北京版2025-2026学年八年级上册数学期中模拟预测卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 北京版2025-2026学年八年级上册数学期中模拟预测卷（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北京版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-13 11:07:15 | ||
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文档简介
期中模拟预测卷
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 赫章县校级月考）下列实数中，为无理数的是（ ）
A．0.45 B． C． D．﹣5
2．（3分）（2023秋 织金县校级期中）根据下面的表述，能确定某地位置的是（ ）
A．人民影院五排 B．距离学校3千米
C．北纬25.7°，东经124° D．邮局南面
3．（3分）（2024春 赛罕区校级期末）下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，3 D．21，28，35
4．（3分）（2025春 兴宁区校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．是3的算术平方根
B．没有立方根
C．立方根等于本身的数是0
D．的平方根是±4
5．（3分）（2019秋 玉屏县期末）下列式子属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2024 周村区一模）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与矩形ABCD有公共点，已知AB＝1，BC＝2，BC∥x轴，且点A的坐标为（1，2），则k的值可能是（ ）
A． B．3 C． D．
7．（3分）（2024春 潍坊期末）已知点A（﹣1，﹣5）和点B（﹣2，m），且AB⊥y轴，则B点坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
8．（3分）（2023春 官渡区期末）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（ ）
A．3 B．4 C． D．4.8
9．（3分）（2022 福建模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+2m的图象关于直线y＝1对称后经过坐标原点，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
10．（3分）（2024 济南模拟）在实数，中最小的实数是 ．
11．（3分）若函数y＝（a﹣1）x|a|﹣a是一次函数，则a＝ ．
12．（3分）（2025春 兰陵县期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝3x的图象平移得到，且经过点（0，﹣1），该一次函数的表达式为 ．
13．（3分）（2023 崂山区开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点B出发，沿BC方向向点C移动，连结PA，PD，记PA＝x（3＜x＜5），设点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数关系式是 ．
14．（3分）（2024 霍邱县一模）如图，将圆形纸片折叠后，恰好经过圆心O，则∠AOB的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
15．（12分）（2024秋 莲池区校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
16．（8分）（2025春 安乡县期中）已知a，b，c在数轴上对应点的值置如图所示，完成下列各题．
（1）用“＞”＜”或“＝”填空：
b 0，a+c 0，c﹣a 0，a﹣b 0；
（2）化简：．
17．（8分）（2024春 金平区期末）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥ED．已知BC＝9，AB＝12，AE＝15，ED＝CD＝8．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求五边形ABCDE的面积．
18．（8分）（2023秋 河北区期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA′的长；
（Ⅱ）如图②，若α＝30°，求点O′的坐标；
（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果）．
19．（9分）如图，在直角坐标系xOy中，正比例函数yx与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（4，n），一次函数y＝kx+b的图象还过点（0，7）．
（1）求点A的坐标及一次函数的表达式；
（2）设x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交两函数图象于点B，C，连接OC，若BC＝7，求△OBC的面积．
20．（9分）（2023春 颍州区校级期末）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1min，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度 m/min，点M的坐标 ．
（2）求甲返回时距A地的程y与时间x之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）．
（3）两人出发后，求经过多长时间两人相遇．
21．（10分）（2023秋 管城区校级月考）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数y＝a|x|+b性质的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）根据如表信息，直接写出m＝ ；n＝ ；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣6 ﹣4 m 0 2 n ﹣2 ﹣4 ﹣6 …
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）请写出该函数的两条性质：
① ；
② ．
（4）根据函数图象填空：
①方程a|x|+b＝2有 个解；
②若关于x的方程a|x|+b＝k无解，则k的取值范围是 ．
22．（11分）（2024春 普陀区期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．
【阅读定义】如图1，△ABC内有一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，那么点P称为△ABC的“布洛卡点”，其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”．如图2，当∠QAC＝∠QCB＝∠QBA时，点Q也是△ABC的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由）
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度；
问题2：在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”．
（1）∠AMB与△ABC的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．
（2）当∠BAC＝90°（如图4所示），BM＝5时，求点C到直线AM的距离．
期中模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 赫章县校级月考）下列实数中，为无理数的是（ ）
A．0.45 B． C． D．﹣5
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】有理数包括整数和分数，无限不循环小数为无理数．根据无理数、有理数的定义即可逐一判定．
【解答】解：A、0.45是小数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、是无限不循环小数，属于无理数；
D、﹣5是整数，属于有理数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数．熟练掌握有理数定义，无理数定义，是解决问题的关键．
2．（3分）（2023秋 织金县校级期中）根据下面的表述，能确定某地位置的是（ ）
A．人民影院五排 B．距离学校3千米
C．北纬25.7°，东经124° D．邮局南面
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】C
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、人民影院五排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
B、距离学校3千米，不能确定具体位置，故本选项不符合题意．
C、北纬25.7°，东经124°，能确定具体位置，故本选项符合题意；
D、邮局南面，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键．
3．（3分）（2024春 赛罕区校级期末）下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，3 D．21，28，35
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
【解答】解：A、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误；
B、52+82≠132，不能构成勾股数，故错误；
C、1.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误；
D、212+282＝352，能构成勾股数，故正确．
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
4．（3分）（2025春 兴宁区校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．是3的算术平方根
B．没有立方根
C．立方根等于本身的数是0
D．的平方根是±4
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.是3的算术平方根，因此选项A符合题意；
B.的立方根是，因此选项B不符合题意；
C．立方根等于本身的数是0或1或﹣1，因此选项C不符合题意；
D.8，的平方根，即8的平方根，8的平方根是±2，因此选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键．
5．（3分）（2019秋 玉屏县期末）下列式子属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、2，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式＝|﹣2|＝2，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
6．（3分）（2024 周村区一模）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与矩形ABCD有公共点，已知AB＝1，BC＝2，BC∥x轴，且点A的坐标为（1，2），则k的值可能是（ ）
A． B．3 C． D．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意求得点C的坐标，求得直线过点A时的k的值和过点C时的k的值，结合图象即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，2），AB＝1，BC＝2，BC∥x轴，
∴C（3，1），
把点A的坐标代入y＝kx得k＝2，
把点C的坐标代入y＝kx得k，
∴正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与矩形ABCD有公共点，则k≤2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得直线过点A时的k的值和过点C时的k的值是解题的关键．
7．（3分）（2024春 潍坊期末）已知点A（﹣1，﹣5）和点B（﹣2，m），且AB⊥y轴，则B点坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】A
【分析】根据AB⊥y轴，结合垂直于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：因为点A坐标为（﹣1，﹣5），点B坐标为（﹣2，m），且AB⊥y轴，
所以m＝﹣5，
所以点B的坐标为（﹣2，﹣5）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知垂直于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
8．（3分）（2023春 官渡区期末）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（ ）
A．3 B．4 C． D．4.8
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理逆定理可证明△ABC是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可得12×513×AD，解可得答案．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
S△ABCAB ACBC AD，
12×513×AD，
∴AD．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．（3分）（2022 福建模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+2m的图象关于直线y＝1对称后经过坐标原点，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，由一次函数y＝﹣3x+2m的图象关于直线y＝1对称后经过坐标原点，那反过来原点关于直线y＝1对称的点在y＝﹣3x+2m上，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵一次函数y＝﹣3x+2m的图象关于直线y＝1对称后经过坐标原点，
∴原点关于直线y＝1对称的点在y＝﹣3x+2m上．
又原点关于直线y＝1对称的点为（0，2），
∴2m＝2．
∴m＝1．
故选A．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
10．（3分）（2024 济南模拟）在实数，中最小的实数是 ．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；推理能力．
【答案】．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵1＜0，
∴在实数，中最小的实数是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
11．（3分）若函数y＝（a﹣1）x|a|﹣a是一次函数，则a＝ ﹣1 ．
【考点】一次函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；模型思想．
【答案】﹣1．
【分析】根据一次函数的定义得到a﹣1≠0且|a|＝1，即可得到满足条件的a的值．
【解答】解：∵函数y＝（a﹣1）x|a|﹣a是一次函数，
∴a﹣1≠0且|a|＝1，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数的定义：对于y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），y称为x的一次函数．
12．（3分）（2025春 兰陵县期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝3x的图象平移得到，且经过点（0，﹣1），该一次函数的表达式为 y＝3x﹣1 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点（0，﹣1），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
【解答】解：∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，
∴k＝3，
又∵函数y＝3x+b的图象经过点（0，﹣1），
∴b＝﹣1．
∴一次函数解析式为：y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，关键是正确得出函数解析式的系数．
13．（3分）（2023 崂山区开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点B出发，沿BC方向向点C移动，连结PA，PD，记PA＝x（3＜x＜5），设点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数关系式是 y（3＜x＜5） ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】y（3＜x＜5）．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得，然后整理即可得到y与x的关系式．
【解答】解：矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠APB，
∵∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴，
∴，
∴y（3＜x＜5）．
故答案为：y（3＜x＜5）．
【点评】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
14．（3分）（2024 霍邱县一模）如图，将圆形纸片折叠后，恰好经过圆心O，则∠AOB的度数为 120° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】与圆有关的计算；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】120°．
【分析】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A＝30°，同理可得∠B＝30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB．
【解答】解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，
由折叠的性质可知，ODOCOA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A＝30°，
同理可得∠B＝30°，
在△AOB中，由内角和定理，
得∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．解答本题的关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．
三．解答题（共8小题，满分75分）
15．（12分）（2024秋 莲池区校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【考点】二次根式的混合运算；实数的运算；平方差公式；零指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）23；
（2）4﹣2；
（3）1．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答；
（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）23；
（2）
＝2﹣23﹣（3﹣2）
＝2﹣23﹣1
＝4﹣2；
（3）
＝1﹣（1）+（﹣3）
＝11﹣3
1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（8分）（2025春 安乡县期中）已知a，b，c在数轴上对应点的值置如图所示，完成下列各题．
（1）用“＞”＜”或“＝”填空：
b ＜ 0，a+c ＞ 0，c﹣a ＜ 0，a﹣b ＞ 0；
（2）化简：．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴；实数大小比较．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】（1）＜，＞，＜，＞；
（2）a+c﹣b+c2﹣2ac+a2．
【分析】（1）观察数轴可知：b＜0＜c＜a，|a|＞|b|＞|c|，然后根据有理数的加减乘除法则判断各个式子的正负即可；
（2）根据（1）中a，b，c的取值范围，判断a+b，b﹣c的正负，然后利用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【解答】解：（1）观察数轴可知：b＜0＜c＜a，|a|＞|b|＞|c|，
∴b＜0，a+c＞0，c﹣a＜0，a﹣b＞0，
故答案为：＜，＞，＜，＞；
（2）∵b＜0＜c＜a，|a|＞|b|＞|c|，
∴a+b＞0，b﹣c＜0，
∴
＝﹣b+a+b+c﹣b+c2﹣2ac+a2
＝a+c﹣b+c2﹣2ac+a2．
【点评】本题主要考查了实数与数轴和二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则和二次根式的性质．
17．（8分）（2024春 金平区期末）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥ED．已知BC＝9，AB＝12，AE＝15，ED＝CD＝8．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求五边形ABCDE的面积．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）五边形ABCDE的面积是174．
【分析】（1）根据勾股定理求得AC＝15，AD＝17，则AC2+CD2＝AD2＝289，推导出∠ACD＝90°，进而得证；
（2）再由S五边形ABCDE＝S△ABC+S△AED+S△ACD求出五边形ABCDE的面积即可．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，AE⊥ED，BC＝3，AB＝4，AE＝5，ED＝BD＝12．
∴∠B＝∠E＝90°，
∴AC15，AD17，
∵AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：∴S五边形ABCDE＝S△ABC+S△AED+S△ACD12×915×815×8＝174，
∴五边形ABCDE的面积是174．
【点评】此题主要考查勾股定理及其勾股定理逆定理，正确地推导出∠ACD＝90°是解答本题的关键．
18．（8分）（2023秋 河北区期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA′的长；
（Ⅱ）如图②，若α＝30°，求点O′的坐标；
（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果）．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）（2，4﹣2）；
（3）0≤MN≤8．
【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，由旋转的性质得出∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，由勾股定理可得出答案；
（2）过点O'作O'C⊥OB于点C，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出OC，O'C的长，则可得出答案；
（3）画出图形，得出MN的最大值和最小值，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（3，0），点B（0，4），
∴AO＝3，OB＝4，
∴AB5，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A'BO′，
∴∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，
∴AA'5；
（2）如图②，若α＝30°，则∠CBO'＝30°，过点O'作O'C⊥OB于点C，
∵OB＝4，
∴OB＝O'B＝4，
∵∠BCO'＝90°，
∴CO'＝2，
BC2，
∴OC＝4﹣2，
∴O'（2，4﹣2）；
（3）如图③中，过点O作OH⊥AC，
则OH，
∴BH，
观察图形可知，MN重合时，MN的最小值＝0，
MN的最大值＝BM+BN＝5+3＝8．
∴MN的取值范围是0≤MN≤8．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19．（9分）如图，在直角坐标系xOy中，正比例函数yx与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（4，n），一次函数y＝kx+b的图象还过点（0，7）．
（1）求点A的坐标及一次函数的表达式；
（2）设x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交两函数图象于点B，C，连接OC，若BC＝7，求△OBC的面积．
【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；三角形；运算能力．
【答案】（1）A（4，3），一次函数的解析式为y＝﹣x+7；
（2）S△OBC＝28．
【分析】（1）根据正比例函数可得A的坐标，再由A的坐标和点（0，7）可得一次函数的解析式；
（2）分别用含m的代数式表示出B和C的坐标，根据BC＝7可得m的值，再利用三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）在yx中，当x＝4时，y＝3，即A（4，3），
把（4，3）和（0，7）代入y＝kx+b可得，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝﹣x+7；
（2）由题意可得B（m，m），C（m，﹣m+7），
∴BCm﹣（﹣m+7）m﹣7，
∴m﹣7＝7，解得m＝8，
即P（8，0），
∴S△OBC7×8＝28．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用．
20．（9分）（2023春 颍州区校级期末）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1min，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度 240 m/min，点M的坐标 （6，1200） ．
（2）求甲返回时距A地的程y与时间x之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）．
（3）两人出发后，求经过多长时间两人相遇．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）240，（6，1200）；
（2）y＝﹣240x+2640；
（3）4min或8min．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”求出甲的骑行速度；根据“路程＝速度×时间”求出A、B两地的距离，即点M的纵坐标；根据“甲往返的总时间为11min，途中休息1min”求出点M的横坐标；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分别求出线段DE对应的函数关系式和甲从A地到C地过程中y与x之间的函数关系式，再列方程求出图象交点的横坐标即可．
【解答】解：（1）甲的骑行速度为1020÷（1）＝240（m/min）；
A、B两地的距离为240×（11﹣1）÷2＝1200（米），
∵甲往返的总时间为11min，途中休息1min，
∴点M的横坐标是11﹣（11﹣1）÷2＝6，
∴点M的坐标为（6，1200）．
故答案为：240，（6，1200）．
（2）设线段MN对应的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标M（6，1200）和N（11，0）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴甲返回时距A地的程y与时间x之间的函数解析式为y＝﹣240x+2640．
（3）由（1）可知，点D的坐标是（0，1200）．
设线段DE对应的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将坐标D（0，1200）和E（20，0）分别代入y＝k1x+b1，
得，
解得，
∴线段DE对应的函数关系式为y＝﹣60x+1200（0≤x≤20）；
甲从A地到C地过程中y与x之间的函数关系式为y＝240x（0≤x）．
当甲从A地到C地的过程中与乙相遇时，得240x＝﹣60x+1200，解得x＝4；
当甲从B地返回A地的过程中与乙相遇时，得﹣240x+2640＝﹣60x+1200，解得x＝8；
综上，x＝4或8．
∴两人出发后，经过4min或8min两人相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键．
21．（10分）（2023秋 管城区校级月考）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数y＝a|x|+b性质的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）根据如表信息，直接写出m＝ ﹣2 ；n＝ 0 ；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣6 ﹣4 m 0 2 n ﹣2 ﹣4 ﹣6 …
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）请写出该函数的两条性质：
① 该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴 ；
② 当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大 ．
（4）根据函数图象填空：
①方程a|x|+b＝2有 1 个解；
②若关于x的方程a|x|+b＝k无解，则k的取值范围是 k＞2 ．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）﹣2，0；
（2）见解答；
（3）该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大；
（4）1，k＞2．
【分析】（1）观察表格，函数图象经过点（﹣1，0），（0，2），将这两点的坐标分别代入y＝a|x|+b，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；把x＝﹣2代入所求的解析式，即可求出m，将x＝1代入所求的解析式，即可求出n；
（2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象；
（3）根据图象即可判断该函数性质的说法是否正确；
（4）观察图象填空即可．
【解答】解：（1）∵函数y＝a|x|+b的图象经过点（﹣1，0），（0，2），
∴，解得，
∴这个函数的表达式是y＝﹣2|x|+2；
∴当x＝﹣2时，m＝﹣2×|﹣2|+2＝﹣2，
当x＝1时，n＝﹣2×|1|+2＝0．
故答案为：﹣2，0；
（2）函数y＝﹣2|x|+2的图象如图所示：
（3）①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
故答案为：该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
（4）①方程a|x|+b＝2有1个解；
②若关于x的方程a|x|+b＝k无解，则k的取值范围是k＞2．
故答案为：1，k＞2．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，综合性较强，难度适中．画出函数的图象利用数形结合是解题的关键．
22．（11分）（2024春 普陀区期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．
【阅读定义】如图1，△ABC内有一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，那么点P称为△ABC的“布洛卡点”，其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”．如图2，当∠QAC＝∠QCB＝∠QBA时，点Q也是△ABC的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由）
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 1 个，“布洛卡角”的度数为 30 度；
问题2：在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”．
（1）∠AMB与△ABC的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．
（2）当∠BAC＝90°（如图4所示），BM＝5时，求点C到直线AM的距离．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】问题1：1，30°；
问题2：（1）∠AMB与△ABC的底角互补，理由见解答；图形见解答；
（2）点C到直线AM的距离为2.5．
【分析】问题1：根据等边三角形的性质证明△ACP≌△BAP（ASA），得PA＝PB＝PC，进而可以解决问题；
问题2：（1）根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质和“布洛卡点”定义，即可解决问题；
（2）由△ABC是等腰直角三角形，证明△ABM≌△ACN（AAS），即可解决问题．
【解答】解：问题1：如图1﹣1：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，
∴∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，
∴△ACP≌△BAP（ASA），
∴CP＝AP，
同法可证CP＝BP，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠PBC＝∠PCB＝∠PCA＝∠PAC＝30°，
∴等边三角形的“布洛卡点”有1个，“布洛卡角”的度数为30度；
故答案为：1，30°；
问题2：（1）∠AMB＝2△ABC，如图3即为所求，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”，
∴∠MAC＝∠MCB＝∠MBA，
∴∠MBC＝∠MCA，
设∠MAC＝∠MCB＝∠MBA＝α，∠MBC＝∠MCA＝β，
∴∠MAB＝180°﹣3α﹣2β，
∴∠AMB＝180°﹣（180°﹣3α﹣2β）﹣α＝2（α+β）＝∠ABC，
∴∠AMB＝2∠ABC；
（2）如图4，过点C作CN⊥AM的延长线于点N，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
由（1）知：∠AMB＝2∠ABC＝90°，
∵点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”，
∴∠MAC＝∠MBA＝∠BCM，
∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴BM＝AN＝5，AM＝CN，
∵∠AMB＝∠CNM＝90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBC＝∠NCB，
∵∠MBA＝∠BCM，
∴∠MCN＝∠ABC＝45°，
∴CN＝MN，
∴AM＝CN＝MNAN＝2.5，
∴点C到直线AM的距离为2.5．
【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形．
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 赫章县校级月考）下列实数中，为无理数的是（ ）
A．0.45 B． C． D．﹣5
2．（3分）（2023秋 织金县校级期中）根据下面的表述，能确定某地位置的是（ ）
A．人民影院五排 B．距离学校3千米
C．北纬25.7°，东经124° D．邮局南面
3．（3分）（2024春 赛罕区校级期末）下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，3 D．21，28，35
4．（3分）（2025春 兴宁区校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．是3的算术平方根
B．没有立方根
C．立方根等于本身的数是0
D．的平方根是±4
5．（3分）（2019秋 玉屏县期末）下列式子属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2024 周村区一模）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与矩形ABCD有公共点，已知AB＝1，BC＝2，BC∥x轴，且点A的坐标为（1，2），则k的值可能是（ ）
A． B．3 C． D．
7．（3分）（2024春 潍坊期末）已知点A（﹣1，﹣5）和点B（﹣2，m），且AB⊥y轴，则B点坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
8．（3分）（2023春 官渡区期末）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（ ）
A．3 B．4 C． D．4.8
9．（3分）（2022 福建模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+2m的图象关于直线y＝1对称后经过坐标原点，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
10．（3分）（2024 济南模拟）在实数，中最小的实数是 ．
11．（3分）若函数y＝（a﹣1）x|a|﹣a是一次函数，则a＝ ．
12．（3分）（2025春 兰陵县期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝3x的图象平移得到，且经过点（0，﹣1），该一次函数的表达式为 ．
13．（3分）（2023 崂山区开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点B出发，沿BC方向向点C移动，连结PA，PD，记PA＝x（3＜x＜5），设点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数关系式是 ．
14．（3分）（2024 霍邱县一模）如图，将圆形纸片折叠后，恰好经过圆心O，则∠AOB的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分75分）
15．（12分）（2024秋 莲池区校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
16．（8分）（2025春 安乡县期中）已知a，b，c在数轴上对应点的值置如图所示，完成下列各题．
（1）用“＞”＜”或“＝”填空：
b 0，a+c 0，c﹣a 0，a﹣b 0；
（2）化简：．
17．（8分）（2024春 金平区期末）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥ED．已知BC＝9，AB＝12，AE＝15，ED＝CD＝8．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求五边形ABCDE的面积．
18．（8分）（2023秋 河北区期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA′的长；
（Ⅱ）如图②，若α＝30°，求点O′的坐标；
（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果）．
19．（9分）如图，在直角坐标系xOy中，正比例函数yx与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（4，n），一次函数y＝kx+b的图象还过点（0，7）．
（1）求点A的坐标及一次函数的表达式；
（2）设x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交两函数图象于点B，C，连接OC，若BC＝7，求△OBC的面积．
20．（9分）（2023春 颍州区校级期末）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1min，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度 m/min，点M的坐标 ．
（2）求甲返回时距A地的程y与时间x之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）．
（3）两人出发后，求经过多长时间两人相遇．
21．（10分）（2023秋 管城区校级月考）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数y＝a|x|+b性质的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）根据如表信息，直接写出m＝ ；n＝ ；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣6 ﹣4 m 0 2 n ﹣2 ﹣4 ﹣6 …
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）请写出该函数的两条性质：
① ；
② ．
（4）根据函数图象填空：
①方程a|x|+b＝2有 个解；
②若关于x的方程a|x|+b＝k无解，则k的取值范围是 ．
22．（11分）（2024春 普陀区期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．
【阅读定义】如图1，△ABC内有一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，那么点P称为△ABC的“布洛卡点”，其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”．如图2，当∠QAC＝∠QCB＝∠QBA时，点Q也是△ABC的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由）
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 个，“布洛卡角”的度数为 度；
问题2：在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”．
（1）∠AMB与△ABC的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．
（2）当∠BAC＝90°（如图4所示），BM＝5时，求点C到直线AM的距离．
期中模拟预测卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）
1．（3分）（2024秋 赫章县校级月考）下列实数中，为无理数的是（ ）
A．0.45 B． C． D．﹣5
【考点】无理数；算术平方根．
【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】有理数包括整数和分数，无限不循环小数为无理数．根据无理数、有理数的定义即可逐一判定．
【解答】解：A、0.45是小数，属于有理数；
B、是分数，属于有理数；
C、是无限不循环小数，属于无理数；
D、﹣5是整数，属于有理数．
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数．熟练掌握有理数定义，无理数定义，是解决问题的关键．
2．（3分）（2023秋 织金县校级期中）根据下面的表述，能确定某地位置的是（ ）
A．人民影院五排 B．距离学校3千米
C．北纬25.7°，东经124° D．邮局南面
【考点】坐标确定位置．
【专题】平面直角坐标系；应用意识．
【答案】C
【分析】根据坐标的定义，确定位置需要两个数据对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、人民影院五排，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
B、距离学校3千米，不能确定具体位置，故本选项不符合题意．
C、北纬25.7°，东经124°，能确定具体位置，故本选项符合题意；
D、邮局南面，不能确定具体位置，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了坐标确定位置，理解确定坐标的两个数是解题的关键．
3．（3分）（2024春 赛罕区校级期末）下面四组数中是勾股数的一组是（ ）
A．6，7，8 B．5，8，13 C．1.5，2，3 D．21，28，35
【考点】勾股数．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．
【答案】D
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．
【解答】解：A、62+72≠82，不能构成勾股数，故错误；
B、52+82≠132，不能构成勾股数，故错误；
C、1.5不是整数，所以不能构成勾股数，故错误；
D、212+282＝352，能构成勾股数，故正确．
故选：D．
【点评】此题考查的知识点是勾股数，解答此题要深刻理解勾股数的定义，并能够熟练运用．
4．（3分）（2025春 兴宁区校级期末）下列结论正确的是（ ）
A．是3的算术平方根
B．没有立方根
C．立方根等于本身的数是0
D．的平方根是±4
【考点】立方根；平方根；算术平方根．
【专题】实数；数感；运算能力．
【答案】A
【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项进行判断即可．
【解答】解：A.是3的算术平方根，因此选项A符合题意；
B.的立方根是，因此选项B不符合题意；
C．立方根等于本身的数是0或1或﹣1，因此选项C不符合题意；
D.8，的平方根，即8的平方根，8的平方根是±2，因此选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查平方根、算术平方根、立方根，掌握平方根、算术平方根、立方根的定义是正确解答的关键．
5．（3分）（2019秋 玉屏县期末）下列式子属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．
【专题】实数；运算能力．
【答案】A
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解答】解：A、是最简二次根式，符合题意；
B、2，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式＝|﹣2|＝2，不符合题意．
故选：A．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
6．（3分）（2024 周村区一模）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与矩形ABCD有公共点，已知AB＝1，BC＝2，BC∥x轴，且点A的坐标为（1，2），则k的值可能是（ ）
A． B．3 C． D．
【考点】一次函数图象与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．
【专题】一次函数及其应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据题意求得点C的坐标，求得直线过点A时的k的值和过点C时的k的值，结合图象即可求解．
【解答】解：∵点A的坐标为（1，2），AB＝1，BC＝2，BC∥x轴，
∴C（3，1），
把点A的坐标代入y＝kx得k＝2，
把点C的坐标代入y＝kx得k，
∴正比例函数y＝kx（k≠0）的图象与矩形ABCD有公共点，则k≤2，
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，求得直线过点A时的k的值和过点C时的k的值是解题的关键．
7．（3分）（2024春 潍坊期末）已知点A（﹣1，﹣5）和点B（﹣2，m），且AB⊥y轴，则B点坐标为（ ）
A．（﹣2，﹣5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，1） D．（﹣2，﹣1）
【考点】坐标与图形性质．
【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】A
【分析】根据AB⊥y轴，结合垂直于y轴的直线上点的坐标特征即可解决问题．
【解答】解：因为点A坐标为（﹣1，﹣5），点B坐标为（﹣2，m），且AB⊥y轴，
所以m＝﹣5，
所以点B的坐标为（﹣2，﹣5）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，熟知垂直于y轴的直线上点的坐标特征是解题的关键．
8．（3分）（2023春 官渡区期末）如图，在△ABC中，AB＝12，BC＝13，AC＝5，则BC边上的高AD为（ ）
A．3 B．4 C． D．4.8
【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力；推理能力．
【答案】C
【分析】根据勾股定理逆定理可证明△ABC是直角三角形，再利用直角三角形的面积公式可得12×513×AD，解可得答案．
【解答】解：∵52+122＝132，
∴AC2+AB2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，
S△ABCAB ACBC AD，
12×513×AD，
∴AD．
故选：C．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
9．（3分）（2022 福建模拟）在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣3x+2m的图象关于直线y＝1对称后经过坐标原点，则m的值为（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数的图象；一次函数的性质．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】A
【分析】依据题意，由一次函数y＝﹣3x+2m的图象关于直线y＝1对称后经过坐标原点，那反过来原点关于直线y＝1对称的点在y＝﹣3x+2m上，进而计算可以得解．
【解答】解：由题意，∵一次函数y＝﹣3x+2m的图象关于直线y＝1对称后经过坐标原点，
∴原点关于直线y＝1对称的点在y＝﹣3x+2m上．
又原点关于直线y＝1对称的点为（0，2），
∴2m＝2．
∴m＝1．
故选A．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并理解是关键．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
10．（3分）（2024 济南模拟）在实数，中最小的实数是 ．
【考点】实数大小比较；算术平方根．
【专题】实数；推理能力．
【答案】．
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵1＜0，
∴在实数，中最小的实数是．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数＞0＞负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
11．（3分）若函数y＝（a﹣1）x|a|﹣a是一次函数，则a＝ ﹣1 ．
【考点】一次函数的定义．
【专题】一次函数及其应用；模型思想．
【答案】﹣1．
【分析】根据一次函数的定义得到a﹣1≠0且|a|＝1，即可得到满足条件的a的值．
【解答】解：∵函数y＝（a﹣1）x|a|﹣a是一次函数，
∴a﹣1≠0且|a|＝1，
解得a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了一次函数的定义：对于y＝kx+b（k、b为常数，k≠0），y称为x的一次函数．
12．（3分）（2025春 兰陵县期末）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象由函数y＝3x的图象平移得到，且经过点（0，﹣1），该一次函数的表达式为 y＝3x﹣1 ．
【考点】一次函数图象与几何变换．
【专题】一次函数及其应用；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，且经过点（0，﹣1），即可得出k和b的值，即得出了函数解析式．
【解答】解：∵函数y＝kx+b的图象与直线y＝3x平行，
∴k＝3，
又∵函数y＝3x+b的图象经过点（0，﹣1），
∴b＝﹣1．
∴一次函数解析式为：y＝3x﹣1．
故答案为：y＝3x﹣1．
【点评】本题考查一次函数图象与几何变换，关键是正确得出函数解析式的系数．
13．（3分）（2023 崂山区开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点B出发，沿BC方向向点C移动，连结PA，PD，记PA＝x（3＜x＜5），设点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数关系式是 y（3＜x＜5） ．
【考点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象上点的坐标特征．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力．
【答案】y（3＜x＜5）．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠DAE＝∠APB，再根据两组角对应相等的两个三角形相似求出△ABP和△DEA相似，根据相似三角形对应边成比例可得，然后整理即可得到y与x的关系式．
【解答】解：矩形ABCD中，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠APB，
∵∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABP∽△DEA，
∴，
∴，
∴y（3＜x＜5）．
故答案为：y（3＜x＜5）．
【点评】本题考查了矩形的性质，主要利用了相似三角形的判定与性质，勾股定理，求出相似三角形并根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．
14．（3分）（2024 霍邱县一模）如图，将圆形纸片折叠后，恰好经过圆心O，则∠AOB的度数为 120° ．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】与圆有关的计算；展开与折叠；几何直观；推理能力．
【答案】120°．
【分析】过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求∠A＝30°，同理可得∠B＝30°，在△AOB中，由内角和定理求∠AOB．
【解答】解：过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C，
由折叠的性质可知，ODOCOA，
由此可得，在Rt△AOD中，∠A＝30°，
同理可得∠B＝30°，
在△AOB中，由内角和定理，
得∠AOB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断．解答本题的关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形．
三．解答题（共8小题，满分75分）
15．（12分）（2024秋 莲池区校级期中）计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【考点】二次根式的混合运算；实数的运算；平方差公式；零指数幂．
【专题】二次根式；运算能力．
【答案】（1）23；
（2）4﹣2；
（3）1．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用完全平方公式，平方差公式进行计算，即可解答；
（3）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【解答】解：（1）23；
（2）
＝2﹣23﹣（3﹣2）
＝2﹣23﹣1
＝4﹣2；
（3）
＝1﹣（1）+（﹣3）
＝11﹣3
1．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算，零指数幂，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
16．（8分）（2025春 安乡县期中）已知a，b，c在数轴上对应点的值置如图所示，完成下列各题．
（1）用“＞”＜”或“＝”填空：
b ＜ 0，a+c ＞ 0，c﹣a ＜ 0，a﹣b ＞ 0；
（2）化简：．
【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴；实数大小比较．
【专题】实数；二次根式；运算能力．
【答案】（1）＜，＞，＜，＞；
（2）a+c﹣b+c2﹣2ac+a2．
【分析】（1）观察数轴可知：b＜0＜c＜a，|a|＞|b|＞|c|，然后根据有理数的加减乘除法则判断各个式子的正负即可；
（2）根据（1）中a，b，c的取值范围，判断a+b，b﹣c的正负，然后利用二次根式的性质和绝对值的性质化简即可．
【解答】解：（1）观察数轴可知：b＜0＜c＜a，|a|＞|b|＞|c|，
∴b＜0，a+c＞0，c﹣a＜0，a﹣b＞0，
故答案为：＜，＞，＜，＞；
（2）∵b＜0＜c＜a，|a|＞|b|＞|c|，
∴a+b＞0，b﹣c＜0，
∴
＝﹣b+a+b+c﹣b+c2﹣2ac+a2
＝a+c﹣b+c2﹣2ac+a2．
【点评】本题主要考查了实数与数轴和二次根式的性质与化简，解题关键是熟练掌握有理数的加减乘除法则和二次根式的性质．
17．（8分）（2024春 金平区期末）如图，在五边形ABCDE中，AB⊥BC，AE⊥ED．已知BC＝9，AB＝12，AE＝15，ED＝CD＝8．
（1）求证：△ACD是直角三角形；
（2）求五边形ABCDE的面积．
【考点】勾股定理的逆定理．
【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）五边形ABCDE的面积是174．
【分析】（1）根据勾股定理求得AC＝15，AD＝17，则AC2+CD2＝AD2＝289，推导出∠ACD＝90°，进而得证；
（2）再由S五边形ABCDE＝S△ABC+S△AED+S△ACD求出五边形ABCDE的面积即可．
【解答】（1）证明：∵AB⊥BC，AE⊥ED，BC＝3，AB＝4，AE＝5，ED＝BD＝12．
∴∠B＝∠E＝90°，
∴AC15，AD17，
∵AC2+CD2＝152+82＝289，AD2＝172＝289，
∴AC2+CD2＝AD2，
∴∠ACD＝90°，
∴△ACD是直角三角形；
（2）解：∴S五边形ABCDE＝S△ABC+S△AED+S△ACD12×915×815×8＝174，
∴五边形ABCDE的面积是174．
【点评】此题主要考查勾股定理及其勾股定理逆定理，正确地推导出∠ACD＝90°是解答本题的关键．
18．（8分）（2023秋 河北区期中）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（3，0），点B（0，4），把△ABO绕点B逆时针旋转得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．
（Ⅰ）如图①，若α＝90°，求AA′的长；
（Ⅱ）如图②，若α＝30°，求点O′的坐标；
（Ⅲ）若M为AB边上的一动点，在OB上取一点N（0，1），将△ABO绕点B逆时针旋转一周，求MN的取值范围（直接写出结果）．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；几何直观；运算能力；推理能力．
【答案】（1）5；
（2）（2，4﹣2）；
（3）0≤MN≤8．
【分析】（1）由勾股定理求出AB的长，由旋转的性质得出∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，由勾股定理可得出答案；
（2）过点O'作O'C⊥OB于点C，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出OC，O'C的长，则可得出答案；
（3）画出图形，得出MN的最大值和最小值，则可得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（3，0），点B（0，4），
∴AO＝3，OB＝4，
∴AB5，
∵把△ABO绕点B逆时针旋转90°，得△A'BO′，
∴∠ABA'＝90°，AB＝A'B＝5，
∴AA'5；
（2）如图②，若α＝30°，则∠CBO'＝30°，过点O'作O'C⊥OB于点C，
∵OB＝4，
∴OB＝O'B＝4，
∵∠BCO'＝90°，
∴CO'＝2，
BC2，
∴OC＝4﹣2，
∴O'（2，4﹣2）；
（3）如图③中，过点O作OH⊥AC，
则OH，
∴BH，
观察图形可知，MN重合时，MN的最小值＝0，
MN的最大值＝BM+BN＝5+3＝8．
∴MN的取值范围是0≤MN≤8．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
19．（9分）如图，在直角坐标系xOy中，正比例函数yx与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（4，n），一次函数y＝kx+b的图象还过点（0，7）．
（1）求点A的坐标及一次函数的表达式；
（2）设x轴上有一点P（m，0），过点P作x轴的垂线（垂线位于点A的右侧），分别交两函数图象于点B，C，连接OC，若BC＝7，求△OBC的面积．
【考点】两条直线相交或平行问题；待定系数法求一次函数解析式．
【专题】一次函数及其应用；三角形；运算能力．
【答案】（1）A（4，3），一次函数的解析式为y＝﹣x+7；
（2）S△OBC＝28．
【分析】（1）根据正比例函数可得A的坐标，再由A的坐标和点（0，7）可得一次函数的解析式；
（2）分别用含m的代数式表示出B和C的坐标，根据BC＝7可得m的值，再利用三角形的面积公式可得答案．
【解答】解：（1）在yx中，当x＝4时，y＝3，即A（4，3），
把（4，3）和（0，7）代入y＝kx+b可得，
解得，
所以一次函数的解析式为y＝﹣x+7；
（2）由题意可得B（m，m），C（m，﹣m+7），
∴BCm﹣（﹣m+7）m﹣7，
∴m﹣7＝7，解得m＝8，
即P（8，0），
∴S△OBC7×8＝28．
【点评】本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数的交点问题，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．注意数形结合思想的应用．
20．（9分）（2023春 颍州区校级期末）在一条笔直的公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两人同时出发，甲从A地骑自行车去B地，途经C地休息1min，继续按原速骑行至B地，甲到达B地后，立即按原路原速返回A地；乙步行从B地前往A地．甲、乙两人距A地的路程y（m）与时间x（min）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题：
（1）请写出甲的骑行速度 240 m/min，点M的坐标 （6，1200） ．
（2）求甲返回时距A地的程y与时间x之间的函数解析式（不需要写出自变量的取值范围）．
（3）两人出发后，求经过多长时间两人相遇．
【考点】一次函数的应用．
【专题】一次函数及其应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）240，（6，1200）；
（2）y＝﹣240x+2640；
（3）4min或8min．
【分析】（1）根据“速度＝路程÷时间”求出甲的骑行速度；根据“路程＝速度×时间”求出A、B两地的距离，即点M的纵坐标；根据“甲往返的总时间为11min，途中休息1min”求出点M的横坐标；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分别求出线段DE对应的函数关系式和甲从A地到C地过程中y与x之间的函数关系式，再列方程求出图象交点的横坐标即可．
【解答】解：（1）甲的骑行速度为1020÷（1）＝240（m/min）；
A、B两地的距离为240×（11﹣1）÷2＝1200（米），
∵甲往返的总时间为11min，途中休息1min，
∴点M的横坐标是11﹣（11﹣1）÷2＝6，
∴点M的坐标为（6，1200）．
故答案为：240，（6，1200）．
（2）设线段MN对应的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）．
将坐标M（6，1200）和N（11，0）分别代入y＝kx+b，
得，
解得，
∴甲返回时距A地的程y与时间x之间的函数解析式为y＝﹣240x+2640．
（3）由（1）可知，点D的坐标是（0，1200）．
设线段DE对应的函数关系式为y＝k1x+b1（k1、b1为常数，且k1≠0）．
将坐标D（0，1200）和E（20，0）分别代入y＝k1x+b1，
得，
解得，
∴线段DE对应的函数关系式为y＝﹣60x+1200（0≤x≤20）；
甲从A地到C地过程中y与x之间的函数关系式为y＝240x（0≤x）．
当甲从A地到C地的过程中与乙相遇时，得240x＝﹣60x+1200，解得x＝4；
当甲从B地返回A地的过程中与乙相遇时，得﹣240x+2640＝﹣60x+1200，解得x＝8；
综上，x＝4或8．
∴两人出发后，经过4min或8min两人相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键．
21．（10分）（2023秋 管城区校级月考）在一次函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研究性质——运用函数解决问题”的学习过程，在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．以下是我们研究函数y＝a|x|+b性质的部分过程，请按要求完成下列各小题．
（1）根据如表信息，直接写出m＝ ﹣2 ；n＝ 0 ；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … ﹣6 ﹣4 m 0 2 n ﹣2 ﹣4 ﹣6 …
（2）在给定的平面直角坐标系中画出该函数图象；
（3）请写出该函数的两条性质：
① 该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴 ；
② 当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大 ．
（4）根据函数图象填空：
①方程a|x|+b＝2有 1 个解；
②若关于x的方程a|x|+b＝k无解，则k的取值范围是 k＞2 ．
【考点】一次函数图象与几何变换；一次函数图象与系数的关系．
【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）﹣2，0；
（2）见解答；
（3）该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大；
（4）1，k＞2．
【分析】（1）观察表格，函数图象经过点（﹣1，0），（0，2），将这两点的坐标分别代入y＝a|x|+b，利用待定系数法即可求出这个函数的表达式；把x＝﹣2代入所求的解析式，即可求出m，将x＝1代入所求的解析式，即可求出n；
（2）根据表格数据，描点连线即可画出该函数的图象；
（3）根据图象即可判断该函数性质的说法是否正确；
（4）观察图象填空即可．
【解答】解：（1）∵函数y＝a|x|+b的图象经过点（﹣1，0），（0，2），
∴，解得，
∴这个函数的表达式是y＝﹣2|x|+2；
∴当x＝﹣2时，m＝﹣2×|﹣2|+2＝﹣2，
当x＝1时，n＝﹣2×|1|+2＝0．
故答案为：﹣2，0；
（2）函数y＝﹣2|x|+2的图象如图所示：
（3）①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴．
②当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
故答案为：该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为y轴；当x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0时，y随x的增大而增大．
（4）①方程a|x|+b＝2有1个解；
②若关于x的方程a|x|+b＝k无解，则k的取值范围是k＞2．
故答案为：1，k＞2．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象与性质，综合性较强，难度适中．画出函数的图象利用数形结合是解题的关键．
22．（11分）（2024春 普陀区期末）小普同学在课外阅读时，读到了三角形内有一个特殊点“布洛卡点”，关于“布洛卡点”有很多重要的结论．小普同学对“布洛卡点”也很感兴趣，决定利用学过的知识和方法研究“布洛卡点”在一些特殊三角形中的性质．让我们尝试与小普同学一起来研究，完成以下问题的解答或有关的填空．
【阅读定义】如图1，△ABC内有一点P，满足∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，那么点P称为△ABC的“布洛卡点”，其中∠PAB、∠PBC、∠PCA被称为“布洛卡角”．如图2，当∠QAC＝∠QCB＝∠QBA时，点Q也是△ABC的“布洛卡点”．一般情况下，任意三角形会有两个“布洛卡点”．
【解决问题】（说明：说理过程可以不写理由）
问题1：等边三角形的“布洛卡点”有 1 个，“布洛卡角”的度数为 30 度；
问题2：在等腰三角形ABC中，已知AB＝AC，点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”．
（1）∠AMB与△ABC的底角有怎样的数量关系？请在图3中，画出必要的点和线段，完成示意图后进行说理．
（2）当∠BAC＝90°（如图4所示），BM＝5时，求点C到直线AM的距离．
【考点】三角形综合题．
【专题】几何综合题；推理能力．
【答案】问题1：1，30°；
问题2：（1）∠AMB与△ABC的底角互补，理由见解答；图形见解答；
（2）点C到直线AM的距离为2.5．
【分析】问题1：根据等边三角形的性质证明△ACP≌△BAP（ASA），得PA＝PB＝PC，进而可以解决问题；
问题2：（1）根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质和“布洛卡点”定义，即可解决问题；
（2）由△ABC是等腰直角三角形，证明△ABM≌△ACN（AAS），即可解决问题．
【解答】解：问题1：如图1﹣1：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠CAB＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
∵∠PAB＝∠PBC＝∠PCA，
∴∠PAC＝∠PBA＝∠PCB，
∴△ACP≌△BAP（ASA），
∴CP＝AP，
同法可证CP＝BP，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PAB＝∠PBA＝∠PBC＝∠PCB＝∠PCA＝∠PAC＝30°，
∴等边三角形的“布洛卡点”有1个，“布洛卡角”的度数为30度；
故答案为：1，30°；
问题2：（1）∠AMB＝2△ABC，如图3即为所求，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”，
∴∠MAC＝∠MCB＝∠MBA，
∴∠MBC＝∠MCA，
设∠MAC＝∠MCB＝∠MBA＝α，∠MBC＝∠MCA＝β，
∴∠MAB＝180°﹣3α﹣2β，
∴∠AMB＝180°﹣（180°﹣3α﹣2β）﹣α＝2（α+β）＝∠ABC，
∴∠AMB＝2∠ABC；
（2）如图4，过点C作CN⊥AM的延长线于点N，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
由（1）知：∠AMB＝2∠ABC＝90°，
∵点M是△ABC的一个“布洛卡点”，∠MAC是“布洛卡角”，
∴∠MAC＝∠MBA＝∠BCM，
∴△ABM≌△ACN（AAS），
∴BM＝AN＝5，AM＝CN，
∵∠AMB＝∠CNM＝90°，
∴BM∥CN，
∴∠MBC＝∠NCB，
∵∠MBA＝∠BCM，
∴∠MCN＝∠ABC＝45°，
∴CN＝MN，
∴AM＝CN＝MNAN＝2.5，
∴点C到直线AM的距离为2.5．
【点评】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形．
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