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【解答题强化训练·50道必刷题】沪科版数学九年级上册期中试卷
1． 已知一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， 且 两点的横坐标分别为 2 和 4 ． 当 时， 请直接写出 与 的大小关系．
2．如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索DPC所在曲线的y与x之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．
某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点P为该悬索桥主索的最低点，MP＝5m，MA＝40m，塔桥AD高度为25m．
（1）求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；
（2）若想在距离M点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；
（3）厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距A点多远的桥面上？
3．在同一时刻两物体的物高与影长成比例．如果某一时刻，古塔在地面上的影长为50m，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，试求出古塔的高．
4．“有一块三角形余料ABC，它的边，边BC上的高(如图甲所示).要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上.加工成的正方形零件的边长是多少毫米 ”小颖解得此题的答案为.善于反思的小颖又提出了如下的问题：
（1）如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的(如图乙所示)，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米
（2）如果原题中要加工成的零件是一个矩形(如图丙所示)，且这个矩形的面积最大，求这个面积最大的矩形零件的两条边长.
5．公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的改进．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额﹣生产成本）为z（万元）．
（1）求出y与x之间，z与x之间的函数关系式；
（2）该公司能否在第一年收回投资．
6．已知代数式，先用配再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数．
7．已知二次函数 （a是常数）.
（1）当时
①求二次函数图象的顶点坐标；
②在的范围内，求y的取值范围.
（2）当a取值为，（）时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
8．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上（点E不与A，C重合），且∠AED＝∠B．
（1）求证：AD AB＝AE AC．
（2）若AE＝EC＝2AD，求的值．
（3）若AB＝6，AC＝4，求AD长的取值范围．
9．【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在晚会上悬挂一串彩灯，如图①．挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物线拼接而成．
【素材2】将图①的两段抛物线抽象成如图②所示的抛物线和抛物线，抛物线和抛物线大小形状完全相同，，，三个支撑杆均垂直于地面，垂足分别是点，，，．
【素材3】点C是的中点，．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为．
【任务】
（1）求的值；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线的点M处绑一根竖直彩带（彩带绷直，打结处的长度忽略不计，抛物线的形状不改变），彩带末端恰好接触到地面N处，于点，，求彩带的长度．
10．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为 ．
（1）如图 ，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？
（2）如图 ，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是抛物线上的一点，当△ABD的面积为10时，求点D的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
12．“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径2尺，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深BD。
13．写出下列问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是变量 哪些是常量
（1）用总长为60 m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系；
（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔的数量x(支)之间的关系；
（3）运动员在400 m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系.
14．设抛物线（，b，c是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
（1）①描点：请将表格中的描在图1中，
②连线：请用平滑的曲线在图1将上述点连接，并求出y与x的关系式；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，水平跨度为，竖直跨度为，经测量得，，为了求出该抛物线的开口大小，现有如下两种方案，请你任选其中一种方案，并完善过程，
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为______；
②将点坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为______；
②将点B坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示）
（3）【应用】如图3，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数：和：都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为12，求a的值．
15．如图，，，，点，，在一条直线上，点，，也在一条直线上．若与的距离是，求点到直线距离．
16．平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，﹣）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（，0），且BC=5，AC=3（如图（1））．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s．
①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；
②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
17．某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段：线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分．表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
（1）填空：的值为______；
（2）求线段对应的函数解析式；
（3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度．
18． 已知二次函数 的图象经过 三点， 且 ．
（1） 当 时， 求点 和点 的坐标．
（2） 将点 先向右平移 1 个单位长度， 再向下平移 2 个单位长度， 得到点 ． 若点 恰好落在该二次函数的图象上， 求 的值．
（3） 当 时， 的最大值为 的最小值是 -4 ， 直接写出 的取值范围．
19．如图，在中，是边上的一点，且，，与相交于点，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
20．如图，已知函数：y=-x+b与 的图象在第一象限内交于A，B两点，且△AOB 的面积为4 ，求b的值.
21．已知抛物线C：y=x2+（2m﹣1）x﹣2m．
（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；
（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；
22．如图，一次函数（）的图象经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且，求m的值．
23．已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当x=1时， y=-1，当x=3时，y=5 ，求y与x之间的函数关系式.
24．在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+bx+c（b，c是常数）.
（1）若该函数图象经过点（m， s），（6-m， t），且m+3.
①当s=t时，求b的值.
②当m<3时，s>t，求b的取值范围.
（2）若该函数的最小值为2，求b+c的最小值.
25．某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购买全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元．
（1）商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰好为元？
（2）请写出公司所获利润与销售件数之间的函数关系式，并通过分析该函数关系，为公司确定更合理的最低销售单价，使得商家一次购买数量越多，公司所获利润越大．
26．某商场购进一批单价为40元的商品，若按每件50元销售，平均每天可销售90件．市场调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，平均每天少销售3件．将销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润W最大？最大利润W是多少？
27．已知二次函数 的图象与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ．
（1） 若点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ， 求 的值；
（2） 若图象经过点P(1，y1)，Q(m，n)，M（3，y2）N(3-m，n） 试比较y1，y2的大小关系；
（3） 若 的图象的顶点在第四象限， 且点 的坐标为 ， 当 为整数时，求 的值．
28．求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
（1） y=2x2+2x-1；
（2）y=x2+2x-
29．已知抛物线经过点．
（1）求a的值；
（2）已知点均在该抛物线上．
①若，请直接比较与的大小关系；
②当时，函数的最大值是，最小值是，求的取值范围．
30．已知一个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(-3，9).
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）点(1.1，1.21)是否在这个函数的图象上
31．小强在地面 处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端 此时 米， 米．已知眼睛距离地面的高度 米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
32．已知抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（2，5）三点，求此抛物线解析式．
33．网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售盐皮蛋，成本价为每箱40元．经市场调研发现，盐皮蛋的日销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间满足一次函数关系．当售价为50元时，日销售量为350箱；售价为60元时，日销售量为300箱．设销售盐皮蛋每日获得的利润为（元）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当盐皮蛋售价为多少元时，每日可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）要求盐皮蛋日销售量不少于250箱，且售价不低于40元，当售价为多少元时，每日可获得最大利润是多少元？
34．已知：，与x成反比例，与成正比例，且时，；当时，，求：y关于x的函数表达式．
35．已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值．
（2）判断点是否在这个二次函数的图象上．
36．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
37．已知二次函数(a， b， c 是常数) 的图象过点.点交y轴于点C.
（1）求点C 的坐标和a， b的值；
（2）抛物线的对称轴为.
（3）当时，求y的取值范围.
38．把边长为的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），折纸厚度忽略不计.
图1图2
（1）要使折成的盒子的底面积为，剪掉的正方形边长应是多少厘米？
（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长.
39．如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点．
（1）求的值与反比例函数关系式；
（2）连接，，求；
（3）若，请结合图象直接写出的取值范围．
40．如图①，AD，BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠C=2∠E．
（2）如图②，设AC，BE交于点F．如果AE=AB，且、BA：BC=2：3，求AF：FC的值．
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数．
41．已知抛物线：，若点和在抛物线上，且，．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值．
42．已知二次函数的图像经过点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．
（3）若把二次函数的图象沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值．
43．抛物线 过点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点为点D．
（Ⅰ）求点 的坐标；
（Ⅱ）点 是线段 上一动点，过点 作直线 轴，交抛物线于点 ，连接 并延长交 轴于点 ，连接 ．若 的面积是 面积的2倍，求点 的坐标；
（Ⅲ）抛物线上一点 ，点 的横坐标是 ，连接 ，与 轴交于点 ，点 是线段 上一动点（不与点 ，点 重合）将 沿 所在直线翻折，得到 ，当 与 重叠部分的面积是 面积的 时，求线段 的长度．
44．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
45．如图，抛物线y= x2+mx+n与直线y=﹣ x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）.
（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）条件下：
（Ⅰ）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒 个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
46．如图，抛物线与轴的交点分别是，与y轴的交点为C，直线是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线上一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点E是抛物线上且位于直线BC上方的一个动点，求的面积最大时点E的坐标.
47． 在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？
48．在平面直角坐标系中，在抛物线上，其中．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若，比较的大小；
（3）若，且，求的取值范围．
49．等边中，点D是边上一点，点E是直线上一点，连接．将线段绕点D逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，当点D与点A重合，点E在线段上时．
①按照要求补全图形；
②过中点M作的垂线交于G，交于H，判断与的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D与点A、点B不重合时，若，判断与的数量关系并说明理由．
50．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
（1）求点坐标及反比例函数的表达式；
（2）连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标；
（3）直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
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【解答题强化训练·50道必刷题】沪科版数学九年级上册期中试卷
1． 已知一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， 且 两点的横坐标分别为 2 和 4 ． 当 时， 请直接写出 与 的大小关系．
【答案】当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2；
当2＜x＜4时，y1＞y2；
当x=2或x=4时，y1=y2.
【解析】【解答】解：∵ 一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ，
∴解得，
由此可知，反比例函数 在第一象限，
∴ 当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2；
当2＜x＜4时，y1＞y2；
当x=2或x=4时，y1=y2.
故答案为：当0＜x＜2或x＞4时，y1＜y2；
当2＜x＜4时，y1＞y2，
当x=2或x=4时，y1=y2.
【分析】将x=2和x=4分别代入一次函数和反比例函数建立二元一次方程组，再根据两函数的相对位置关系即可求得.
2．如图是某悬索桥示意图，其建造原理是在两边高大的桥塔之间悬挂主索，再以相等的间隔从主索上设置竖直的吊索，与水平的桥面垂直，并连接桥面，承接桥面的重量，主索的几何形态近似符合抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，主索DPC所在曲线的y与x之间近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＞0）．
某实践小组经过测量，桥面AB中点M处上方点P为该悬索桥主索的最低点，MP＝5m，MA＝40m，塔桥AD高度为25m．
（1）求该悬索桥主索所在抛物线的解析式；
（2）若想在距离M点20米处设置两条吊索，求这两条吊索的总长度；
（3）厂家生产了一条长16.25m的吊索，应将该吊索安置在距A点多远的桥面上？
【答案】（1）解：由题意得，点P（40，5），D（0，25），
设主索所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣40）2+5，
将D（0，25）代入该解析式可得，25＝a（0﹣40）2+5，
∴，
∴该悬索桥主索所在抛物线的解析式为
（2）解：设点N在M点左侧20m处，则xN＝40﹣20＝20，
当x＝20时，，
则这两条吊索的总长度为：2×10＝20（m），
∴这两条吊索的总长度为20m．
（3）解：吊索长度为16.25m，
则，
解得x1＝10或x2＝70，
答：应将该吊索安置在距A点10m或70m的桥面上．
【解析】【分析】（1）由题意得点P（40，5），D（0，25），进而运用顶点式设主索所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣40）2+5，将点D代入即可求解；
（2）设点N在M点左侧20m处，则xN＝40﹣20＝20，进而代入x=20结合题意即可求解；
（3）先根据题意得到吊索长度为16.25m，则，解一元二次方程，从而即可求解.
3．在同一时刻两物体的物高与影长成比例．如果某一时刻，古塔在地面上的影长为50m，高为1.5m的测杆的影长为2.5m，试求出古塔的高．
【答案】解：设古塔高为x，
由题意得 ，
解得：x=30，
即古塔高度为30m．
【解析】【分析】设古塔高为x，根据物高与影长成比例，可建立方程，解出即可．
4．“有一块三角形余料ABC，它的边，边BC上的高(如图甲所示).要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在边BC上，其余两个顶点分别在边AB，AC上.加工成的正方形零件的边长是多少毫米 ”小颖解得此题的答案为.善于反思的小颖又提出了如下的问题：
（1）如果原题中要加工成的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形组成的(如图乙所示)，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米
（2）如果原题中要加工成的零件是一个矩形(如图丙所示)，且这个矩形的面积最大，求这个面积最大的矩形零件的两条边长.
【答案】（1）解：设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，
∵四边形PNMQ是矩形，
∴PN∥BC，∠NMD=∠MNE=90°，
∵AD⊥BC，
∴AD⊥PN，∠ADM=90°，
∴四边形MNED是矩形，
∴ED=PQ=ymm，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，
∴，
即，
∴y=mm，
∴ 这个矩形零件的两条边长分别为 ；
（2）解：设矩形的边长PN=xmm，矩形MNPQ的面积为smm2，
同（1）可得△APN∽△ABC，
∴，
即，
∴，
∴，
∵a=＜0，
∴当x=60时，S最大为2400，此时矩形零件的边长为PN=60mm，PQ=40mm.
【解析】【分析】（1）设矩形的边长PN=2ymm，则PQ=ymm，由矩形的性质得PN∥BC，∠NMD=∠MNE=90°，由平行线的性质及垂直的定义可推出AD⊥PN，∠ADM=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形得四边形MNED是矩形，由矩形性质得ED=PQ=ymm，由平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△APN∽△ABC，由相似三角形对应边成比例可得，据此可求出y的值，从而此题得解；
（2）设矩形的边长PN=xmm，矩形MNPQ的面积为smm2，同（1）可得△APN∽△ABC，由相似三角形对应边成比例得，据此可用含x的式子表示出PQ，进而根据矩形面积计算公式建立出S关于x的函数解析式，将解析式配成顶点式，由二次函数的性质即可求出其最值，进而即可求出矩形的长与宽.
5．公司投资750万元，成功研制出一种市场需求量较大的产品，并再投入资金1750万元进行相关生产设备的改进．已知生产过程中，每件产品的成本为60元．在销售过程中发现，当销售单价定为120元时，年销售量为24万件；销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元）（x＞120），年销售量为y（万件），第一年年获利（年获利=年销售额﹣生产成本）为z（万元）．
（1）求出y与x之间，z与x之间的函数关系式；
（2）该公司能否在第一年收回投资．
【答案】解：由题意得，
y=24﹣，即y=﹣x+36，
z=（x﹣60）（﹣x+36）=﹣x2+42x﹣2160；
（2）z=﹣x2+42x﹣2160=﹣（x﹣210）2+2250，
当x=210时，第一年的年最大利润为2250万元，
∵2250＜750+1750，
∴公司不能在第一年收回投资．
【解析】【分析】（1）根据：年销量=原销量﹣因价格上涨减少的销量，年获利=单件利润×年销售量，可列出函数关系式；
（2）将（1）中年利润函数关系式配成顶点式，可知其最大值小于总投资，故第一年不能收回投资．
6．已知代数式，先用配再求出当x取何值时，这个代数式的值最小，最小值是多少？方法说明，不论x取何值，这个代数式的值总是正数．
【答案】解：由题意，得：，
∵，
∴，
∴
∴这个代数式的值总是正数．
设代数式的值为M，则有，
∴，
∴当时，这个代数式的值最小为2．
【解析】【分析】根据配方法把代数式化为，根据非负数的意义就可以得出代数式的值总是正数，设代数式的值为M，就有，根据二次函数的顶点式和性质，就可以求出最值.
7．已知二次函数 （a是常数）.
（1）当时
①求二次函数图象的顶点坐标；
②在的范围内，求y的取值范围.
（2）当a取值为，（）时，二次函数的最大值相等，此时是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）解：①把a=2代入y=-x2-ax+a得：y=-x2-2x+2，
∴y=-x2-2x+2=-(x+1)2+3，
∴二次函数图象的顶点坐标为(-1，3).
②∵二次项系数为-1，∴二次函数图象开口向下.
∵当时，二次函数图象的对称轴为直线，
∴时，y取得最大值3，x=1时，y最小值-1
∴-1≤y≤3
（2）解：是， 在时，取得最大值为，当a取值为，时，最大值相等，即.
∵，
∴化简得：
【解析】【分析】(1)①把a=2代入二次函数解析式，然后配成顶点式进而问题可求解；
②根据二次函数的性质可进行求解；
(2)根据二次函数的最值问题可得，然后进行化简即可求解.
8．如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB边上，点E在AC边上（点E不与A，C重合），且∠AED＝∠B．
（1）求证：AD AB＝AE AC．
（2）若AE＝EC＝2AD，求的值．
（3）若AB＝6，AC＝4，求AD长的取值范围．
【答案】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴AD：AC＝AE：AB，
即AD AB＝AE AC；
（2）解：∵AE＝EC＝2AD，
∴设AD＝k，则AE＝EC＝2k，
∴AC＝AE+EC＝4k，
由（1）可知：AD AB＝AE AC，
∴k AB＝2k 4k，
∴AB＝8k，
∴；
（3）解：由（1）可知：AD AB＝AE AC，
∵AB＝6，AC＝4，
∴6 AD＝4 AE，
∵点E在AC边上，AC＝4，
∴0＜AE＜4，
∴0＜AD＜，
即0＜AD＜．
【解析】【分析】（1）根据两个角对应相等判定△AED∽△ABC，根据相似三角形的性质即可求得；
（2）设AD为k，根据（1）中的结论可得AB=8k，即可求得；
（3）根据（1）中结论可得，根据E在AC上，可得AE的取值范围，即可求得AD的取值范围.
9．【素材1】在毕业晚会上，为了烘托晚会气氛，需要在晚会上悬挂一串彩灯，如图①．挂好后彩灯灯绳形状可近似看成由两段抛物线拼接而成．
【素材2】将图①的两段抛物线抽象成如图②所示的抛物线和抛物线，抛物线和抛物线大小形状完全相同，，，三个支撑杆均垂直于地面，垂足分别是点，，，．
【素材3】点C是的中点，．以点O为原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴建立如图②所示的平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为．
【任务】
（1）求的值；
（2）求抛物线的函数表达式；
（3）在抛物线的点M处绑一根竖直彩带（彩带绷直，打结处的长度忽略不计，抛物线的形状不改变），彩带末端恰好接触到地面N处，于点，，求彩带的长度．
【答案】（1）解：根据题意，点，均在抛物线线上，
把点，代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为，
根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，
抛物线的函数表达式为；
（3）解：点C是的中点，，
，
，
当时，，
彩带的长度为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法计算求解即可；
（2）根据题意先求出抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，再求函数表达式即可；
（3）根据题意先求出OD=8m，再求出ON=5m，最后求解即可.
（1）解：根据题意，点，均在抛物线线上，
把点，代入，
得，
解得；
（2）解：由（1）可得抛物线的函数表达式为，
根据题意可得，抛物线可由抛物线向右平移4个单位得到，
抛物线的函数表达式为；
（3）解：点C是的中点，，
，
，
当时，，
彩带的长度为．
10．某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50m ．设饲养室为长为x（m），占地面积为 ．
（1）如图 ，问饲养室为长x为多少时，占地面积y 最大？
（2）如图 ，现要求在图中所示位置留2m的门，且仍使饲养室占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比（1）中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．
【答案】（1）解：∵ = ，∴当x=25时，占地面积y最大；
（2）解： = ，
∴当x=26时，占地面积y最大．即当饲养室长为26m时，占地面积最大．，
∵26-25=1≠2，
∴小敏的说法不正确．
【解析】【分析】（1）根据题意用x的代数式表示矩形的宽，由矩形的面积公式列出y与x的函数关系式，再根据二次函数的性质求出其最大值。（2）根据题意用x的代数式表示矩形的宽，由矩形的面积公式列出y与x的函数关系式，配方成顶点式找到y取最大值时x的值。
11．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是抛物线上的一点，当△ABD的面积为10时，求点D的坐标；
（3）点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx﹣3得，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）设点D的坐标为（x，x2﹣2x﹣3），
∵A（﹣1，0）、B（3，0），
∴AB＝4，
∴，
即|x2﹣2x﹣3|＝5，
∴x2﹣2x﹣3＝5或x2﹣2x﹣3＝﹣5（无解舍去），
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
∴点D的坐标为（4，5）或（﹣2，5）；
（3）在抛物线上存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为：x＝1，
假设存在，设P（xp，yP），Q（xQ，yQ），
∴xp＝1，
分两种情况讨论：
当BC为四边形的对角线时，PB∥CQ，PB＝CQ，
∴|xB﹣xP|＝|xQ﹣xC|，
即2＝xQ，
此时点Q的坐标为（2，﹣3）；
②当BC为边时，PQ∥BC，PQ＝CB，
∴|xQ﹣xP|＝|xB﹣xC|，即|xQ﹣1|＝3，
解得：xQ＝4或xQ＝﹣2，
此时点Q的坐标为（4，5）或（﹣2，5）．
综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，5）．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法解二次函数的解析式，将点A和B代入抛物线的解析式，列二元一次方程组，即可求出抛物线的解析式；
（2）根据平面内两点间的距离公式，可得AB的值；根据三角形的面积公式，列二元一次方程，解方程即可求出点D的坐标；
（3）根据抛物线的解析式，可得抛物线图像的对称轴；BC为对角线或是边长，需分类讨论；根据平行四边形的性质，对边平行，平行线之间的距离处处相等，列一元一次方程，解方程即可求出点Q的坐标.
12．“今有井径五尺，不知其深，立五尺于井上，从木末望水岸，入径2尺，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，请你求出井深BD。
【答案】解：由题意得△ABF∽△ADE，
∴
，
即
解得AD=12.5
∴BD=AD-AB=12.5-5=7.5
答：井深BD为7.5尺。
【解析】【分析】根据题意可知，△ABF∽△ADE，根据相似三角形的性质求出AD，得到BD的值即可。
13．写出下列问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些是变量 哪些是常量
（1）用总长为60 m的篱笆围成长方形场地，长方形的面积S(m2)与一边长x(m)之间的关系；
（2）购买单价是0.4元的铅笔，总金额y(元)与购买的铅笔的数量x(支)之间的关系；
（3）运动员在400 m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系.
【答案】（1）S=x(30-x)；变量为S，x，常量为30.
（2）y=0.4x；变量为x，y，常量为0.4.
（3）t=；变量为t，v，常量为400.
【解析】【分析】(1)根据面积问题分析并列出等量关系，根据变量与常量定义即可得出结果；
（2）根据销售问题分析并列出等量关系，根据变量与常量定义即可得出结果；
（3）根据行程问题分析并列出等量关系，根据变量与常量定义即可得出结果。
14．设抛物线（，b，c是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x -3 -2 -1 0 1 2 3
y 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5
（1）①描点：请将表格中的描在图1中，
②连线：请用平滑的曲线在图1将上述点连接，并求出y与x的关系式；
（2）如图2，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为C，水平跨度为，竖直跨度为，经测量得，，为了求出该抛物线的开口大小，现有如下两种方案，请你任选其中一种方案，并完善过程，
方案一：将二次函数平移，使得顶点C与原点O重合，此时抛物线解析式为．
①此时点的坐标为______；
②将点坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示）
方案二：设C点坐标为
①此时点B的坐标为______；
②将点B坐标代入中，解得______；（用含m，n的式子表示）
（3）【应用】如图3，已知平面直角坐标系中有A，B两点，，且轴，二次函数：和：都经过A，B两点，且和的顶点P，Q距线段的距离之和为12，求a的值．
【答案】（1）解：①描点如图所示，
②连线如图所示，
把点代入得到
，解得，
∴y与x的关系式为
（2）方案一：①；②；方案二：①；②；
（3）解：根据题意和的对称轴为，
则，，的顶点坐标为，
∴顶点距线段的距离为，
∴的顶点距线段的距离为，
∴的顶点坐标为或，
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
综上，a的值为或．
【解析】【解答】（2）解：方案一：①∵，，
∴，
此时点的坐标为；
故答案为：；
②由题意得，
解得，
故答案为：；
方案二：①∵C点坐标为，，，
∴，
此时点B的坐标为；
故答案为：；
②由题意得，
解得，
故答案为：；
【分析】（1）根据描点，连线，作出函数图象，再根据待定系数法将点点代入函数解析式即可求出答案.
（2）根据图形写出点或点B的坐标，再代入求解即可.
（3）先求得，，的顶点坐标为，再求得顶点距线段的距离为，得到的顶点距线段的距离为，得到的顶点坐标为或，再分类讨论即可求出答案.
（1）①描点如图所示，
②连线如图所示，
把点代入得到
，解得，
∴y与x的关系式为；
（2）解：方案一：①∵，，
∴，
此时点的坐标为；
故答案为：；
②由题意得，
解得，
故答案为：；
方案二：①∵C点坐标为，，，
∴，
此时点B的坐标为；
故答案为：；
②由题意得，
解得，
故答案为：；
（3）解：根据题意和的对称轴为，
则，，的顶点坐标为，
∴顶点距线段的距离为，
∴的顶点距线段的距离为，
∴的顶点坐标为或，
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
当的顶点坐标为时，，
将代入得，解得；
综上，a的值为或．
15．如图，，，，点，，在一条直线上，点，，也在一条直线上．若与的距离是，求点到直线距离．
【答案】解：，，，
∴，
∴，即，
如图所示，过点作的延长线，垂足为点， 交的延长线于点，
∵与的距离是，即，且由作图可知，，， ，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，则，即点到直线距离是．
【解析】【分析】 如图所示，过点C作CD⊥PQ的延长线，垂足为点D， 交AB的延长线于点E， 根据平行三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CAB∽△CPQ，根据相似三角形对应边成比例得 ， 进而再根据平行三角形一边的直线，截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得△CBE∽△CQD，根据相似三角形对应边成比例得 ，将已知线段的长度代入求解即可.
16．平面直角坐标中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O，其顶点坐标为（3，﹣）；Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（，0），且BC=5，AC=3（如图（1））．
（1）求出该抛物线的解析式；
（2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时Rt△ABC停止移动．D（0，4）为y轴上一点，设点B的横坐标为m，△DAB的面积为s．
①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，s与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图（1）、图（2）中画出探求）；
②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）由题意，设所求抛物线为
y=a（x﹣3）2﹣．①
将点（0，0）代入①，得a=．
∴y=x2﹣3x．
（2）①当点B位于原点左侧时，如图（1）：
S=S△OBD+S梯形OCAD﹣S△ABC，
= 4 （﹣m）+（4+3）（5+m）﹣，
=m+10．
∴S=m+10．（﹣4.5≤m＜0），
当点B位于原点右侧（含原点O）时，如图（2）：
S=S梯形OCAD﹣S△OBD﹣S△ABC，
=（4+3）（5+m）﹣ 4 m﹣，
=m+10．
∴S=m+10．（0≤m＜﹣2），
②m1=﹣1，m2=﹣4，m3=﹣4.4．
【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点坐标为（3，﹣），利用顶点式求出即可；
（2）根据当点B位于原点左侧时以及当点B位于原点右侧（含原点O）时，分别分析即可得出答案．
17．某种原料需要达到及以上才能加工制作零件，如图表示原料的温度与时间之间的关系，其中线段表示原料加热阶段：线段轴，表示原料的恒温阶段；曲线是双曲线的一部分．表示原料的降温阶段．根据图象回答下列问题：
（1）填空：的值为______；
（2）求线段对应的函数解析式；
（3）在图中所示的温度变化过程中，求可进行零件加工的时间长度．
【答案】（1）21
（2）解：设线段的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴线段的解析式为；
（3）解：当时，，解得，
当时，，
解得，
∴，
∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为．
【解析】【解答】（1）解：∵线段轴，且点的纵坐标为100，
∴，解得，
故答案为：21；
【分析】（1）先求出点的纵坐标为100，再将其代入可得，再求出a的值即可；
（2）利用待定系数法求出直线AB的解析式即可；
（3）将y=60分别代入一次函数和反比例函数解析式求出x的值，再列出算式求出可进行零件加工的时间长度为即可．
（1）解：∵线段轴，且点的纵坐标为100，
∴，解得，
故答案为：21；
（2）解：设线段的解析式为，
把代入得，，
解得，
∴线段的解析式为；
（3）解：当时，，
解得，
当时，，
解得，
∴，
∴在图中所示的温度变化过程中，可进行零件加工的时间长度为．
18． 已知二次函数 的图象经过 三点， 且 ．
（1） 当 时， 求点 和点 的坐标．
（2） 将点 先向右平移 1 个单位长度， 再向下平移 2 个单位长度， 得到点 ． 若点 恰好落在该二次函数的图象上， 求 的值．
（3） 当 时， 的最大值为 的最小值是 -4 ， 直接写出 的取值范围．
【答案】（1）解：∵ 的图象经过
当t=5时，
，
解得：x1=-1，x2=5，
∴
（2）解：将点 C(m，n)先向右平移 1 个单位长度，再向下平移 2 个单位长度， 得点D，
．
点 在该二次函数的图象上，
解得
的值为 ．
（3）a 的取值范围是 ．
【解析】【解答】解：（3）
∴ 抛物线开口向上， 顶点为 ，
把 代入 得 ，
解得
∴ 当 或 5 时， 有最大值为 5 ，
由顶点坐标得当 时， 有最小值 ﹣4，
∴a 的取值范围是 ．
故答案为：a 的取值范围是 ．
【分析】（1）把t=5代入函数解析式得，求解得x1=-1，x2=5， 即可得A和B的坐标.
（2）先求出点C平移后的点D的坐标，再把C，D两点的坐标同时代入函数解析式，得关于m，n的方程，求解即可；
（3）把二次函数的一般式化成顶点式，得开口向上，且顶点坐标为， 可得当 时， 有最小值 ﹣4，把 代入得即当 或 5 时， 有最大值为 5 ，于是可得a≤2，且a≥﹣1.
19．如图，在中，是边上的一点，且，，与相交于点，与相交于点.
（1）证明：；
（2）若，，求的面积.
【答案】（1）解：证明：，，，，
，又，；
（2），，，又，
，
，，即的面积为.
【解析】【分析】本题考查三角形相似的判定与性质、等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质，熟练应用条件得出结论是关键。（1）由 ，得，，则，结合可证；（2） 由相似三角形的性质，可得，结合，可得， 根据其性质得，可得的面积.
20．如图，已知函数：y=-x+b与 的图象在第一象限内交于A，B两点，且△AOB 的面积为4 ，求b的值.
【答案】解：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得
而
解得b=4
【解析】【分析】联立方程得 将△AOB的面积进行表示，再整体代入计算即可.
21．已知抛物线C：y=x2+（2m﹣1）x﹣2m．
（1）若m=1，抛物线C交x轴于A，B两点，求AB的长；
（2）若一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点，求m的取值范围；
【答案】解：（1）m=1时，抛物线为：y=x2+x﹣2，
令y=0得到：x2+x﹣2=0，解得x=﹣2或1，
所以点A（﹣2，0），点B（1，0），
所以AB=3．
（2）由消去y得到：x2+（2m﹣1﹣k）x﹣2m﹣mk=0，
∵一次函数y=kx+mk的图象与抛物线有唯一公共点，
∴△=0，
∴（2m﹣1﹣k）2+8m+4mk=0，
整理得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2，
∵（k+1）2≥0，
设y=﹣4m2﹣4m，当y≥0时，﹣1≤m≤0，
∴﹣1≤m≤0时，一次函数y=kx+mk的图象与抛物线C有唯一公共点．
【解析】【分析】（1）求出抛物线解析式令y=0，求出抛物线与x轴的交点，即可求出线段AB的长．
（2）列方程组根据△=0，得：﹣4m2﹣4m=（k+1）2，设y=﹣4m2﹣4m由y≥O确定m的取值范围．
22．如图，一次函数（）的图象经过点，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）若反比例函数的图象与该一次函数的图象交于二、四象限内的A、B两点，且，求m的值．
【答案】（1）解：∵一次函数（）的图象经过点，
∴，
∵一次函数与两坐标轴围成的三角形的面积为3，且与y轴交于正半轴，
∴交点为（0，b），
∴，
∴b=2.
把代入可得：，
∴函数的解析式是．
（2）解：如图，过点A作轴于点D，过点B作轴于点E，则．
∴，
∴，
∴．
设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．
∵直线的解析式为，
∴，，
∵反比例函数的图象经过A、B两点，
∴，
解得，（不合题意舍去），
∴．
【解析】【分析】（1）先由一次函数（）的图象经过点，得出，由图象得一次函数的图象与y轴的交点在正半轴，坐标为，再根据三角形的面积公式可得，求出b值，再代入得k值，即可得函数解析式；
（2）作轴于点D，轴于点E，则，可得，由相似三角形的性质得，设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．可得，，再代入可得方程，解方程求出n的值，那么，代入计算即可．
（1）∵一次函数（）的图象经过点，
∴①，点C到y轴的距离是3，
∵，
∴，
∵一次函数的图象与y轴的交点是，
∴，
解得：，
把代入①，
解得：，
则函数的解析式是．
故这个函数的解析式为；
（2）如图，作轴于点D，轴于点E，则．
∵，
∴，
∴，
∴．
设B点纵坐标为，则A点纵坐标为．
∵直线的解析式为，
∴，，
∵反比例函数的图象经过A、B两点，
∴，
解得，（不合题意舍去），
∴．
23．已知 ， 与 成正比例， 与 成反比例，且当x=1时， y=-1，当x=3时，y=5 ，求y与x之间的函数关系式.
【答案】解：设y1=kx，y2= ，则y=kx+ ，
根据题意得 ，
解得 ，
所以y与x之间的函数关系式为
【解析】【分析】由题意与x成正比例可设=kx，与 x 成反比例可设=，于是根据y=+可得y=kx+，将x、y的两组值代入y与x的关系式解方程组即可求解。
24．在平面直角坐标系中，设二次函数y=x2+bx+c（b，c是常数）.
（1）若该函数图象经过点（m， s），（6-m， t），且m+3.
①当s=t时，求b的值.
②当m<3时，s>t，求b的取值范围.
（2）若该函数的最小值为2，求b+c的最小值.
【答案】（1）解：①解：当s=t时，(m，s)，(6-m，t)是一组对称点，
由抛物线的轴对称性可得，
对称轴为直线，解得.
②解：点(m，s)关于直线的对称点的坐标为(-m-b，s)，
因为m<3，所以m<6-m.
因为s>t，所以m<6-m<-m-b，解得b<-6
（2）解：当时，，得.
则，
所以当b=-2时，b+c取得最小值1
【解析】【分析】(1)①利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，通过两点纵坐标相等确定对称轴位置，进而求出参数b；
②通过比较两点函数值大小，结合开口方向分析点与对称轴的距离关系，转化为不等式求解b的范围；
(2)利用二次函数顶点公式表示c，将b+c转化为关于b的二次函数，通过求顶点确定最小值.
25．某公司研制出一种新产品，每件产品成本元，销售单价定为元．为了鼓励商家购买该产品，公司决定若一次购买该产品不超过件，每件按元销售；若一次购买该产品超过件，每多购买一件，所购买全部产品销售单价降低元，但销售单价均不低于元．
（1）商家一次购买该产品多少件时，销售单价恰好为元？
（2）请写出公司所获利润与销售件数之间的函数关系式，并通过分析该函数关系，为公司确定更合理的最低销售单价，使得商家一次购买数量越多，公司所获利润越大．
【答案】（1）解：设商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元．
根据题意，得，
解得．
答：商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元．
（2）解：设销售件，所获利润元．
当时，
，
随的增大而增大，
当时值最大，；
当时：
根据题意，得，
解得，
，
，
该函数图象开口向下，对称轴为，，
当时值最大，，
，
元．
答：当最低销售单价为元时，公司所获利润越大．
【解析】【分析】本题考查一次函数的应用、二次函数的应用。
（1）设商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元，将销售单价用含的代数式表示出来，列方程并求解即可；
（2）设销售件，所获利润元，分别讨论、两种情况，然后将变为二次函数，即可找到最大值．
（1）解：设商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元．
根据题意，得，
解得．
答：商家一次购买该产品件时，销售单价恰好为元．
（2）设销售件，所获利润元．
当时，
，
随的增大而增大，
当时值最大，；
当时：
根据题意，得，
解得，
，
，
该函数图象开口向下，对称轴为，，
当时值最大，，
，
元．
答：当最低销售单价为元时，公司所获利润越大．
26．某商场购进一批单价为40元的商品，若按每件50元销售，平均每天可销售90件．市场调查发现，这种商品的销售单价每提高1元，平均每天少销售3件．将销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润W最大？最大利润W是多少？
【答案】解：设销售单价定为x元，由题意得：
，
，
时，W取最大值，最大值为1200，
∴单价为60元才能使每天所获得销售利润最大，最大利润为1200元．
【解析】【分析】设销售单价定为x元，根据题意列出函数解析式，再利用二次函数的性质求解即可。
27．已知二次函数 的图象与 轴交于点 ， 与 轴交于点 ．
（1） 若点 的坐标为 ， 点 的坐标为 ， 求 的值；
（2） 若图象经过点P(1，y1)，Q(m，n)，M（3，y2）N(3-m，n） 试比较y1，y2的大小关系；
（3） 若 的图象的顶点在第四象限， 且点 的坐标为 ， 当 为整数时，求 的值．
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为 ，
则 ，
易得 ， 解得 ．
（2）解：N（3-m，n)，
∴点 关于抛物线的对称轴对称．
抛物线的对称轴为直线 ．
∵，
点 到拖物线对称轴的距离小于点 到对称轴的距离，
∴当 时， ， 当 时， ．
（3）解： 二次函数 的图象的顶点在第四象限， 且过点 ，
抛物线开口向上．
．
将点 的坐标代入 并整理得 ， 即 ．
批物线的顶点在第四象限，
函数图象的对称轴 ．
， 即 ． 解得 ． 故 ．
而 ， 则 ． 又 为整数， 或 0 或1
故 或 1 或 ．
【解析】【分析】（1）根据A、B两点的坐标，得到二次函数的两点式，与原二次函数比较，得到关于a的方程，求出a，再根据对称轴求出b，再代入a+b即可；（2）先根据Q，N两点求出对称轴，再根据P，M两点到对称轴的距离，根据开口方向确定两个函数的大小；
(3)先根据顶点的位置与B的坐标，确定a的符号，再根据顶点的位置确定b的符号，根据B点的坐标，得到关于a，b的关系式，从而可求出a的范围，再根据a+b为整数，得到关于a的方程求解.
28．求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
（1） y=2x2+2x-1；
（2）y=x2+2x-
【答案】（1）解：）
∵a=2＞0，
∴抛物线的开口向上，顶点坐标为：（，），对称轴是直线；
（2）解：
∵＜0
∴抛物线的开口向下，顶点坐标为：（2，），对称轴是直线；
【解析】【分析】（1）先将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的图象可得到抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
（2）利用配方法将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的图象可得到抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标.
29．已知抛物线经过点．
（1）求a的值；
（2）已知点均在该抛物线上．
①若，请直接比较与的大小关系；
②当时，函数的最大值是，最小值是，求的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入中，
得
解得；
（2）解：①∵，
∴抛物线为，
当时，点为，
∴，，
∴与的大小关系为；
②．当时，，．
根据图象和题意可得的取值范围是．
【解析】【分析】本题考查二次函数待定系数法求解析式、函数区间求最值。
(1)把点（-2，3）代入函数解析式可得a值；
（2）由（1）得解析式，m=0，则点P，Q横坐标可知，分别代入函数解析式，可得与，比较大小即可；
（3）当时，解得，．根据函数在此区间得最大值和最小值，可判断m的范围。
30．已知一个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点(-3，9).
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）点(1.1，1.21)是否在这个函数的图象上
【答案】（1）解：∵这个二次函数的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，
∴ 可设这个二次函数的表达式为
∵点(-3，9)在该二次函数的图象上，
∴9=a×(-3)2，即9a=9.
∴a=1.
∴ 这个二次函数的表达式为
（2）解：把x=1.1 代入 得y=
∴ 点(1.1，1.21)在这个函数的图象上
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）计算当x=1.1时的函数值判断点的位置即可.
31．小强在地面 处放一面镜子，刚好能从镜子中看到教学楼的顶端 此时 米， 米．已知眼睛距离地面的高度 米，请计算出教学楼的高度．（根据光的反射定律，反射角等于入射角）
【答案】解：根据题意得
，
，
即
解得：
答：教学楼的高度为 ．
【解析】【分析】根据反射角等于入射角得出 则可判断 ，根据相似三角形的性质得出，再根据比例性质求出AB即可。
32．已知抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（2，5）三点，求此抛物线解析式．
【答案】解：将（0，3）、（1，0）、（2，5）三点代入二次函数y＝ax2+bx+c得：
，
解得 ，
则抛物线解析式为y＝4x2﹣7x+3．
【解析】【分析】把点A、B、C的坐标代入函数解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，然后求解即可．
33．网络销售已经成为一种热门的销售方式．为了减少农产品的库存，我市市长亲自在某网络平台上进行直播销售盐皮蛋，成本价为每箱40元．经市场调研发现，盐皮蛋的日销售量（箱）与销售单价（元/箱）之间满足一次函数关系．当售价为50元时，日销售量为350箱；售价为60元时，日销售量为300箱．设销售盐皮蛋每日获得的利润为（元）．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当盐皮蛋售价为多少元时，每日可获得最大利润，最大利润是多少元？
（3）要求盐皮蛋日销售量不少于250箱，且售价不低于40元，当售价为多少元时，每日可获得最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，将和代入得，，解得，，
与之间的函数关系式为；
（2）解：，
当时，有最大值，最大值为8000，
答：当盐皮蛋售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元．
（3）解：令，则，解得，，
∵ 售价不低于40元 ，即，
，
由（2）得，，
函数的图象开口向下，对称轴为，
在时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为，
答：当售价为70元时，每日可获得最大利润是7500元．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法求一次函数解析式，即可求得；
（2）根据利润=售价-成本价，列出与之间的函数关系式，再利用二次函数的性质即可求得最大利润；
（3）根据题意求出的范围，再根据（2）中的二次函数的性质即可求得.
（1）解：设与之间的函数关系式为，
代入和得，，
解得：，
与之间的函数关系式为．
（2）解：由题意得，，
当时，有最大值，最大值为8000，
答：当盐皮蛋售价为80元时，每日可获得最大利润，最大利润是8000元．
（3）解：令，则，
解得：，
由题意得，，
，
由（2）得，，
函数的图象开口向下，对称轴为，
在时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为，
答：当售价为70元时，每日可获得最大利润是7500元．
34．已知：，与x成反比例，与成正比例，且时，；当时，，求：y关于x的函数表达式．
【答案】解：∵与成反比例，与成正比例，
∴设，，
∵，
∴，
∵当时，；
当时，，
∴，
解得：，
∴．
【解析】【分析】由与x成反比例，与成正比例，可设，，即得 ， 再将时，；当时，分别代入解出k1和k2的值即可.
35．已知二次函数的图象经过点．
（1）求的值．
（2）判断点是否在这个二次函数的图象上．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
当时，，
∴点不在这个函数图象上．
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点(1，3)代入解析式即可求出答案.
（2）把代入（1）中解析式，求出函数值，进行判断即可．
（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
∴；
（2）由（1）知：，
当时，，
∴点不在这个函数图象上．
36．已知函数y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．
若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？
【答案】解：根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0
解得m1≠0，m2≠1
∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．
【解析】【分析】根据二次函数的定义求解．
37．已知二次函数(a， b， c 是常数) 的图象过点.点交y轴于点C.
（1）求点C 的坐标和a， b的值；
（2）抛物线的对称轴为.
（3）当时，求y的取值范围.
【答案】（1）解：当x=0时， y=-1， ∴C (0， -1) ；
将点A(-1，0)，点B(-3，4)代入。
得 解得
（2）解：抛物线对称轴为
（3）解：当x=1时， y取最小值为
当x=5时，y取最大值为
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再将点A和点B的坐标代入求出 ，最后计算求解即可；
（2）利用对称轴公式计算求解即可；
（3）将x=1和x=5分别代入函数解析式求出y的值，再求y的取值范围即可。
38．把边长为的正方形硬纸板（如图1），在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子（如图2），折纸厚度忽略不计.
图1图2
（1）要使折成的盒子的底面积为，剪掉的正方形边长应是多少厘米？
（2）折成的长方体盒子侧面积（四个侧面的面积之和）有没有最大值？如果没有，说明理由：如果有，求出这个最大值，并求出此时剪掉的正方形边长.
【答案】（1）解：设剪掉的正方形的边长为.
则，
即，
解得（不合题意，舍去），
∴剪掉的正方形的边长为；
（2）解：侧面积有最大值.
设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，
则与的函数关系为：，即，
即，
∵二次项系数为，自变量的取值范围为：
∴当时，有最大值，
即当剪掉的正方形的边长为时，长方形盒子的侧面积最大为
【解析】【分析】本题主要考查一元二次方程的实际运用、二次函数的实际运用，（1）根据把边长为的正方形硬纸板，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形后底面为边长为cm的正方形，再根据底面正方形的面积为建立一元二次方程，解出x即可求解；
（2）设剪掉的小正方形的边长为，盒子的侧面积为，根据每一个侧面的侧面为，即可得到y与x的关系式，然后利用二次函数的增减性即可求得最大值.
39．如图，反比例函数图象与一次函数的图象交于点与点．
（1）求的值与反比例函数关系式；
（2）连接，，求；
（3）若，请结合图象直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：将代入中，得；
将代入中，得，
所以反比例函数关系式；
（2）解：由，解得或，
所以，，
设一次函数与轴交于点，
故
（3）解：或
【解析】【分析】（1）首先根据点A在函数的图象上，可求得a=1；再根据点A（-4，1）在反比例函数图象 上，即可求得k=-4，从而得出反比例函数解析式为：；
（2）首先求出直线与双曲线的两个交点坐标 以，， 再求出直线与y轴的交点C（0，-1），然后把△AOB的面积转化为△AOC与△BOC的面积之和来求，即可得出△AOB的面积；
（3）结合函数图象，第二象限点A的右侧，y1＞y2，即当-4＜x＜0时，y1＞y2；第四象限点B的右侧，y1＞y2，即x＞2时，y1＞y2，从而可得出当-4＜x＜0或x＞2时，y1＞y2。
40．如图①，AD，BD分别是△ABC的内角∠BAC，∠ABC的平分线，过点A作AE⊥AD，交BD的延长线于点E．
（1）求证：∠C=2∠E．
（2）如图②，设AC，BE交于点F．如果AE=AB，且、BA：BC=2：3，求AF：FC的值．
（3）如果∠ABC是锐角，且△ABC与△ADE相似，求∠ABC的度数．
【答案】（1）证明：∵AE⊥AD，
∴∠E=90°-∠ADE．
∵∠BAD= ∠BAC，∠ABD=∠ABC，∠ADE= ∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，
∴∠ ADE= (∠ABC+∠BAC)=90°- ∠C，
∴∠E=90°- (90°-∠C)= ∠C，即∠C=2∠E．
（2）解：∵AB=AE，∴∠ABE=∠E，
∴∠E=∠CBE，
∴AE∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴AF：FC=AE：BC．
∵AE=AB，AB：BC=2：3，
∴AE：BC=2：3，
∴AF：FC=2：3．
（3）解：∵△ABC与△ADE相似，∠DAE=90°，∴△ABC中必有一个内角为90°．
∵∠ABC是锐角，∴∠ABC≠90°．
①当∠BAC=∠DAE=90°时，∵∠ E= ∠C，∴∠ABC=∠E= ∠C．
∵∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC= 30°．
②当∠C=∠DAE=90°时，∠E= ∠C=45°，∴∠EDA=45°．
∵△ABC与△ADE相似，∴∠ABC=45°．
综上所述，∠ABC=30°或45°．
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义可证得∠E=90°-∠ADE，利用角平分线的定义可得到∠BAD= ∠BAC，∠ABD=∠ABC，利用三角形的外角的性质和三角形的内角和定理可得到∠ADE= ∠BAD+∠DBA，∠BAC+∠ABC=180°-∠C，据此可证得结论.
（2）利用等边对等角可证得∠ABE=∠E，可推出∠E=∠CBE，利用AE∥BC，可知△AEF∽△CBF，利用相似三角形的性质可得对应边成比例，由此可求出AF：FC的值.
（3）利用已知条件可知△ABC中必有一个内角为90°，由∠ABC是锐角分情况讨论：当∠BAC=∠DAE=90°时；当∠C=∠DAE=90°时；分别求出∠ABC的度数.
41．已知抛物线：，若点和在抛物线上，且，．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）将拋物线平移得到抛物线：．当时，抛物线的函数最大值为p，最小值为q，若，求k的值．
【答案】（1）解：∵ 点和在抛物线上
∵
∴，
∵n-m=4
∴m=1，n=5
∴点A坐标为(1，-1)，点B坐标为(5，-1)
（2）解：：的对称轴为：直线x=3-k，
顶点为(3-k，-5)，
由(1)得：m=1，n=5
∴1≤x≤5
Ⅰ．当3-k≤1时，即k≥2，则：
，；，，
，
解得：（舍）；
Ⅱ．当3-k≥5时，即k≤-2，则：
，；，，
，
解得：（舍）；
Ⅲ．当1≤3-k≤5时，即-2≤k≤2，
，，
若，则：，即：，
此时，，
，
解得：（舍），（符合），
若，则：，即：，
此时，，
，
解得：（符合），（舍），
综上所述：或.
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟知二次函数的性质是解题关键．
（1）根据题意：将点A点B坐标代入抛物线得：，再结合可得：， 再结合n-m=4，联立解得：m=1，n=5，再将m=1代入解得：，由此可得点A点B的坐标，即可得出答案；
（2）根据抛物线： 的对称轴为：直线x=3-k，根据对称轴在区间1≤x≤5的分三种情况讨论，根据二次函数图象上点的坐标特征，表示出p，q，根据题意得到关于k的方程，解方程即可得到k的值，由此可得出答案．
（1）解：由得：，
，
，．
，；
（2）解：：的对称轴为：直线，
顶点为，
由（1）得：，
Ⅰ．当时，，则：
，；，，
，
解得：（舍）；
Ⅱ．当时，，则：
，；，，
，
解得：（舍）；
Ⅲ．当时，，
，，
若，则：，即：，
此时，，
，
解得：（舍），（符合），
若，则：，即：，
此时，，
，
解得：（符合），（舍），
综上所述：或．
42．已知二次函数的图像经过点，与轴交于点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）若在范围内二次函数有最大值为，最小值为，求的取值范围．
（3）若把二次函数的图象沿轴平移个单位，在自变量的值满足的情况下，与其对应的函数值的最小值为，求的值．
【答案】（1）将，代入，得：
，
解得，
二次函数的表达式为；
（2）∵，，
二次函数的开口向上，顶点坐标为，
二次函数的对称轴为直线，
当时，，
当或时，，
在范围内二次函数有最大值为，最小值为，
；
（3）∵的对称轴为1，
抛物线在范围内随的增大而增大，
抛物线在时有最小值为，
①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
当时，，
解得或，
向左平移，
，
；
②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值，
即，
解得：，都不符合题意；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值，
，
解得：，，（舍去）
，
综上所述，或．
【解析】【分析】（1）将，代入 二次函数，得到关于b，c的方程组求解，求得二次函数表达式；
（2）先将二次函数转化为顶点式，求出其顶点坐标，再求出当时的函数值，根据二次函数求得对称轴，可知当或时函数值均为，从而求出的范围；
（3）根据函数的性质，图像向左或向右平移，在自变量的值满足的情况下，对应的函数的最小值求出的值．
（1）解：将，代入，得：
，解得，
二次函数的表达式为；
（2）解：，
二次函数的开口向上，顶点坐标为，
当时，，
二次函数的对称轴为直线，
当或时，，
在范围内二次函数有最大值为，最小值为，
；
（3）解：由（2）可得的对称轴为1，
且抛物线在范围内随的增大而增大，
抛物线在时有最小值为，
①向左平移个单位，即当时，存在与其对应的函数值的最小值，
，
将代入得：，
或，
向左平移，
，
；
②向右平移个单位，当平移后对称轴在2左边时，即，函数在处取得最小值，
即，
解得：，都不符合题意；
当平移后对称轴在2到3之间时，在顶点处取到最小值，即最小值；
当平移后对称轴在3右边时，即时，函数在时，存在的最小值，
，
解得：，，（舍去）
，
综上所述，或．
43．抛物线 过点 和点 ，与 轴交于点 ，顶点为点D．
（Ⅰ）求点 的坐标；
（Ⅱ）点 是线段 上一动点，过点 作直线 轴，交抛物线于点 ，连接 并延长交 轴于点 ，连接 ．若 的面积是 面积的2倍，求点 的坐标；
（Ⅲ）抛物线上一点 ，点 的横坐标是 ，连接 ，与 轴交于点 ，点 是线段 上一动点（不与点 ，点 重合）将 沿 所在直线翻折，得到 ，当 与 重叠部分的面积是 面积的 时，求线段 的长度．
【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线 经过点 和点 ，
得 ，解得
∴抛物线的解析式为 ．
∵当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
，
∴顶点 的坐标为 ．
（Ⅱ）设点 的坐标为 ．
∵过点 作直线 轴，交抛物线于点 ，
∴点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
有 ，解得
∴直线 的解析式为 ．
∵当 时， ，
∴点 的坐标为 ．
，
，
的面积是 面积的2倍，
，
，
．
∴点 的坐标为 ．
（Ⅲ）∵抛物线上一点 ，点 的横坐标是 ，
．
∴点 的坐标为 ．
设直线 的解析式为 ，
有 ，解得
∴直线 的解析式为 ．
∵当 时， ．
∴点 的坐标为 ．
过点 作 轴于点 ，则 ，
．
又 ，
，
∴点 是线段 的中点．
．
由折叠知， ，则 ．
．
①如图，当点 在直线 下方时，设线段 与线段 交于点 ，
与 重叠部分是 ，连接 ．
，
．
．
∴四边形 是平行四边形．
．
，
．
②如图，当点 在直线 上方时，设线段 与线段 交于点 与 重叠部分是 ，连接 ．
同理可得，四边形 是平行四边形．
．
，
．
设直线 的解析式为 ，
有 ，解得
∴直线 的解析式为 ．
设点 的坐标为 ，
过点 作 轴于点 ，
，解得 ．
，
∴点 的坐标为 ．
过点 作 轴的平行线，过点 作 轴的平行线，两线交于点 ，
．
综上所述，线段 的长度为 或 ．
【解析】【分析】（Ⅰ）先求出抛物线的解析式为 ，再求出 点 的坐标为 ，最后求解即可；
（Ⅱ）先求出直线 的解析式为 ，再根据三角形的面积公式和函数图象求解即可；
（Ⅲ）先求出直线 的解析式为 ，再分类讨论，计算求解即可。
44．如图，直线与x，y轴分别交于点A，B，过A，B两点的抛物线与x轴交于另一点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M是直线上一动点，过点M作y轴的平行线与抛物线交于点D，若以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标．
【答案】（1）解：对于直线，令则；
令则，解得，
∴，
把代入，得，
解得，，
∴抛物线解析式为：；
（2）解：对于，令，则，
解得，，
∴点C的坐标为，
设直线的解析式为，
把代入得，，
解得，，
∴直线的解析式为，
设点M的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，）．
∴或．
∵以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，，
∴．
∴或．
由，得
，．
由，得，
∴方程无解．
∴点M的坐标为或．
【解析】【分析】（1）先求出点A、B的坐标，再将其代入求出a、k的值即可；
（2）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点M的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，），再结合“以M，D，O，B为顶点的四边形为平行四边形，”列出方程或，求出m的值即可.
45．如图，抛物线y= x2+mx+n与直线y=﹣ x+3交于A，B两点，交x轴与D，C两点，连接AC，BC，已知A（0，3），C（3，0）.
（1）求抛物线的解析式和tan∠BAC的值；
（2）在（1）条件下：
（Ⅰ）P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（Ⅱ）设E为线段AC上一点（不含端点），连接DE，一动点M从点D出发，沿线段DE以每秒一个单位速度运动到E点，再沿线段EA以每秒 个单位的速度运动到A后停止，当点E的坐标是多少时，点M在整个运动中用时最少？
【答案】（1）把A（0，3），C（3，0）代入y= x2+mx+n，得
，解得： .
∴抛物线的解析式为y= x2- x+3.
联立 ，解得： 或 ，
∴点B的坐标为（4，1）.
过点B作BH⊥x轴于H，如图1.
∵C（3，0），B（4，1），
∴BH=1，OC=3，OH=4，CH=4-3=1，
∴BH=CH=1.
∵∠BHC=90°，
∴∠BCH=45°，BC= .
同理：∠ACO=45°，AC=3 ，
∴∠ACB=180°-45°-45°=90°，
∴tan∠BAC= ；
（2）解：（Ⅰ）存在点P，使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ACB相似.
过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°.
设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x.
∵PQ⊥PA，∠ACB=90°，
∴∠APQ=∠ACB=90°.
若点G在点A的下方，
①如图2①，当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB.
∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，
∴△PGA∽△BCA，
∴ .
∴AG=3PG=3x.
则P（x，3-3x）.
把P（x，3-3x）代入y= x2- x+3，得
x2- x+3=3-3x，
整理得：x2+x=0
解得：x1=0（舍去），x2=-1（舍去）.
②如图2②，当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA.
同理可得：AG= PG= x，则P（x，3- x），
把P（x，3- x）代入y= x2- x+3，得
x2- x+3=3- x，
整理得：x2- x=0
解得：x1=0（舍去），x2= ，
∴P（ ， ）；
若点G在点A的上方，
①当∠PAQ=∠CAB时，则△PAQ∽△CAB，
同理可得：点P的坐标为（11，36）.
②当∠PAQ=∠CBA时，则△PAQ∽△CBA.
同理可得：点P的坐标为P（ ， ）.
综上所述：满足条件的点P的坐标为（11，36）、（ ， ）、（ ， ）；
（Ⅱ）过点E作EN⊥y轴于N，如图3.
在Rt△ANE中，EN=AE sin45°= AE，即AE= EN，
∴点M在整个运动中所用的时间为 .
作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，
则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，
∴∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN.
根据两点之间线段最短可得：
当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小.
此时，∵∠D′CD=∠D′NO=∠NOC=90°，
∴四边形OCD′N是矩形，
∴ND′=OC=3，ON=D′C=DC.
对于y= x2- x+3，
当y=0时，有 x2- x+3=0，
解得：x1=2，x2=3.
∴D（2，0），OD=2，
∴ON=DC=OC-OD=3-2=1，
∴NE=AN=AO-ON=3-1=2，
∴点E的坐标为（2，1）
【解析】【分析】（1）只需把A、C两点的坐标代入y= x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式，然后求出直线AB与抛物线的交点B的坐标，过点B作BH⊥x轴于H，如图1.易得∠BCH=∠ACO=45°，BC= ，AC=3 ，从而得到∠ACB=90°，然后根据三角函数的定义就可求出tan∠BAC的值；
（2）（Ⅰ）过点P作PG⊥y轴于G，则∠PGA=90°.设点P的横坐标为x，由P在y轴右侧可得x＞0，则PG=x，易得∠APQ=∠ACB=90°.若点G在点A的下方，①当∠PAQ=∠CAB时，△PAQ∽△CAB.此时可证得△PGA∽△BCA，根据相似三角形的性质可得AG=3PG=3x.则有P（x，3-3x），然后把P（x，3-3x）代入抛物线的解析式，就可求出点P的坐标②当∠PAQ=∠CBA时，△PAQ∽△CBA，同理，可求出点P的坐标；若点G在点A的上方，同理，可求出点P的坐标；（ Ⅱ ）过点E作EN⊥y轴于N，如图3.易得AE= EN，则点M在整个运动中所用的时间可表示为 .作点D关于AC的对称点D′，连接D′E，则有D′E=DE，D′C=DC，∠D′CA=∠DCA=45°，从而可得∠D′CD=90°，DE+EN=D′E+EN.根据两点之间线段最短可得：当D′、E、N三点共线时，DE+EN=D′E+EN最小.此时可证到四边形OCD′N是矩形，从而有ND′=OC=3，ON=D′C=DC.然后求出点D的坐标，从而得到OD、ON、NE的值，即可得到点E的坐标.
46．如图，抛物线与轴的交点分别是，与y轴的交点为C，直线是抛物线的对称轴。
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点P是直线上一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标；
（3）若点E是抛物线上且位于直线BC上方的一个动点，求的面积最大时点E的坐标.
【答案】（1）解：将点A、B的坐标代入二元一次方程，可得关于a、b的二元一次方程如下：
，解得，
∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.
（2）解：连接BC，如下图：
由（1）可知：
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，当x=0时，可得y=3；
∴点C的坐标为（0，3）
∴可得直线l为x=1
设直线BC的解析式为y=kx+b，点B、C在直线上，将其代入直线中，可得：
，解得；
∴直线BC的解析式为y=-x+3
当x=1时，y=2，
∴点P的坐标为（1，2）
（3）解：过点E做EF平行于y轴，交BC于点F，如下图：
∵EF∥y轴
∴△CEF的高与△EFB的高之和等于OB的长=3
∵点E在抛物线上
∴设点E的横坐标为a，则可得点E的坐标为（a，-+2a+3）
∴点F的坐标在直线BC上，F的坐标为（a，3-a）
∴EF=-+3a
∴=-（-3a）=-+
∴当 的面积最大时 ，a=，此时y=
∴点E的坐标为（，）
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的解的性质，将点A和B的坐标代入方程，解方程即可求出解析式；
（2）根据抛物线性质，可得其与y轴的交点C的坐标；根据三角形的三边关系以及点的对称性，可得△PAC的周长最小时点P的位置；根据待定系数法求解直线BC的解析式；根据直线BC上点的性质，已知点的横坐标，将其代入解析式，即可求出点P的坐标；
（3）根据与y轴平行的直线的性质，已知一点的坐标，可以直接写出另外一点的坐标；根据三角形的面积公式和二次函数的性质，即可求出点E的坐标.
47． 在山体中修建隧道可以保护生态环境，改善公路技术状态，提高运输效率．某城市道路中一双向行驶隧道（来往方向各一车道，路面用黄色双实线隔开）图片如图所示．隧道的纵截面由一个矩形和一段抛物线构成。隧道内路面的总宽度为，双向行驶车道宽度为（路面两侧各预留给非机动车），隧道顶部最高处距路面，矩形的高为．
（1）建立适当的平面直角坐标系，求出该段抛物线的解析式；
（2）为了保证安全，交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．问：通过隧道的车辆应限制高度为多少？
【答案】（1）解：如图所示，
隧道顶部最高处距路面6m，矩形的高为2m．
∴顶点坐标为，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：依题意，当时，，
∵交通部门要求行驶车辆的顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度差至少要有．
∴通过隧道的车辆应限制高度为，
答：通过隧道的车辆应限制高度为
【解析】【分析】（1）如图以地面所对矩形水平边为横轴，抛物线对称轴为纵轴建立平面直角坐标系，这时根据数据易知抛物线顶点和左右两端点坐标，待定系数法求抛物线解析式即可；
（2）由题可知要求汽车在最边上距离隧道1米处，也就是自变量x=3或-3 时，抛物线上的点距车顶要大于或等于0.5米，所以算出此时抛物线上点的纵坐标，进而算出距地面的距离，减去0.5米，也就是允许车辆通过的最大高度.
48．在平面直角坐标系中，在抛物线上，其中．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）若，比较的大小；
（3）若，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：，
该抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可得，抛物线对称轴为直线，
，
抛物线的开口向上，
横坐标越接近对称轴，值越小，
，，，
；
（3）解：在抛物线上，
，，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式可得出该抛物线的对称轴为直线；（2）根据抛物线对称轴为直线，且可得出横坐标越接近对称轴，值越小，；
（3）先由二次函数的性质得到，，，再表示出，再结合得出，从而得到，求解即可得到答案．
（1）解：，
该抛物线的对称轴为直线；
（2）解：由（1）可得，抛物线对称轴为直线，
，
抛物线的开口向上，
横坐标越接近对称轴，值越小，
，，，
；
（3）解：在抛物线上，
，，，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
．
49．等边中，点D是边上一点，点E是直线上一点，连接．将线段绕点D逆时针旋转至，连接．
（1）如图1，当点D与点A重合，点E在线段上时．
①按照要求补全图形；
②过中点M作的垂线交于G，交于H，判断与的数量关系，并证明．
（2）如图2，当点D与点A、点B不重合时，若，判断与的数量关系并说明理由．
【答案】（1）解：①解：补图如图1，
②解：，证明如下；
如图2，延长到，使得，连接，作，交于，
∴，
∵等边，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：解：或，理由如下；由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解；
当在的右侧时，如图3，连接，
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴在上，
∴；
当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接，
同理，是等边三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，作于，
∴，
设，则，，，
∴，，
由勾股定理得，，
，
∴；
综上所述，或．
【解析】【分析】（1）①按照要求补图即可；
②如图2，延长到，使得，连接，作，交于，则，证明，是等边三角形，则，由，可求，设，，则，证明，则，即，可求，，则，进而可证，解答即可；
（2）由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解；当在的右侧时，如图3，连接，证明，则，，由，可知在上，进而可得；当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接，证明，则，，如图4，作于，则，设，则，，，可求，，由勾股定理得，，，进而可得，解答即可．
（1）①解：补图如图1，
②解：，证明如下；
如图2，延长到，使得，连接，作，交于，
∴，
∵等边，
∴，
由旋转的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
设，，则，
∵，，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：或，理由如下；
由题意知，分在的右侧，分在的左侧，两种情况求解；
当在的右侧时，如图3，连接，
由旋转的性质可知，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴在上，
∴；
当在的左侧时，如图4，在取点，使，连接，
同理，是等边三角形，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
如图4，作于，
∴，
设，则，，，
∴，，
由勾股定理得，，
，
∴；
综上所述，或．
50．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数交于点．
（1）求点坐标及反比例函数的表达式；
（2）连接，在反比例函数上取一点，满足求点的坐标；
（3）直线与轴交于点，在（2）的条件下，当点在点的右侧时，平面内是否存在点，使得，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将点代入一次函数，得到，
一次函数的表达式为，
将点代入一次函数，得到，
点的坐标为，
再将点代入反比例函数，得到，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，，，
①当点在点的右侧时，作轴，轴，如图：
都在反比例函数的图像上，
又轴，轴，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
②当点在点的左侧时，如图：
同理可得：，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
综上的坐标为或；
（3）解：由（2）可知，
由，可得，
，
，即，
设，
，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，或．
【解析】【分析】
（1）先利用待定系数法求一次函数解析式，进而求出点坐标，即可代入求出反比例函数的表达式；
（2）连接，，，由题意分两种情况：①点在点的右侧，作轴，轴，②点在点的左侧，结合列关于x的方程，解方程并结合点P所在的位置即可求解；
（3）由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，即，用两点距离公式可得关于m、n的方程组，解方程组即可求解．
（1）解：将点代入一次函数，得到，
一次函数的表达式为，
将点代入一次函数，得到，
点的坐标为，
再将点代入反比例函数，得到，
反比例函数的表达式为；
（2）解：连接，，，
①当点在点的右侧时，作轴，轴，如图：
都在反比例函数的图像上，
又轴，轴，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
②当点在点的左侧时，如图：
同理可得：，
，
，
化简得，
解得：或（舍去），
即此时点；
综上的坐标为或；
（3）解：由（2）可知，
由，可得，
，
，即，
设，
，
解得：或，
当时，，此时，
当时，，此时，
综上，或．
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