B再次碰撞。已知斜面倾角，物块与斜面间的动摩擦因数，斜面与水平面光滑连接，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为，其中为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量。求：
(1)物块A的质量；
(2)A、B第一次碰撞和第二次碰撞过程中，物块A的最大加速度之比；
(3)A、B第二次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值。
【答案】(1)2m
(2)5:1
(3)
【详解】（1）设A的质量为，碰后B的速度为，B与A发生弹性正碰，碰撞前后总动量守恒，机械能守恒，有，
解得
（2）后，B、C发生弹性碰撞，由动量守恒定律可得
由机械能守恒定律可知
解得
设C在斜面上运动的最大高度为，返回水平面时的速度大小为，从C碰后到运动到最高点，根据动能定理得
从最高点到运动到斜面底端，根据动能定理得
得
C与B再次发生弹性碰撞，设碰后B、C的速度大小分别为、，则，
解得
与第一次碰撞到共速，由动量守恒定律有
可得
此时弹簧弹性势能
A与B第二次碰撞到共速，由动量守恒定律有
解得
由机械能守恒定律可知
由以上公式得
两次加速度最大对应弹簧弹力最大，根据
可得
（3）A与B压缩弹簧过程有
同一时刻A、B的瞬时速度关系为
由位移等于速度对时间的积累，得
在时间内
由此得
可得
可得
又
可得第二次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值
19．（2025·浙江·模拟预测）如图所示，足够长光滑水平面上物块A、B紧靠在一起，中间夹有少量炸药，B右侧有一长度的水平传送带，传送带与水平面等高，在两端与水平面平滑连接，传送带以的速度逆时针转动。传送带左侧水平面上有一圆弧槽，传送带右侧有一固定轨道，其中段是以为圆心，半径为的一段圆弧，段轨道将水平面和段轨道平滑连接。某时刻炸药爆炸，两物块分离后分别向左、右沿轨道运动。A向左滑上圆弧槽，物块B沿段运动过程对轨道的最小作用力为0。已知A、B的质量均为，圆弧槽的质量为，A、B与传送带间的动摩擦因数均为，其他摩擦不计。，重力加速度，。求：
(1)B经过点时的速度大小；
(2)A滑下圆弧槽前上滑的最大高度和第一次分离时A的速度大小；
(3)圆弧槽最终速度的大小。
【答案】(1)
(2)，
(3)
【详解】（1）段轨道向下弯曲，物块B不可能与轨道间无作用力，段轨道向上弯曲，由沿半径指向圆心的分力提供向心力，在点物块B速度最大，所需向心力最大，若物块在其他位置对轨道无作用力，则在点会脱离，即物块B在点对轨道的最小作用力为0。设物块B通过点时的速度为，根据牛顿第二定律有
物块B从到的过程，根据动能定理有
解得
（2）物块B由点到点的过程，根据动能定理有
从爆炸后到B运动到点的过程，根据动能定理有
解得
爆炸过程，物块A、B构成的系统动量守恒，则有
解得爆炸后物块A的速度大小也为
物块A与圆弧槽作用的过程中，二者水平方向动量守恒，设二者水平方向速度相同时共同速度为，由水平方向动量守恒有
由机械能守恒有
联立得
设物块A第一次滑下圆弧槽时，圆弧槽的速度为，物块A的速度为，由动量守恒定律和机械能守恒定律有，
解得，
则第一次分离时A的速度大小为，方向水平向右。
（3）结合上述，物块A向右运动过程，假设未滑出传送带，则有
解得
假设成立。则物块A向左返回后离开传送带时的速度大小为
该速度大于2m/s，可知，物块A能追上圆弧槽。设物块A与圆弧槽第二次作用后，圆弧槽的速度为，物块A的速度为，由动量守恒定律和机械能守恒定律有，
解得，
物块A的速度小于圆弧槽的速度，则圆弧槽最终的速度大小为。
20．（2025·浙江·二模）如图所示，圆心角，半径的光滑圆弧轨道BC固定在水平地面上，其末端C切线水平；两个质量均为、长度均为的木板D、E静止在粗糙的水平地面上，其上表面与C端等高且平滑接触；水平传送带固定，且沿顺时针转动。现将质量的物块A轻放在传送带的左端，离开传送带后从B点沿切线方向进入BC轨道，已知物块A与传送带间的动摩擦因数，物块A与木板间的动摩擦因数均为，AB间竖直高度，传送带长度为，木板D与水平面间的动摩擦因数，木板E下表面光滑。取，，。求：
(1)物块A滑到C点时，在C点受到圆弧轨道支持力的大小；
(2)物块A到达B点所用时间；
(3)物块A与木板E之间摩擦产生的热量。
【答案】(1)
(2)1.2s
(3)
【详解】（1）物块A从传送带末端平抛到B，根据
解得
物块A刚好从B点切向进入，根据速度分解有
解得
物块A从传送带末端到C过程，根据动能定理有
解得
物块A在C点，根据牛顿第二定律有
解得
（2）物块A在传送带上的加速度
物块A在传送带上匀加速的位移
因为
所以物块A在传送带上先匀加速后匀速
匀加速所用时间
匀速所用时间
物块A到达B点所用时间
（3）物块A在木板D上时物块A的加速度
物块A在木板D上时木板D的加速度
解得
物块A在木板D上时物块A的位移
物块A在木板D上时木板D的位移
物块A在木板D上时物块A与木板D的相对位移
联立解得，（舍）
物块A离开木板D时物块A的速度
物块A离开木板D时木板E的速度
物块A在木板E上，根据动量守恒
物块A与木板E共速时的速度
则
试卷第20页，共20页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
22中小学教育资源及组卷应用平台
专题18 力学综合计算
1．（2025·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一传送装置，其竖直截面如图所示。AB是倾角为的斜轨道，BC是以恒定速率顺时针转动的足够长水平传送带，紧靠C端有半径为R、质量为M置于光滑水平面上的可动半圆弧轨道，水平面和传送带BC处于同一高度，各连接处平滑过渡。现有一质量为m的物块，从轨道AB上与B相距L的P点由静止下滑，经传送带末端C点滑入圆弧轨道。物块与传送带间的动摩擦因数为，其余接触面均光滑。已知，，，，，。不计空气阻力，物块可视为质点，传送带足够长。求物块
(1)滑到B点处的速度大小；
(2)从B点运动到C点过程中摩擦力对其做的功；
(3)在传送带上滑动过程中产生的滑痕长度；
(4)即将离开圆弧轨道最高点的瞬间，受到轨道的压力大小。
2．（2024·浙江·高考真题）一弹射游戏装置竖直截面如图所示，固定的光滑水平直轨道AB、半径为R的光滑螺旋圆形轨道BCD、光滑水平直轨道DE平滑连接。长为L、质量为M的平板紧靠长为d的固定凹槽EFGH侧壁EF放置，平板上表面与DEH齐平。将一质量为m的小滑块从A端弹射，经过轨道BCD后滑上平板并带动平板一起运动，平板到达HG即被锁定。已知R=0.5 m，d=4.4 m，L=1.8 m，M=m=0.1 kg，平板与滑块间的动摩擦因数μ1=0.6、与凹槽水平底面FG间的动摩擦因数为μ2。滑块视为质点，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度。
（1）滑块恰好能通过圆形轨道最高点C时，求滑块离开弹簧时速度v0的大小；
（2）若μ2=0，滑块恰好过C点后，求平板加速至与滑块共速时系统损耗的机械能；
（3）若μ2=0.1，滑块能到达H点，求其离开弹簧时的最大速度vm。
3．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，）
（1）若，求小物块
①第一次经过C点的向心加速度大小；
②在上经过的总路程；
③在上向上运动时间和向下运动时间之比。
（2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。
4．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。
（1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN；
（2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能；
（3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。
5．（2023·浙江·高考真题）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角的直轨道、螺旋圆形轨道，倾角的直轨道、水平直轨道组成，除段外各段轨道均光滑，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与轨道、相切于处．凹槽底面水平光滑，上面放有一无动力摆渡车，并紧靠在竖直侧壁处，摆渡车上表面与直轨道、平台位于同一水平面。已知螺旋圆形轨道半径，B点高度为，长度，长度，摆渡车长度、质量。将一质量也为的滑块从倾斜轨道上高度处静止释放，滑块在段运动时的阻力为其重力的0.2倍。（摆渡车碰到竖直侧壁立即静止，滑块视为质点，不计空气阻力，，）
（1）求滑块过C点的速度大小和轨道对滑块的作用力大小；
（2）摆渡车碰到前，滑块恰好不脱离摆渡车，求滑块与摆渡车之间的动摩擦因数；
（3）在（2）的条件下，求滑块从G到J所用的时间。
6．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
（3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
7．（2022·浙江·高考真题）如图所示，在竖直面内，一质量m的物块a静置于悬点O正下方的A点，以速度v逆时针转动的传送带MN与直轨道AB、CD、FG处于同一水平面上，AB、MN、CD的长度均为l。圆弧形细管道DE半径为R，EF在竖直直径上，E点高度为H。开始时，与物块a相同的物块b悬挂于O点，并向左拉开一定的高度h由静止下摆，细线始终张紧，摆到最低点时恰好与a发生弹性正碰。已知，，，，，物块与MN、CD之间的动摩擦因数，轨道AB和管道DE均光滑，物块a落到FG时不反弹且静止。忽略M、B和N、C之间的空隙，CD与DE平滑连接，物块可视为质点，取。
（1）若，求a、b碰撞后瞬时物块a的速度的大小；
（2）物块a在DE最高点时，求管道对物块的作用力与h间满足的关系；
（3）若物块b释放高度，求物块a最终静止的位置x值的范围（以A点为坐标原点，水平向右为正，建立x轴）。
8．（2022·浙江·高考真题）物流公司通过滑轨把货物直接装运到卡车中。如图所示，倾斜滑轨与水平面成24°角，长度，水平滑轨长度可调，两滑轨间平滑连接。若货物从倾斜滑轨顶端由静止开始下滑，其与滑轨间的动摩擦因数均为，货物可视为质点（取，，重力加速度）。
（1）求货物在倾斜滑轨上滑行时加速度的大小；
（2）求货物在倾斜滑轨末端时速度的大小；
（3）若货物滑离水平滑轨末端时的速度不超过2m/s，求水平滑轨的最短长度。
9．（2022·浙江·高考真题）第24届冬奥会将在我国举办。钢架雪车比赛的一段赛道如图1所示，长12m水平直道AB与长20m的倾斜直道BC在B点平滑连接，斜道与水平面的夹角为15°。运动员从A点由静止出发，推着雪车匀加速到B点时速度大小为8m/s，紧接着快速俯卧到车上沿BC匀加速下滑（图2所示），到C点共用时5.0s。若雪车（包括运动员）可视为质点，始终在冰面上运动，其总质量为110kg，sin15°=0.26，重力加速度取，求雪车（包括运动员）
（1）在直道AB上的加速度大小；
（2）过C点的速度大小；
（3）在斜道BC上运动时受到的阻力大小。
10．（2021·浙江·高考真题）如图所示，水平地面上有一高的水平台面，台面上竖直放置倾角的粗糙直轨道、水平光滑直轨道、四分之一圆周光滑细圆管道和半圆形光滑轨道，它们平滑连接，其中管道的半径、圆心在点，轨道的半径、圆心在点，、D、和F点均处在同一水平线上。小滑块从轨道上距台面高为h的P点静止下滑，与静止在轨道上等质量的小球发生弹性碰撞，碰后小球经管道、轨道从F点竖直向下运动，与正下方固定在直杆上的三棱柱G碰撞，碰后速度方向水平向右，大小与碰前相同，最终落在地面上Q点，已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，，，取重力加速度。
（1）若小滑块的初始高度，求小滑块到达B点时速度的大小；
（2）若小球能完成整个运动过程，求h的最小值；
（3）若小球恰好能过最高点E，且三棱柱G的位置上下可调，求落地点Q与F点的水平距离x的最大值。
11．（2021·浙江·高考真题）机动车礼让行人是一种文明行为。如图所示，质量的汽车以的速度在水平路面上匀速行驶，在距离斑马线处，驾驶员发现小朋友排着长的队伍从斑马线一端开始通过，立即刹车，最终恰好停在斑马线前。假设汽车在刹车过程中所受阻力不变，且忽略驾驶员反应时间。
（1）求开始刹车到汽车停止所用的时间和所受阻力的大小；
（2）若路面宽，小朋友行走的速度，求汽车在斑马线前等待小朋友全部通过所需的时间；
（3）假设驾驶员以超速行驶，在距离斑马线处立即刹车，求汽车到斑马线时的速度。
12．（2021·浙江·高考真题）如图所示，质量m=2kg的滑块以v0=16m/s的初速度沿倾角θ=37°的斜面上滑，经t=2s滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，求滑块
(1)最大位移值x；
(2)与斜面间的动摩擦因数；
(3)从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率P。
13．（2021·浙江·高考真题）如图所示，竖直平面内由倾角α=60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ=30°，G点与竖直墙面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。
(1)若释放处高度h=h0，当小球第一次运动到圆管最低点C时，求速度大小vc及在此过程中所受合力的冲量的大小和方向；
(2)求小球在圆管内与圆心O1点等高的D点所受弹力FN与h的关系式；
(3)若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？
1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图所示为一游戏闯关装置，该装置由倾斜直轨道AB、竖直圆形轨道BCDEF、水平直轨道FG、传送带GH、水平直轨道HI、两个相同的四分之一圆拼接成的管道IJ、水平直轨道JK组成。直线轨道JK右端为弹性挡板（滑块与挡板碰撞后能原速率返回）。已知螺旋圆形轨道半径，，，，，四分之一圆轨道IJ的半径。现将质量的小滑块从倾斜轨道上某高度h处静止释放，滑块与FG、HI、JK间的动摩擦因数，与传送带间的动摩擦因数，其余轨道光滑，各轨道间平滑连接。不计空气阻力，
(1)若滑块恰能经过圆形轨道最高点D，求其过C点时受到的支持力大小；
(2)将滑块从高处静止释放
①传送带静止，问滑块最终静止的位置；
②传送带以恒定速度v顺时针转动，要使滑块停在JK上，v需满足的条件。
2．（2025·浙江·二模）如图所示，游戏装置由光滑倾斜轨道AB、半径的光滑圆弧轨道BC、长为L=9.0m水平轨道CD和高为光滑高台EF构成，倾角为的直角斜面体紧贴着高台边缘ED，且与高台EF等高。现将质量m=0.5kg的小物块从倾斜轨道上高度为的A处由静止释放，小物块恰好能到达高台边缘E点。若斜面体向左移动，固定在CD间的任一位置，小物块仍从同一高度H处由静止释放，发现小物块从斜面体顶端斜抛后也恰好落在E点。已知小物块与水平轨道CD和与斜面体之间的动摩擦因数均为μ，小物块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s2。
(1)求小物块到达圆弧轨道最低点C时对轨道压力的大小；
(2)求动摩擦因数μ和斜面体倾角θ；
(3)在高台EF上放置表面光滑、质量M=2.0kg的“小山坡”，小物块以速度v0=2.0m/s冲向“小山坡”，设小物块始终贴着“小山坡”表面运动，求“小山坡”获得的速度。
3．（2025·浙江·二模）如图所示，倾角α=37°的斜面AB通过平滑的小圆弧与水平直轨道BC连接，BC右端与顺时针转动的传送带相连，DE为水平长直轨道，左端与该传送带相连，右端与半径为R=0.4m的竖着的光滑半圆弧轨道EF相切，轨道最高点左侧有一小车放置在足够长的水平直轨道GH，小车右侧与F点相齐平，小车左侧安装了一个轻弹簧装置（质量不计）。DE轨道以及传送带长度均为L=1m，DE段铺设特殊材料，其动摩擦因数μ1=0.2x+0.2（x表示DE上一点到D点的距离）。物块与AB、传送带和小车上表面之间（除弹簧原长部分外）的动摩擦因数均为，其余部分均光滑。现在一质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从斜面上某点静止下滑。已知小车质量M=3kg， d=1.2m， sin37°=0.6，cos37°=0.8。
(1)物块恰好到达F点，求物块进入圆弧E点时对轨道的压力；
(2)若物块释放的高度为3m，为让物块能到达F点，求传送带的转动速度至少多大；
(3)物块滑上小车后，与弹簧碰撞时机械能无损失，若小车撞上弹簧弹性势能超过18J时会触发机关把物块锁定，反之，物块被弹回，为使物块最终停留在小车上，求物块到达F点时的速度应满足的条件。
4．（2025·浙江·二模）如图所示，长为L2=1.5m的水平传送带左右两端与水平轨道平滑连接，以v0=4.0m/s的速度逆时针匀速转动；左侧粗糙轨道RQ的长为L1=3.25m，左端R点固定有弹性挡板；右侧光滑轨道PN的长为L3=3.5m，其右端与光滑圆弧轨道相切（N点为圆弧轨道的最低点）。现将一可视为质点的小物块从圆弧轨道上某处静止释放，与挡板发生弹性碰撞后向右恰好能运动到P点。已知小物块与传送带以及左侧轨道的滑动摩擦因数均为μ=0.1，重力加速g取10m/s2，π2=10，不计物块与挡板的碰撞时间。
(1)求物块第一次到达Q点时的速度大小；
(2)为满足上述运动，求物块从圆弧轨道上释放高度的范围；
(3)当物块从半径大于100m圆弧轨道上高度为0.8m的位置由静止释放后，发现该物块在圆弧轨道上运动的时间与从N点运动至第二次到达P点的时间相等，求圆弧轨道的半径。
5．（2025·浙江·一模）一固定装置由水平的光滑直轨道AB、倾角为的光滑直轨道BC、圆弧管道（圆心角为）CD组成，轨道间平滑连接，其竖直截面如图所示。BC的长度，圆弧管道半径（忽略管道内径大小），D和圆心O在同一竖直线上。轨道ABCD末端D的右侧紧靠着光滑水平地面放置的一轻质木板，小物块在木板最左端紧挨着管道出口D，板右上方有一水平位置可调节的挡板P，小物块静止于木板右端。现有一质量为可视为质点的物体，从A端弹射获得的动能后，经轨道ABCD水平滑到D点，并与小物块发生弹性碰撞，经过一段时间后和右侧挡板发生弹性碰撞，整个运动过程中、未发生碰撞，与挡板P碰撞后均反向弹回，碰撞前后瞬间速度大小相等。已知、与木板间的动摩擦因数均为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，，，。试求：
(1)求滑块到达D点时对轨道的作用力；
(2)若整个运动过程中只与挡板碰撞1次，且返回后最终、停止了运动，求最初与挡板P的水平距离；
(3)调节与挡板P的水平距离，使整个运动过程中与挡板总共碰撞2次，且最终、停止了运动，求整个运动经过的时间t和此过程最初与挡板P的水平距离。
6．（2025·浙江温州·三模）某游戏装置的竖直截面如图所示。半径的竖直螺旋圆轨道与倾斜直轨道、水平面分别相切于B、，段圆弧对应的圆心角。水平传送带在电动机带动下，以顺时针转动，传送带两端分别与左、右两侧水平面平滑对接于E、F两点，长，右侧水平面上等间距摆放许多质量的小滑块，从左到右标号分别为1、2、3…n，n足够大。间是一个宽、高的矩形坑。游戏开始，一质量的滑块P从轨道上距水平面高度为h处由静止释放，到达C点时速度。滑块P与轨道间动摩擦因数，与传送带间动摩擦因数，其余摩擦力与空气阻力均忽略。各滑块均可视为质点，滑块间的碰撞均为弹性碰撞，滑块与坑壁碰撞后竖直方向速度不变，水平方向速度大小不变，方向反向，各碰撞时间不计，滑块到达坑底时立即停止运动。求：
(1)滑块P到达圆轨道最高点D时受到轨道的弹力大小，以及释放高度h；
(2)标号为n的滑块到达坑底时距坑底右边缘T的距离；
(3)滑块P与滑块1发生第一次碰撞后，滑块P在传送带上运动的总时间t以及电动机多消耗的电能。
7．（2025·浙江·二模）如图所示固定装置，由弧形光滑轨道AB、竖直光滑圆轨道、水平光滑直轨道BD、倾角为37°的粗糙斜轨道DE、圆弧形光滑管道EF（圆心位于水平地面上）平滑连接而成，D点处小圆弧光滑连接。现将一质量为的小滑块由弧形轨道AB上高h处由静止释放（h未知），通过圆轨道后与静置于BD上质量为的小滑块碰撞，碰撞时间极短且碰后立即粘在一起形成一组合体，组合体在F点与静止在水平台面上质量为M的长木板发生弹性碰撞。已知圆轨道半径R=0.25m，，、与轨道DE间的动摩擦因数，M与水平台面间的动摩擦因数，M最右端停放一质量为的小滑块，M与间的动摩擦因数；水平台面和木板M足够长，已知、、、；从轨道AB上滑下后进入圆弧轨道，运动到与圆心O等高的C点时对轨道的压力为32N。忽略空气阻力，重力加速度g取，、。
(1)求h的大小；
(2)求、组合体刚到达F点时的速度大小；
(3)求最终与M最右端之间的距离。
8．（2025·浙江宁波·三模）某游戏装置如图所示，水平传送带左端点和右端点分别与两个光滑水平台面平滑对接，A、两点间的距离。左侧水平台面上有一被压缩的弹簧，弹簧的左端固定，右端与一质量的滑块接触（与弹簧不栓接，且滑上传送带前已经脱离弹簧），与传送带间的动摩擦因数。右侧水平台面上有一倾角为，高的固定光滑斜面（水平台面与斜面底端用平滑小圆弧连接），在斜面左侧水平台面上放置一质量也为的相同滑块，右侧固定一上表面光滑且很大的水平桌面。桌面上放置一质量，长的薄木板（厚度不计），木板左端点与桌面左端相齐、并与斜面顶端点等高，且间距。游戏开始，将从压缩弹簧的右端由静止释放，与静止在水平台面上的发生碰撞后粘在一起组成滑块，离开斜面后将在木板的上表面与木板发生弹性碰撞（碰撞时间极短），每次碰撞前后瞬间，沿竖直方向的分速度大小不变、方向反向。P、Q、W均可视为质点，不计空气阻力。在某次游戏中，恰好击中木板的中点。
(1)求离开点时的速度大小；
(2)若传送带不动，求弹簧最初储存的弹性势能；若传送带转动，则弹簧最初储存的弹性势能的大小范围；
(3)W击中木板中点后瞬间，和木板的速度分别为多大；
(4)若落在桌面上时不反弹，则在桌面上的落点与桌面左端间的距离为多少。
9．（2025·浙江湖州·三模）如图为一弹射游戏装置，它由安装在水平台面上的固定弹射器，水平直轨道AB，圆心为O的水平半圆细管道BCD，水平直轨道DE、FG、HI和逆时针转动的传送带EF等组成。木板静止在HI上，其上表面与FG相平，左端紧靠竖直边GH。游戏时滑块由A点弹出，经过轨道AB、管道BCD、轨道DE、传送带EF和轨道FG后，滑上木板。已知可视为质点的滑块质量，轨道DE长度，传送带长度，速度大小，木板质量，长度，BCD的半径，滑块与轨道DE、传送带及木板间的动摩擦因数均为，木板与轨道HI间的动摩擦因数，其余各处均光滑，不考虑弹射过程中能量损失，各轨道间平滑连接。
(1)若弹簧的弹性势能，求滑块运动到管道最高点时，受到的管道作用力大小；
(2)若滑块最终静止在轨道DE某处，求弹簧的弹性势能的范围；
(3)若弹簧的弹性势能，求木板运动的位移x。
10．（2025·浙江金华·三模）如图所示，一倾角为的斜面AB与水平面BCD在B点平滑相接，圆轨道最低点为C（稍有错开），E为最高点，半径，CD段长L=1.275m，D端与一足够长的光滑斜面平滑相接。质量的小物块1从斜面顶点A以的速度水平向右抛出，落在斜面上的P点，假设小物块1落到P点前后，平行斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度立即变为零。在CD段距离C点x处有一与物块1完全相同的小物块2，两物块相碰后立即粘连在一起。已知小物块1第一次过圆轨道最高点E时的速度为，两小物块与CD段的动摩擦因数均为，轨道其余部分均光滑，调整小物块2与C点间的距离x，使得小物块合体最终停在CD上的某点M且全程不脱离轨道（，，），求：
(1)小物块1第一次运动到C点时对轨道的压力；
(2)小物块1在斜面上的落点P距离水平面的高度h；
(3)M与C点间的距离s与x的关系。（结果用x表示）
11．（2025·浙江台州·二模）一游戏装置竖直截面如图所示，该装置由固定在水平地面上倾角θ=37°的直轨道AB、螺旋圆形轨道BCDE，倾角θ=37°的直轨道EF、足够长水平直轨道FG组成，半径R=0.32m的螺旋圆形轨道与轨道AB、EF相切于B(E)处，B点高度为1.2R，轨道间平滑连接。质量M=5kg的滑块b放置在轨道FG上，滑块b的上端面是一水平台面，台面的长度和高度均为l=0.8m，滑块b的侧面是圆周的圆弧形光滑槽，槽底跟水平面相切。质量m=2kg的物块a从倾斜轨道AB上高度为H处静止释放。（各段轨道均光滑，物块a视为质点，不计空气阻力，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
(1)若H=1.12m，求
①物块a经过B点时螺旋圆形轨道对物块a的作用力大小FB；
②物块a冲上滑块b后能达到的最大离地高度h；
(2)欲使物块a击中滑块b的水平台面，求释放高度H的取值范围。
12．（2025·浙江嘉兴·三模）某游戏装置如图所示，由弹射装置、圆心为和的两个圆弧构成的竖直轨道ABC、水平轨道CD和逆时针转动的倾斜传送带DE平滑连接而成。水平接收平台FJ的位置可自由调节，其上方静置个相同的小球。现弹射装置将质量的滑块（视为质点）以初动能水平射入A点，通过轨道ABCD和传送带DE后，恰好沿水平进入接收平台并与其上的小球发生碰撞，则游戏成功。已知轨道ABC中，，传送带DE的长度、倾斜角度、运行速度，接收平台上的小球质量，滑块与传送带之间的动摩擦因数，其余各段光滑，不计空气阻力。取，。
(1)若滑块恰好不脱离圆弧轨道ABC，求滑块通过点时的速度及轨道对滑块的支持力；
(2)某次调试中，当接收平台左端与点的水平距离时，游戏恰好成功，求滑块在本次运行过程中与传送带之间因摩擦产生的热量；
(3)若所有碰撞均为弹性正碰，则在游戏成功的条件下，接收平台上第个小球获得的动量与滑块的初动能之间的关系。
13．（2025·浙江·模拟预测）光滑水平平台上有一个滑块D，滑块D右侧面是半径为的圆弧，圆弧面与平台相切，滑块B在平台右端。平台右侧有一长木板C放在光滑水平地面上，木板上表面与平台平齐。小球从滑块D的最高点沿圆弧面从静止释放。已知A、B、C、D的质量分别为、、、，滑块B和木板间的动摩擦因数，小球与滑块B均可视为质点，重力加速度为。
(1)求小球刚滑到圆弧面底端时，小球的水平位移大小；
(2)求小球刚滑到圆弧面底端时，小球对圆弧面的压力大小；
(3)若初始时将滑块D固定在水平面上，小球在水平面上与滑块B发生弹性碰撞（碰后小球即被取走），求滑块B与木板共速时，木板的运动距离。
14．（2025·浙江·模拟预测）如图甲所示，斜轨道高度可调，恒为2m，水平直轨道长度，竖直圆轨道半径，在最低点处稍微错开，在右侧，倾角的直轨道与半径也为的圆弧管道平滑连接，长度。在处圆弧的切线水平，的右侧紧靠着一放置在光滑平台上质量的长木板，长度，其上表面与轨道末端所在水平面平齐，木板右端固定一竖直挡板。质量为的滑块从点由静止下滑，与、、长木板间的动摩擦因数均为，轨道由特殊材料制成，滑块与间的动摩擦因数随距离变化规律如图乙所示。忽略其他阻力，滑块可视为质点，。
(1)若滑块恰能过点，求到点的速度大小和释放点的高度；
(2)若要保证滑块能到达竖直圆轨道且第一次到达竖直圆轨道时不脱离轨道，求斜轨道高度的调节范围；
(3)滑块与长木板右侧的竖直挡板可发生弹性碰撞，若滑块最终能停在长木板上，求高度的调节范围。
15．（2025·浙江·模拟预测）如图所示的装置，半圆形轨道的直径与水平面垂直，轨道的最低点与右侧光滑的台阶相切，台阶右侧紧靠着上表面与台阶齐平的长木板。在台阶上两个铁块、间压缩一轻质弹簧（弹簧与铁块间不固定），某次由静止释放两铁块，铁块脱离弹簧后恰好沿半圆形轨道运动到轨道最高点。铁块滑上木板的上表面，与右侧固定在地面上的竖直弹性挡板碰撞时，、恰好速度相同。、接触面间的动摩擦因数，其余摩擦不计，木板与弹性挡板的碰撞过程中没有机械能损失且时间极短，半圆形轨道的半径，铁块、与木板的质量之比是，铁块始终没有碰到挡板，求：
(1)铁块滑上木板时的速度大小；
(2)木板的右端到挡板的距离；
(3)木板的最小长度；
(4)从铁块滑上木板，到停止，木板运动的总路程。
16．（2025·浙江·模拟预测）如图所示，带有四分之一圆弧的滑块（顶端为，底端为，半径）固定在水平面上，竖直面内直径为的圆轨道与水平面的切点为（与水平面接触处稍错开），圆轨道右侧有一上表面和等高的矩形长木板，紧贴足够长光滑凹槽左端放置，木板上右端有一挡板。一小物块（可视为质点）从点上方距点处由静止释放，滑块固定时，物块经过圆轨道，与挡板发生弹性碰撞后恰好运动到木板左端。已知滑块，物块和木板质量均为，仅物块与、木板上表面间存在摩擦，且动摩擦因数均为，木板，长度均为2.5m。
(1)求物块与挡板碰后运动到木板左端时，物块的速度大小；
(2)求的值；
(3)若改变物块释放位置，求能使物块沿圆轨道运动到木板上并停在木板上的的范围；
(4)若滑块不固定，求物块第一次进入圆轨道时对轨道的压力大小与的关系式（物理量单位均用国际单位制基本单位表示）。
17．（2025·浙江·模拟预测）如图所示，倾角为的斜面与长度为的水平面平滑连接，，光滑细管道是由两个半径均为的四分之一圆弧组成，为两圆弧的连接点，入口和出口处切线均水平，出口的右侧是光滑水平台阶，台阶右侧地面（足够长）上放置长度，质量下表面光滑的木板，木板紧靠台阶右侧且水平上表面与台阶齐平。质量的滑块从斜面上高度的点由静止释放，恰好能到达点。滑块与斜面及水平面间的动摩擦因数均为，整个装置位于竖直平面内，滑块可以看成质点，经过连接点时无机械能损失，不计空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。
(1)求水平面的长度；
(2)求滑块经过点时对管道的压力大小；
(3)若滑块能滑上木板，且不滑离木板，求滑块释放的高度和滑块与木板间的动摩擦因数应满足的关系。
18．（2025·浙江·模拟预测）如图（a）所示，在光滑水平地面上固定一粗糙斜面，一个质量为的物块B（包含左端固定的轻弹簧，弹簧劲度系数未知）静止在水平地面上；物块以的速度向B运动，时刻与弹簧接触，到时与弹簧分离。A、B的图像如图（b）所示。已知在时间内，物块B运动的距离为。A、B分离后，B与静止在水平地面上、质量为的物块C发生弹性正碰，此后物块C滑上粗糙斜面，然后反向滑下，与一直在水平面上的B再次碰撞。已知斜面倾角，物块与斜面间的动摩擦因数，斜面与水平面光滑连接，碰撞过程中弹簧始终处于弹性限度内，弹簧的弹性势能表达式为，其中为弹簧的劲度系数，为弹簧的形变量。求：
(1)物块A的质量；
(2)A、B第一次碰撞和第二次碰撞过程中，物块A的最大加速度之比；
(3)A、B第二次碰撞过程中，弹簧压缩量的最大值。
19．（2025·浙江·模拟预测）如图所示，足够长光滑水平面上物块A、B紧靠在一起，中间夹有少量炸药，B右侧有一长度的水平传送带，传送带与水平面等高，在两端与水平面平滑连接，传送带以的速度逆时针转动。传送带左侧水平面上有一圆弧槽，传送带右侧有一固定轨道，其中段是以为圆心，半径为的一段圆弧，段轨道将水平面和段轨道平滑连接。某时刻炸药爆炸，两物块分离后分别向左、右沿轨道运动。A向左滑上圆弧槽，物块B沿段运动过程对轨道的最小作用力为0。已知A、B的质量均为，圆弧槽的质量为，A、B与传送带间的动摩擦因数均为，其他摩擦不计。，重力加速度，。求：
(1)B经过点时的速度大小；
(2)A滑下圆弧槽前上滑的最大高度和第一次分离时A的速度大小；
(3)圆弧槽最终速度的大小。
20．（2025·浙江·二模）如图所示，圆心角，半径的光滑圆弧轨道BC固定在水平地面上，其末端C切线水平；两个质量均为、长度均为的木板D、E静止在粗糙的水平地面上，其上表面与C端等高且平滑接触；水平传送带固定，且沿顺时针转动。现将质量的物块A轻放在传送带的左端，离开传送带后从B点沿切线方向进入BC轨道，已知物块A与传送带间的动摩擦因数，物块A与木板间的动摩擦因数均为，AB间竖直高度，传送带长度为，木板D与水平面间的动摩擦因数，木板E下表面光滑。取，，。求：
(1)物块A滑到C点时，在C点受到圆弧轨道支持力的大小；
(2)物块A到达B点所用时间；
(3)物块A与木板E之间摩擦产生的热量。
试卷第20页，共20页
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
22
