高考数学冲刺选择压轴题1（含解析）

高考数学冲刺选择压轴题1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（21-22高一·全国·课后作业）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（千帕）是气球体积V（立方米）的反比例函数，其图像如图所示，则这个函数的解析式为（　　）
A． B． C． D．
2．（23-24高二下·全国·课后作业）已知点，则（ ）
A．36 B． C．6 D．
3．（23-24高一上·河南郑州·期中）如图，为直角梯形，，，记梯形位于直线左侧的图形的面积为，则函数的图象大致为（ ）

A． B．
C． D．
4．（2022高一·全国·专题练习）已知平面上不共线的四点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（15-16高三上·河北衡水·阶段练习）如图所示，为测一树的高度，在地面上选取、两点，从、两点分别测得树尖的仰角为、，且、两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．（22-23高二上·湖北襄阳·阶段练习）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A． ，，
B． ，，
C． ，，
D． ，，
7．（21-22高二·全国·课后作业）等差数列5，，，，…，的前项之和为，则当最大时，等于（ ）
A．6或7 B．7 C．8 D．7或8
8．（24-25高一上·河南商丘·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为，则的最小值为（ ）
A．6 B．4 C． D．
9．（20-21高一上·江西宜春·阶段练习）已知函数对于任意、，总有，且当时，，若已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（21-22高二·全国·课后作业）在边长为243的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正三角形，如此重复多次，得到如图所示的图形（图中共有10个正三角形），其中最小的正三角形的面积为（ ）
A． B．1 C． D．
11．（21-22高一下·四川成都·开学考试）若定义在上的偶函数满足，且当时，，则的值等于( )
A． B． C． D．
12．（24-25高一上·陕西·期末）连续抛掷两次一枚质地均匀的硬币，分别记录下每次抛掷的结果，记事件“正面向上的次数大于反面向上的次数”，事件“第次抛掷的结果为正面向上”（其中），则有（ ）
A．事件与事件是互斥事件 B．事件与事件是相互对立事件
C． D．
13．（24-25高二上·全国·课后作业）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（ ）
A．圆和圆关于直线对称
B．圆和圆的公共弦长为
C．的取值范围为
D．若为直线上的动点，则的最小值为
14．（2021·江苏连云港·模拟预测）设实数，若对任意，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．（21-22高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（ ）
A．1008个 B．1009个 C．1010个 D．1011个
《2025年11月12日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C C A A B D C A A
题号 11 12 13 14 15
答案 D D D C C
1．D
【难度】0.94
【知识点】利用给定函数模型解决实际问题
【分析】设反比例函数，再代入求解即可.
【详解】因为气球内气体的气压是气球体积的反比例函数，所以可设，由题图可知，点在函数图像上，所以，解得，故．
故选：D．
2．C
【难度】0.94
【知识点】空间向量模长的坐标表示
【分析】利用空间向量模长的坐标公式求解即可
【详解】，所以．
故选：.
3．C
【难度】0.85
【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、函数图像的识别
【分析】直线l的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数，判断图象即可．
【详解】所在直线方程为，
当时，梯形位于直线左侧的图形是直角三角形，
底边长为，高为，则；
当时，梯形位于直线左侧的图形是直角梯形，
上底长为，下底长为，高为2，则；
所以，由一次函数和二次函数的性质和图象可知，
函数的图象大致为选项C.
故选：C.
4．A
【难度】0.85
【知识点】平面向量的混合运算
【分析】由得，进而得到，即可求解.
【详解】，，即，则，
即，故．
故选：A
5．A
【难度】0.85
【知识点】求15°等特殊角的正弦、正弦定理解三角形、高度测量问题
【分析】利用正弦定理可得，进而即得.
【详解】在，，，，
又
，
由正弦定理得：，
，
树的高度为(m).
故选：A．
6．B
【难度】0.65
【知识点】用空间基底表示向量、空间向量基本定理及其应用
【分析】根据空间向量基本定理以及空间基底逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】解：对于A，设，
所以，此方程组无解，所以，，不共面；
对于B，因为，所以，，共面；
对于C，设，
所以，此方程组无解，所以，，不共面；
对于D，设，
所以，此方程组无解，所以，，不共面；
故选：B
7．D
【难度】0.65
【知识点】判断数列的增减性、利用定义求等差数列通项公式、求等差数列前n项和的最值
【分析】求出数列的通项公式，分析数列单调性，确定数列所有非负数项即可作答.
【详解】令此等差数列为，则，公差，通项，
显然数列单调递减，由得，，而，则数列前7项均为正，第8项为0，从第9项起均为负，
于是得数列前7项和与前8项和相等，都最大，
所以当最大时，等于7或8.
故选：D
8．C
【难度】0.65
【知识点】利用函数单调性求最值或值域、由一元二次不等式的解确定参数
【分析】利用不等式的解集可得，是方程的两个根，进而可得，进而利用对勾函数的单调性可求最小值.
【详解】由题中条件可知，，是方程的两个根，
则，，所以，
设，令，可知该函数在上单调递减，在上单调递增，
又，所以，则的最小值为．
故选：C．
9．A
【难度】0.65
【知识点】函数基本性质的综合应用、抽象函数的奇偶性、根据函数的单调性解不等式
【分析】设，分析出函数为上的增函数，将所求不等式变形为，可得出，即可求得原不等式的解集.
【详解】令，则，
对任意的、，总有，则，
令，可得，可得，
令时，则由，即，
当时，，即，
任取、且，则，即，即，
所以，函数在上为增函数，且有，
由，可得，即，
所以，，所以，，解得.
因此，不等式的解集为.
故选：A.
10．A
【难度】0.65
【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、利用等比数列的通项公式求数列中的项
【分析】设第n个正三角形的边长为，根据已知条件可得，由等比数列的定义写出通项公式并求，即可得最小的正三角形的面积.
【详解】设第n个正三角形的边长为，则，
由勾股定理知，
所以，又，则，
所以是首项为243，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，故最小的正三角形的面积为.
故选：A
11．D
【难度】0.4
【知识点】判断证明抽象函数的周期性、由抽象函数的周期性求函数值
【分析】根据f(x)是偶函数以及求出f(x)的周期，再结合周期、奇偶性和即可将自变量的范围转化到[1，2]之间.
【详解】∵函数是偶函数，
∴，
又∵，
，
，
，
∴函数的周期为4，
∴.
故选：D.
12．D
【难度】0.4
【知识点】判断所给事件是否是互斥关系、确定所给事件的对立关系、计算古典概型问题的概率
【分析】对A，根据互斥事件的定义判断；对B，根据相互独立事件的定义判断；对C，求得，，即可判断；对D，求得即可判断.
【详解】根据题意，试验的结果有：正正，正反，反反，反正.
则事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正.
对于A，事件与事件不是互斥事件， 它们有可能同时发生，故A错误；
对于B，试验结果除了和外，还有其它结果如反反，所以事件与事件不是相互对立事件，故B错误；
对于C，，
，
所以，故C错误；
对于D，，，所以，故D正确.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是理清事件包含：正正，事件：正正，正反，事件：正正，反正.
13．D
【难度】0.4
【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的位置关系确定参数或范围、相交圆的公共弦方程、两圆的公共弦长
【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用等等这些距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当，，，四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D.
【详解】对于A，和圆，
圆心和半径分别是，
则两圆心中点为，
若圆和圆关于直线对称，则直线是的中垂线，
但两圆心中点不在直线上，故A错误；
对于B，到直线的距离，
故公共弦长为，B错误；
对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小，
当四点共线时，的值最大为，
故的取值范围为，C错误；
对于D，如图，设关于直线对称点为，

则解得即关于直线对称点为，
连接交直线于点，此时最小，
，
即的最小值为，D正确.
故选：D.
14．C
【难度】0.15
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究双变量问题
【分析】令，根据二阶导数的符号判断的单调性，由零点存在性定理易知使，此时，进而讨论的单调性可知，要使题设不等式恒成立，即成立，构造利用导数研究其单调性确定的区间，进而求的范围.
【详解】令，只需要上恒成立，
∵且，
∴，即在上单调递增，
∵，，
∴，使，即，
∴时，，单调递减；时，，单调递增；
故只需，令，
∴，故在上递减，而，
∴时，恒成立，可知.
故选：C
【点睛】关键点点睛：利用导数研究的单调性并确定极小值点范围，根据有，结合构造新函数，求成立时的区间，进而求参数范围.
15．C
【难度】0.15
【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、基本（均值）不等式的应用、数列综合
【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到，要想无实根，要满足，结合根的判别式与基本不等式得到和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，从而得到结论..
【详解】由题意得：，
其中，，
代入上式得：，
要想方程无实数解，则，
显然第1011个方程有解，
设方程与方程的判别式分别为和，
则
，
等号成立的条件是a1=a2021.
所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，
……，和至多一个成立，且，
综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个
故选：C
【点睛】对于数列综合题目，要综合所学，将不熟悉的问题转化为我们熟练的知识点进行解决，比如本题中要结合根的判别式，以及等差数列的性质，以及基本不等式进行求解，属于难题.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（25-26高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知的值域为为的一个零点，且对任意实数，都满足，且函数的周期为所有可能周期中的最大值，当符合条件的正数取最小值时，的值为（ ）
A．2 B． C． D．5
2．（25-26高二上·北京·期中）如图，已知平面，，，，，，，且，，．若，则四棱锥体积的最大值是（ ）

A． B．8 C． D．
3．（25-26高二上·上海·阶段练习）已知坐标平面上的直线和.从平面上的动点分别向作垂线，垂足依次为.当时，动点形成的轨迹为曲线；当时，动点形成的轨迹为曲线.有下列两个命题：①存在直线，交于从左到右的四点，使得；②存在斜率为2的直线与 恰有3个公共点.则（ ）
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题， ②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题.
4．（25-26高二上·北京·期中）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P为正方体表面上的动点．给出下列三个结论：
①当点P为棱中点时，平面；
②当点P在棱上运动时，点P到平面的距离的最小值为；
③当点时，满足平面的点P恰有2个．
其中正确结论的个数为（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3
5．（2025高三·全国·专题练习）集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，且都成立，下列选项正确的是（ ）
A．数列的通项公式为 B．
C．实数的取值范围是 D．时，数列中的每一项都不能够被5整除
6．（25-26高三上·浙江·阶段练习）如图，在中，，，，为与的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（ ）

A． B． C． D．
7．（2025高三·全国·专题练习）给定函数，若数列满足，则称数列为函数的牛顿数列．已知为的牛顿数列，，且，数列的前n项和为．则（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·全国·模拟预测）若时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·江苏常州·模拟预测）已知正实数满足，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·陕西西安·模拟预测）设与其导函数的定义域均为，若，的图象关于直线对称，在区间上单调递减，且，则下列结论正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C． D．的极小值为
11．（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．（25-26高三上·黑龙江大庆·期中）在正方体中，，为的中点，是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的个数为（ ）
①平面平面；②当时，点的轨迹长度为；③存在直线与平面内的直线成角；④若分别为的三等分点，则的最小值为.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2025高一上·全国·专题练习）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．若，则
14．（25-26高二上·北京·阶段练习）如图所示，正方形平铺在水平面上，先将矩形沿折起，使二面角为，再将正方形沿折起，使二面角为，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
15．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）已知函数的定义域为，为偶函数，，当时，（且），则（ ）
A．40 B．32 C．30 D．36
《2025年11月12日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C B B D C B B A D
题号 11 12 13 14 15
答案 A C D C D
1．D
【难度】0.15
【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）
【分析】根据值域求出，由对任意实数，都满足，且函数的周期为所有可能周期中的最大值，得到，解出，利用周期公式得到，由为的一个零点， 得到，从而得到或，利用符合条件的正数取最小值得到，
从而得到，计算所求即可.
【详解】，，
，值域为，，，
，，
设，则，
，
且函数的周期为所有可能周期中的最大值，，
，，，，
为的一个零点，，
，或，
，或，
或，
符合条件的正数取最小值，，
，，
，，，
，
，，
.
故选：D.
2．C
【难度】0.15
【知识点】锥体体积的有关计算、证明线面垂直、坐标法
【分析】先证平面平面，得棱锥的高就是三角形的边上的高.再求底面，再由条件得，因此点在一个圆上，用解析法求的最大值可得体积最大值.
【详解】因为，，所以.又，且，平面，平面，
所以平面，而，所以平面.平面，所以平面平面.
过P点作的垂线，设垂线的长为，则也是四棱锥的高.
由上可知四边形为直角梯形，所以.
所以要使四棱锥体积的最大值，就必须棱锥的高最大，也就是三角形的边上的高最大.
下面用解析法求解的最大值：
因为，，所以，又，
所以相似于，根据相似三角形的性质有，，即，
如图：在平面内建立直角坐标系，设，，由，
得，化简整理得，
即，P点在以为圆心，以4为半径的上半圆上.
所以P点到的距离，由圆的性质可得，
所以，.

故选：C.
3．B
【难度】0.15
【知识点】判断命题的真假、求平面轨迹方程
【分析】根据已知条件设动点的坐标，利用垂直关系解坐标，根据点线距离公式分别表示三角形面积，借助面积的已知关系求出曲线和的方程.命题①通过韦达定理运算得到，进而推出与，与都关于点中心对称，可得可知命题为假；命题②借助对称性画出曲线大致图形，结合图形分别联立直线与各段曲线(可能与直线有公共点)的方程求解方程组分析解的情况即可得.
【详解】（1）设平面上的动点，
由直线，即；直线，即.
则点到直线的距离；
点到直线的距离.
设的夹角为，则，
所以.
由，且，则，
所以
，
故曲线的方程为，动点的轨迹由两双曲线组成；
若存在直线交 于从左到右的四点，
则直线斜率存在，设，
代入方程消可得，
设四根分别为，（不妨设）
则，
且；
则与，与都关于点中心对称，故恒有，
即不存在直线，交于从左到右的四点，使得；
因此，①是假命题；
（2）由直线，斜率为，直线的斜率为，
则的方程为，
联立，解得，
所以；
同理，直线，则直线的斜率为，的方程为，
联立，解得，
所以；
由均为直角三角形，
所以，
即，
化简得，
故曲线的方程为，
可知曲线关于轴对称，且关于原点对称，
令，可得；令，可得.
由对称性，先研究曲线在第一象限的图形.
当且时，则，
所以，即，
由，可得，解得，
故此时曲线的方程为；
当且时，则，
所以，即，
且由可得，解得，
故此时曲线的方程为；
当且时，则，
所以，即，
由，可得，又，
解得，
故此时曲线的方程为；
根据曲线在第一象限内的曲线形状，结合对称性作出曲线的大致图形：
设斜率为2的直线，结合图形，不妨取，
先求解此直线与曲线在第二象限的相切情况，
联立，消得，
由，由解得，此时切点为，
因为，
故直线与曲线相切，只有一个公共点；
同理，联立，
消得，由，可解得，
故直线与曲线相交，只有一个公共点；
同理联立，
可得方程组在内有一个解，
即直线与曲线只有一个交点，
联立，可得方程组在内有无解，
即直线与曲线无公共点，
综上，结合图形可知直线与曲线恰有三个公共点.
所以存在斜率为2的直线与 恰有3个公共点，
故②是真命题.
故选：B.
4．B
【难度】0.15
【知识点】空间位置关系的向量证明、点到平面距离的向量求法
【分析】根据正方体的几何性质，建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，求出直线的方向向量和平面的法向量，根据线面位置关系的向量判断方法，点到平面距离的向量求法，线面垂直的向量判定方法，逐一判断各命题正误，求出结果.
【详解】对于①，如图所示，

由立方体性质，以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，
因为正方体棱长为1，所以，
因为M，N分别为，的中点，点P为棱中点时，，
可得，
设平面的法向量，
则,即，
当时，解得，即平面的一个法向量，
此时，可知①错误；
对于②，如下图所示，

当点P在棱上运动时，设点，
可得，
设平面的法向量，
则,即，
当时，解得，即平面的一个法向量，
此时点P到平面的距离为，
因为，当时，点P到平面的距离最小，此时距离为，所以②正确；
对于③，如图所示，

设点，
则，
当满足平面时，，
即，
当点在平面上时，即，
化简得，消去得，可知，所以此时无解；
当点在平面上时，即，
化简得，消去得,解得或，
当时，，点，符合条件；
当时，，点，，
可知，不符合条件；
当点在平面上时，即，
化简得，
当时，，不符合题意；
当点在平面上时，即，
当时，，不符合题意；
当点在平面上时，即，
化简得，
当时，，代入得，可知，所以此时无解；
当点在平面上时，即，
化简得，
当时，，代入得，可知，所以此时无解；
综上所述，当点时，满足平面的点P仅有1个，所以③错误.
故选：B.
5．D
【难度】0.15
【知识点】利用an与sn关系求通项或项、根据数列的单调性求参数
【分析】利用题意，可计算，判断B是错误的；再利用的关系，可求得，但要注意此时，再检验首项，可判断A是错误的；对于不等式，可利用化简变形，再分类讨论来分离参变量，最后求出范围，同样要注意首项另外计算，可判断C也是错误的；对于被5整除，只需要化简原式就可以判断，同时也要注意首项的判断，才能决定选项D是正确的．
【详解】，
所以，即B错误；
所以，
则，
两式相减得，所以
当时，，所以，不满足上式，所以A错误；
当时，，
由恒成立，则，
即，化简得，
当n为偶数时，，，因为，所以，所以，
当n为奇数时，，，因为，所以，所以，
但是当时，，而，
由得：，解得，
综上可得：，所以C错误；
当时，，
因为和都能被5整除，而一定不能被5整除，所以此时一定不能被5整除，
而当时，，不能被5整除，所以D正确.
故选：D.
6．C
【难度】0.15
【知识点】用基底表示向量、平面向量基本定理的应用、数量积的运算律、求投影向量
【分析】设，利用三点共线，三点共线，得，解得，最后求出投影向量，利用基本不等式即可求解.
【详解】由题，设，
因为三点共线，三点共线，所以，解得，
所以，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故选：C.
7．B
【难度】0.15
【知识点】导数的运算法则、求等比数列前n项和、数列新定义
【分析】求出函数的导函数，即可得到，从而到，两边取对数得到，再由等比数列求和公式计算可得.
【详解】由题意得，则，
所以，
则两边取对数可得，即，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列．
所以.
故选：B
8．B
【难度】0.15
【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题
【分析】由题可得，令，由已知可得，设，利用导数可得函数在上s单调递增，且有，从而得，，令，，利用导数求出函数的取值范围，即可得答案.
【详解】，即.
设，则.
由，得.
设，则，
所以在上单调递增，
由知，所以，
即，，，所以.
设，，则，
所以在单调递减，所以，
所以的取值范围是.
故选：B.
9．A
【难度】0.15
【知识点】函数与方程的综合应用、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】先对已知等式进行变形，构造出函数，然后将、、分别转化为函数与、、交点的横坐标，最后通过画出这些函数的图象，根据图象的位置关系来确定、、的大小关系.
【详解】已知为正实数，且，化简得到，进一步变形为；
同理，由，可得到，即；
由，可得到，即；
令，，对求导得，
当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递减；
当时，，即，因为，所以，此时函数在上单调递增；
当时，；
满足的即为函数与交点的横坐标；
满足的即为函数与交点的横坐标；
满足的即为函数与交点的横坐标；
在同一平面直角坐标系中画出，，，的图象，如图所示：

从图象中可以直观地看出，三个交点的横坐标关系为.
故选：A.
10．D
【难度】0.15
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、导数的运算法则
【分析】利用函数对称性的恒等式来证明函数奇偶性和周期性，从而问题得解.
【详解】因为的图象关于对称，所以，
即，则为偶函数，故A错误；
由得，，两边取导数得，，
即，所以，则是奇函数，故B错误；
由上可知，，又由得，
所以，则，
所以有，即函数是一个周期函数且周期为8；
又由，令得，，则，故C错误；
因为是奇函数，所以的图象关于点对称，
又由在上单调递减，所以在上单调递减，
又，所以在上单调递减，
又A中知，故的图象关于对称，
所以在上单调递增，
由周期性可知，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，即，
由单调性和周期性可得的极小值只能为，故D正确，
故选：D
11．A
【难度】0.15
【知识点】函数与方程的综合应用、根据函数零点的个数求参数范围
【分析】先分析函数的单调性，换元简化，分析的根对零点的影响，进行分类讨论得到结果；
【详解】对于函数根据二次函数和对数函数可知

，在上单调递减，在和上单调递增，
令，则，，
函数恰有3个零点等价于方程的正根对应的的解的个数之和为3.
当有两个相等的正根时，，即，（舍），方程解得
，，分段函数计算可得，此时有两个零点，不符合题意；
当有两个不相等的正根时，，
所以①当时，，方程无实数解，且，解得；
②当时，，由于，
可知时，，因为在上单调递增，所以有1个解，；
时，，可知有2个解，
恰有3个零点，要求和的解的总个数为3个.
通过图象分析可知要求，即.是方程的较大的根，由，可得
综上，的取值范围为.
故选：A.
12．C
【难度】0.15
【知识点】求线面角、证明面面垂直、求空间中两点间的距离
【分析】对于①，连接，通过题中条件可得和平面，从而得到平面平面；对于②，由题中条件得到平面，则，根据和的长度得到的长度，从而得到点的轨迹为该圆在正方形内的圆弧，由的长度得到的长度，从而得到的大小，继而得到的大小，得到的轨迹长度；对于③，从正方体中分离出四棱锥，则，由和的长度得到的长度，则直线与平面内的直线所成的角的最小值为，求出得到，从而得到平面内不存在一条直线与直线成；对于④，建系，写出和的坐标，由分别为的三等分点得到的坐标，设关于平面的对称点为，从而得到的坐标，由三点共线可知的最小值为，求解即可.
【详解】对于①，连接，是正方形，，
平面，平面，
，
，平面，
平面，
平面，，
同理，，又，平面，
平面，平面，
平面平面，故①正确.
对于②，取的中点，连接，则平面，平面，
故，，，，
点是在以为圆心，半径为的圆上运动，
又是正方形内部及边界上一动点，
设该圆与正方形的边交于，与边交于，
的轨迹为该圆在正方形内的圆弧，如图
，，，
，
的轨迹长度为，故②正确.
对于③，从正方体中分离出四棱锥，

则， ，，，
则直线与平面内的直线中所成的角的最小值为，
又，
即，
故平面内不存在一条直线与直线成，故③错误.
对于④，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，，
分别为的三等分点，
，
设关于平面的对称点为，
，
由三点共线可知的最小值为，
故④正确.
故选：C.
13．D
【难度】0.15
【知识点】抽象函数的奇偶性、判断或证明函数的对称性、由抽象函数的周期性求函数值、函数新定义
【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断AC，取可判断B，对于D，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.
【详解】对于A，令，代入已知等式得，得，故A错误；
对于B，取，满足及，
因为，所以的图象不关于点对称.
令，得.所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
对于C，令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
对于D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且最小正周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故选：D.
14．C
【难度】0.15
【知识点】求二面角
【分析】以为底面且高要足够高的直四棱柱，再作出平面与平面截该直四棱柱的截面，利用二面角的面积射影公式求解即可.
【详解】设平面，平面与以为底面的直四棱柱(高要足够高)的截面分别为和，
在后侧面中过作直线的垂线，垂足分别为，
则由于平面经过平面，于是平面平面，
由平面垂直的性质定理可得都是平面的垂线，
则四边形为四边形在平面中的正投影，易知与全等，
因此四边形的面积等于四边形的面积，
设四边形的面积为，四边形的面积为,四边形的面积为，
平面与平面所成的锐二面角为，平面与平面所成的锐二面角为，
平面与平面所成的锐二面角为，
，
.
故选：C
15．D
【难度】0.15
【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值
【分析】根据题意结合函数性质分析可知函数的一个周期为4，且，进而可得，结合周期性分析求值即可.
【详解】因为是偶函数，则，
用代替可得：，可得．
所以函数关于直线对称，
又因为，则，
可知关于点中心对称，
可得，则，
可得，即，可知函数的一个周期为4，
由可得，即，
当时，，且，
则，解得：，
即当时，，可得，
则，，，，，，
可知，
所以.
故选：D.
试卷第1页，共3页
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