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专题19 电磁综合计算
1．（2025·浙江·高考真题）利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核结构。如图1所示，用回旋加速器使氘原子核（）获得2.74MeV动能，让其在S处撞击铝（）核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子（）。产生的质子束经狭缝X沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B的圆形匀强磁场区域，经偏转后打在位于磁场上方的探测板上A、D处（探测板与磁场边界相切于A点，D点与磁场圆心O处在同一竖直线上），获得如图2所示的质子动能的能谱图。
(1)写出氘核撞击铝核的核反应方程；
(2)求A、D的间距L；
(3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率；
(4)处于激发态的核会发生β衰变，核反应方程是。若核质量等于核质量，电子质量为0.51MeV/c2，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。
【答案】(1)
(2)
(3)2.74×103W
(4)5.49MeV
【详解】（1）氘核撞击铝核的核反应方程
（2）由图可知，两种质子的动能分别为3MeV和9MeV，动能之比1∶3，可知速度之比，根据
可知
可知在磁场中的半径之比为
由图可知半径较小的打到A点，半径较大的打到D点，由几何关系可知，
解得
可得A、D的间距
（3）若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，则时间t射出氘核的数量为
回旋加速器的输出功率
（4）氘核撞击铝核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子。根据能量守恒可得，能量的为3MeV和9MeV质子分别对应处于激发态的和处于基态的态的。激发态的回到基态会释放能量
核质量等于核质量，则衰变释放的能量主要来源于激发态的跃迁产生的能量差。电子质量为0.51MeV/c2，则衰变释放能量
2．（2025·浙江·高考真题）如图所示，接有恒流源的正方形线框边长、质量m、电阻R，放在光滑水平地面上，线框部分处于垂直地面向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。以磁场边界CD上一点为坐标原点，水平向右建立轴，线框中心和一条对角线始终位于轴上。开关S断开，线框保持静止，不计空气阻力。
(1)线框中心位于，闭合开关S后，线框中电流大小为I，求
①闭合开关S瞬间，线框受到的安培力大小；
②线框中心运动至过程中，安培力做功及冲量；
③线框中心运动至时，恒流源提供的电压；
(2)线框中心分别位于和，闭合开关S后，线框中电流大小为I，线框中心分别运动到所需时间分别为和，求。
【答案】(1)①2BIL；②，；③
(2)0
【详解】（1）①闭合开关S瞬间，线框在磁场中的有效长度为
所以线框受到的安培力大小为
②线框运动到x时，安培力大小为
则初始时和线框中心运动至时的安培力分别为
，
则线框中心运动至过程中，安培力做功为
由动能定理
可得
则安培力的冲量为
③由能量守恒定律
可得，恒流源提供的电压为
（2）类比于简谐运动，则回复力为
根据简谐运动周期公式
由题意可知，两次简谐运动周期相同，两次都从最大位移运动到平衡位置，时间均相同，则有
故
3．（2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M中点S的坐标为（3L，0），离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m，电荷量为q，b离子的比荷为a离子的倍，经电压U=kU0（其中，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压UNM调控（UNM>0），a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。
（1）若U=U0，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x0（用L表示）。
（2）调节U和UNM，并保持，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求：
①U的调节范围（用U0表示）；
②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度；
（3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。
【答案】（1）L；（2）①；②；（3），
【详解】（1）对a离子根据动能定理得
a离子在匀强磁场中做匀速圆周运动
a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置，联立解得
（2）①要使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，只能经电压为U的电场加速后再经第一象限匀强磁场偏转一次打在P板上方任意处，则
结合（1）中分析得
即
即
②b离子经过电压为U的电场加速后在磁场中第一次偏转打在x轴上的位置坐标为
代入得
故可知b离子能从栅极板（坐标范围为）任意位置经电压为的电场减速射入虚线下方的磁场，此时
b离子先经过电压为U的电场加速再在第一象限磁场中做匀速圆周运动后再经过电压为的电场减速，因为根据动能定理得
同时有
，
当时，b离子从栅极板左端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板左端的距离为
当时，b离子从栅极板右端经虚线下方磁场偏转打在P，此时离栅极板右端的距离为
故b离子落在喷镀板P下表面的区域长度为
（3）要求a离子落在喷镀板中点Q，由（1）可知
故可得
则b离子从处经过栅极板，若b离子减速一次恰好打在P板下方中央处，设，则同理可知
联立解得
则可得
当减速n次
联立得
当减速n次恰好打在P板下方中央处，可得
即
解得
即，n取整数，故可得，故可得
4．（2024·浙江·高考真题）某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势、内阻、限流电阻、飞轮每根辐条电阻，电路中还有可调电阻R2（待求）和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。
（1）开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数。
①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I1；
②求物块匀速上升的速度v1。
（2）开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等，
①求可调电阻R2的阻值；
②求磁感应强度B的大小。
【答案】（1）①垂直纸面向外，10A；②5m/s；（2）①；②2.5T
【详解】（1）①物块上升，则金属轮沿逆时针方向转动，辐条受到的安培力指向逆时针方向，辐条中电流方向从圆周指向O点，由左手定则可知，磁场方向垂直纸面向外；等效电路如图
由闭合电路的欧姆定律可知
则
②等效电路如图
辐条切割磁感线产生的电动势与电源电动势相反，设每根辐条产生的电动势为E1，则
解得
此时金属轮可视为电动机
当物块P匀速上升时
解得
另解：因，，根据
解得
（2）①物块匀速下落时，由受力分析可知，辐条受到的安培力与第（1）问相同，等效电路如图
经过R2的电流
由题意可知
每根辐条切割磁感线产生的感应电动势
解得
另解：由能量关系可知
解得
②根据
而
解得
5．（2024·浙江·高考真题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。
（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值；
（2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）
（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）
（4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）见解析
【详解】（1）根据牛顿第二定律
不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，d的最小值为
（2）设水平方向为方向，竖直方向为方向，方向速度不变，方向速度变小，假设折射角为，根据动能定理
解得
根据速度关系
解得
（3）全反射的临界情况：到达Ⅲ区的时候方向速度为零，即
可得
即应满足
（4）临界情况有两个：1、全部都能打到，2、全部都打不到的情况，根据几何关系可得
所以如果的情况下，折射角小于入射角，两边射入的粒子都能打到板上，分情况讨论如下：
①当时
又
解得
全部都打不到板的情况
②根据几何知识可知当从Ⅱ区射出时速度与竖直方向夹角为时，粒子刚好打到D点，水平方向速度为
所以
又
解得
即当时
③部分能打到的情况，根据上述分析可知条件为（），此时仅有O点右侧的一束粒子能打到板上，因此
又
解得
6．（2024·浙江·高考真题）如图1所示，扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在点，三个相同的关于轴对称放置的减振器位于平台下方。如图2所示，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示。已知时速度为，方向向下，、时刻的振幅分别为，。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为时，其弹性势能为。不计空气阻力，求
（1）平台静止时弹簧的伸长量；
（2）时，每个线圈所受到安培力F的大小；
（3）在时间内，每个线圈产生的焦耳热Q；
（4）在时间内，弹簧弹力冲量的大小。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）平台静止时，穿过三个线圈的磁通量不变，线圈中不产生感应电流，线圈不受到安培力作用，O点受力平衡，因此由胡克定律可知此时弹簧的伸长量
（2）在时速度为，设每个线圈的周长为L，由电磁感应定律可得线圈中产生的感应电流
每个线圈所受到安培力F的大小
（3）由减震器的作用平台上下不移动，由能量守恒定律可得平台在时间内，振动时能量的减少量为，由能量守恒定律
在时间内，振动时能量的减少转化为线圈的焦耳热，可知每个线圈产生的焦耳热
（4）取向上为正方向，全程由动量定理可得
其中
联立解得弹簧弹力冲量的大小为
7．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若，求能到达处的离子的最小速度v2；
（3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。
【答案】（1）；（2）（3）60%
【详解】（1）当离子不进入磁场Ⅱ速度最大时，轨迹与边界相切，则由几何关系
解得
r1=2L
根据
解得
在磁场中运动的周期
运动时间
（2）若B2=2B1，根据
可知
粒子在磁场中运动轨迹如图，设O1O2与磁场边界夹角为α，由几何关系
解得
r2=2L
根据
解得
（3）当最终进入区域Ⅱ的粒子若刚好到达x轴，则由动量定理
即
求和可得
粒子从区域Ⅰ到区域Ⅱ最终到x轴上的过程中
解得
则速度在~之间的粒子才能进入第四象限；因离子源射出粒子的速度范围在~，又粒子源射出的粒子个数按速度大小均匀分布，可知能进入第四象限的粒子占粒子总数的比例为
η=60%
8．（2023·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成闭合回路。装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示。导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；
（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。
【答案】（1）3Mg；；（2）；（3）；；（4）装置A可回收火箭的动能和重力势能及磁场能；
【详解】（1）导体杆受安培力
方向向上，则导体杆向下运动的加速度
解得
a=-2g
导体杆运动的距离
（2）回路的电动势
其中
解得
（3）右手定则和欧姆定律可得：
可得
电源输出能量的功率
在时间内输出的能量对应图像的面积，可得：
（4）装置A可回收火箭的动能和重力势能，及磁场能；从开始火箭从速度v0到平台速度减为零，则
若R的阻值视为0
装置A可回收能量为
9．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求孔C所处位置的坐标；
（2）求离子打在N板上区域的长度L；
（3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压；
（4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）当时，
【详解】（1）速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后轨迹如图
由洛伦兹力提供向心力
解得半径
孔C所处位置的坐标
（2）速度大小为的离子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力
解得半径
若要能在C点入射，则由几何关系可得
解得
如图
由几何关系可得
（3）不管从何角度发射
由（2）可得
根据动力学公式可得
，
联立解得
（4）孔C位置坐标x
其中
联立可得
，
解得
在此范围内，和（3）相同，只与相关，可得
解得
根据动力学公式可得
，
解得
10．（2023·浙江·高考真题）如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为的两轻质横杆组成，且。线框通有恒定电流，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置一半径远小于a，面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度匀速转动，当线框平面与平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量与时间的近似关系如图2所示，图中已知。
（1）求0到时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
（2）沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向，在时间内，求圆环中的电流与时间的关系；
（3）求圆环中电流的有效值；
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经时间角速度减小量为，设线框与圆环的能量转换效率为k，求的值（当，有）。
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）由法拉第电磁感应定律
由闭合电路欧姆定律
由电流定义式
联立可得
（2）在时
在时
（3）从能量角度
解得
（4）由能量传递
化简可得
即
解得
11．（2022·浙江·高考真题）舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，在F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v-t图如图2所示，在t1至t3时间内F=(800－10v）N，t3时撤去F。已知起飞速度v1=80m/s，t1=1.5s，线圈匝数n=100匝，每匝周长l=1m，飞机的质量M=10kg，动子和线圈的总质量m=5kg，R0=9.5Ω，B=0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的影响，求
（1）恒流源的电流I；
（2）线圈电阻R；
（3）时刻t3。
【答案】（1）80A；（2）；（3）
【详解】（1）由题意可知接通恒流源时安培力
动子和线圈在0~t1时间段内做匀加速直线运动，运动的加速度为
根据牛顿第二定律有
代入数据联立解得
（2）当S掷向2接通定值电阻R0时，感应电流为
此时安培力为
所以此时根据牛顿第二定律有
由图可知在至期间加速度恒定，则有
解得
，
（3）根据图像可知
故；在0~t2时间段内的位移
而根据法拉第电磁感应定律有
电荷量的定义式
可得
从t3时刻到最后返回初始位置停下的时间段内通过回路的电荷量，根据动量定理有
联立可得
解得
12．（2022·浙江·高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出，
（1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围；
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小，区域Ⅱ的磁感应强度大小，求被探测到的电子刚从板M逸出时速度vM的大小及与x轴的夹角；
（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E的最大值和B2的最大值。
【答案】（1）；；（2）；；（3）；
【详解】（1）光电效应方程，逸出光电子的最大初动能
（2）速度选择器
如图所示，几何关系
（3）由上述表达式可得
由
而v0sinθ等于光电子在板逸出时沿y轴的分速度，则有
即
联立可得B2的最大值
13．（2022·浙江·高考真题）如图所示，水平固定一半径r=0.2m的金属圆环，长均为r，电阻均为R0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴以角速度=600rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距l1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧宽度也为l1、长度为l2、磁感应强度大小为B2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“［”形金属框fcde。棒ab长度和“［”形框的宽度也均为l1、质量均为m=0.01kg，de与cf长度均为l3=0.08m，已知l1=0.25m，l2=0.068m，B1=B2=1T、方向均为竖直向上；棒ab和“［”形框的cd边的电阻均为R=0.1，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“［”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2m后返回进入磁场。
（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M或N）带正电？
（2）求电容器释放的电荷量；
（3）求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。
【答案】（1）0.54C；M板；（2）0.16C；（3）0.14m
【详解】（1）开关S和接线柱1接通，电容器充电充电过程，对绕转轴OO′转动的棒由右手定则可知其动生电源的电流沿径向向外，即边缘为电源正极，圆心为负极，则M板充正电；
根据法拉第电磁感应定律可知
则电容器的电量为
（2）电容器放电过程有
棒ab被弹出磁场后与“［”形框粘在一起的过程有
棒的上滑过程有
联立解得
（3）设导体框在磁场中减速滑行的总路程为，由动量定理
可得
匀速运动距离为
则
14．（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调。氙离子（）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小vS；
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且。求图乙中时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
【答案】（1）；（2）；（3），方向沿z轴负方向
【详解】（1）离子从小孔S射出运动到金属板N中心点O处，根据动能定理有
解得离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小
（2）当磁场仅有沿x方向的分量取最大值时，离子从喷口P的下边缘中点射出，根据几何关系有
根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
当磁场在x和y方向的分量同取最大值时，离子从喷口P边缘交点射出，根据几何关系有
此时；根据洛伦兹力提供向心力有
联立解得
故的取值范围为；
（3）粒子在立方体中运动轨迹剖面图如图所示
由题意根据洛伦兹力提供向心力有
且满足
所以可得
所以可得
离子从端面P射出时，在沿z轴方向根据动量定理有
根据牛顿第三定律可得离子束对推进器作用力大小为
方向沿z轴负方向。
15．（2021·浙江·高考真题）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（）的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值的细导线绕制、匝数的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d与阻值的电阻连接。螺线管的横截面是半径的圆，其中心与长直导线的距离。气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其图像如图乙所示。为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为，其中。
（1）求内通过长直导线横截面的电荷量Q；
（2）求时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量；
（3）若规定为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画出通过电阻R的图像；
（4）若规定为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R的图像。
【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析
【详解】（1）由电量和电流的关系可知图像下方的面积表示电荷量，因此有
代入数据解得
（2）由磁通量的定义可得
代入数据可得
（3）在时间内电流均匀增加，有楞次定律可知感应电流的方向，产生恒定的感应电动势
由闭合回路欧姆定律可得
代入数据解得
在电流恒定，穿过圆形螺旋管的磁场恒定，因此感应电动势为零，感应电流为零，而在时间内电流随时间均匀变化，斜率大小和大小相同，因此电流大小相同，由楞次定律可知感应电流的方向为，则图像如图所示
（4）考虑自感的情况下，线框会产生自感电动势阻碍电流的变化，因此开始时电流是缓慢增加的，过一段时间电路达到稳定后自感消失，电流的峰值和之前大小相同，在时间内电路中的磁通量不变化电流要减小为零，因此自感电动势会阻碍电流的减小，使得电流缓慢减小为零。同理，在内电流缓慢增加，过一段时间电路达到稳定后自感消失，在之后，电路中的磁通量不变化电流要减小为零，因此自感电动势会阻碍电流的减小，使得电流缓慢减小为零。图像如图
16．（2021·浙江·高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
【答案】(1)，；(2)（，0）；(3)（0，）；(4)见解析
【详解】(1)通过速度选择器离子的速度
从磁分析器中心孔N射出离子的运动半径为
由得
(2)经过电场后，离子在x方向偏转的距离
离开电场后，离子在x方向偏移的距离
位置坐标为(，0)
(3)离子进入磁场后做圆周运动半径
经过磁场后，离子在y方向偏转距离
离开磁场后，离子在y方向偏移距离
则
位置坐标为(0，)
(4)注入晶圆的位置坐标为(，),电场引起的速度增量对y方向的运动不产生影响。
17．（2021·浙江·高考真题）嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直船舱导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r，“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为g/6。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab型线框的电流I0；
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小和此时电容器所带电荷量q。
【答案】(1)Blv0；(2)；(3)；(4)，
【详解】(1)导体切割磁感线，电动势
(2)等效电路图如图
并联总电阻
电流
(3)匀速运动时线框受到安培力
根据牛顿第三定律，质量为m1的部分受力F=FA，方向竖直向上，匀速条件
得
(4)匀速运动时电容器不充放电，满足
电容器两端电压为
电荷量为
18．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
（3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
【答案】（1）①，②，k = 0，1，2，3…；（2），n = 0，1，2，…；（3），
【详解】（1）①离子在磁场中做圆周运动有
则
②离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
，k = 0，1，2，3…
（2）设速度大小为v的离子在磁场中圆周运动半径为，有
离子在磁场中的运动时间
转筒的转动角度
ω′t′ = 2nπ + θ
转筒的转动角速度
，n = 0，1，2，…
动量定理
，n = 0，1，2，…
（3）转筒的转动角速度
其中
k = 1，，n = 0，2或者（舍）
可得
，
1．（2025·浙江·一模）如图所示，在水平面上固定两间距为、长度足够的平行导轨，导轨间存在方向垂直水平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场。一质量为的导体棒搁置于导轨间，通过水平绝缘细绳跨过轻质定滑轮与质量为的重物相连。在导轨左侧，通过开关可分别与电容、电阻和电感的支路连接。在各种情况下导体棒均从静止开始运动，且在运动过程中始终垂直于导轨，不计其他电阻、空气阻力、摩擦阻力和电磁辐射。（当电感中通有电流时，电感线圈存储的磁场能为）
(1)若开关掷向1，串接一不带电的电容器，电容为，求导体棒的加速度；
(2)若开关掷向2，串接电阻，已知电阻阻值为，且在静止释放导体棒的时间内，导体棒位移大小为，求导体棒在这段过程中的末速度大小；
(3)若开关掷向3，串接一阻值为的电阻和电感为电感线圈相串联的电路，当重物下降时，重物运动速度可视为匀速。
①求匀速运动速度大小；
②重物从静止开始下降的过程中，回路产生的焦耳热。
【答案】(1)
(2)
(3)① ②
【详解】（1）对M有
对m有
联立解得
导体棒的加速度
（2）对M有
对m有
联立得
对时间微元求和
导体棒在这段过程中的末速度大小
（3）①重物匀速运动
匀速运动速度大小
②由能量守恒
对重物
回路产生的焦耳热
2．（2025·浙江·一模）为研究强磁体的磁性，某小组进行了以下实验：如图甲所示，建立沿水平方向的坐标轴x，将一圆柱形钕铁硼强磁体M对称的置于x轴，磁体中心位于坐标原点O。将一圆形线圈C置于x轴负方向较远处，线圈轴线与x轴重合，线圈与两个传感器（图中未画出）相接。现通过外力作用使线圈沿x轴正方向做匀速直线运动，这时，一个传感器测得通过圆形线圈C的磁通量Φ（数字“5”与“10”仅表示格数）随圆环位置x的变化图像如图乙所示，另一个传感器测得线圈中的电流I随时间t变化的图像如图丙所示。已知在乙图中x=±6cm处的切线斜率绝对值最大，丙图中时刻6s到10s之间的图线可近似的看成直线，线圈的匝数n=100，线圈的电阻R=10Ω。为研究方便，不考虑传感器与线圈间力的作用，线圈导线各处的磁感应强度大小均视为相同。求：
(1)圆形线圈做匀速直线运动的速度大小；
(2)6s至8s期间流过线圈的电量；
(3)整个过程中通过线圈的最大磁通量；
(4)为维持线圈匀速移动，所需水平方向外力的最大值。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）根据乙图中处的切线斜率最大，即感应电动势最大，对应于丙图中时刻10s，而乙图中处则对应于丙图中时刻，故圆形线圈做匀速直线运动的速度大小
（2）6s至8s期间流过电阻的电流均匀变化，则流过电阻的电量
（3）由法拉第电磁感应定律可得
根据乙图可得，6s至8s期间
综合得
（4）为维持线圈匀速移动，应有
最大安培力
其中为线圈所在处径向的磁感应强度，为线圈半径，又，
综合得
即所需水平方向上的最大外力为。
3．（2025·浙江湖州·一模）相距为l的平行导轨PQ、MN处于水平面上，磁感应强度大小为B的匀强磁场与导轨平面垂直，两导轨通过单刀双掷开关K连接有电源和电容器。如图所示，一质量为m的导体棒垂直导轨静止放置，已知电容器的电容为，开始时电容器的上极板带正电，电荷量为，电源的电动势为E，内阻为r，忽略一切阻力，导体棒和导轨的电阻均不计，导轨足够长。
(1)K掷向1，求导体棒的最大加速度；
(2)K掷向1，求导体棒的最大速度；
(3)K掷向1，当导体棒刚达到稳定速度时，求回路中产生的焦耳热Q；
(4)若导体棒有一向右的初速度，当K掷向2的同时，导体棒受到平行导轨向左的恒力F，求导体棒向右运动的最大位移。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）导体棒开始运动时，加速度最大，根据牛顿第二定律可得
结合欧姆定律可得
联立解得
（2）稳定后回路中的电流为零，导体棒速度稳定时达到最大值，则有
解得
（3）导体棒达到稳定速度过程中，根据动量定理可得
可得
解得
根据能量守恒可得
解得
（4）经判断，开始时电容器两端的初始电压与导体棒动生电动势相等，以向左为正，对导体棒
其中
联立解得
导体棒以为初速，加速度a做匀减速运动，最大位移时速度为零。则有
4．（2025·浙江杭州·一模）一圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长，半径R。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为、质量是m、电量为e的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上。忽略场的边界效应、电子受到的重力及电子间相互作用力。若电子碰到筒壁，则被吸收且电中和，R、、m、e均为已知量。
(1)求的大小；
(2)接第（1）问，当磁感应强度大小调至
①求垂直中心轴发射的电子，从发射到落到筒壁上的时间；
②求筒壁上落有电子的区域面积S；
③如图c若电子发射速度与中心轴夹角为α，可经过离O点正上方距离为的点，求α角的可能值。
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【详解】（1）当磁场的磁感应强度为时，电子刚好不会落到筒壁上。则电子以速度垂直轴线方向射出，电子在磁场中做匀速圆周运动，轨迹恰好与圆筒壁相切，轨迹半径为，根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得
（2）①当，电子轨道半径，如下图所示P点为电子在筒壁落点为等边三角形
所以
②磁感应强度调整为后，将速度方向与中心轴夹角为θ的电子运动分解为垂直轴线方向上做匀速圆周运动，平行轴线方向上做匀速直线运动，速度沿垂直轴线和平行轴线方向进行分解，
电子击中筒壁距离粒子源的最远点时，其垂直轴线方向的圆周运动轨迹与筒壁相切，则轨迹圆半径为
根据洛伦兹力提供向心力可得
联立解得，
解得
电子发出到与筒壁相切时间
电子发射方向上下对称，则打在筒壁沿轴方向长度
可知最大面积
③根据题意可知时电子不受洛伦兹力，可匀速直线运动过点。
当电子水平方向圆周运动周期为
竖直方向匀速直线运动
解得
当n=1时；
当n>1时，电子打在筒壁上，不符合要求。
综上所述：经过O点正上方距离为的点α角的可能值是或。
5．（2025·浙江杭州·一模）某兴趣小组为研究电动汽车能量回收装置原理，设计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外沿半径方向的辐向磁场。有一根质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒MN通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：开关接通1，由电动势为E，内阻为r的电源给金属棒供电，棒MN受到阻力f方向与速度相反，大小与速度成正比，，k为已知常数。当MN运动的路程为s时已经匀速运动。若开关接通2，开始能量回收，给电容为C的电容器充电。初始时电容器不带电、金属棒MN静止，电路其余部分的电阻不计。
(1)在开关接通1瞬间，求棒MN受安培力大小；
(2)开关接通1，求稳定后棒MN的最大速度；
(3)接第（2）问，若最大速度已知，记为，则
①求开始转动到最大速度过程中，电源把多少其他形式能转化为电能；
②达到最大速度后，开关接通2，若此后阻力不计，在一段时间后金属棒将再次匀速转动，求此时电容器C上的带电量Q。
【答案】(1)
(2)
(3)①；②
【详解】（1）由闭合电路的欧姆定律
安培力
可得
（2）匀速转动时回路中电流，则
匀速转动，动力与阻力平衡
解得
（3）①由动量定理
解得
其他形形式能转化为电能
②令再次匀速v，电容器电量Q，由
解得
6．（2025·浙江温州·一模）是正电子发射断层扫描（PET）中最重要的放射性示踪剂基础，发生衰变释放出正电子，正电子湮灭产生的伽马射线用于医学成像。如图所示，在平面直角坐标系的有三个区域，的区域I内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在区域II有平行于纸面的匀强电场，大小、方向均未知，在的区域III内有垂直纸面向外的匀强磁场。且（为大于0的常数）。内部装有放射性元素的放射源放置在处，某时刻发生衰变产生的质量为、带电量为的正电子沿轴负方向以速度大小为开始运动，一段时间后从（-L，0）点离开磁场进入区域II，粒子在电场中运动时间后，从坐标原点进入区域III，不计重力和阻力，忽略粒子之间的相互作用。
(1)写出放射性元素发生衰变的方程式；
(2)求区域I内匀强磁场的磁感应强度的大小；
(3)求区域内匀强电场的电场强度大小及方向；
(4)正电子离开原点后离开轴的最大距离。
【答案】(1)
(2)
(3)，方向沿轴正方向
(4)
【详解】（1）根据题意可知，衰变方程为
（2）正电子在磁场中运动轨迹如图所示
由几何关系可知
又根据洛伦兹力提供向心力
解得
（3）设区域II内的匀强电场的电场强度为，根据（2）可知粒子进入区域II时速度与轴成夹角。又轴方向粒子做匀变速直线运动回到轴，则有
其中，根据牛顿第二定律可得
联立求得
轴方向粒子做匀变速直线运动，则有
解得
综上：电场强度，方向沿轴正方向。
（4）粒子在区域中沿轴做匀速直线运动，沿轴做匀变速直线运动，到达点轴方向瞬时速度大小不变，所以离开点瞬间速度大小为，方向与轴成夹角斜向上。粒子在区域III运动过程中，当粒子与轴距离最大时，粒子沿轴的瞬时速度为0，沿轴速度为，在轴方向列动量定理
则有
解得
7．（2025·浙江杭州·三模）科学家发现通过人工磁场可使光子晶体中的光发生偏转，打破了光学的对称性。某实验室设计了一种新型光子晶体，能使光子在传播过程中受到类似洛伦兹力的作用。如图所示，一束激光（波长，功率）从光源O点发出，从P点沿x轴入射，穿过宽度的平行光子晶体区域（区域中存在垂直平面向里的“人工磁场”）。已知光子在晶体中的速度，等效电荷。在光子晶体右侧平行x轴放置完全反射的探测面，经偏转后的光束以角度（未知）撞击探测面。普朗克常量，光速，传播过程中激光能量不衰减。提示：单个光子等效质量，其中为单个光子能量。（，）求：
(1)单个光子的等效质量；
(2)光子在晶体中的轨迹半径和偏转位移；
(3)若磁场存在梯度分布：以P点为坐标原点，，求激光束打在探测板上对探测板的作用力F（仅考虑出射晶体时的折射情况）；
(4)若可调节晶体折射率，使光子在晶体中速度可在范围内变化，光从P点进入一块上述光子晶体，，请你设计光子晶体的形状，使光子在以上速度范围内经过晶体内磁场偏转后都可以回到O点，画出晶体形状，并计算最小面积。（不考虑进出晶体界面处由于折射反射引起的方向改变）
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【详解】（1）光子的能量为
根据质能方程可知，光子的等效质量为
解得
（2）洛伦兹力充当向心力，故有
解得
根据几何关系有
（3）将粒子的速度分解，在方向上的洛伦兹力与水平分速度有关，列动量定理，有
即
可解得
所以
方向为
根据折射率公式，有
碰撞时有动量定理，可知
（4）由于
当时，
如图所示，曲线1为速度最大值时对应的轨迹，曲线2为速度为时对应的一般轨迹，假设出射点为。
由几何关系得，
即所有出射点连接起来为圆弧。所以满足题意可设计如下图所示形状的光子晶体。
则光子晶体的最小面积为
8．（2025·浙江杭州·三模）某同学设计利用电容器实现电磁减速的实验，现有N＝100匝，每匝横截面积为且内阻不计的线圈，线圈所在平面内有竖直方向的随时间余弦式变化的磁场，其峰值为，周期，如图乙所示，以竖直向上为正方向。当单刀双掷开关f打到1，可以给一内阻，电动势的电源充电（时刻电源内部仍有残留电荷），充电电路中有一个内阻不计的理想二极管。电源左侧有一电容的电容器，单刀双掷开关g的左端有相距的足够长的一组光滑金属导轨AB与CD，导轨上的电阻忽略不计。金属导轨所在平面内有一磁感应强度为的垂直于水平面向下的磁场，如图甲所示。
(1)求线圈中的感生电动势随时间变化的表达式（以俯视线圈逆时针为正）
(2)电源充电：当单刀双掷开关f打到1，
a、判定时刻图甲中a、b两点的电势高低；
b、求充电过程中的最大瞬时电流。
(3)电磁减速：待电源充电完毕后，将单刀双掷开关f拨到2，g拨到3，给电容器充电完毕。现有一质量，电阻为R1的导体棒c以初速度从导轨ABCD左端足够远处向右运动，与此同时，将开关g拨到4。导体棒c最终会匀速运动，忽略电磁辐射，求匀速运动时电容器的带电量q以及该过程整个回路产生的焦耳热Q。（提示：电容器的储能公式）
(4)将单刀双掷开关断开，f拨到1，求在一个周期T内，充电装置给电源充上的电荷量。
【答案】(1)
(2)a、；b、
(3)，
(4)
【详解】（1）根据图像可知
根据法拉第电磁感应定律，有
（2）时，未充电，此时；
时，
（3）根据电容器的定义式，有
由于，棒一直减速，电容器先放电再反向充电，有
有动量定理可知，
变形为
解得，
由能量守恒可知
（4）根据产生的电动势公式
当时才能充电，即时才有电流，
所以电量为
为求解，构造在匀强磁场B中，面积为S，匝数为N的线圈以角速度转动产生交流电的模型，使得
则时对应的是从线圈平面与中性面夹角30°开始顺时针转120°
即
所以
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）某科创小组模拟工厂工件流水作业传送装置设计了如下模型，为方便作业，要求工件周期性地交替运动和静止。如图所示，绝缘水平面上固定两个光滑的同心金属圆环，圆心为O，半径分别为和。电阻为R的金属杆ab位于ON处沿半径方向架在两环间（始终接触良好）。直线MOP垂直ON，MON区域充满垂直圆环平面向下的匀强磁场。通过电刷将两金属圆环引出到右侧两根水平固定的平行金属导轨上，导轨光滑且足够长，间距为L，并处于垂直导轨平面向下大小为的匀强磁场中。时刻，施加周期性外力使ab杆以角速度ω绕O点顺时针匀速旋转，并同时释放位于的金属杆cd（质量为m，电阻为2R，长度也为L），当ab杆转到OM处时，cd杆的速度为v，当ab杆转到OP处时，cd杆刚好运动到处且速度为0。不计一切摩擦和其它电阻，运动过程中金属杆始终垂直于平行导轨。求：
(1)时刻ab两点间的电势差；
(2)若ab杆从ON转到OM的过程中，ab杆上产生的焦耳热为Q，求到时间内回路中电流的有效值；
(3)到的距离x的大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据导体转动切割磁感应线有
其中
得
根据右手定则知
解得；
（2）依题意，，二者串联
ab杆从ON转到OM的过程中，ab杆上产生的焦耳热为Q
由
得全电路产生的焦耳热为
ab杆从OM转到OP的过程中，只有杆切割磁感线产生感应电流
由能量守恒定律
得全电路产生的焦耳热为
ab杆从OP转回到ON的过程中，没有感应电流
由电流有效值的定义
有
解得；
（3）从ON转到OM的过程，杆和杆都切割磁感线，所用时间
对杆，以向右为正，由动量定理
有
其中
此过程杆向右切割磁感线产生感应电动势，移动距离为
由
有
根据左手定则和右手定则
有
由前面分析知
从OM转到OP的过程，只有杆向右切割磁感线，移动距离为，用时
对杆，以向右为正，由动量定理
依题意有
联立上面式子解得。
10．（2025·浙江杭州·模拟预测）透射电子显微镜以钨作为热电子源，利用高压加速电子，再通过速度选择器筛选特定速度电子后打在较薄的样品上得到图样，其结构简化后如图所示。O点为钨电子源，处在两正对金属极板C、D的正中间处，加热后可产生速度较小可忽略的电子。D极板上有一小孔，电子可以在加速后从小孔打出，进入正对金属板E、F构成的电容器中，E、F板间电压为U，板间距为L。E、F中间区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在E、F板的末端有一开有小孔的收集板G，G与E、F板绝缘，且位置左右可调，粒子打到收集板上立即被导走。从小孔中打出电子的最大速度与最小速度的差被称为速度选择器的误差。两小孔与电子源在同一轴线上。在CD间加有约为380kV的恒定高压时，电子物质波波长为λ0，电子电量为e，电子静止质量为m，普朗克常数为h。考虑相对论效应时，电子的质量随速度增大。对于能从收集板上小孔打出的电子，不计离开钨的初速度大小，求：
(1)从小孔中点打出的电子的速度v；
(2)电子的动量p；
(3)G移动时，速度选择器的误差会改变，最小误差Δv与小孔的孔径d的函数关系；
(4)钨作为热电子源，在加热后会如同光电效应向空间各方向发射不超过一定速度的电子。在C、D间不加电压，而施加一平行于板垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度也为B；此时所有电子均能打在C板上，且有电子打中的面积为S，电子的最大初速度vm。
【答案】(1)，水平向右
(2)，水平向右
(3)
(4)
【详解】（1）根据平衡条件
电场强度大小为
解得 水平向右
（2）电子的德布罗意波长为
解得 水平向右
（3）最小误差为
电子做匀速圆周运动的半径
解得
（4）粒子运动时间
与磁场垂直的分速度为
解得
与磁场平行的分速度为
解得
合速度为
解得
粒子能打到的范围是一个椭圆，面积为S
解得
11．（2025·浙江·三模）如图所示，平行光滑的金属导轨由水平和左右两倾斜导轨组成，水平导轨与两侧倾斜导轨均有光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连。两侧倾斜导轨与水平面夹角均为30°。左侧倾斜导轨由间距L的导轨CE、DF构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨连接构成，其中EG、FH段间距为L，有与竖直方向成60°斜向左上方的磁感应强度大小为2B的匀强磁场。MP、NQ段间距为2L，有与竖直方向成（斜向右上方的磁感应强度大小为B的匀强磁场。右侧足够长的倾斜导轨PK、QJ间距为2L，上端连接电容为C的电容器，有垂直右侧倾斜导轨平面向上的磁感应强度大小为5B的匀强磁场。导体棒甲的质量为0.5m、电阻为R，乙的质量为m、电阻不计，导体棒乙静止于MP、NQ段。现使导体棒甲自斜面导轨上距水平导轨h高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终垂直导轨，且与导轨保持良好接触。若稳定时导体棒甲未进入MP、NQ段，导轨电阻和空气阻力均忽略不计。已知B=0.2T， m=0.4kg，h=0.45m，L=0.2m，R=0.3Ω，，。求：
(1)甲棒刚进入磁场时，乙棒的加速度；
(2)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，通过乙棒的电量；
(3)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，回路产生的焦耳热；
(4)稳定后，乙棒进入右侧倾斜轨道，随即撤去甲棒，求乙棒上滑的最大距离。
【答案】(1)0.04m/s2
(2)10C
(3)0.6J
(4)
【详解】（1）甲棒刚进入磁场时，根据机械能守恒有
解得
甲棒感应电动势E =2BLv0cos60°Lv0
电流
对乙棒有 2LBIcos60°= ma
解得a=0.04m/s2
（2）当甲进入磁场，甲、乙所受安培力相等，有2BILcos60° =2BLIcos60°
甲、乙系统动量守恒，最终共速， 则
解得共速时
对乙根据动量定理有∑2LBcos60°IΔt = mv1
又q=∑I△t
解得q=10C
（3）由能量守恒得
解得Q总=0.6J
（4）乙棒沿右侧倾斜导轨做匀减速直线运动，则mgsin30°+5B·i·2L= ma
又
由以上式解得a=6m/s2
乙棒上滑的最大距离为x，
解得
12．（2025·浙江·三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为，匀强电场方向竖直向下，场强大小为。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)粒子由P点射出时水平分速度vx的大小；
(2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程；
(3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比；
(4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。
【答案】(1)3v0
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）设从P 点射出的一粒子，其速度大小为v，方向与y 轴正方向成θ角。
可得
即从P 点射出的粒子其平行于x 轴的分速度大小是3v0。
（2）电场方向沿y 轴负方向。粒子到达O 点后分布在与x 轴正方向成60°的范围内。
电场区域的边界为从O 点进入电场的粒子经电场偏转后速度平行于x 轴正方向时的}出点的集合。令出点的坐标为（x，y），有x =vxt
消去 t 得
（3）若粒子恰能水平进入探测器，即竖直减速为零位移等于探测器高度
其中
解得
即当粒子发射方向与y 轴正方向成45 至90 角的范围内能进入探测器所占比例为
（4）粒子以大小为3v0的水平速度进入电磁场，为抵消粒子所受的电场力，需给粒子一个水平向右的速度v0，粒子在探测器中的运动可以看成匀速直线运动和圆周运动的合运动,其圆周半径，即离x 轴高L 的粒子恰能与上边界相切
根据
解得
即粒子发射方向与y 轴正方向成60°至90°角的范围内能达到右边收集板
收集粒子数
作用时间
根据探测器水平长度，假设粒子以v0匀速向右，则
其中圆周周期
根据,可知
如图所示
解得 θ=60°
则撞击瞬间粒子水平速度为
由动量定理
解得
13．（2025·浙江·二模）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压U=1.8V，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，π=3，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求：
(1)光电子到达极板A的最大速度；
(2)极板A上有光电子打中的区域面积；
(3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件，并计算电子在磁场中运动最短时间（计算结果保留1位有效数字）；
(4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度应满足的条件。
【答案】(1)
(2)
(3)，
(4)
【详解】（1）由爱因斯坦光电效应方程得
电场中动能定理
解得
（2）设极板上有光电子打中得区域为半径为y的圆形区域，电子的最大动能为
当电子以最大速度且沿平行极板方向逸出锌板时，电子打到圆形区域的边缘。此时电子在平行极板方向做匀速直线运动，则
电子在垂直极板方向做匀加速直线运动，有
其中，根据牛顿第二定律可知，电子沿垂直极板方向的加速度大小为
联立得y=0.6m
则，极板A上有光电子打中的区域面积为
（3）设电子经过A板时最大速度大小为，与板最小夹角为α，则
解得
所有电子均不从右侧边界飞出临界情况如图
由几何关系得
解得Dm=0.9m
所以磁场宽度D应满足的条件为。光电子在磁场中运动最短时间对应轨迹如图
电子在磁场中运动的周期为
运动的最小时间为
解得
（4）取向下为y轴正方向，由y方向动量定理得
则
所以
当向上时，电子水平位移最大，此时
磁场宽度D′应满足的条件。
14．（2025·浙江·二模）倾角为θ=37°间距为L=0.5m的固定金属导轨下端接R=0.4Ω的电阻，导轨平面有三个区域，如图所示，图中虚线为区域边界。区域Ⅰ宽度为，无磁场。区域Ⅱ宽度为，有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。区域Ⅲ宽度为，有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度为。质量为m=0.5kg，电阻为r=0.1Ω，长度也为L=0.5m的导体棒ab垂直导轨放置，从区域Ⅰ下边界开始在电动机牵引作用下由静止开始加速，进入区域Ⅱ时，速度为v=4m/s，且恰好能匀速通过区域Ⅱ。当导体棒刚进入区域Ⅲ时关闭电动机，导体棒恰好能到达区域Ⅲ的上端。已知导体棒与区域Ⅰ导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，其它区域导轨光滑。导体棒在区域Ⅰ、Ⅱ时，电动机功率保持不变，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，不计导轨电阻，重力加速度。求：
(1)导体棒在区域Ⅱ运动时两端的电压；
(2)电动机的功率P；
(3)全过程所用时间t；
(4)全过程中电阻R产生的焦耳热。
【答案】(1)-1.6V
(2)20W
(3)1.59s
(4)4J
【详解】（1）感应电动势
（2）导体棒在区域Ⅱ以速度v做匀速运动，则
（3）区域Ⅰ，电动机功率不变，导体棒做变加速运动，由动能定理得
解得
区域Ⅱ，导体棒做匀速运动，
区域Ⅲ，导体棒做减速运动，由动量定理得
其中
解得
所以，全程所用时间为
（4）对全程用能量守恒可得
解得Q＝5J
电阻R上产生的焦耳热为
15．（2025·浙江绍兴·二模）如图甲所示是托卡马克装置的结构示意图，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。
【提示：空间角是三维空间中的角度度量，用于描述从一个点出发所能观察到的立体角，半顶角为θ的圆锥形发散空间角为】
(1)写出氘和氚核聚变的核反应方程式；
(2)若粒子以v0速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小；
(3)将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为B0的匀强磁场，如图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射速度大小为的粒子。
①若某粒子发射时速度方向与x轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距；
②求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比；
(4)实际装置的环向场线圈产生类似“磁瓶”形状的非匀强磁场来约束粒子，如图丁所示。已知沿轴线方向的磁感应强度最大和最小的关系为：，在粒子运行过程中，垂直轴线方向速度的平方与沿轴线方向的磁感应强度的大小之比为一常数，即。位于轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射粒子（所有粒子均没有碰到室壁），求粒子能被约束在“磁瓶”内的比例。
【答案】(1)
(2)
(3)，40%
(4)
【详解】（1）氘和氚核聚变的核反应方程式
（2）设极向场线圈产生的磁场大小为B，洛仑兹力提供向心力
解得
（3）带电粒子与x轴成θ角射入环向磁场，粒子沿螺旋线运动。
①设粒子垂直轴向做圆周运动的周期为T，则
设粒子沿轴向上做匀速运动的速度vx，则螺距
解得
②粒子垂直轴向上做匀速圆周运动，设粒子刚好碰到室壁的角度为θ，洛仑兹力提供向心力
半径为
根据速度的分解，有
可得
粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比
解得
（4）中点O处的磁场最弱，设在O处发射粒子的速度为v，与轴线夹角为θ；“磁瓶”的“瓶颈”处磁场最强，粒子运动到此处时速度方向恰好与轴线垂直，则粒子能够被约束在“磁瓶”内，因为洛仑兹力不做功，粒子速度大小始终为v。根据题意可知
可得
即
则角度大于θ的粒子能被约束在“磁瓶”内
可得
16．（2025·浙江绍兴·模拟预测）《中国激光》杂志第六期（2025.3）报道，上海光学精密机械研究所林楠团队创新地采用固体激光器方案，实现了LPP-EUV光源技术全球领先，这标志着国产芯片制造迈入了新阶段。物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构图简化如下（z方向足够长），晶圆（截面MN）固定放置于xOy坐标系的第一象限内，OMN区域内有匀强磁场，磁感应强度，方向沿z轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强，方向沿y轴负方向。初速可略的氩离子（比荷）经电压为U（待求）的电场加速后，从点水平进入匀强电场E中，恰好打到位于原点O处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的金属离子（比荷）从O点飞入磁场区域，速度大小均为，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其间的相互作用力，求：
(1)U的数值；
(2)假设进入磁场的离子沿各个方向都有，求晶圆MN方向上的涂膜（金属离子打中的区域）长度；
(3)假设从O点飞入磁场的离子分布在半顶角的圆锥侧面上，圆锥对称轴垂直于晶圆截面，如图乙，考察方向上的离子，打在晶圆上的位置坐标。
【答案】(1)
(2)0.5m
(3)0.555m
【详解】（1）氩离子在电场中做类平抛运动，竖直方向有
水平方向有
在加速电场中，由动能定理可得
联立解得
（2）金属离子在磁场中做匀速圆周运动，有
解得
沿x轴正向射出的离子，圆心在M点，落点到M点的距离为0.5m，分析知，离子能直接打到M点（此时的弦切角为），故涂膜的长度为0.5m。
（3）对着A点入射的离子，v与B方向不再垂直，将v正交分解，得，
则
在xOy平面内，其落点的y坐标为
即落在M点，故，，图孤所对的圆心角为，则
故
17．（2025·浙江金华·三模）通电长直导线周围某点的磁感应强度可以用来计算，其中I是电流的大小，r是点到导线的距离，k为比例系数。如图所示，表层绝缘的长直导线水平固定在倾角θ=30°的斜面上，导线中的恒定电流I0方向自左向右，不计电阻的金属导轨AO和BO沿斜面固定放置，它们的长度均为，与水平长直导线的夹角为30°。长为L、质量为m、单位长度电阻为r0的导体棒MN，在外力作用下从O点由静止开始沿斜面向下运动，运动过程中MN始终与长直导线平行，MN出现的电流大小始终为I，且下滑过程中除安培力外，仅受到与安培力比值为β的综合阻力。取重力加速度为g，不考虑地磁场的影响，解答下列问题：
(1)判断运动过程（未脱离导轨）中导体MN棒中电流的方向；
(2)研究导体棒运动的距离为x（x<0.25L）的过程：
①求此时导体棒的速度v；
②求运动到x位置时候的加速度大小a；
(3)研究从开始运动到导体棒脱离导轨过程：
①求该过程中产生的焦耳热Q；
②求外力所做的功W。
【答案】(1)从M到N
(2)①；②
(3)①；②
【详解】（1）由安培定则可以判断导体棒MN处的磁场方向为垂直与此斜面向下，再由右手定则可以判断电流方向应为M指向N；
（2）①根据题意当导体棒运动距离为时回路中得总电阻为，再有电路电压关系有 解得；
②导体棒运动到位置时加速度；
（3）①由题意可知导体棒运动到位置时导体棒脱离导轨，此时导体棒的速度
再由安培力
可知安培力为恒力，所以该过程中产生的焦耳热即为克服安培力所做的功
即
②由题综合阻力做的功为
对导体棒开始运动到脱离导轨全程使用动能定理有
解得
18．（2025·浙江绍兴·二模）如图所示，两个光滑刚性正方形金属线框A1B1C1D1和A2B2C2D2交叠固定在光滑水平面上，交叠点E和F恰好为两边中点，且彼此相互绝缘。在两线框交叠区域存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场（交叠的金属线框在磁场边缘以内）。已知两线框质量均为m，边长均为a，单位长度电阻均为r0。现将匀强磁场在极短的时间内减小为零，不计线框电感。
(1)判断线框A1B1C1D1中感应电流方向（“顺时针”或“逆时针”），并求流过截面的电量；
(2)求线框A2B2C2D2受到安培力冲量的大小和方向；
(3)若线框A1B1C1D1不固定，交叠点E和F不彼此绝缘（接触电阻不计），而且线框所在平面整个区域都存在着匀强磁场B0，求匀强磁场减小为零时线框A1B1C1D1速度的大小。（忽略磁场减小过程中线框的移动）
【答案】(1)顺时针；
(2)；向左
(3)
【详解】（1）根据楞次定律可知，线框A1B1C1D1中感应电流的方向：顺时针；
由法拉第电磁感应定律和闭合回路欧姆定律，
流过截面的电量
（2）线框A2B2C2D2受到安培力冲量的方向：向左；
设某时刻线框的电流为i，则
线框受到安培力的冲量
则
得
（3）根据两环对称性，设某时刻两线框电流i1和i2如图所示。
设回路A1EA2D2C2FC1B1中的电动势为E1，则
得
设回路ED1FB2中的电动势为E2，则
得
【或：对于A1B1C1D1：】
由于，线框A1B1C1D1所受安培力的合力方向向左，速度方向向左；
设线框A1B1C1D1获得速度大小为v，利用动量定理，
可得
解得
19．（2025·浙江温州·三模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立xOy直角坐标系，足够长的收集板置于y轴上。在y>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光滑，长度L=2m。一质量m=0.1kg，电荷量q=0.1C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端的距离为d。现用挡板推动小球沿y轴正方向运动，运动中挡板始终平行于x轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度v0=2m/s沿y轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电小球离开挡板M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。
(1)当d=1.25m时，求带电小球离开挡板M端时的速度大小v；
(2)调节挡板M端与y轴距离为x0时，无论d多大，都可以让小球垂直打在收集板上。
①求x0；
②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y与d之间的函数关系。
③撤去收集板，在x≤x0区域施加电场强度E=2V/m，方向沿y轴正方向的匀强电场。当d=1m时，求小球在磁场区域运动过程中距x轴的最远距离ym。
【答案】(1)3m/s
(2)①2m；②（0≤d≤2m）；③4m
【详解】（1）进入磁场后，小球做匀加速运动，根据牛顿第二定律有
解得
离开挡板时，沿挡板方向速度为
离开挡板时，小球速度大小为
（2）①由题可知，无论d多大，小球都能垂直打在收集板上，根据洛伦兹力提供向心力有
解得
根据几何关系可得
②小球离开挡板前，根据
解得
则有
小球离开挡板后，根据几何关系有
根据几何关系可得y与d有关系为（0≤d≤2m）
③当d=1m时，离开挡板时，沿挡板方向速度为
离开挡板时，小球速度大小为
根据动能定理有
水平方向，根据动量定理有
联立解得
小球离开挡板前
则最远距离
20．（2025·浙江·二模）如图所示，半径r=0.5m的均匀金属圆盘D垂直固定在水平金属转轴上，圆盘中心位于转轴中心线上，不计转轴粗细。D盘处存在方向平行转轴向左、大小的匀强磁场。圆盘边缘和转轴分别通过电刷连接间距L=1m的水平平行金属导轨。导轨HI处用绝缘材料平滑连接，左侧接有电容C=0.5F的电容器，EG与绝缘点HI之间有方向竖直向下的匀强磁场，JK左侧、HI右侧区域有方向竖直向下、大小随x变化的磁场（x表示到JK的距离），变化规律满足（T）（x≥0），同一位置垂直于轨道方向的磁场相同，紧靠JK左侧附近放置质量m=0.5kg、电阻R=0.5Ω、边长d=0.5m的“]”缺边正方形金属框PP1Q1Q， 质量也为m=0.5kg的金属棒ab放置在HI的左侧EG处，其单位长度的电阻，保持金属圆盘按图示方向以ω=16rad/s的角速度匀速转动。不考虑电流产生的磁场影响，除已知电阻外其他电阻不计，忽略转动的摩擦阻力。
(1)单刀双掷开关S接通1时，电容器M板带正电还是负电荷，带电量多少；
(2)稳定后S接通2，金属棒ab到达HI前已达到稳定速度，求棒ab到HI过程中产生的热量；
(3)金属棒ab与缺边正方形金属框发生完全非弹性碰撞后，
①求碰后瞬间UPQ；
②金属框出磁场过程中，棒ab两端电压随x的关系。
【答案】(1)0.5C
(2)0.2J
(3)； （0.5m≥x≥0）
【详解】（1） 由右手定则，单刀双掷开关S接通1时，电容器M板带正电。
感应电动势
电容器电荷量
（2）稳定后S接通2，金属棒ab到达HI前已达到稳定速度，由动量定理
联立得v=0.4m/s，Δq=0.4C ，
由能量守恒定律
棒ab到HI过程中产生的热量Q=0.2J
（3）
①金属棒ab与缺边正方形金属框发生完全非弹性碰撞 mv=2mv1
由闭合电路欧姆定律
②由动量定理
联立得
由闭合电路欧姆定律
（0.5m≥x≥0）
试卷第20页，共20页
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专题19 电磁综合计算
1．（2025·浙江·高考真题）利用磁偏转系统可以测量不同核反应中释放的高能粒子能量，从而研究原子核结构。如图1所示，用回旋加速器使氘原子核（）获得2.74MeV动能，让其在S处撞击铝（）核发生核反应，产生处于某一激发态和基态的同位素核（）以及两种不同能量的质子（）。产生的质子束经狭缝X沿水平直径方向射入半径为R，方向垂直纸面向里、大小为B的圆形匀强磁场区域，经偏转后打在位于磁场上方的探测板上A、D处（探测板与磁场边界相切于A点，D点与磁场圆心O处在同一竖直线上），获得如图2所示的质子动能的能谱图。
(1)写出氘核撞击铝核的核反应方程；
(2)求A、D的间距L；
(3)若从回旋加速器引出的高能氘核流为1.0mA，求回旋加速器的输出功率；
(4)处于激发态的核会发生β衰变，核反应方程是。若核质量等于核质量，电子质量为0.51MeV/c2，在上述两个核反应过程中，原子核被视为静止，求衰变释放的能量。
2．（2025·浙江·高考真题）如图所示，接有恒流源的正方形线框边长、质量m、电阻R，放在光滑水平地面上，线框部分处于垂直地面向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。以磁场边界CD上一点为坐标原点，水平向右建立轴，线框中心和一条对角线始终位于轴上。开关S断开，线框保持静止，不计空气阻力。
(1)线框中心位于，闭合开关S后，线框中电流大小为I，求
①闭合开关S瞬间，线框受到的安培力大小；
②线框中心运动至过程中，安培力做功及冲量；
③线框中心运动至时，恒流源提供的电压；
(2)线框中心分别位于和，闭合开关S后，线框中电流大小为I，线框中心分别运动到所需时间分别为和，求。
3．（2024·浙江·高考真题）探究性学习小组设计了一个能在喷镀板的上下表面喷镀不同离子的实验装置，截面如图所示。在xOy平面内，除x轴和虚线之间的区域外，存在磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外的匀强磁场，在无磁场区域内，沿着x轴依次放置离子源、长度为L的喷镀板P、长度均为L的栅极板M和N（由金属细丝组成的网状电极），喷镀板P上表面中点Q的坐标为（1.5L，0），栅极板M中点S的坐标为（3L，0），离子源产生a和b两种正离子，其中a离子质量为m，电荷量为q，b离子的比荷为a离子的倍，经电压U=kU0（其中，k大小可调，a和b离子初速度视为0）的电场加速后，沿着y轴射入上方磁场。经磁场偏转和栅极板N和M间电压UNM调控（UNM>0），a和b离子分别落在喷镀板的上下表面，并立即被吸收且电中和，忽略场的边界效应、离子受到的重力及离子间相互作用力。
（1）若U=U0，求a离子经磁场偏转后，到达x轴上的位置x0（用L表示）。
（2）调节U和UNM，并保持，使a离子能落到喷镀板P上表面任意位置，求：
①U的调节范围（用U0表示）；
②b离子落在喷镀板P下表面的区域长度；
（3）要求a和b离子恰好分别落在喷镀板P上下表面的中点，求U和UNM的大小。
4．（2024·浙江·高考真题）某小组探究“法拉第圆盘发电机与电动机的功用”，设计了如图所示装置。飞轮由三根长的辐条和金属圆环组成，可绕过其中心的水平固定轴转动，不可伸长细绳绕在圆环上，系着质量的物块，细绳与圆环无相对滑动。飞轮处在方向垂直环面的匀强磁场中，左侧电路通过电刷与转轴和圆环边缘良好接触，开关S可分别与图示中的电路连接。已知电源电动势、内阻、限流电阻、飞轮每根辐条电阻，电路中还有可调电阻R2（待求）和电感L，不计其他电阻和阻力损耗，不计飞轮转轴大小。
（1）开关S掷1，“电动机”提升物块匀速上升时，理想电压表示数。
①判断磁场方向，并求流过电阻R1的电流I1；
②求物块匀速上升的速度v1。
（2）开关S掷2，物块从静止开始下落，经过一段时间后，物块匀速下降的速度与“电动机”匀速提升物块的速度大小相等，
①求可调电阻R2的阻值；
②求磁感应强度B的大小。
5．（2024·浙江·高考真题）类似光学中的反射和折射现象，用磁场或电场调控也能实现质子束的“反射”和“折射”。如图所示，在竖直平面内有三个平行区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ；Ⅰ区宽度为d，存在磁感应强度大小为B、方向垂直平面向外的匀强磁场，Ⅱ区的宽度很小。Ⅰ区和Ⅲ区电势处处相等，分别为和，其电势差。一束质量为m、电荷量为e的质子从O点以入射角射向Ⅰ区，在P点以出射角射出，实现“反射”；质子束从P点以入射角射入Ⅱ区，经Ⅱ区“折射”进入Ⅲ区，其出射方向与法线夹角为“折射”角。已知质子仅在平面内运动，单位时间发射的质子数为N，初速度为，不计质子重力，不考虑质子间相互作用以及质子对磁场和电势分布的影响。
（1）若不同角度射向磁场的质子都能实现“反射”，求d的最小值；
（2）若，求“折射率”n（入射角正弦与折射角正弦的比值）
（3）计算说明如何调控电场，实现质子束从P点进入Ⅱ区发生“全反射”（即质子束全部返回Ⅰ区）
（4）在P点下方距离处水平放置一长为的探测板（Q在P的正下方），长为，质子打在探测板上即被吸收中和。若还有另一相同质子束，与原质子束关于法线左右对称，同时从O点射入Ⅰ区，且，求探测板受到竖直方向力F的大小与U之间的关系。
6．（2024·浙江·高考真题）如图1所示，扫描隧道显微镜减振装置由绝缘减振平台和磁阻尼减振器组成。平台通过三根关于轴对称分布的相同轻杆悬挂在轻质弹簧的下端O，弹簧上端固定悬挂在点，三个相同的关于轴对称放置的减振器位于平台下方。如图2所示，每个减振器由通过绝缘轻杆固定在平台下表面的线圈和固定在桌面上能产生辐向磁场的铁磁体组成，辐向磁场分布关于线圈中心竖直轴对称，线圈所在处磁感应强度大小均为B。处于静止状态的平台受到外界微小扰动，线圈在磁场中做竖直方向的阻尼运动，其位移随时间变化的图像如图3所示。已知时速度为，方向向下，、时刻的振幅分别为，。平台和三个线圈的总质量为m，弹簧的劲度系数为k，每个线圈半径为r、电阻为R。当弹簧形变量为时，其弹性势能为。不计空气阻力，求
（1）平台静止时弹簧的伸长量；
（2）时，每个线圈所受到安培力F的大小；
（3）在时间内，每个线圈产生的焦耳热Q；
（4）在时间内，弹簧弹力冲量的大小。
7．（2023·浙江·高考真题）利用磁场实现离子偏转是科学仪器中广泛应用的技术。如图所示，Oxy平面（纸面）的第一象限内有足够长且宽度均为L、边界均平行x轴的区域Ⅰ和Ⅱ，其中区域Ⅰ存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场，区域Ⅱ存在磁感应强度大小为B2的磁场，方向均垂直纸面向里，区域Ⅱ的下边界与x轴重合。位于处的离子源能释放出质量为m、电荷量为q、速度方向与x轴夹角为60°的正离子束，沿纸面射向磁场区域。不计离子的重力及离子间的相互作用，并忽略磁场的边界效应。
（1）求离子不进入区域Ⅱ的最大速度v1及其在磁场中的运动时间t；
（2）若，求能到达处的离子的最小速度v2；
（3）若，且离子源射出的离子数按速度大小均匀地分布在范围，求进入第四象限的离子数与总离子数之比η。
8．（2023·浙江·高考真题）某兴趣小组设计了一种火箭落停装置，简化原理如图所示，它由两根竖直导轨、承载火箭装置（简化为与火箭绝缘的导电杆MN）和装置A组成，并形成闭合回路。装置A能自动调节其输出电压确保回路电流I恒定，方向如图所示。导轨长度远大于导轨间距，不论导电杆运动到什么位置，电流I在导电杆以上空间产生的磁场近似为零，在导电杆所在处产生的磁场近似为匀强磁场，大小（其中k为常量），方向垂直导轨平面向里；在导电杆以下的两导轨间产生的磁场近似为匀强磁场，大小，方向与B1相同。火箭无动力下降到导轨顶端时与导电杆粘接，以速度v0进入导轨，到达绝缘停靠平台时速度恰好为零，完成火箭落停。已知火箭与导电杆的总质量为M，导轨间距，导电杆电阻为R。导电杆与导轨保持良好接触滑行，不计空气阻力和摩擦力，不计导轨电阻和装置A的内阻。在火箭落停过程中，
（1）求导电杆所受安培力的大小F和运动的距离L；
（2）求回路感应电动势E与运动时间t的关系；
（3）求装置A输出电压U与运动时间t的关系和输出的能量W；
（4）若R的阻值视为0，装置A用于回收能量，给出装置A可回收能量的来源和大小。
9．（2023·浙江·高考真题）探究离子源发射速度大小和方向分布的原理如图所示。x轴上方存在垂直平面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场。x轴下方的分析器由两块相距为d、长度足够的平行金属薄板M和N组成，其中位于x轴的M板中心有一小孔C（孔径忽略不计），N板连接电流表后接地。位于坐标原点O的离子源能发射质量为m、电荷量为q的正离子，其速度方向与y轴夹角最大值为；且各个方向均有速度大小连续分布在和之间的离子射出。已知速度大小为、沿y轴正方向射出的离子经磁场偏转后恰好垂直x轴射入孔C。未能射入孔C的其它离子被分析器的接地外罩屏蔽（图中没有画出）。不计离子的重力及相互作用，不考虑离子间的碰撞。
（1）求孔C所处位置的坐标；
（2）求离子打在N板上区域的长度L；
（3）若在N与M板之间加载电压，调节其大小，求电流表示数刚为0时的电压；
（4）若将分析器沿着x轴平移，调节加载在N与M板之间的电压，求电流表示数刚为0时的电压与孔C位置坐标x之间关系式。
10．（2023·浙江·高考真题）如图1所示，刚性导体线框由长为L、质量均为m的两根竖杆，与长为的两轻质横杆组成，且。线框通有恒定电流，可以绕其中心竖直轴转动。以线框中心O为原点、转轴为z轴建立直角坐标系，在y轴上距离O为a处，固定放置一半径远小于a，面积为S、电阻为R的小圆环，其平面垂直于y轴。在外力作用下，通电线框绕转轴以角速度匀速转动，当线框平面与平面重合时为计时零点，圆环处的磁感应强度的y分量与时间的近似关系如图2所示，图中已知。
（1）求0到时间内，流过圆环横截面的电荷量q；
（2）沿y轴正方向看以逆时针为电流正方向，在时间内，求圆环中的电流与时间的关系；
（3）求圆环中电流的有效值；
（4）当撤去外力，线框将缓慢减速，经时间角速度减小量为，设线框与圆环的能量转换效率为k，求的值（当，有）。
11．（2022·浙江·高考真题）舰载机电磁弹射是现在航母最先进的弹射技术，我国在这一领域已达到世界先进水平。某兴趣小组开展电磁弹射系统的设计研究，如图1所示，用于推动模型飞机的动子（图中未画出）与线圈绝缘并固定，线圈带动动子，可在水平导轨上无摩擦滑动。线圈位于导轨间的辐向磁场中，其所在处的磁感应强度大小均为B。开关S与1接通，恒流源与线圈连接，动子从静止开始推动飞机加速，飞机达到起飞速度时与动子脱离；此时S掷向2接通定值电阻R0，同时施加回撤力F，在F和磁场力作用下，动子恰好返回初始位置停下。若动子从静止开始至返回过程的v-t图如图2所示，在t1至t3时间内F=(800－10v）N，t3时撤去F。已知起飞速度v1=80m/s，t1=1.5s，线圈匝数n=100匝，每匝周长l=1m，飞机的质量M=10kg，动子和线圈的总质量m=5kg，R0=9.5Ω，B=0.1T，不计空气阻力和飞机起飞对动子运动速度的影响，求
（1）恒流源的电流I；
（2）线圈电阻R；
（3）时刻t3。
12．（2022·浙江·高考真题）如图为研究光电效应的装置示意图，该装置可用于分析光子的信息。在xOy平面（纸面）内，垂直纸面的金属薄板M、N与y轴平行放置，板N中间有一小孔O。有一由x轴、y轴和以O为圆心、圆心角为90°的半径不同的两条圆弧所围的区域Ⅰ，整个区域Ⅰ内存在大小可调、方向垂直纸面向里的匀强电场和磁感应强度大小恒为B1、磁感线与圆弧平行且逆时针方向的磁场。区域Ⅰ右侧还有一左边界与y轴平行且相距为l、下边界与x轴重合的匀强磁场区域Ⅱ，其宽度为a，长度足够长，其中的磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度大小可调。光电子从板M逸出后经极板间电压U加速（板间电场视为匀强电场），调节区域Ⅰ的电场强度和区域Ⅱ的磁感应强度，使电子恰好打在坐标为（a+2l，0）的点上，被置于该处的探测器接收。已知电子质量为m、电荷量为e，板M的逸出功为W0，普朗克常量为h。忽略电子的重力及电子间的作用力。当频率为ν的光照射板M时有光电子逸出，
（1）求逸出光电子的最大初动能Ekm，并求光电子从O点射入区域Ⅰ时的速度v0的大小范围；
（2）若区域Ⅰ的电场强度大小，区域Ⅱ的磁感应强度大小，求被探测到的电子刚从板M逸出时速度vM的大小及与x轴的夹角；
（3）为了使从O点以各种大小和方向的速度射向区域Ⅰ的电子都能被探测到，需要调节区域Ⅰ的电场强度E和区域Ⅱ的磁感应强度B2，求E的最大值和B2的最大值。
13．（2022·浙江·高考真题）如图所示，水平固定一半径r=0.2m的金属圆环，长均为r，电阻均为R0的两金属棒沿直径放置，其中一端与圆环接触良好，另一端固定在过圆心的导电竖直转轴OO′上，并随轴以角速度=600rad/s匀速转动，圆环内左半圆均存在磁感应强度大小为B1的匀强磁场。圆环边缘、与转轴良好接触的电刷分别与间距l1的水平放置的平行金属轨道相连，轨道间接有电容C=0.09F的电容器，通过单刀双掷开关S可分别与接线柱1、2相连。电容器左侧宽度也为l1、长度为l2、磁感应强度大小为B2的匀强磁场区域。在磁场区域内靠近左侧边缘处垂直轨道放置金属棒ab，磁场区域外有间距也为l1的绝缘轨道与金属轨道平滑连接，在绝缘轨道的水平段上放置“［”形金属框fcde。棒ab长度和“［”形框的宽度也均为l1、质量均为m=0.01kg，de与cf长度均为l3=0.08m，已知l1=0.25m，l2=0.068m，B1=B2=1T、方向均为竖直向上；棒ab和“［”形框的cd边的电阻均为R=0.1，除已给电阻外其他电阻不计，轨道均光滑，棒ab与轨道接触良好且运动过程中始终与轨道垂直。开始时开关S和接线柱1接通，待电容器充电完毕后，将S从1拨到2，电容器放电，棒ab被弹出磁场后与“［”形框粘在一起形成闭合框abcd，此时将S与2断开，已知框abcd在倾斜轨道上重心上升0.2m后返回进入磁场。
（1）求电容器充电完毕后所带的电荷量Q，哪个极板（M或N）带正电？
（2）求电容器释放的电荷量；
（3）求框abcd进入磁场后，ab边与磁场区域左边界的最大距离x。
14．（2021·浙江·高考真题）如图甲所示，空间站上某种离子推进器由离子源、间距为d的中间有小孔的两平行金属板M、N和边长为L的立方体构成，其后端面P为喷口。以金属板N的中心O为坐标原点，垂直立方体侧面和金属板建立x、y和z坐标轴。M、N板之间存在场强为E、方向沿z轴正方向的匀强电场；立方体内存在磁场，其磁感应强度沿z方向的分量始终为零，沿x和y方向的分量和随时间周期性变化规律如图乙所示，图中可调。氙离子（）束从离子源小孔S射出，沿z方向匀速运动到M板，经电场加速进入磁场区域，最后从端面P射出，测得离子经电场加速后在金属板N中心点O处相对推进器的速度为v0。已知单个离子的质量为m、电荷量为，忽略离子间的相互作用，且射出的离子总质量远小于推进器的质量。
（1）求离子从小孔S射出时相对推进器的速度大小vS；
（2）不考虑在磁场突变时运动的离子，调节的值，使得从小孔S射出的离子均能从喷口后端面P射出，求的取值范围；
（3）设离子在磁场中的运动时间远小于磁场变化周期T，单位时间从端面P射出的离子数为n，且。求图乙中时刻离子束对推进器作用力沿z轴方向的分力。
15．（2021·浙江·高考真题）一种探测气体放电过程的装置如图甲所示，充满氖气（）的电离室中有两电极与长直导线连接，并通过两水平长导线与高压电源相连。在与长直导线垂直的平面内，以导线为对称轴安装一个用阻值的细导线绕制、匝数的圆环形螺线管，细导线的始末两端c、d与阻值的电阻连接。螺线管的横截面是半径的圆，其中心与长直导线的距离。气体被电离后在长直导线回路中产生顺时针方向的电流I，其图像如图乙所示。为便于计算，螺线管内各处的磁感应强度大小均可视为，其中。
（1）求内通过长直导线横截面的电荷量Q；
（2）求时，通过螺线管某一匝线圈的磁通量；
（3）若规定为电流的正方向，在不考虑线圈自感的情况下，通过计算，画出通过电阻R的图像；
（4）若规定为电流的正方向，考虑线圈自感，定性画出通过电阻R的图像。
16．（2021·浙江·高考真题）在芯片制造过程中，离子注入是其中一道重要的工序。如图所示是离子注入工作原理示意图，离子经加速后沿水平方向进入速度选择器，然后通过磁分析器，选择出特定比荷的离子，经偏转系统后注入处在水平面内的晶圆（硅片）。速度选择器、磁分析器和偏转系统中的匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向均垂直纸面向外；速度选择器和偏转系统中的匀强电场场强大小均为E，方向分别为竖直向上和垂直纸面向外。磁分析器截面是内外半径分别为R1和R2的四分之一圆环，其两端中心位置M和N处各有一个小孔；偏转系统中电场和磁场的分布区域是同一边长为L的正方体，其偏转系统的底面与晶圆所在水平面平行，间距也为L。当偏转系统不加电场及磁场时，离子恰好竖直注入到晶圆上的O点（即图中坐标原点，x轴垂直纸面向外）。整个系统置于真空中，不计离子重力，打在晶圆上的离子，经过电场和磁场偏转的角度都很小。当α很小时，有，。求：
(1)离子通过速度选择器后的速度大小v和磁分析器选择出来离子的比荷；
(2)偏转系统仅加电场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(3)偏转系统仅加磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示；
(4)偏转系统同时加上电场和磁场时离子注入晶圆的位置，用坐标(x，y)表示，并说明理由。
17．（2021·浙江·高考真题）嫦娥五号成功实现月球着陆和返回，鼓舞人心。小明知道月球上没有空气，无法靠降落伞减速降落，于是设计了一种新型着陆装置。如图所示，该装置由船舱、间距为l的平行导轨、产生垂直船舱导轨平面的磁感应强度大小为B的匀强磁场的磁体和“∧”型刚性线框组成，“∧”型线框ab边可沿导轨滑动并接触良好。船舱、导轨和磁体固定在一起，总质量为m1整个装置竖直着陆到月球表面前瞬间的速度大小为v0，接触月球表面后线框速度立即变为零。经过减速，在导轨下方缓冲弹簧接触月球表面前船舱已可视为匀速。已知船舱电阻为3r，“∧”型线框的质量为m2，其7条边的边长均为l，电阻均为r；月球表面的重力加速度为g/6。整个运动过程中只有ab边在磁场中，线框与月球表面绝缘，不计导轨电阻和摩擦阻力。
(1)求着陆装置接触到月球表面后瞬间线框ab边产生的电动势E；
(2)通过画等效电路图，求着陆装置接触到月球表面后瞬间流过ab型线框的电流I0；
(3)求船舱匀速运动时的速度大小v；
(4)同桌小张认为在磁场上方、两导轨之间连接一个电容为C的电容器，在着陆减速过程中还可以回收部分能量，在其他条件均不变的情况下，求船舱匀速运动时的速度大小和此时电容器所带电荷量q。
18．（2022·浙江·高考真题）离子速度分析器截面图如图所示。半径为R的空心转筒P，可绕过O点、垂直xOy平面（纸面）的中心轴逆时针匀速转动（角速度大小可调），其上有一小孔S。整个转筒内部存在方向垂直纸面向里的匀强磁场。转筒下方有一与其共轴的半圆柱面探测板Q，板Q与y轴交于A点。离子源M能沿着x轴射出质量为m、电荷量为 – q（q > 0）、速度大小不同的离子，其中速度大小为v0的离子进入转筒，经磁场偏转后恰好沿y轴负方向离开磁场。落在接地的筒壁或探测板上的离子被吸收且失去所带电荷，不计离子的重力和离子间的相互作用。
（1）①求磁感应强度B的大小；
②若速度大小为v0的离子能打在板Q的A处，求转筒P角速度ω的大小；
（2）较长时间后，转筒P每转一周有N个离子打在板Q的C处，OC与x轴负方向的夹角为θ，求转筒转动一周的时间内，C处受到平均冲力F的大小；
（3）若转筒P的角速度小于，且A处探测到离子，求板Q上能探测到离子的其他θ′的值（θ′为探测点位置和O点连线与x轴负方向的夹角）。
1．（2025·浙江·一模）如图所示，在水平面上固定两间距为、长度足够的平行导轨，导轨间存在方向垂直水平面向上、磁感应强度大小为的匀强磁场。一质量为的导体棒搁置于导轨间，通过水平绝缘细绳跨过轻质定滑轮与质量为的重物相连。在导轨左侧，通过开关可分别与电容、电阻和电感的支路连接。在各种情况下导体棒均从静止开始运动，且在运动过程中始终垂直于导轨，不计其他电阻、空气阻力、摩擦阻力和电磁辐射。（当电感中通有电流时，电感线圈存储的磁场能为）
(1)若开关掷向1，串接一不带电的电容器，电容为，求导体棒的加速度；
(2)若开关掷向2，串接电阻，已知电阻阻值为，且在静止释放导体棒的时间内，导体棒位移大小为，求导体棒在这段过程中的末速度大小；
(3)若开关掷向3，串接一阻值为的电阻和电感为电感线圈相串联的电路，当重物下降时，重物运动速度可视为匀速。
①求匀速运动速度大小；
②重物从静止开始下降的过程中，回路产生的焦耳热。
2．（2025·浙江·一模）为研究强磁体的磁性，某小组进行了以下实验：如图甲所示，建立沿水平方向的坐标轴x，将一圆柱形钕铁硼强磁体M对称的置于x轴，磁体中心位于坐标原点O。将一圆形线圈C置于x轴负方向较远处，线圈轴线与x轴重合，线圈与两个传感器（图中未画出）相接。现通过外力作用使线圈沿x轴正方向做匀速直线运动，这时，一个传感器测得通过圆形线圈C的磁通量Φ（数字“5”与“10”仅表示格数）随圆环位置x的变化图像如图乙所示，另一个传感器测得线圈中的电流I随时间t变化的图像如图丙所示。已知在乙图中x=±6cm处的切线斜率绝对值最大，丙图中时刻6s到10s之间的图线可近似的看成直线，线圈的匝数n=100，线圈的电阻R=10Ω。为研究方便，不考虑传感器与线圈间力的作用，线圈导线各处的磁感应强度大小均视为相同。求：
(1)圆形线圈做匀速直线运动的速度大小；
(2)6s至8s期间流过线圈的电量；
(3)整个过程中通过线圈的最大磁通量；
(4)为维持线圈匀速移动，所需水平方向外力的最大值。
3．（2025·浙江湖州·一模）相距为l的平行导轨PQ、MN处于水平面上，磁感应强度大小为B的匀强磁场与导轨平面垂直，两导轨通过单刀双掷开关K连接有电源和电容器。如图所示，一质量为m的导体棒垂直导轨静止放置，已知电容器的电容为，开始时电容器的上极板带正电，电荷量为，电源的电动势为E，内阻为r，忽略一切阻力，导体棒和导轨的电阻均不计，导轨足够长。
(1)K掷向1，求导体棒的最大加速度；
(2)K掷向1，求导体棒的最大速度；
(3)K掷向1，当导体棒刚达到稳定速度时，求回路中产生的焦耳热Q；
(4)若导体棒有一向右的初速度，当K掷向2的同时，导体棒受到平行导轨向左的恒力F，求导体棒向右运动的最大位移。
4．（2025·浙江杭州·一模）一圆筒面与中心轴线构成的圆柱体系统，结构简化如图（a）所示，圆筒足够长，半径R。在O点有一电子源，向空间中各个方向发射速度大小为、质量是m、电量为e的电子，某时刻起筒内加大小可调节且方向沿中心轴向下的匀强磁场，筒的横截面及轴截面示意图如图（b）所示，当磁感应强度大小调至时，恰好没有电子落到筒壁上。忽略场的边界效应、电子受到的重力及电子间相互作用力。若电子碰到筒壁，则被吸收且电中和，R、、m、e均为已知量。
(1)求的大小；
(2)接第（1）问，当磁感应强度大小调至
①求垂直中心轴发射的电子，从发射到落到筒壁上的时间；
②求筒壁上落有电子的区域面积S；
③如图c若电子发射速度与中心轴夹角为α，可经过离O点正上方距离为的点，求α角的可能值。
5．（2025·浙江杭州·一模）某兴趣小组为研究电动汽车能量回收装置原理，设计了如图所示的模型：两个半径不同的同轴圆柱体间存在由内至外沿半径方向的辐向磁场。有一根质量为m、长度为L、电阻为R的金属棒MN通过导电轻杆与中心轴相连，可绕轴转动，金属棒所在之处的磁感应强度大小均为B，整个装置竖直方向放置。中心轴右侧接一单刀双掷开关：开关接通1，由电动势为E，内阻为r的电源给金属棒供电，棒MN受到阻力f方向与速度相反，大小与速度成正比，，k为已知常数。当MN运动的路程为s时已经匀速运动。若开关接通2，开始能量回收，给电容为C的电容器充电。初始时电容器不带电、金属棒MN静止，电路其余部分的电阻不计。
(1)在开关接通1瞬间，求棒MN受安培力大小；
(2)开关接通1，求稳定后棒MN的最大速度；
(3)接第（2）问，若最大速度已知，记为，则
①求开始转动到最大速度过程中，电源把多少其他形式能转化为电能；
②达到最大速度后，开关接通2，若此后阻力不计，在一段时间后金属棒将再次匀速转动，求此时电容器C上的带电量Q。
6．（2025·浙江温州·一模）是正电子发射断层扫描（PET）中最重要的放射性示踪剂基础，发生衰变释放出正电子，正电子湮灭产生的伽马射线用于医学成像。如图所示，在平面直角坐标系的有三个区域，的区域I内存在垂直纸面向里的匀强磁场，在区域II有平行于纸面的匀强电场，大小、方向均未知，在的区域III内有垂直纸面向外的匀强磁场。且（为大于0的常数）。内部装有放射性元素的放射源放置在处，某时刻发生衰变产生的质量为、带电量为的正电子沿轴负方向以速度大小为开始运动，一段时间后从（-L，0）点离开磁场进入区域II，粒子在电场中运动时间后，从坐标原点进入区域III，不计重力和阻力，忽略粒子之间的相互作用。
(1)写出放射性元素发生衰变的方程式；
(2)求区域I内匀强磁场的磁感应强度的大小；
(3)求区域内匀强电场的电场强度大小及方向；
(4)正电子离开原点后离开轴的最大距离。
7．（2025·浙江杭州·三模）科学家发现通过人工磁场可使光子晶体中的光发生偏转，打破了光学的对称性。某实验室设计了一种新型光子晶体，能使光子在传播过程中受到类似洛伦兹力的作用。如图所示，一束激光（波长，功率）从光源O点发出，从P点沿x轴入射，穿过宽度的平行光子晶体区域（区域中存在垂直平面向里的“人工磁场”）。已知光子在晶体中的速度，等效电荷。在光子晶体右侧平行x轴放置完全反射的探测面，经偏转后的光束以角度（未知）撞击探测面。普朗克常量，光速，传播过程中激光能量不衰减。提示：单个光子等效质量，其中为单个光子能量。（，）求：
(1)单个光子的等效质量；
(2)光子在晶体中的轨迹半径和偏转位移；
(3)若磁场存在梯度分布：以P点为坐标原点，，求激光束打在探测板上对探测板的作用力F（仅考虑出射晶体时的折射情况）；
(4)若可调节晶体折射率，使光子在晶体中速度可在范围内变化，光从P点进入一块上述光子晶体，，请你设计光子晶体的形状，使光子在以上速度范围内经过晶体内磁场偏转后都可以回到O点，画出晶体形状，并计算最小面积。（不考虑进出晶体界面处由于折射反射引起的方向改变）
8．（2025·浙江杭州·三模）某同学设计利用电容器实现电磁减速的实验，现有N＝100匝，每匝横截面积为且内阻不计的线圈，线圈所在平面内有竖直方向的随时间余弦式变化的磁场，其峰值为，周期，如图乙所示，以竖直向上为正方向。当单刀双掷开关f打到1，可以给一内阻，电动势的电源充电（时刻电源内部仍有残留电荷），充电电路中有一个内阻不计的理想二极管。电源左侧有一电容的电容器，单刀双掷开关g的左端有相距的足够长的一组光滑金属导轨AB与CD，导轨上的电阻忽略不计。金属导轨所在平面内有一磁感应强度为的垂直于水平面向下的磁场，如图甲所示。
(1)求线圈中的感生电动势随时间变化的表达式（以俯视线圈逆时针为正）
(2)电源充电：当单刀双掷开关f打到1，
a、判定时刻图甲中a、b两点的电势高低；
b、求充电过程中的最大瞬时电流。
(3)电磁减速：待电源充电完毕后，将单刀双掷开关f拨到2，g拨到3，给电容器充电完毕。现有一质量，电阻为R1的导体棒c以初速度从导轨ABCD左端足够远处向右运动，与此同时，将开关g拨到4。导体棒c最终会匀速运动，忽略电磁辐射，求匀速运动时电容器的带电量q以及该过程整个回路产生的焦耳热Q。（提示：电容器的储能公式）
(4)将单刀双掷开关断开，f拨到1，求在一个周期T内，充电装置给电源充上的电荷量。
9．（2025·浙江宁波·模拟预测）某科创小组模拟工厂工件流水作业传送装置设计了如下模型，为方便作业，要求工件周期性地交替运动和静止。如图所示，绝缘水平面上固定两个光滑的同心金属圆环，圆心为O，半径分别为和。电阻为R的金属杆ab位于ON处沿半径方向架在两环间（始终接触良好）。直线MOP垂直ON，MON区域充满垂直圆环平面向下的匀强磁场。通过电刷将两金属圆环引出到右侧两根水平固定的平行金属导轨上，导轨光滑且足够长，间距为L，并处于垂直导轨平面向下大小为的匀强磁场中。时刻，施加周期性外力使ab杆以角速度ω绕O点顺时针匀速旋转，并同时释放位于的金属杆cd（质量为m，电阻为2R，长度也为L），当ab杆转到OM处时，cd杆的速度为v，当ab杆转到OP处时，cd杆刚好运动到处且速度为0。不计一切摩擦和其它电阻，运动过程中金属杆始终垂直于平行导轨。求：
(1)时刻ab两点间的电势差；
(2)若ab杆从ON转到OM的过程中，ab杆上产生的焦耳热为Q，求到时间内回路中电流的有效值；
(3)到的距离x的大小。
10．（2025·浙江杭州·模拟预测）透射电子显微镜以钨作为热电子源，利用高压加速电子，再通过速度选择器筛选特定速度电子后打在较薄的样品上得到图样，其结构简化后如图所示。O点为钨电子源，处在两正对金属极板C、D的正中间处，加热后可产生速度较小可忽略的电子。D极板上有一小孔，电子可以在加速后从小孔打出，进入正对金属板E、F构成的电容器中，E、F板间电压为U，板间距为L。E、F中间区域有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外，在E、F板的末端有一开有小孔的收集板G，G与E、F板绝缘，且位置左右可调，粒子打到收集板上立即被导走。从小孔中打出电子的最大速度与最小速度的差被称为速度选择器的误差。两小孔与电子源在同一轴线上。在CD间加有约为380kV的恒定高压时，电子物质波波长为λ0，电子电量为e，电子静止质量为m，普朗克常数为h。考虑相对论效应时，电子的质量随速度增大。对于能从收集板上小孔打出的电子，不计离开钨的初速度大小，求：
(1)从小孔中点打出的电子的速度v；
(2)电子的动量p；
(3)G移动时，速度选择器的误差会改变，最小误差Δv与小孔的孔径d的函数关系；
(4)钨作为热电子源，在加热后会如同光电效应向空间各方向发射不超过一定速度的电子。在C、D间不加电压，而施加一平行于板垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度也为B；此时所有电子均能打在C板上，且有电子打中的面积为S，电子的最大初速度vm。
11．（2025·浙江·三模）如图所示，平行光滑的金属导轨由水平和左右两倾斜导轨组成，水平导轨与两侧倾斜导轨均有光滑绝缘圆弧轨道（长度可忽略）平滑相连。两侧倾斜导轨与水平面夹角均为30°。左侧倾斜导轨由间距L的导轨CE、DF构成，水平部分由两段足够长但不等宽的平行金属导轨连接构成，其中EG、FH段间距为L，有与竖直方向成60°斜向左上方的磁感应强度大小为2B的匀强磁场。MP、NQ段间距为2L，有与竖直方向成（斜向右上方的磁感应强度大小为B的匀强磁场。右侧足够长的倾斜导轨PK、QJ间距为2L，上端连接电容为C的电容器，有垂直右侧倾斜导轨平面向上的磁感应强度大小为5B的匀强磁场。导体棒甲的质量为0.5m、电阻为R，乙的质量为m、电阻不计，导体棒乙静止于MP、NQ段。现使导体棒甲自斜面导轨上距水平导轨h高度处静止释放，两金属棒在运动过程中始终垂直导轨，且与导轨保持良好接触。若稳定时导体棒甲未进入MP、NQ段，导轨电阻和空气阻力均忽略不计。已知B=0.2T， m=0.4kg，h=0.45m，L=0.2m，R=0.3Ω，，。求：
(1)甲棒刚进入磁场时，乙棒的加速度；
(2)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，通过乙棒的电量；
(3)从甲棒进入磁场到两棒达到稳定的过程，回路产生的焦耳热；
(4)稳定后，乙棒进入右侧倾斜轨道，随即撤去甲棒，求乙棒上滑的最大距离。
12．（2025·浙江·三模）某创新小组设计了一个粒子探测器。如图所示，在xOy平面内第一象限的虚线与y轴所围区域内有一个场强大小为、方向平行于y轴的匀强电场；第三象限内存在垂直xOy平面向外，磁感应强度大小为的匀强磁场；在电场边界右侧放置长为、高为3L的容器（左侧为网状不影响粒子进入，右侧为收集板），容器内分布着正交电磁场，其中匀强磁场方向垂直xOy平面向里，磁感应强度大小为，匀强电场方向竖直向下，场强大小为。点P（0，-d）（d>0）处有一粒子源，某一瞬间向第三象限与y轴正方向成θ角，在该角度范围内发射了N个电荷量为q、质量为m的带正电粒子。所有粒子的速度方向均在xOy平面内，且粒子数随角度均匀分布；所有射出的粒子均能通过坐标原点O，粒子经电场再进入容器，若碰到右侧收集板即被吸收，不计粒子间的相互作用及粒子的重力。求：
(1)粒子由P点射出时水平分速度vx的大小；
(2)要使所有粒子经过匀强电场后均能沿x轴正方向运动，试判断电场方向并写出此虚线的方程；
(3)在满足（2）的条件下，能进入容器的粒子占总粒子数的百分比；
(4)在满足（2）的条件下，右侧收集板因吸收粒子而在水平方向上受到的平均作用力。
13．（2025·浙江·二模）某兴趣小组为探索光电效应和光电子在电磁场中的运动规律，设计装置如图所示，频率为的激光照射在竖直放置的锌板K的中心位置O点，其右侧距离为处有另一足够大极板A，A上正对O点有一竖直狭缝，并在两极板间加电压U=1.8V，两极板间电场可视为匀强电场。在A板右侧有宽度为D、方向垂直纸面向内、大小为的匀强磁场。锌板的逸出功，普朗克常量，电子质量为，元电荷，π=3，，。不计光电子重力及光电子间的相互作用。求：
(1)光电子到达极板A的最大速度；
(2)极板A上有光电子打中的区域面积；
(3)要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度D应满足的条件，并计算电子在磁场中运动最短时间（计算结果保留1位有效数字）；
(4)将匀强磁场改为垂直平面向内的非匀强磁场，磁感应强度满足，x为该位置到磁场左边界的距离，要使所有光电子均不从右侧边界飞出，磁场宽度应满足的条件。
14．（2025·浙江·二模）倾角为θ=37°间距为L=0.5m的固定金属导轨下端接R=0.4Ω的电阻，导轨平面有三个区域，如图所示，图中虚线为区域边界。区域Ⅰ宽度为，无磁场。区域Ⅱ宽度为，有垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度为。区域Ⅲ宽度为，有垂直斜面向下的匀强磁场，磁感应强度为。质量为m=0.5kg，电阻为r=0.1Ω，长度也为L=0.5m的导体棒ab垂直导轨放置，从区域Ⅰ下边界开始在电动机牵引作用下由静止开始加速，进入区域Ⅱ时，速度为v=4m/s，且恰好能匀速通过区域Ⅱ。当导体棒刚进入区域Ⅲ时关闭电动机，导体棒恰好能到达区域Ⅲ的上端。已知导体棒与区域Ⅰ导轨间的动摩擦因数为μ=0.5，其它区域导轨光滑。导体棒在区域Ⅰ、Ⅱ时，电动机功率保持不变，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，不计导轨电阻，重力加速度。求：
(1)导体棒在区域Ⅱ运动时两端的电压；
(2)电动机的功率P；
(3)全过程所用时间t；
(4)全过程中电阻R产生的焦耳热。
15．（2025·浙江绍兴·二模）如图甲所示是托卡马克装置的结构示意图，其主要包括环形真空室、极向场线圈、环向场线圈等，在环形真空室内注入少量氢的同位素氘和氚，提高温度使其发生聚变反应。如图乙所示为环形真空室的示意图，它的轴线半径为r，横截面的圆半径为R，假设环形真空室内粒子质量为m、电荷量为+q，粒子碰到真空室的室壁立即被吸收。
【提示：空间角是三维空间中的角度度量，用于描述从一个点出发所能观察到的立体角，半顶角为θ的圆锥形发散空间角为】
(1)写出氘和氚核聚变的核反应方程式；
(2)若粒子以v0速度沿真空室轴线做匀速圆周运动，求极向场线圈产生磁场的大小；
(3)将装置中相邻环向场线圈简化为两个平行线圈，通电后在真空室内产生磁感应强度为B0的匀强磁场，如图丙所示。位于两个线圈轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射速度大小为的粒子。
①若某粒子发射时速度方向与x轴的夹角θ=37°，求该粒子做螺旋线运动的螺距；
②求粒子源发出的粒子没有被室壁吸收的百分比；
(4)实际装置的环向场线圈产生类似“磁瓶”形状的非匀强磁场来约束粒子，如图丁所示。已知沿轴线方向的磁感应强度最大和最小的关系为：，在粒子运行过程中，垂直轴线方向速度的平方与沿轴线方向的磁感应强度的大小之比为一常数，即。位于轴线中点的粒子源O向右侧各个方向均匀发射粒子（所有粒子均没有碰到室壁），求粒子能被约束在“磁瓶”内的比例。
16．（2025·浙江绍兴·模拟预测）《中国激光》杂志第六期（2025.3）报道，上海光学精密机械研究所林楠团队创新地采用固体激光器方案，实现了LPP-EUV光源技术全球领先，这标志着国产芯片制造迈入了新阶段。物理气相沉积镀膜是芯片制作的关键环节之一，该设备的结构图简化如下（z方向足够长），晶圆（截面MN）固定放置于xOy坐标系的第一象限内，OMN区域内有匀强磁场，磁感应强度，方向沿z轴负方向；第二象限内有匀强电场，场强，方向沿y轴负方向。初速可略的氩离子（比荷）经电压为U（待求）的电场加速后，从点水平进入匀强电场E中，恰好打到位于原点O处的金属靶材并被全部吸收，靶材溅射出的金属离子（比荷）从O点飞入磁场区域，速度大小均为，并沉积在晶圆上。忽略离子重力及其间的相互作用力，求：
(1)U的数值；
(2)假设进入磁场的离子沿各个方向都有，求晶圆MN方向上的涂膜（金属离子打中的区域）长度；
(3)假设从O点飞入磁场的离子分布在半顶角的圆锥侧面上，圆锥对称轴垂直于晶圆截面，如图乙，考察方向上的离子，打在晶圆上的位置坐标。
17．（2025·浙江金华·三模）通电长直导线周围某点的磁感应强度可以用来计算，其中I是电流的大小，r是点到导线的距离，k为比例系数。如图所示，表层绝缘的长直导线水平固定在倾角θ=30°的斜面上，导线中的恒定电流I0方向自左向右，不计电阻的金属导轨AO和BO沿斜面固定放置，它们的长度均为，与水平长直导线的夹角为30°。长为L、质量为m、单位长度电阻为r0的导体棒MN，在外力作用下从O点由静止开始沿斜面向下运动，运动过程中MN始终与长直导线平行，MN出现的电流大小始终为I，且下滑过程中除安培力外，仅受到与安培力比值为β的综合阻力。取重力加速度为g，不考虑地磁场的影响，解答下列问题：
(1)判断运动过程（未脱离导轨）中导体MN棒中电流的方向；
(2)研究导体棒运动的距离为x（x<0.25L）的过程：
①求此时导体棒的速度v；
②求运动到x位置时候的加速度大小a；
(3)研究从开始运动到导体棒脱离导轨过程：
①求该过程中产生的焦耳热Q；
②求外力所做的功W。
18．（2025·浙江绍兴·二模）如图所示，两个光滑刚性正方形金属线框A1B1C1D1和A2B2C2D2交叠固定在光滑水平面上，交叠点E和F恰好为两边中点，且彼此相互绝缘。在两线框交叠区域存在着垂直纸面向里、磁感应强度为B0的匀强磁场（交叠的金属线框在磁场边缘以内）。已知两线框质量均为m，边长均为a，单位长度电阻均为r0。现将匀强磁场在极短的时间内减小为零，不计线框电感。
(1)判断线框A1B1C1D1中感应电流方向（“顺时针”或“逆时针”），并求流过截面的电量；
(2)求线框A2B2C2D2受到安培力冲量的大小和方向；
(3)若线框A1B1C1D1不固定，交叠点E和F不彼此绝缘（接触电阻不计），而且线框所在平面整个区域都存在着匀强磁场B0，求匀强磁场减小为零时线框A1B1C1D1速度的大小。（忽略磁场减小过程中线框的移动）
19．（2025·浙江温州·三模）如图所示，在光滑绝缘水平面上建立xOy直角坐标系，足够长的收集板置于y轴上。在y>0区域存在方向竖直向下、磁感应强度大小B=1T的匀强磁场。绝缘挡板MN表面光滑，长度L=2m。一质量m=0.1kg，电荷量q=0.1C的带正电小球紧贴挡板放置，初始位置与M端的距离为d。现用挡板推动小球沿y轴正方向运动，运动中挡板始终平行于x轴，小球紧贴挡板。进入磁场后，挡板保持速度v0=2m/s沿y轴正方向做匀速直线运动，经过一段时间带电小球离开挡板M端。小球可视为质点，运动中带电量保持不变，且到达收集板立即被收集。
(1)当d=1.25m时，求带电小球离开挡板M端时的速度大小v；
(2)调节挡板M端与y轴距离为x0时，无论d多大，都可以让小球垂直打在收集板上。
①求x0；
②求小球垂直打在收集板上的位置坐标y与d之间的函数关系。
③撤去收集板，在x≤x0区域施加电场强度E=2V/m，方向沿y轴正方向的匀强电场。当d=1m时，求小球在磁场区域运动过程中距x轴的最远距离ym。
20．（2025·浙江·二模）如图所示，半径r=0.5m的均匀金属圆盘D垂直固定在水平金属转轴上，圆盘中心位于转轴中心线上，不计转轴粗细。D盘处存在方向平行转轴向左、大小的匀强磁场。圆盘边缘和转轴分别通过电刷连接间距L=1m的水平平行金属导轨。导轨HI处用绝缘材料平滑连接，左侧接有电容C=0.5F的电容器，EG与绝缘点HI之间有方向竖直向下的匀强磁场，JK左侧、HI右侧区域有方向竖直向下、大小随x变化的磁场（x表示到JK的距离），变化规律满足（T）（x≥0），同一位置垂直于轨道方向的磁场相同，紧靠JK左侧附近放置质量m=0.5kg、电阻R=0.5Ω、边长d=0.5m的“]”缺边正方形金属框PP1Q1Q， 质量也为m=0.5kg的金属棒ab放置在HI的左侧EG处，其单位长度的电阻，保持金属圆盘按图示方向以ω=16rad/s的角速度匀速转动。不考虑电流产生的磁场影响，除已知电阻外其他电阻不计，忽略转动的摩擦阻力。
(1)单刀双掷开关S接通1时，电容器M板带正电还是负电荷，带电量多少；
(2)稳定后S接通2，金属棒ab到达HI前已达到稳定速度，求棒ab到HI过程中产生的热量；
(3)金属棒ab与缺边正方形金属框发生完全非弹性碰撞后，
①求碰后瞬间UPQ；
②金属框出磁场过程中，棒ab两端电压随x的关系。
试卷第20页，共20页
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