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【解答题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学八年级上册期中试卷
1．写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）等边三角形有一个角等于60°；
（2）等腰三角形两腰上的高线长相等。
2．如图，，点E在边上，与相交于点． 若，．
（1）求线段的长；
（2）求的度数．
3．在数轴上表示不等式≤x<3 和x的下列取值：-1，-2.5，-4，0，3，3.5，并利用数轴说明，的这些取值中，哪些满足不等式≤x<3，哪些不满足．
4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，∠1＝50°，求∠2的度数．
5．如图，中，，，与的平分线交于点，过做分别交，于点，求的周长.请补全以下的解答过程.
解：平分已知，
角平分线的定义，
又已知，
▲ ，
▲ ，
▲
同理可得： ▲ .
的周长
▲ ▲ .
6．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b（），现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16．
（1）用含a，b的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为______，乙图中阴影部分的面积为______；
（2）求正方形A，B的面积之和；
（3）三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
7．如果 +│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长
8．如图，直线、相交于点平分，且，求的度数．
9．如图，△ABC中，①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD，③BD＝CD，④AD⊥BC.请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理.
10．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积．
11．已知多项式 的结果中不含 项和 项，求 和 的值.
12．已知，，求：
（1）的值．
（2）求的值．
13．如图所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于_____；
（2）观察图，，，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）根据（）题中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
14．（1）计算：
①
②
（2）求方程中的的值
①
②
15． 两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，相交于点．
（1）求证：①；②；
（2）如果，求筝形的面积．
（3）若，直接写出筝形的面积为 （用合的代数式表示）
16． 若 且 是正整数 ，则 ．
你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1） 若 ， 求 的值．
（2） 若 ， 求 的值．
17．如图，在△ABC中，AB＝CB， ∠ABC=90°， D为AB延长线上一点，点E在BC边上， 且BE=BD， 连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
18．如图，已知等边△ABC中，点D在BC边的延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD，判断△ADE的形状，并说明理由．
19．如图，在中，，在边BC上取一点，使得，在AD上取一点，使得，连接CE．
（1）求证：．
（2）若，求CE的长．
20．如图，已知 ，BD是 的平分线，那么 是等腰三角形吗？为什么？
21．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝ ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β，当点D在直线BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．
22．已知 是 的三边，且满足 ，试判断 的形状，并说明理由．
23．数学中的很多恒等式可以通过计算面积得到.如图甲所示，可以求出阴影部分的面积是 把图甲中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图乙所示，它的长是（ 宽是 .比较图甲、图乙中阴影部分的面积，可以得到恒等式
（1）观察图丙，请你写出（ ab之间的一个恒等式： .
（2）根据（1）中的结论，若 求下列各式的值：
①xy；
②
24．用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
（1）请用含x的式子表示第三条边的长度．
（2）若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
25．已知 ，求 2xyz的相反数.
26．已知 ， 求 与 的值．
27．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
28．如图，，是的中线，，求：的度数．
解：∵是边上的中线，∴_________（中线的定义）
在和中，
∴____________________（________）∴（______________________）
∵（已知）
∴（等量代换）
29．观察表格：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.01 0.1 1 10 100
由上表你发现了什么规律 请用语言叙述这个规律？
30．已知实数x的两个平方根分别为2a+1和3-4a，实数y的立方根为-a，求 的值.
31．如图．
①如果AD既是BC边上的高线，又是∠BAC的平分线，那么△ABD≌△ACD．
②如果AD既是BC边上的高线，又是BC边上的中线，那么△ABD≌△ACD．
（1）证明上述两个命题．
（2）想一想，分别满足①或②的条件， 你还能推得哪些共同的结论？
32．如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点．
求证：
（1）是等腰三角形
（2）
33．通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题.
例如： 若a+b=3， ab=1， 求 的值.
解： ∵a+b=3， ab=1
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1） 若 求a+b的值.
（2）如图，已知Rt△ABC，∠BAC=90°，分别以AB、AC为直角边向 两侧作等腰直角 和等腰直角 其中∠BAE=∠CAD=90°. 若△ABC 的面积为9， △ABE和 的面积之和为14，求线段CE的长.
34．如图，AD为'△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE=AB，AF=AC，连接EF，∠EAF+∠BAC=180°．
（1）若∠ABE=63°，∠BAC=45°，求∠FAC的度数；
（2）延长AD至点H，使DH=AD，连接BH，求证：∠ABH+∠BAC=180°；
（3）在（2）的条件下，请直接写出线段EF和线段AD之间的数量关系．
35．如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西的方向行驶海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶海里到达A地，求A，C两地相距多少海里？
36．已知x﹣2的一个平方根是﹣2，2x+y﹣1的立方根是3，求x+y的算术平方根．
37．数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．如图1，用一张边长为a的正方形纸片减去一个边长为b的正方形，剩下部分通过剪拼可以得到一个新的长方形（图2），请你完成下面的探究：
（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用表示）；
（2）若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果．
（3）计算．
38．小红用五块布料制作靠垫面子。如图甲，其中四周的四块由如图乙的长方形布料裁成相同的四块得到，正中的一块从另一块布料裁得。正中一块正方形布料应裁取多大的面积(接缝忽略不计)
39．如图所示，与相交于点，且，，的中线的反向延长线交于点，则与垂直吗？为什么？
40．如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
41．（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
（2）已知 其中2x是整数，且042．计算：－12022+；
43．已知：在△ABC中，∠CAB＝2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．
（1）如图1，若α＝21°∠ABC＝32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；
（2）如图2，若∠ABC＝60°-α，点P在△ABC的内部，且使∠CBP＝30°，求∠APC的度数（用含α的代数式表示）．
44．如图，在四边形ABCD中，，，，点E是线段BD上一点，且.
（1）求证：；
（2）直接写出图中所有的等腰三角形.
45． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”．
小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索：
小明的方法是一个一个找出来：
小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”．
问题：
（1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是
（2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”．
46．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．
47．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
48．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
（2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ▲ ；
方法2： ▲ ；
并写出二个代数式之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，求的值；
（4）根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系 ；若，分别求出和的值 ；
（5）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式： ；
（6）已知，利用上面的规律求的值．
49． 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
50．在中，，，过点作使点，，按顺时针的顺序排列，过点作直线直线，垂足为点，直线交直线于点，连接．
（1）如图，若，的边都在的内部，作点关于的对称点．
▲ ， ▲ ；填“”“”或“”
求证：．
（2）如图，若，的边都在的外部，当，，的面积为时，请直接写出的长；
（3）若，有一条边在的内部，请直接写出线段，，之间的等量关系．
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【解答题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学八年级上册期中试卷
1．写出下列命题的逆命题，并判断其真假。
（1）等边三角形有一个角等于60°；
（2）等腰三角形两腰上的高线长相等。
【答案】（1）解：逆命题是：有一个角等于 60°的三角形是等边三角形．它是假命题
（2）解：逆命题是：有两条边上的高相等的三角形是等腰三角形．它是真命题
【解析】【分析】理解命题与逆命题，定理与逆定理的关系，交换命题的条件和结论后即可写出该命题的逆命题.
2．如图，，点E在边上，与相交于点． 若，．
（1）求线段的长；
（2）求的度数．
【答案】（1）解：∵，，，
，，
；
（2）解：∵，，，
，，
，
．
【解析】【分析】根据全等三角形的性质可得AB与BE的长，然后再求出AE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠DBC与∠A的度数，再求出∠ABC，即可求出答案.
3．在数轴上表示不等式≤x<3 和x的下列取值：-1，-2.5，-4，0，3，3.5，并利用数轴说明，的这些取值中，哪些满足不等式≤x<3，哪些不满足．
【答案】解：各数在数轴上的表示如下，
∴由数轴可知，-1，-2.5，0满足不等式- 15≤x<3；-43.5不满足不等式≤x<3.
【解析】【分析】先在数轴上表示≤x<3和-1，-2.5，-4，0，3，3.5，在根据x的取值是否在≤x<3范围内判断即可.
4．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于E、F，EG平分∠BEF交CD于点G，∠1＝50°，求∠2的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，∠1＝50°，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝130°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝ ∠BEF＝65°，
∵AB∥CD，
∴∠2＝∠BEG＝65°．
【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠BEF，根据角平分线定义求出∠BEG，根据平行线的性质得出∠BEG＝∠2，即可求出答案．
5．如图，中，，，与的平分线交于点，过做分别交，于点，求的周长.请补全以下的解答过程.
解：平分已知，
角平分线的定义，
又已知，
▲ ，
▲ ，
▲
同理可得： ▲ .
的周长
▲ ▲ .
【答案】解： 平分 已知 ，
角平分线的定义 ，
又 已知 ，
两直线平行，内错角相等 ，
，
等腰三角形的判定 .
同理可得： .
的周长
.
【解析】【分析】根据角平分线的定义得∠1=∠2，根据二直线平行，内错角相等得∠2=∠3，故∠1=∠3，根据等角对等边得DI=BD，同理EI=CE，最后根据等量代换、三角形周长计算方法及线段的和差可得△ADE的周长等于AB+AC，据此就不难得出答案了.
6．有两类正方形A，B，其边长分别为a，b（），现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和16．
（1）用含a，b的代数式分别表示甲图中阴影部分的面积为______，乙图中阴影部分的面积为______；
（2）求正方形A，B的面积之和；
（3）三个正方形A和两个正方形B如图丙摆放，求阴影部分的面积．
【答案】（1），
（2）解：根据题意，得：，∵，
∴正方形A，B的面积之和为20．
故答案为：20；
（3）解：∵，，∴．
∵，，
∴，
∴图丙阴影部分面积为：
．
【解析】【解答】解：（1）∵两个正方形A，B，边长分别为a，b，∴图甲阴影部分正方形的边长为，
∴图甲阴影部分面积为：；
图乙阴影部分面积为：．
故答案为：，；
【分析】（1）由两个正方形A，B，边长分别为a，b，得到甲阴影部分正方形的边长为，求得图甲阴影部分的面积，利用割补法，进而得到图乙阴影部分的面积，得到答案；
（2）利用完全平方公式变形，求得的值，即可得到答案；
（3）根据题意，利用大正方形的面积减去3个A和2个B的面积，即可得到答案．
7．如果 +│b-2│=0，求以a、b为边长的等腰三角形的周长
【答案】解：由原式得a=5，b=2，以a、b为边构成的等腰三角形边长为5、5、2，故其周长为12
【解析】【分析】根据算数平方根的非负性及绝对值的非负性及几个非负数的和为零，则这几个数都为零，从而得出a，b的值，然后根据三角形三边之间的关系及等腰三角形的性质，分类讨论，得出答案。
8．如图，直线、相交于点平分，且，求的度数．
【答案】设，则．
根据题意得：，
解得：．
则．
．
平分，
．
【解析】【分析】设，则，再利用和互补得到方程求出，即可得到的度数，再利用对顶角相等得到的度数，然后根据角平分线的定义解题．
9．如图，△ABC中，①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD，③BD＝CD，④AD⊥BC.请你选择其中的两个作为条件，另两个作为结论，证明等腰三角形的“三线合一”性质定理.
【答案】解：已知：①AB＝AC，②∠BAD＝∠CAD.
求证：③BD＝CD，④AD⊥BC.
证明：在△ABD与△ACD中，
∵
∴△ABD≌△ACD(SAS).
∴BD＝CD，AD⊥BC.
【解析】【分析】根据题意写出已知，求证，再利用SAS证明△ABD≌△ACD，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
10．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积．
【答案】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积= ×BC×EF=5
【解析】【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出EF，根据三角形的面积公式计算即可．
11．已知多项式 的结果中不含 项和 项，求 和 的值.
【答案】解：∵
由多项式 的结果中不含 项和 项，
∴ ， ，
解得： ， .
故答案为： ， .
【解析】【分析】首先利用多项式乘法去括号，进而利用多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，进而得出两项的系数为0，进而得出答案.
12．已知，，求：
（1）的值．
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
．
【解析】【分析】（1）将原式用多项式乘以多项式法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”去括号整理，然后整体代换计算即可求解；
（2）将原式用完全平方公式变形，然后整体代换计算即可求解．
（1）解：∵，，
∴
；
（2）解：∵，，
∴
．
13．如图所示是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形．
（1）你认为图中的阴影部分的正方形的边长等于_____；
（2）观察图，，，这三个代数式之间的等量关系为 ；
（3）根据（）题中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值．
【答案】（1）
（2）；
（3）解：∵，，
∴．
【解析】【解答】（1）解：图中的阴影部分的正方形的边长等于，
故答案为：；
（2）解：根据图，阴影部分的面积为，也可以看作大正方减去个小正方形的面积，即，
∴，，这三个代数式之间的等量关系为：；
【分析】（）观察图形可得阴影部分的正方形的边长为小长方形的长减去小长方形的宽；
（）根据阴影部分面积的两种表示方法即可求解；
（）根据完全平方公式变形求值即可求解；
（1）解：图中的阴影部分的正方形的边长等于，
故答案为：；
（2）解：根据图，阴影部分的面积为，也可以看作大正方减去个小正方形的面积，即，
∴，，这三个代数式之间的等量关系为：；
（3）解：∵，，
∴．
14．（1）计算：
①
②
（2）求方程中的的值
①
②
【答案】（1）解：①原式=4-4×（-2）
=4+8
=12
②原式=-6-（-3）-（-1）+-（-1）
=
（2）解：①
解得或
②
解得
【解析】【分析】（1）①先开方，再算乘法，最后计算加减即可；
②根据开方、绝对值先化简，再计算加减即可；
（2）①把（x+2）看成一个整体，将常数项移到方程的右边，进而方程两边同时除以4，将未知数项的系数化为1，根据平方根的意义解方程即可；
②把（2x-1）看成一个整体，将常数项移到方程的右边并合并，根据立方根的意义解方程即可.
15． 两组邻边分别相等的四边形我们称它为筝形．如图，在筝形中，相交于点．
（1）求证：①；②；
（2）如果，求筝形的面积．
（3）若，直接写出筝形的面积为 （用合的代数式表示）
【答案】（1）证明：①在和中，
．
①，
．
，
．
，
（2）解：笔形的面积的面积的面积
，
，
，
，
．
（3）
【解析】【解答】解：
（1）①证明：在和中，，∴（sss）
②证明：∵∴∠BAO=∠DAO，又∵AB=AD，OA=OA，∴，OB=OD，∠AOB=∠AOD，∴AC⊥BD。
（2）S四边形ABCD=S ABC+S ADC=12AC×BO+12AC×OD=12AC×(BO+OD)=12AC×BD=12×6×4=12
∴S四边形ABCD=12。
（3）。
【分析】（1）根据SSS可证两个三角形全等；
（2）将所求四边形面积，转化成两个三角形面积，然后结合题目所给条件进行求解；
（3）由（2）可得面积公式。
16． 若 且 是正整数 ，则 ．
你能利用上面的结论解决下面两个问题吗？
（1） 若 ， 求 的值．
（2） 若 ， 求 的值．
【答案】（1）解：，则 ， 解得 ．
（2）解：， 则 ， ， 解得 ．
【解析】【分析】（1）先把8x转化为23x，16x转化为24x的形式，再根据同底数幂的乘法法则计算出2×23x×24x的结果为21+3x+4x。然后根据已知2×8x×16x=222，所以可知1+3x+4x=22，解方程求出x的值即可.
（2）先把（27x）2 转化为 272x， 进一步转化为（33）2x = 36x. 结合已知（27x）2=312，进而可得：6x=12.解方程求出x的值即可.
17．如图，在△ABC中，AB＝CB， ∠ABC=90°， D为AB延长线上一点，点E在BC边上， 且BE=BD， 连接AE、DE、DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
【答案】（1）解：在△ABE和△CBD中，，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：∵在△ABC中，AB＝CB， ∠ABC=90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由①得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝30°+45°＝75°，
则∠BDC＝75°．
【解析】【分析】（1）根据SAS证明全等；
（2）根据等腰直角三角形的性质得 ∠BAC＝∠ACB＝45° ，全等三角形的性质得 ∠AEB＝∠BDC ，再利用三角形外角性质计算。
18．如图，已知等边△ABC中，点D在BC边的延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD，判断△ADE的形状，并说明理由．
【答案】解：△ADE是等边三角形，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=∠B=60°，AB=AC，
∴∠ACD=120°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE=60°，
在△ABD和△ACE中，
∵AB=AC，∠B=∠ACE，BD=CE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE
又∵∠BAC=60°，
∴∠DAE=60°，
∴△ADE为等边三角形．
【解析】【分析】先证明出△ABD≌△ACE，然后进一步得出AD=AE，∠BAD=∠CAE，加上∠DAE=60°，即可证明△ADE为等边三角形．
19．如图，在中，，在边BC上取一点，使得，在AD上取一点，使得，连接CE．
（1）求证：．
（2）若，求CE的长．
【答案】（1），
．
，
．
（2），
．
，
．
，
【解析】【分析】(1)根据SAS可证明结论；
(2)根据(1)的结论可推出结果.
20．如图，已知 ，BD是 的平分线，那么 是等腰三角形吗？为什么？
【答案】解：△ABD是等腰三角形．
理由是：
∵BD是∠ABC的平分线
∴∠ABD=∠DBC
又∵AD BC
∴∠ADB=∠DBC（两直线平等，内错角相等）
∴∠ADB=∠ABD
∴△ABD是等腰三角形．
【解析】【分析】先求出 ∠ABD=∠DBC ，再求出 ∠ADB=∠ABD ，最后求解即可。
21．在△ABC中，AB＝AC，D是直线BC上一点，以AD为一条边在AD的右侧作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＝∠BAC，连接CE．
（1）如图，当点D在BC延长线上移动时，若∠BAC＝25°，则∠DCE＝ ．
（2）设∠BAC＝α，∠DCE＝β，当点D在直线BC上移动时，α与β之间有什么数量关系？请说明理由．
【答案】解：（1）25°；
（2）如图1，当点D在线段BC的延长线上移动时，α与β之间的数量关系是α＝β，
理由如下：
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝α，∠DCE＝β，
∴α＝β；
当点D在BC上时，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE-∠CAD＝∠BAC-∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵AB=AC，
∴∠ABD=∠ACB，
∴∠ACB=∠ACE，
∴∠DCE=∠ACB+∠ACE=∠ACB+∠ABC，
∵∠ACB+∠ABC+∠BAC=180°，
∴∠DCE+∠BAC=180°，
即α+β＝180°；
如图3，当点D在CB的延长线上时，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE-∠BAE＝∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∴180°-∠ABC=∠ACB+∠DCE，
∴180°-∠ABC-∠ACB=∠DCE，
∴∠BAC=∠DCE，
即α＝β，
综上所述，二者的关系为α+β＝180°或α＝β．
【解析】【解答】解：（1）∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAE+∠CAD＝∠BAC+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中
∵，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠B+∠BAC＝∠ACE+∠DCE，
∴∠BAC＝∠DCE，
∵∠BAC＝25°，
∴∠DCE＝25°，
故答案为：25°.
【分析】（1）先证得∠BAD＝∠CAE，进而利用全等三角形的判定定理证△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质推出∠B＝∠ACE，根据三角形外角性质即可 ∠DCE 的度数；
（2）分点D在BC的延长线上，点D在线段BC上，点D在CB的延长线上三种情况进行讨论 α与β之间的数量关系
22．已知 是 的三边，且满足 ，试判断 的形状，并说明理由．
【答案】解： 为等边三角形，理由如下：
由题可知：
两边同时乘以2，得：
即
整理得：
则 ， ， ，
∴
∴ 为等边三角形．
【解析】【分析】先化简式子可得
，再求出
，最后作答即可。
23．数学中的很多恒等式可以通过计算面积得到.如图甲所示，可以求出阴影部分的面积是 把图甲中的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，如图乙所示，它的长是（ 宽是 .比较图甲、图乙中阴影部分的面积，可以得到恒等式
（1）观察图丙，请你写出（ ab之间的一个恒等式： .
（2）根据（1）中的结论，若 求下列各式的值：
①xy；
②
【答案】（1）(a-b)2+4ab
（2）解：①根据（1）
∵
∴xy=[(x+y)2-(x-y)2]÷4=(10-2)÷4=2，
②∵(x+y)2=x2+2xy+y2=10，xy=2
∴ x2+y2=10-2xy=10-2×2=6
【解析】【解析】解：（1） 观察图丙 ，
小正方形的面积：(a-b)(a-b)=(a-b)2，
大正方形的面积：(a+b)(a+b)=(a+b)2，
小长方形的面积：ab
∴大正方形的面积=小正方形的面积+4小长方形的面积，
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab，
故答案为：(a+b)2=(a-b)2+4ab.
【分析】（1）根据已知条件，观察图丙，分别用a，b代表大正方形的面积，小正方形的面积，小长方形的面积，这样可以计算出 ab之间 的关系；
（2）①根据（1）和已知条件， 这样可以计算出xy的值；
②根据①和完全平方式，(x+y)2=x2+2xy+y2，这样可以计算出x2+y2的值.
24．用一条长41cm的细绳围成一个三角形，已知此三角形的第一条边为xcm，第二条边是第一条边的3倍少4cm．
（1）请用含x的式子表示第三条边的长度．
（2）若此三角形恰好是一个等腰三角形，求这个等腰三角形的三边长．
【答案】（1）解：∵三角形的第一条边长为xcm，第二条边长比第一条边长的3倍少4cm，
∴第二条边长为cm．
∴第三条边长为cm．
（2）解：若x＝3x-4，则x＝2，此时三边长分别为2cm，2cm和37cm，
根据三角形三边关系可知，2，2，37不能组成三角形；
若x＝45-4x，则x＝9，此时三边长分别为9cm，9cm和23cm，
根据三角形三边关系可知，9，9，23不能组成三角形；
若3x-4＝45-4x，则x＝7，此时三边长分别为7cm，17cm，17cm，
根据三角形三边关系可知，7，17，17可以组成三角形．
∴这个等腰三角形的三边长分别为7cm，17cm，17cm．
【解析】【分析】（1）根据题意直接求出第二条的边长，再列出算式求出第三条边长；
（2）利用等腰三角形的性质分类讨论，再利用三角形三边的关系分析求解即可.
25．已知 ，求 2xyz的相反数.
【答案】∵在 中，
可得 解得
，
∴2xyz的相反数是
【解析】【分析】先根据绝对值和算出平方根的非负性得到即可求出x，y，z的值，然后代入计算即可.
26．已知 ， 求 与 的值．
【答案】解：由题意可得：
∴①+②可得：，即
①-②可得：4ab=4，即ab=1
【解析】【分析】根据完全平方公式去括号，联立方程组，根据加减消元法解方程组即可求出答案.
27．如图，AB=CB，BE=BF，∠1=∠2，证明：△ABE≌△CBF．
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠FBE=∠2+∠FBE，即∠ABE=∠CBF
在△ABE与△CBF中，
∴△ABE≌△CBF（SAS）．
【解析】【分析】掌握全等三角形SAS的判定方法。
28．如图，，是的中线，，求：的度数．
解：∵是边上的中线，∴_________（中线的定义）
在和中，
∴____________________（________）∴（______________________）
∵（已知）
∴（等量代换）
【答案】，，，，公共边，，，，全等三角形的对应角相等
【解析】【解答】解：∵是边上的中线，∴（中线的定义）
在和中，
，
∴，
∴（全等三角形的对应角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
故答案为：，，，，公共边，，，，全等三角形的对应角相等
【分析】利用“SSS”证明三角形全等的判定方法和步骤分析求解即可.
29．观察表格：
a 0.000001 0.001 1 1000 1000000
0.01 0.1 1 10 100
由上表你发现了什么规律 请用语言叙述这个规律？
【答案】解：通过观察a的变化和a的立方根的变化就能发现其中的规律：被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍．
【解析】【分析】观察表中的数据可知，a的变化和a的立方根的变化就能发现其中的规律：被开方数扩大1000倍，则立方根扩大10倍。
30．已知实数x的两个平方根分别为2a+1和3-4a，实数y的立方根为-a，求 的值.
【答案】解：根据题意得：2a+1+3-4a=0，
解得：a=2，
所以x=25，y=-8，
则原式=3.
【解析】【分析】利用平方根、立方根定义求出x与y的值，即可确定出原式的值.
31．如图．
①如果AD既是BC边上的高线，又是∠BAC的平分线，那么△ABD≌△ACD．
②如果AD既是BC边上的高线，又是BC边上的中线，那么△ABD≌△ACD．
（1）证明上述两个命题．
（2）想一想，分别满足①或②的条件， 你还能推得哪些共同的结论？
【答案】（1）证明：①∵ AD既是BC边上的高线，又是∠BAC的平分线 ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD（ASA） ，
②∵AD既是BC边上的高线，又是BC边上的中线 ，
∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，
∵AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD（SAS） ，
（2）解：由①②知： △ABD≌△ACD，
∴AB=AC，∠B=∠C.
【解析】【分析】（1）①根据ASA证明△ABD≌△ACD，②根据SAS证明△ABD≌△ACD.
（2）利用全等三角形的性质即可求解.
32．如图，是的角平分线，，垂足分别是，连接与相交于点．
求证：
（1）是等腰三角形
（2）
【答案】（1）证明：是的角平分线，
在和中
是等腰三角形
（2）证明：是等腰三角形，是的角平分线
【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质可得，然后根据可证明；
（2）根据三线合一的性质，即可得证．
33．通过完全平方公式的灵活运用，可以解决很多数学问题.
例如： 若a+b=3， ab=1， 求 的值.
解： ∵a+b=3， ab=1
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
（1） 若 求a+b的值.
（2）如图，已知Rt△ABC，∠BAC=90°，分别以AB、AC为直角边向 两侧作等腰直角 和等腰直角 其中∠BAE=∠CAD=90°. 若△ABC 的面积为9， △ABE和 的面积之和为14，求线段CE的长.
【答案】（1）解：∵(a+b)2=a2+2ab+b2
又∵a2+b2=4，ab=6，
∴(a+b)2=4+2×6=16
∴a+b=±4
（2）解：设AB=x，AC=y，
由△ABC面积为9，得，即xy=18，
由条件可知AE=AB=x，AC=AD=y，
∴，即，
化简得x2+y2=28，
∴(x+y)2=x2+2xy+y2=28+36=64
x+y=±8(负值舍去)
∴线段CE的长为：8.
【解析】【分析】(1)利用完全平方公式变形，整体代入求解即可；
(2)设AB=x，AC =y，先求出xy的乘积，再求出x2+y2，把线段CE的长转化为x+y即可得解.
34．如图，AD为'△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE=AB，AF=AC，连接EF，∠EAF+∠BAC=180°．
（1）若∠ABE=63°，∠BAC=45°，求∠FAC的度数；
（2）延长AD至点H，使DH=AD，连接BH，求证：∠ABH+∠BAC=180°；
（3）在（2）的条件下，请直接写出线段EF和线段AD之间的数量关系．
【答案】（1）解：∵AE- AB．∴∠AEB=∠ABE=63°．
∴∠EAB=54°，∵∠BAC= 45°，
∠EAF+∠BAC=180°，∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC=180°．
∴54°+2×45°+∠FAC= 180°，∴∠FAC=36°．
（2）证明：∵AD为△ABC的中线．∴BD=CD，在△BDH和△CDA中，
∴△BDH≌△CDA(SAS)．∴∠BHD=CAD，
∴AC∥BH．∴∠ABH+∠BAC=180°
（3）解：EF=2AD
【解析】【解答】（3）结论：EF=2AD.
理由：∵△BDH≌△CDA，
∴BH=AC，
∵AC=AF，
∴AF=BH，
∵∠ABH+∠BAC=180°，∠EAF+∠BAC=180°，
∴∠EAF=∠ABH，
在△EAF和△ABH中，
，
∴△EAF≌△ABH（SAS），
∴EF=AH=2AD，
故答案为：EF=2AD.
【分析】（1）先利用角的运算求出∠EAB=54°，再结合∠BAC= 45°，∠EAB+2∠BAC+∠FAC=180°，再求出∠FAC=36°即可；
（2）先利用“SAS”证出△BDH≌△CDA，可得∠BHD=CAD，再结合AC//BH，可得∠ABH+∠BAC=180°，从而可证；
（3）先利用角的运算求出∠EAF=∠ABH，再利用“SAS”证出△EAF≌△ABH，再利用全等三角形的性质可得EF=AH=2AD.
35．如图，一艘轮船由海平面上C地出发向南偏西的方向行驶海里到达B地，再由B地向北偏西的方向行驶海里到达A地，求A，C两地相距多少海里？
【答案】解：如图，连接，并标字母，如图所示：
由题意得：∠FBE=∠BCE=25°，∠FBA=35°，
∴∠ABC=∠ABF+∠FBE=60°，
海里，
是等边三角形，
∴海里，
即A，C两地相距海里．
【解析】【分析】根据题目条件得出，，于是可得△ABC是等边三角形，再由等边三角形的性质即可得出、两地距离．
36．已知x﹣2的一个平方根是﹣2，2x+y﹣1的立方根是3，求x+y的算术平方根．
【答案】解：∵x﹣2的一个平方根是﹣2，
∴x﹣2=4，
解得，x=6．
∵2x+y﹣1的立方根是3，
∴2x+y﹣1=27，
∵x=6，
∴y=16．
∴x+y=22．
∴x+y的算术平方根是 ．
即x+y的算术平方根是 ．
【解析】【分析】根据平方根是-2得出x的值，把x的值代入2x+y-1，再结合立方根是3，得出y的值。最后把x、y的值代入到x+y中，计算出x+y的值，可得x+y的算术平方根。
37．数形结合是数学学习中一种重要的方法，我们可以利用几何图形验证乘法公式．如图1，用一张边长为a的正方形纸片减去一个边长为b的正方形，剩下部分通过剪拼可以得到一个新的长方形（图2），请你完成下面的探究：
（1）比较两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （用表示）；
（2）若，请你画一个几何图形，证明，并根据你画的图形，直接写出正确的展开结果．
（3）计算．
【答案】（1）
（2）如图
由图可得：．
（3）解：根据（2）中的结论可知
在中，把，
根据公式
可求得
【解析】【解答】解：（1）图1阴影部分的面积为a2-b2，
图2阴影部分的面积为（a+b）（a-b），
∴（a+b）（a-b）=a2-b2，
故答案为：（a+b）（a-b）=a2-b2；
（2）由图可得：大正方形的面积=3个小正方形的面积和+6个长方形的面积的和，
∴<
故答案为：；
【分析】（1）分别求出图1和图2的面积，即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，利用大正方形的面积=3个小正方形的面积和+6个长方形的面积的和，即可得出答案；
（3）利用（2）的结论进行计算，即可得出答案.
38．小红用五块布料制作靠垫面子。如图甲，其中四周的四块由如图乙的长方形布料裁成相同的四块得到，正中的一块从另一块布料裁得。正中一块正方形布料应裁取多大的面积(接缝忽略不计)
【答案】解：由题图乙知，每块小长方形的长是，宽是，则靠垫面子的边长是。
由题意，得。
答：正中一块正方形布料应裁取的面积是。
【解析】【分析】 可以用大正方形的面积减去四周四块矩形的面积和得结果．所以应先求得大正方形的边长．
39．如图所示，与相交于点，且，，的中线的反向延长线交于点，则与垂直吗？为什么？
【答案】解：因为中，是中线，AB=AC，
所以平分，即，
又因为，，
所以，即平分，
又因为，所以．
【解析】【分析】根据等腰三角形的性质得出∠BAG=∠CAG，根据对顶角相等得出∠EAF=∠CAG，∠DAF=∠BAG，从而得出∠EAF=∠DAF，再根据等腰三角形的性质即可得出AF⊥DE.
40．如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边.求证.
【答案】证明：和是顶角相等的等腰三角形，得出，
，，，
在和中，
，
，
.
【解析】【分析】利用等腰三角形的性质得AB=AC，AD=AE，由∠BAC=∠DAE可推出∠BAD=∠CAE，再利用SAS证明△ABD≌△ACE，利用全等三角形的对应边相等，可证得结论.
41．（1）如果 的小数部分为a， 的整数部分为b，求 的值；
（2）已知 其中2x是整数，且0【答案】（1）解：
的整数部分为2.
∴b=5，
（2）解：
∴2x=13，
【解析】【分析】（1）估算无理数的范围，结合题意可得a，b值，再代入代数式即可求出答案.
（2）根据题意估算无理数的范围可得x，y值，再代入代数式即可求出答案.
42．计算：－12022+；
【答案】解：－12022+
＝－1+4＋2+10×
＝11
【解析】【分析】根据有理数的乘方法则得 ，根据二次根式的性质得 ，，根据立方根的定义得，从而再计算有理数的混合运算即可.
43．已知：在△ABC中，∠CAB＝2α，且0°＜α＜30°，AP平分∠CAB．
（1）如图1，若α＝21°∠ABC＝32°，且AP交BC于点P，试探究线段AB，AC与PB之间的数量关系，并对你的结论加以证明；
（2）如图2，若∠ABC＝60°-α，点P在△ABC的内部，且使∠CBP＝30°，求∠APC的度数（用含α的代数式表示）．
【答案】（1）解：AB-AC＝PB
（2）解：120°+α
【解析】【解答】解（1）在AB上取AD=AC，连接PD，如下图所示：
∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP=∠DAP，
在△CAP和△DAP中，
∵AC=AD，∠CAP=∠DAP，AP=AP，
∴（SAS）
∴∠C=∠ADP，
在△ABC中，∠CAB＝2α=42°，∠ABC＝32°，
∴∠C＝180°-42°-32°=106°，
∴∠ADP=106°，
∴∠BDP=180°-106°=74°，∠BPD=180°-32°-74°=74°，
∴∠BDP=∠BPD，
∴BD=PB，
∴AB-AC=AB-AD=BD=PB，
即AB-AC=PB；
（2）在AB上取AE=AC，连接PE，延长AP交BC于点F，连接EF，如下图所示：
∵AP平分∠CAB，
∴∠CAP=∠EAP=α，
在△CAP和△EAP中，
∵AC=AE，∠CAP=∠EAP，AP=AP，
∴（SAS）
∴∠APC=∠APE，
同理可证（SAS）
∴∠AFC=∠AFE，
∵∠ABC＝60°﹣α，
∴∠AFC=∠EAP+∠ABC＝α+60°﹣α=60°，
∴∠AFC=∠AFE=∠EFB=60°，
∴∠FPB=∠AFC-∠CBP=60°-30°=30°，
∴PF=BF，
∴（SAS），
∴PE=BE，
∴∠EPB=∠EBP=60°﹣α-30°=30°﹣α，
∴∠AEP=2∠EPB=60°﹣2α，
∴∠APC=∠APE=180°-（60°﹣2α）-α=120°+α。
【分析】（1）在AB上取AD=AC，连接PD，根据SAS证，根据三角形内角证∠BDP=∠BPD，利用等腰三角形的判定证明即可；
（2）在AB上取AE=AC，连接PE，延长AP交BC于点F，连接EF，根据SAS证和，利用全等三角形的性质证∠AFC=∠AFE=∠EFB=60°，再根据等腰三角形的判定证PF=BF，根据SAS证，根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质求解。
44．如图，在四边形ABCD中，，，，点E是线段BD上一点，且.
（1）求证：；
（2）直接写出图中所有的等腰三角形.
【答案】（1）证明：∵∴，∵，∴，在和中，
∴
（2）解：、是等腰三角形
【解析】【解答】解：（2）根据题（1）可得BD=BC，所以△BCD为等腰三角形，又因为题（1）得△ADB≌△EBC，所以CE=AB=CD，所以△CDE为等腰三角形。
故答案为：△BCD，△CDE为等腰三角形.
【分析】（1）根据题意利用平行线的性质可以得到∠ADB=∠EBC，再根据题意，所以BD=BC根据三角形的判定即可以证明△ADB≌△EBC；
（2）根据题意找出等腰三角形，从题（1）中得到CE=AB=CD，再因为AB=CD，AD∥BC，所以知道四边形ABCD为等腰梯形，则可以得出BD=BC，所以可以得出等腰三角形。
45． 如果一个自然数能表示为两个自然数的平方差， 那么称这个自然数为 “智慧数”．例： 就是一个 “智慧数”．
小明和小王对自然数中的“智慧数”进行了如下探索：
小明的方法是一个一个找出来：
小王认为小明的方法太麻烦， 他想到 ： 设 是自然数， 由于 ． 所以， 自然数中所有奇数都是 “智慧数”．
问题：
（1）根据上述小明的方法， 自然数中第 10 个 “智慧数”是
（2）他们发现除奇数外， 还有 也是 “智慧数”， 由此猜测 （ 为正整数）都是 “智慧数”． 请你参考小王的办法证明 （ 为正整数）都是“智慧数”．
【答案】（1）12
（2）解：设k是自然数， 由于 ．
因为k是自然数， 所以k+1是正整数，
∴4a(a为正整数) 都是“智慧数”．
【解析】【解答】解：（1）根据小明的方法，自然数中第10个“智慧数”是：.
故答案为：12；
【分析】（1） 仿照小明的办法，继续下去，即可得出结；
（2）模仿小王的做法，将（k+2）2-k2用平方差公式展开即可得出结论.
46．小明坐于堤边垂钓，如图①，河堤AC的坡角为30°，AC长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离(如图②)．
【答案】解：延长OA交BC于点D
∵AO的倾斜角是，
∴
∵
在Rt△ACD中， (米)，
∴CD=2AD=3米，
又
∴△BOD是等边三角形，
∴(米)，
∴BC=BD CD=4.5 3=1.5(米)
答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米
【解析】【分析】构造直角三角形，运用三角函数关系即可求出答案。
47．请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；
（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；
（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，求：①a＋b的值；②a4－b4的值．
【答案】（1）解：两个阴影图形的面积和可表示为：
a2＋b2或 (a＋b)2－2ab
（2）解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
（3）解：∵a，b（a＞b）满足a2＋b2＝53，ab＝14，
∴①(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab
＝53＋2×14=81
∴a＋b＝±9，
又∵a＞0，b＞0，∴a＋b＝9．
②∵a4－b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)，
且∴a－b＝±5
又∵a＞b＞0，
∴a－b＝5，
∴a4﹣b4＝(a2＋b2)(a＋b)(a－b)＝53×9×5＝2385．
【解析】【分析】（1）第一种表示方法为：阴影部分的面积等于大正方形的面积减去两个长方形的面积即可，即（a+b）2-2ab；第二种表示方法为：阴影部分的面积为两个正方形的面积之和，即a2+b2；
（2）因为两种方法表示的为同一个阴影的面积即两种表示方法为相等的关系，即(a+b)2-2ab=a2+b2；
（3）由（2）题中的等量关系即可求得a+b的值，再根据（2）题中的等量关系可以表示（a-b）2+2ab=a2+b2，可求出a-b的值，将a4-b4进行因式分解，即可求出它的值。
48．如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
（1）图②中阴影部分的正方形的边长是 ；
（2）用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1： ▲ ；
方法2： ▲ ；
并写出二个代数式之间的等量关系；
（3）根据（2）中的等量关系，解决问题：若，求的值；
（4）根据（2）中的等量关系，直接写出和之间的关系 ；若，分别求出和的值 ；
（5）【知识迁移】类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．根据图③，写出一个代数怛等式： ；
（6）已知，利用上面的规律求的值．
【答案】（1）
（2）解：方法一：利用整体思想，边长为的正方形其面积为，
方法二：利用分割思想，阴影部分面积边长为的大正方形面积个长为宽为的矩形面积，
三个代数式之间的数量关系为：，或：；
（3）解：，且，
，
（4）；12；14
（5）
（6）解：，
．
【解析】【解答】解：（1）由图（2）知：阴影部分正方形的边长为：a-b
（2）方法1：由（1）知阴影部分正方形的边长为a-b
方法2：
∴
∵x+y=10，xy=16
∴x-y=±6
∴方程两边同时除以m得：
(5)由图（3）可知：这个长方体的长为a+b，宽为a+b，高为a+b
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景与实际应用.
（1）由图形②可看出正方形的边长为a-b即可得出答案；
（2）方法一：利用整体思想，由（1）知正方形的边长为a-b，则正方形的面积为；
方法二：利用整体减局部的思想，，两个式子表示的都是阴影部分的面积，所以相等，即可得出答案.
（3）根据（2）中的结论代入求值即可.
（4）根据（2）中的结论即可直接写出关系式，由两边同时除以m可得出代入即可得出答案；
（5）利用两种方法求长方体的体积，方法一：利用整体思想根据图中数据分别表示出长方体的长宽高，代入公式得出长方体的体积；方法二：利用拆分法，由图可看出大的长方体是由一个棱长为a的正方体，一个棱长为b的正方体，3个长和高为a，宽为b的长方体与3个长和高为b，宽为a的长方体组成；把这些图形的体积都加起来则为大长方体的体积；即可得出关系式；
（6）利用（5）中得出的关系式，变形代值即可得出答案.
49． 阅读下面文字，回答后面问题：求的值。
解：令①
将等式两边同时乘5，得
②
②①，得，．
问题：
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：令①
将等式两边同时乘2得
②
②①得
（2）解：令4T=，
则T=，①
将等式两边同时乘3得
则3T=，②
由②-①得，
2T=，
则=4T=.
【解析】【分析】(1)类比参考材料解题思路，通过构造新的数，使得与原数相减消除中间项；
(2)此处需注意为形成材料中的结构需先对每一项提因数4，后同材料处理方式形成错位相减即可计算出结果；
50．在中，，，过点作使点，，按顺时针的顺序排列，过点作直线直线，垂足为点，直线交直线于点，连接．
（1）如图，若，的边都在的内部，作点关于的对称点．
▲ ， ▲ ；填“”“”或“”
求证：．
（2）如图，若，的边都在的外部，当，，的面积为时，请直接写出的长；
（3）若，有一条边在的内部，请直接写出线段，，之间的等量关系．
【答案】（1）；=；
解：证明：点和点关于对称，
，
由得：，
；
（2）解：如图，
作点关于的对称点，连接，
，，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
可设，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
，
同理得：≌，
，
，
当在的内部时，
作点关于的对称点，
同理可得：≌，
，
综上所述：．
【解析】【解答】解：（1）连接AC ，
∵∠EAF=∠BAC=45°，
∴∠CAE+∠BAF=∠BAC-∠EAF=90°-45°=45°；
∵点C和点C 关于直线AE成轴对称，
∴AC=AC ，∠CAM=∠C AM，
∴∠C AM+∠BAF=45°，
∵AB=AC，∴AB=AC ，
∵∠C AM+∠C AN=45°，∴∠BAF+∠C AN=45°，
∴△BAN≌△C AN（SAS），
BN=C N；
故答案为：第一空：45°；第二空：=
【分析】（1）连接AC ，由角的构成和轴对称的性质可得∠CAE+∠BAF=45°；结合已知用边角边可证△BAN≌△C AN，于是可得BN=C N；
（2）作点C关于AE的对称点D，连接AD，由题意用边角边可证△ADN≌△BAN，于是DN=BN=CM+MN，结合已知可设BN=11k，MN=4k，根据三角形ACN的面积可求得CN的值，然后根据CM=CN+MN=6+4k=BNB可得关于k的方程，解方程求出k的值，则CM的值可求解；
（3）由题意分两种情况：
当AF在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，结合（2）的结论可得：BN=MN+CM；
当AE在∠BAC的内部时，作点C关于AE的对称点D，同理可求解.
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