2025~2026学年度第一学期期中学业水平质量监测
九年级数学试题
（本试卷满分150分，考试时间100分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上。）
1.关于x的方程是一元二次方程，则( )。
A.a≠0 B.a>0 C.a≥0 D.a=1
2.已知⊙O的半径为3cm，圆心O到直线L的距离为2cm，则L与⊙O的交点个数为( )。
A.0 B.1 C.2 D.3
3.若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是( )。
A.m≥0 B.m≥-1 C. m>-1 D.m>1
4.如图, AB是⊙O的直径,弦CD交AB于点E,∠ACD=60°,∠CEB=110°,则∠ADC的度数是( )。
A.40° B.45° C.50° D.55°
5.半径为2的圆内接正方形的边长是( )。
A.2 B.4 C. D.
6.如图,在正八边形ABCDEFGH中,连接AD,EH,AE,DH,AE与DH交于点O,则∠DAO的度数是( )。
A.20° B.22.5° C.25° D.30°
7.下列命题中正确的是( )。
A.等弧对等弦 B.长度相等的弧是等弧
C.等弦对等弧 D.平分弦的直径垂直于这条弦
8.如图,线段AB=BC=CD=3,AB∥CD,∠ABC=120°,⊙O的半径为1,当⊙O从点A沿着AB-BC-CD滚动到D点时圆心O经过的路径长是( )。
A.8 B.9 C. D.
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9.一组数据3,5,8,-1的极差是 .
10.关于x的一元二次方程有一根为-1，则n 的值为 .
11.如图,△ABC是一个圆锥的主视图,若AB=AC=5,BC=6,则该圆锥的侧面积为 .
12.某小区2023年有私家车100辆，预计2025年达到144辆，若年平均增长率为 x，则可列方程为 .
13.某校规定学生学期的体育成绩由三部分组成:平时体育活动表现、体育理论测试、体育技能测试，三项成绩按2:3:5的比例计入总成绩.小颖的上述三项成绩依次是92分、80分、84分，则小颖的体育成绩是 分.
14.已知x1,x2是方程的两根，且,则m= .
15.如图,⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P,∠AOC=150°,∠P=40°, 则的度数为 °.
16.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=16,点E、F分别是边AB、BC上的动点,且EF=10,点G是EF的中点,连接AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为 °
三、解答题(本大题共10小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分6分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB=CD,AB∥CD求证:四边形ABCD是矩形.
18.(本题满分16分)解下列方程：
19.(本题满分8分)甲、乙两名同学进行射击练习，在相同条件下各射靶10次，其中9环以上(含9环)为优秀，将射击结果统计如下表：
命中环数 5 6 7 8 9 10
甲命中环数的次数 1 4 2 1 1 1
乙命中环数的次数 1 2 4 2 1 0
(1)补充完成下面的统计表：
平均分 方差 中位数 优秀率
甲 7 6.5 20%
乙 1.2 10%
(2)甲同学说：“我的优秀率比乙高，所以我的成绩比乙好”；乙同学说：“我的成绩比甲好”.写出两条支持乙同学观点的理由.
20.(本题满分8分)几何学中三角形有五心：内心、外心、重心、垂心、旁心，其中三角形旁心的定义：三角形一个内角的平分线与另外两个内角的外角平分线的交点是旁心.
(1)根据三角形旁心的定义，用无刻度的直尺和圆规作出图①中△ABC的一个旁心O；
(2)过旁心O作OD⊥AC于点D,以点O为圆心, 以OD为半径画⊙O, 求证: BA是⊙O的切线.
21.(本题满分10分)已知关于x的方程(m为常数).
(1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根；
(2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为3，请你求出m的值.
22.(本题满分10分)如图,AB为⊙O的直径,弦AD平分∠BAC,过点D作DE⊥AC于点E.
(1)DE与⊙O的有怎样的位置关系 并说明理由
(2)若AE=8,DE=4,求此圆的半径.
23.(本题满分10分)某草莓采摘园收费信息如下表：
成人票 儿童票 草莓价格
不超过8人，30元/人；超过8人每增加1人，人均票价下降2元，但不低于儿童票价. 20元/人 30元/斤
采摘说明：购票进入采摘区的所有人员，可以边采边吃，带出采摘园的草莓需按价购买.
(1)周末，5个成人带领4个儿童组团购票进入该采摘园采摘游玩，最后又按价一共购买了8斤草莓，则该团需支付的总费用 元；
(2)某公司员工(均为成人)在该草莓采摘园组织活动，共支付票价252元，求这次参加活动的共多少人
24.(本题满分10分)如图, AB为⊙O直径,D是弦AC的延长线上一点, 且CD=AC,DB的延长线交⊙O于E.
(1)求证: =;
(2)若∠A=30°,BC=4,求AB、AC、BC围成图形的面积.
25.(本题满分10分)阅读理解：配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来解决很多问题.因为3a ≥0,所以:就有最小值1，即只有当a=0时，才能得到这个式子的最小值1.同样，因为所以有最大值1，即只有当a=0时，才能得到这个式子的最大值 1.
(1)当x= 时,代数式有最 (填“大”或“小”)值为 ;
(2)当x= 时,代数式有最 (填“大”或“小”)值为 。
(3)如图，用6m的铝合金条制成“日”字形窗框，窗框的宽度和高各是多少时，窗户的透光面积最大(铝合金条的宽度不计)
26.(本题满分14分)以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗
I.若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆(图①、②)；
Ⅱ.若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆(图③)；
Ⅲ.若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆(图④).
(1)在图①、②中,取AC的中点O,根据 得OA=OB=OC=OD,即A,B,C,D共圆,
(2)在图③中,画⊙O经过点A,B,C(图⑤).假设点D落在⊙O外,DC交⊙O于点 E,连接BE,可得∠A>∠D,得出矛盾;同理点D也不会落在⊙O内(图⑥),即A,B,C,D共圆.结论II同理可证。
请你利用“反证法”证明结论Ⅲ，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上；
(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点；
已知：如图⑨，锐角三角形ABC的高BD，CE相交于点H，射线AH交BC于点F.
求证：AF是△ABC的高.(连接ED，补全以下证明框图)
(4)如图⑩,点P是△ABC外部一点,过P作直线AB,BC,CA的垂线,垂足分别为E,F,D,且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在△ABC的外接圆上.九年级数学试题期中学业水平质量监测参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在在每小题所给的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应的位置上。）
1.A 2.C 3.B 4.A 5.D 6.B 7.A 8.D
二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，本大题共24分.不需要写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卡相应位置上)
9、9
10、4
11、15π
12、100（1+x） =144
13、84.4
14、2
15、70
16、142
三、解答题(本大题共10小题，共102分.请在答题卡上指定区域内作答.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本题满分6分) 因为AB=CD,AB∥CD
所以四边形ABCD是平行四边形
所以∠A=∠C
又因为∠A+∠C=180°
所以∠A=90°，所以平行四边形ABCD是矩形。
18.(本题满分16分)解下列方程：
解得：（1）x1=3，x2=-3 （2）x1=，x2=
（3）x1=2，x2=5 （4）x1=2，x2=
19.(本题满分8分)
(1)补充完成下面的统计表：
平均分 方差 中位数 优秀率
甲 7 2.2 6.5 20%
乙 7 1.2 7 10%
(2)乙的方差小，更稳定。乙的中位数是7，成绩更集中在高环。
20.(本题满分8分)
(1)画图略。
(2)过O作OM⊥AB于M点。
因为OA是∠MAO的平分线，OD⊥AC
∴OD=OM
∴BA是圆心O的切线。
21.(本题满分10分)
（1）由△=16m +20m =36m ≥0，所以方程总有实根。
（2）x=，所以x1=5m，x2=-m，5m-（-m）=3
∴m=
22.(本题满分10分)
（1）DE与⊙O相切。
∵AD平方∠EAO
∴∠EAD=∠BAD
又∵OA=OD
∴∠EAD=∠ODA
则AE∥OD
又∵DE⊥AE
∴DE⊥OD，∴DE与⊙O相切
设圆的半径是r
过点D作DM垂直AB
所以AE=AM=8，DE=DM=4
OM=AM-AO=8-r
所以在Rt△DOM中有4 +（8-r） =r
解得：r=5
23.(本题满分10分)
（1）470
（2）8×30=240（元），240＜252，总超了8人
设超出的人数为x人
（8+x）（30-2x）=252
解得：x=1（6舍去）
当x=6时，单价：30-12=18（元），18＜20，所以舍去
总人数为8+1=9（人）
24.(本题满分10分)
（1）证明：连接AE
∵AB为⊙O直径
∴∠AED=90°
∵CD=AD
∴C是AD的中点，∴AC=EC
则=
（2）连接OC
AB、AC、BC围成图形的面积S=×2+=+
25.(本题满分10分)
（1）1 小 33
（2）1 大 35
当宽是1，高是1.5时，面积最大。
26.(本题满分14分)
（1）直角三角形斜边中线等于斜边的一半
（2）假设点C落在⊙O外，BC交Q0于点E，连接DE
∴∠A+∠BED=180°
∵∠A+∠C=180°
∴∠BED=∠C,
∵∠BED是△DEC的一个外角.
∴LBED>∠C，相互矛盾，故点C在圆上
（3）证明:以A、E、H、D四点作圆，以B、E、DC四点作圆，连接ED.
∵A、E、H、D四点共圆,
∴∠BAF=∠EDH.
∵B、E、D、C四点共圆
∴∠EDH=∠BCE
∵CE⊥AB
∴∠EBC+∠BCE= 90°
∴∠EBC+∠BAF =90°
∴∠AFB=90°
即AF是△ABC的高
(3)证明:如图，连接BP，CP由结论I可得:点P、D、F、C四点共圆，点P、EB、F四点共圆，
又∵点D，E，F在同一条直线上，
∴∠PCD=∠PFD，∠PFD=∠PBE
∴∠PCD=∠PBE.
由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆即点P在△ABC的外接圆上
