24.2点和圆、直线和圆的位置关系同步习题（含详解）2025-2026学年人教版数学九年级上册

24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
一、单选题
1．用反证法证明命题：在一个三角形中，最大的内角不小于．证明的第一步是（ ）
A．假设最大的内角小于 B．假设最大的内角大于
C．假设最大的内角大于或等于 D．假设最大的内角小于或等于
2．如图，P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N．若，则的周长为（ ）
A．6 B．8 C． D．
3．在平面直角坐标系中，已知圆的半径为4，原点为圆心，点为，则点在（　　）
A．圆外 B．圆上 C．圆内 D．不能确定
4．小明同学响应学习号召，在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，他将汽车轮胎如图放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高a为，直角顶点到轮胎与底面接触点长为，请帮小明计算轮胎的直径为（　　）．
A．350 B．700 C．800 D．400
5．如图，是的直径，为弦，过点的切线与的延长线相交于点．若，则下列说法不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，，是的切线，A，C为切点，若是的直径，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，是一张三角形的纸片，是它的内切圆，点是其中的一个切点，已知，小明准备用剪刀沿着与相切的任意一条直线剪下一块三角形（），则剪下的的周长为（　　）
A． B．
C． D．随直线的变化而变化
8．已知，点满足，作射线，使得，作于点，则长的最大值是（ ）
A．3 B． C． D．
二、填空题
9．如图，切于点B，交于点D且为的直径，点E是上异于点A、D的一点，若，则的度数为 ．
10．如图，是的弦，点在过点的切线上，且，交于点，已知，则 ．
11．一个直角三角形的两条直角边长是方程的两个根，则此直角三角形的内切圆的半径为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，的半径是1，直线与x轴交于点，且与x轴的正半轴夹角为，若直线与有公共点，则x值的范围是 ．
13．如图，四边形是⊙O的内接四边形， ，，为上一点，，的最小值为
三、解答题
14．如图，等边内接于，是的直径，过点作的切线，与的延长线相交于点．
(1)求证：；
(2)连接，若，求的长．
15．如图，是的弦，为过点的切线上一点，且，分别在上，且，连接．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的度数．
16．如图，是的直径，射线交于点D，E是劣弧上一点，且，过点E作于点F，延长和的延长线交于点G．
(1)证明：是的切线；
(2)若，，求的半径．
17．如图，中，，点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且是的切线．
(1)求证：；
(2)若，，求的半径
18．如图，P是外一点，是的切线，A是切点，B是上一点，且，延长分别与、切线相交于C、Q两点．
(1)求证：是的切线；
(2)为边上的中线，若，求的值．
试卷第2页，共5页
参考答案
1．A
【分析】假设命题的结论不成立，假定命题的结论反面成立即可．
本题考查了反证法：掌握反证法的一般步骤（假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确）．
【详解】解：用反证法证明“在一个三角形中，最大的内角不小于”时，应先假设在三角形中，最大的内角小于．
故选：A．
2．C
【分析】本题考查了应用切线长定理求解，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
利用切线长定理得出，，，再利用三角形周长公式求解即可．
【详解】解：∵P为外一点，，，分别切于A，B，C三点，且切线分别交，于点M，N，，
∴，，，
∴的周长为
，
故选：C．
3．A
【分析】先利用勾股定理求出点到原点的距离，再判断与半径的大小关系，从而得出答案．本题主要考查了点与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握点与圆的3种位置关系，设圆的半径为，点到圆心的距离为，当，点在圆外，当，点在圆上，当，点在圆内．
【详解】解：∵点为，
∴由勾股定理可得点到圆心的距离为，
又∵圆的半径为，
∴，
∴点在圆外．
故选：A．
4．C
【分析】本题考查的是矩形的判定与性质及勾股定理的应用，掌握勾股定理及矩形的判定与性质是解题关键，连接，作于D．设半径为，在中根据勾股定理列方程解决即可．
【详解】解：如图，连接，作于D．
由题意得：，
则四边形是矩形，
∴，
设半径为，
在中，
由勾股定理得，，
解得，，
∴，
答：车轱辘的直径为．
故选：C．
5．C
【分析】本题主要考查了圆的切线性质、直径所对圆周角的性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键．
根据圆的切线性质、直径所对圆周角为直角，结合等腰三角形的性质来逐一分析选项即可得到解答．
【详解】解：∵ 是的直径，
∴ ，即，故A项正确，不符合题意．
∵ 是过点的切线，是直径，
∴ ，即，故B项正确，不符合题意．
∵ ，，，
∴ ，但，，所以，故C项错误，符合题意．
∵，
∴ ，故D项正确，不符合题意．
故选：C．
6．C
【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质等；由切线的性质得，由等腰三角形的性质得，即可求解．
【详解】解：连接，
，是的切线，
，，
，
，
，
，
故选：C．
7．A
【分析】本题主要考查了圆的切线性质、全等三角形的判定与性质等知识点，掌握圆的切线的性质是解题的关键．
设与的切点为E，与的切点为F，利用全等三角形的判定与性质，再根据三角形的周长公式求解即可．
【详解】解：如图，设与的切点为E，与的切点为F，连接，
∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得：，
∴的周长
．
故选：A．
8．C
【分析】本题考查了含度角的直角三角形，切线的性质定理，勾股定理，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．
由四边形是矩形，从而可得，再利用含度角的直角三角形的性质得到，再利用勾股定理求得，从而可得，于是可得，从而可求得长的最大值．
【详解】解：作的外接圆，圆心为点，连结，
∵，，
∴是圆的直径，
∴，
作于点，于点，
则，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
，
∴，
，
，
∴的长的最大值是，
故选：C．
9．
【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，利用切线的性质得到的度数，然后用同弧所对的圆周角相等，求出的度数．
本题主要考查的是切线的性质，圆周角定理等知识点，熟练掌握切线的性质和圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：如图：连接，
是直径，
，
切于点B，
，
，
，
，
．
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握切线的性质．连接，根据是的切线得，根据得，根据，得，根据三角形内角和定理求出，则，即可得．
【详解】解：如图，连接，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴,
∴，
∴，
故答案为：．
11．1
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，三角形的内切圆，熟练掌握一元二次方程的解法，勾股定理，三角形的内切圆的性质是解题的关键．
先求出方程的解，根据勾股定理求出斜边边长，再结合切线长的性质，即可求解．
【详解】解：，
∴，
解得：，
∴直角三角形的两条直角边长分别为3，4，
∴斜边长为，
如图，在中，，设为的内切圆，与三边的切点分别为D，E，F，连接，设的半径为r，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
即此直角三角形的内切圆的半径为1．
故答案为：1
12．
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系，熟知直线和圆的三种位置关系是解答此题的关键．
设直线的解析式为，当直线与圆相切时切点为C，连接，则，由于直线与x轴正方向夹角为，所以是等腰直角三角形，故，再根据勾股定理求出的长即可．
【详解】解：
∵直线与x轴正方向夹角为，
∴设直线的解析式为，切点为C，连接，
∴，
∵的半径为1，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
同理可得，当直线与x轴负半轴相交时，，
∴．
13．
【分析】连接，根据圆周角定理可知是的直径，圆心在上，利用勾股定理可以求出，以为斜边构造等腰直角，根据，利用勾股定理可知，以点为圆心为半径作圆，在优上取一点，连接、，则，因为，可知点、、、四点共圆，所以点在劣弧上运动，根据两点之间线段最短，可知当点在线段上时的值最小，其中的长度是的半径，则有，利用勾股定理可以求出，利用即可得到的最小值．
【详解】解：如下图所示，连接，
，
是的直径，圆心在上，
，
，
，
，
以为斜边构造等腰直角，
则有，，
，
以点为圆心，为半径作圆，
在优弧上取一点，连接、，则，
，
点在的劣弧上运动，
当点、、三点共线时，的值最小，
，，
，
，
．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形的三边关系，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，勾股定理是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了等边三角形的性质，垂径定理，切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理；
（1）连接，先根据是等边三角形，得出，则得出，进而根据同弧所对的圆周角相等得出，则，再证明，进而根据切线的性质得出可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得证；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质得出，根据勾股定理，以及含30度角的直角三角形的性质求得，进而在中，勾股定理，即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵是的直径，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴
∴，
∵
∴是等边三角形，
∴
∴
∴
又∵是的切线，
∴
∴
在中，
∴；
（2）解：如图
∵
∴
∴，
在中，
∴
∴，
由（1）可得
∴
∵
∴
∴
∴
∴
在中，
15．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查切线的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质、切线的判定与性质是解答的关键．
（1）连接，先根据等腰三角形的性质得到，再根据切线的性质定理可得，进而根据切线的判定定理可得结论；
（2）证明得到，利用等腰三角形的性质求得，进而利用三角形的内角和定理和平角定义得到．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴．
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：在与中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴．
16．(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）连接，由知，则，由可证，根据得，得证；
（2）设，在中由勾股定理求得
【详解】（1）证明：连接，
，
．
．
，
．
．
．
，
，
又是半径．
是的切线．
（2）解：设，
，
．
在中，
，，，
．
解得．
的半径是3．
【点睛】本题主要考查切线的判定、圆周角定理、勾股定理及平行线的判定与性质，熟练掌握切线的判定是关键：连接半径，证明半径与直线垂直．
17．(1)见解析
(2)的半径为3
【分析】本题主要考查切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的性质、等腰三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键；
（1）连接，由题意易得，，，然后可得，进而问题可求证；
（2）由勾股定理可得，设的半径为r，则，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接．
，
．
，
．
是的切线，
，即．
在中，，
．
．
．
（2）解：在中，，，，
．
．
在中，，设的半径为r，则，，
．
解得．即的半径为3．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，切线的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
（1）连接，先证明，则，继而求出，可推导出是的切线，即可解答；
（2）设，得到，求出 ，则，设，则，得到，解得，则，即可解答．
【详解】（1）证明：连接，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，A是切点，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴
设的半径为r，
则，，
∴，
∴，
解得 ，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
，
∵为边上的中线，
，
∴，
即的值是．