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【填空题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学九年级上册期中试卷
1．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系xOy，使“帥”的坐标为（﹣1，﹣2），“馬”的坐标为（2，﹣2），则“兵”的坐标为 ．
2．已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E.若AB＝8，则线段OE的长为 .
4．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点P为y轴上一点，且满足条件PQ⊥AP，∠QAP＝30°．
（1）当OP＝时，OQ＝ ；
（2）若点P在y轴上运动，则OQ的最小值为 ．
5．已知一个三角形的两边长为5和12，若第三边长是方程的一个根，则这个三角形周长为 ，面积为 ．
6．如图，在一个面积为的等边三角形纸片中，取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积为 .
7．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为 ．
8．如图，以原点为中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点A'，则点A'的坐标是 .
9．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为.若菱形的边长为，，则 .
10．如图，四边形四边形，若，，，则FG的长为 ．
11．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF= EH，那么EH的长为 ．
12．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ，若方程两根a，b满足，则 ．
13．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片()，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是 ．
．
14．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为 ．
15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ACD＝ .
16．在平面直角坐标系中，将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），则点P的坐标为 ．
17．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2 x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
18．若点P（2﹣m，3m+1）在y轴上，则点P的坐标是 ．
19．已知点A（－3，2m－2）在x轴上，点B（n＋1，4）在y轴上，则点C（m，n）在第 象限．
20．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N．若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为 ．
21．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a= .
22．在平面直角坐标系中，将点A（3，2）绕原点O按顺时针方向旋转90°后，其对应点A’的坐标是 .
23．如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若，则S△ACD：SBCD：SABC=
25．如图，在 中， ，则图中相似三角形共有 对.
26．如果点P（m+3，m﹣2）在y轴上，那么m＝ ．
27．已知 ∽ ，且面积比为 ，若 的周长为 ，则 的周长是 .
28．如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
29．已知x，y都是实数，且，则的算术平方根是 ．
30．如图的红叶，A，B，C三点在同一直线上，B为AC的黄金分割点（AB>BC)，若AC的长度为10cm，则BC的长度为 .（结果保留根号）
31．一元二次方程 的根为 ．
32．若x，y为实数，且满足，则的值是 ．
33．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则 ．
34．定义：点P与图形W上各点连接的所有线段中，若线段PA最短﹐则线段PA的长度称为点P到图形W的距离，记为d（P，图形W）.例如，在图1中，原点与直线的各点连接的所有线段中，线段OA最短，长度为3，则 d（O，直线）.特别地，点P在图形W上，则点P到图形的距离为0，即 d（P，图形W）.
①在平面直角坐标系中，原点与直线的距离 ；
②如图2，点P的坐标为且，则 .
35．如图，在四边形ABCD中， ∥AD与 BC的和是12，点 E，F，G分别是 BD，AC，DC的中点，则 的周长是 .
36．如图，△ABC是等边三角形，AB=6，AD是BC边上的中线．点E在AC边上，且∠EDA=30°，则直线ED与AB的位置关系是 ，ED的长为 ．
37．如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E是边 的中点.已知 ，则 .
38．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A在x轴的正半轴上，C为（2，4），CD⊥AB于点D，反比例函数y＝ 恰好经过点C，D，则点D的坐标为 .
39．计算 的结果是 .
40．方程的两个根为、，则的值等于 ．
41．如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是18m，若矩形的面积为36m2，则AB的长度是 m．
42．如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
43．如图，正方形中，E、F分别为、边的中点，连接，将正方形折叠，使点C落在上点P的位置，折痕交于点G，若，则的长为 .
44．如图，在 中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD、BE交于点G， ，则S△DGF：S四边形FGEC= ．
45．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在c轴上“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标为1，则“猫”爪尖F的坐标为 .
46．已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为 ．
47．如图，在平面直角坐标系中，点，点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向右跳动个单位至点，第次向上跳动个单位，第次向左跳动个单位，第次又向上跳动个单位，第次向右跳动个单位，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是 ．
48．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点M，N之间的“直角距离”为．已知点，，．
（1）A与B两点之间的“直角距离” ；
（2）点为平面直角坐标系内一动点，且满足，则n的取值范围 ．
49．在正方形ABCD中，AB＝4 ，E为BC的中点，连接AE，点F为AE上一点，且EF＝2.FG⊥AE交DC于G，将FG绕着点G顺时针旋转，使得点F恰好落在AD上的点H处，过点H作HN⊥HG，交AB于N，交AE于M，则S△MNF＝ .
50．如图，在中，，，点为线段的三等分点，过点作，交射线于点，连接，则的长为 ．
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【填空题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学九年级上册期中试卷
1．如图，若在象棋盘上建立平面直角坐标系xOy，使“帥”的坐标为（﹣1，﹣2），“馬”的坐标为（2，﹣2），则“兵”的坐标为 ．
【答案】(-3，1)
【解析】【解答】解：如图所示：“兵”的坐标为：（-3，1）．
故答案为（-3，1）．
【分析】直接利用已知点坐标得出原点的位置进而得出答案．
2．已知关于的方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得，，
故答案为：．
【分析】对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出不等式，求解即可.
3．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E.若AB＝8，则线段OE的长为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：由作法得∠COE＝∠OAB，
∴OE∥AB，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OC＝OA，
∴CE＝BE，
∴OE为△ABC的中位线，
∴OE＝ AB＝ ×8＝4.
故答案为4.
【分析】利用作法得到∠COE=∠OAB，则OE//AB，利用平行四边形的性质判断OE为△A BC的中位线，从而得到OE的长.
4．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点P为y轴上一点，且满足条件PQ⊥AP，∠QAP＝30°．
（1）当OP＝时，OQ＝ ；
（2）若点P在y轴上运动，则OQ的最小值为 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】【解答】解：（1）如图，过Q作轴于Q，
则
故答案为：
（2）设 过Q作轴于Q，
同理：
当时，的最小值为
的最小值为：
故答案为：
【分析】（1）过Q作轴于Q，先证明，可得，再将数据代入可得，求出，再利用勾股定理求出即可；
（2）设 过Q作轴于Q，利用可得，然后利用勾股定理可得，最后利用二次函数的性质求解即可。
5．已知一个三角形的两边长为5和12，若第三边长是方程的一个根，则这个三角形周长为 ，面积为 ．
【答案】30；30
【解析】【解答】解方程，
得，（不合题意，舍去），
即第三边的边长为．
∴这个三角形的周长是．
又，
∴此三角形是直角三角形，
∴这个三角形的面积为．
故答案为：，．
【分析】本题考查一元二次方程和实际意义，勾股定理逆定理，三角形的面积计算公式.先解一元二次方程，根据一元二次方程的实际意义可得第三边的边长为，进而可求出三角形的周长，通过计算可得：，利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，根据直角三角形的面积公式可求出三角形的面积．
6．如图，在一个面积为的等边三角形纸片中，取三边的中点，以虚线为折痕折叠纸片，图中阴影部分的面积为 .
【答案】9
【解析】【解答】解：如下图所示，
∵D、E、F为△ABC三边中点，
∴DE//CB
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADE=S△ABC.
设S△ADE=a，则S△ABC=4a
∴阴影面积=（4a-a）=a
∴阴影部分的面积是整个图形面积的
∵S△ABC=24cm2
∴阴影面积=24×=9cm2
故答案为：9.
【分析】如图，由中位线定理可知S△ADE=S△ABC，设S△ADE=a，则S△ABC=4a，可计算出阴影部分的面积是整个图形面积的，最后由S△ABC=24cm2即可计算出阴影部分的面积.
7．电影《长津湖》上映以来，全国票房连创佳绩．据不完全统计，某市第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达18亿元，将增长率记作x，则方程可以列为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，根据题意得：．
故答案为：．
【分析】根据 三天后累计票房收入达18亿元， 列方程即可。
8．如图，以原点为中心，把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点A'，则点A'的坐标是 .
【答案】（-4，3）
【解析】【解答】解：如图所示：
∵把点A（3，4）逆时针旋转90°，得到点A'，
∴点A'的坐标是（-4，3）.
故答案为：（-4，3）.
【分析】过A′作A′B′⊥y轴于点B′，AB⊥x轴于点B，根据旋转的性质可得A′B′=AB=4，OB′=OB=3，据此可得点A′的坐标.
9．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为.若菱形的边长为，，则 .
【答案】
【解析】【解答】连接BD，AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC平分∠BAD，
∵∠BAD=120°，
∴∠BAC=60°，
∴∠ABO=90°-60°=30°，
在Rt△AOB中，AO=AB=2，
由勾股定理可得：BO=DO=，
∴BD=，
∵点A恰好落在菱形的对称中心O处，
∴EF⊥AC，EF平分AO，
∵AC⊥BD，
∴EF//BD，
∴EF是△ABD的中位线，
∴EF=BD=，
故答案为：.
【分析】连接BD，AC，先求出BD=，再证出EF是△ABD的中位线，可得EF=BD=.
10．如图，四边形四边形，若，，，则FG的长为 ．
【答案】6
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形EFGH，
∴即
解之：FG=6.
故答案为：6
【分析】利用相似多边形的对应边成比例，可得到，代入计算求出FG的长.
11．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF= EH，那么EH的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示：
∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，∴ ，
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，
∴ ，解得：x= ，则EH= ．
故答案为 ．
【分析】根据矩形的性质得到EH//BC，所以△AEH∽△ABC，再利用相似三角形的性质可以得到，设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD﹣EF=2﹣2x，代入计算即可。
12．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 ，若方程两根a，b满足，则 ．
【答案】；或
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴=（2m+3)2-4×1×m2=12m+9＞0，
∴m＞；
利用根与系数的关系，可得：ab=m2，a+b=-(2m+3)，
∵=-（a+b），
∴m2=2m+3，
解得：m1=-1，m2=3.
故第1空答案为：m＞；第2空答案为：-1或3.
【分析】首先根据方程的根的情况，得出根的判别式大于0，从而得出m＞；再利用根与系数的关系，可得：ab=m2，a+b=-(2m+3)，从而得出m2=2m+3，解得m1=-1，m2=3.
13．如图，取一张长为a，宽为b的矩形纸片()，将它对折两次后得到一张小矩形纸片．若要使小矩形与原矩形相似，则原矩形纸片的边a、b应满足的条件是 ．
．
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意，对折两次后的小长方形的长为b，宽为，
∵小矩形与原矩形相似，
∴，则，
解得（负值舍去），
故答案为：．
【分析】利用折叠的性质可得到对折两次后的小长方形的长为b，宽为，再根据相似图形对应边成比例列式求解即可．
14．在一次足球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛28场，设共有个队参赛，根据题意，可列方程为 ．
【答案】
【解析】【解答】解： 设共有个队参赛， 则每个队比赛（x-1）场
∵参赛的每两个队之间都要比赛一场
∴
故答案为：
【分析】根据 参赛的每两个队之间都要比赛一场且共比赛28场即可求出答案。
15．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：4，则S△BDE：S△ACD＝ .
【答案】1：20
【解析】【解答】解：∵S△BDE：S△DEC＝1：4，
∴BE：EC＝1：4，
∴BE：BC＝1：5，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BCA，
∴ ＝ ＝ ，
设S△BED＝k，则S△DEC＝4k，S△ABC＝25k，
∴S△ADC＝20k，
∴S△BDE：S△DCA＝1：20.
故答案为：1：20.
【分析】根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得△BED∽△BCA，再由相似三角形的面积的比等于相似比的平方可得可求解.
16．在平面直角坐标系中，将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），则点P的坐标为 ．
【答案】（-1，4）
【解析】【解答】解：将点P先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的点坐标是（-3，1），
∴点P的坐标为（-3+2，1+3），即（-1，4），
故答案为：（-1，4）．
【分析】根据点坐标平移的特征：左减右加，上加下减求解即可。
17．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2 x+1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k＜3且k≠0
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2 x+1＝0有两个不相等的实数根，
∴ ，∴k＜3且k≠0.
故答案为：k＜3且k≠0.
【分析】由根的判别式以及一元二次方程的概念可得且k≠-0，求解即可.
18．若点P（2﹣m，3m+1）在y轴上，则点P的坐标是 ．
【答案】（0，7）
【解析】【解答】解：由题意，得
2﹣m＝0，
解得m＝2，
3m+1＝7，
点P的坐标是（0，7），
故答案为：（0，7）．
【分析】先求出2﹣m＝0，再求出m＝2，最后计算求解即可。
19．已知点A（－3，2m－2）在x轴上，点B（n＋1，4）在y轴上，则点C（m，n）在第 象限．
【答案】四
【解析】【解答】解：∵点A（－3，2m－2）在x轴上，点B（n＋1，4）在y轴上，
∴2m﹣2=0，n+1=0，
解得：m=1，n=﹣1，
∴点C（1，﹣1）在第四象限，
故答案为：四．
【分析】根据x轴和y轴上的点坐标的特征可得2m﹣2=0，n+1=0，求出m、n的值，可得点C的坐标为（1，-1），再结合点坐标与象限的关系可得答案。
20．如图，AC，BD相交于点O，AB∥CD，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N．若DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵ AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴
∵
∴
∵ MN∥ AC，M是AB的中点，
∴ MN为△AOB的中位线，
故答案为：4.
【分析】由AB∥ DC易得△CDO∽△ABO，根据相似三角形的性质可得 ，于是求出OA=8，易得MN为△AOB的中位线，则MN=OA即可求解.
21．若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a= .
【答案】
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，解得 .
故答案为： .
【分析】根据题意可得△=0，代入求解可得a的值.
22．在平面直角坐标系中，将点A（3，2）绕原点O按顺时针方向旋转90°后，其对应点A’的坐标是 .
【答案】（2，-3）
【解析】【解答】解：A旋转以后的点A' ，分别过A、 A' 作AB⊥x轴于B、 A'C⊥y轴于C，如图
根据旋转的性质： ，
∵
∴
∴
∴OC=OB=3，
∴ （2，-3）
故答案为：（2，-3）.
【分析】A旋转后的点为A′，分别过A、A′作AB⊥x轴于B、A′C⊥y轴于C，根据旋转的性质可得：OA=OA′，∠AOA′=90°，由同角的余角相等可得∠AOB=∠A′OC，证明△AOB≌△A′OC，得到OC=OB=3，CA′=AB=2，据此可得点A′的坐标.
23．如图，在中，，点D在上，点E在上，点B关于直线的轴对称点为点，连接，，分别与相交于F点，G点，若，则的长度为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，又由轴对称性质知：∠B'=∠B，∴∠A=∠B'，∵∠AFD=∠B'FG，∴△AFD∽△B'FG，∴∵AF=8，DF=7，B'F=4，∴，∴GF=3.5，又AC=16，∴CG=AC-AF-GF=16-8-3.5=4.5。
故第1空答案为：4.5.
【分析】先证明△AFD∽△B'FG，根据对应边成比例，求得GF的长，然后根据CG=AC-AF-GF，即可求得CG。
24．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D．若，则S△ACD：SBCD：SABC=
【答案】1：9：10
【解析】【解答】解：∵，∴令AC=x，则BC=3x.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB==.
∵∠ACB=90°， CD⊥AB，
∴△ADC∽△CDB∽△ACB.
∴S△ACD：S△BCD：S△ABC= AC2 ：BC2：AB2 = x2 ：(3x)2 ： ()2=1：9：10.
故答案为：1：9：10
【分析】先根据勾股定理，求得AB的长，然后证明△ADC∽△CDB∽△ACB，进而根据相似三角形的性质即可求得结果.
25．如图，在 中， ，则图中相似三角形共有 对.
【答案】6
【解析】【解答】解：在△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，
∴△AEF，△AGH，△AIJ，△ABC中的任意两个三角形都相似.
∴相似三角形共有6对.
故答案为：6.
【分析】 根据平行于三角形的一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似 ，即可求解.
26．如果点P（m+3，m﹣2）在y轴上，那么m＝ ．
【答案】-3
【解析】【解答】解：∵P（m+3，m﹣2）在y轴上，
∴m+3＝0，得m＝﹣3．
故填：﹣3．
【分析】根据外周上点坐标的特征得到m+3等于零，求出m的值即可。
27．已知 ∽ ，且面积比为 ，若 的周长为 ，则 的周长是 .
【答案】24
【解析】【解答】∵ ∽ ，且面积比为 ，
∴相似比为 ，
∵ 的周长为 ，
设 的周长为x，
∴ ，
∴ ；
故答案是24.
【分析】由三角形相似的性质知，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，设 的周长为x，据此列式计算即可.
28．如图，把△DEF沿DE平移到△ABC的位置，它们重合部分的面积是△DEF面积的，若AB=6，则△DEF移动的距离AD= .
【答案】
【解析】【解答】解：设AC交EF于点H
由平移性质可得，AH∥DF，AD=BE
∴△EAH∽△EDF
∴
∵它们重合部分的面积是△DEF面积的
∴
∴
设AE=3k，DE=4k
∵AB=DE=6
∴4k=6
解得：
∴
故答案为：
【分析】设AC交EF于点H，根据平移性质可得AH∥DF，AD=BE，再根据相似三角形判定定理可得△EAH∽△EDF，则，再根据三角形面积可得，则，设AE=3k，DE=4k，根据边之间的关系建立方程，解方程可得k值，再根据边之间的关系即可求出答案.
29．已知x，y都是实数，且，则的算术平方根是 ．
【答案】9
【解析】【解答】，
，则，
故的算术平方根是：9．
故答案为9．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得，求出x的值，再将x的值代入求出y的值，然后将x、y的值代入计算即可。
30．如图的红叶，A，B，C三点在同一直线上，B为AC的黄金分割点（AB>BC)，若AC的长度为10cm，则BC的长度为 .（结果保留根号）
【答案】（15－5）cm
【解析】【解答】∵点B为AC的黄金分割点，
∴，
∵AC=10cm，
∴AB=×10=cm，
∴BC=AC-AB=10-（）=15-cm，
故答案为：（15-）cm，
【分析】利用黄金分割的性质可得，再将数据代入求出AB的长，最后利用线段的和差求出BC的长即可.
31．一元二次方程 的根为 ．
【答案】
【解析】【解答】a=1，b= 3，c=1，
∵△=9 4=5，
∴
故答案为
【分析】利用公式法求解即可。
32．若x，y为实数，且满足，则的值是 ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：1．
【分析】根据非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0，即可分别列出关于x，y的方程并求出x，y的值，并将x，y的值代入即可求出结果.
33．在平面直角坐标系中，已知点在轴上，则 ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵点在轴上，
∴m-1=0，
∴m=1，
故答案为：1.
【分析】根据x轴上的点坐标的特征可得m-1=0，再求出m的值即可.
34．定义：点P与图形W上各点连接的所有线段中，若线段PA最短﹐则线段PA的长度称为点P到图形W的距离，记为d（P，图形W）.例如，在图1中，原点与直线的各点连接的所有线段中，线段OA最短，长度为3，则 d（O，直线）.特别地，点P在图形W上，则点P到图形的距离为0，即 d（P，图形W）.
①在平面直角坐标系中，原点与直线的距离 ；
②如图2，点P的坐标为且，则 .
【答案】0；3或 7
【解析】【解答】解：①∵点O在直线y=x上，
∴点O到直线y=x的距离为0，
即，
故答案为：0；
②设直线分别交y轴、x轴于点A、B，过点P作直线的垂线，垂足为C，如图，
在中，令x=0，则y= 2；令y=0，得x=1，
即A(0， 2)，B(1，0)，
∴OA=2，OB=1，
∵∠AOB=∠PCA=90°，∠OAB=∠CAP，
∴△AOB∽△ACP，
∴，
即AC=2PC，
∵，
∴，则，
由勾股定理得：，
∵P(0，m)，
∴，
∴，
解得：m=3或m= 7，
故答案为：3或 7.
【分析】①根据题意知，点O在直线y=x上，则可得出点O到图形的距离0；
②设直线分别交y轴、x轴于点A、B，过点P作直线y=2x-2的垂线，求得直线与两坐标轴的交点坐标，再证明△AOB∽△ACP，根据相似比的性质求出AC=2PC，再由勾股定理求出AP长，结合，依此建立方程求解，即可解决问题.
35．如图，在四边形ABCD中， ∥AD与 BC的和是12，点 E，F，G分别是 BD，AC，DC的中点，则 的周长是 .
【答案】9
【解析】【解答】解：如图，连结BF并延长，交DC于点M
∵点F是AC的中点
∴AF=CF
∵AB∥CD
∴∠BAF=∠MCF
在△ABF和△CMF中
∠BAF=∠MCF
AF=CF
∠AFB=∠CFM
∴△ABF≌△CMF（SAS）
AB=CM=5，BF=MF
∵点E是BD的中点
∴EF是△BDM的中位线
∴
∴DM=DC-CM=DC-AB=11-5=6
∴EF=3
∵点E、G是BD、DC的中点
∴EG是△BDC的中位线
∴
∵点F、G是AC、DC的中点
∴FG是△ACD的中位线
∴
∴
∴的周长 =EF+EG+FG=3+6=9
故答案为：9.
【分析】
本题主要运用了三角形中位线的判定和性质；全等三角形的判定和性质。辅助线是连结BF，并延长交DC于点M，先证明△ABF和△CMF全等，得到AB=CM，再利用线段和差求出DM，再利用三角形中位线求出EF和（EG+FG），即可得到 △EFG的周长 .
36．如图，△ABC是等边三角形，AB=6，AD是BC边上的中线．点E在AC边上，且∠EDA=30°，则直线ED与AB的位置关系是 ，ED的长为 ．
【答案】平行；3
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线．
∴∠BAD=∠CAD=30°，BD=DC，AD⊥BC，
∵∠EDA=30°，
∴∠DAE=∠EDA=30°，∠EDC=∠C=60°，
∴AE=DE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥AB，DE=AB=3，
故答案为：平行；3．
【分析】根据等边三角形性质可得∠BAD=∠CAD=30°，BD=DC，AD⊥BC，再根据三角形中位线判定定理可得DE是△ABC的中位线，有直线平行判定定理及三角形中位线定理即可求出答案.
37．如图，在 中，对角线 ， 相交于点O，点E是边 的中点.已知 ，则 .
【答案】5
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC的中点，
又∵点E是AB的中点，
∴EO是△ABC的中位线，
∴EO＝ BC＝5.
故答案为：5.
【分析】由平行四边形的性质可得：点O是AC的中点，结合点E是AB的中点，可推出EO是△ABC的中位线，然后根据中位线的性质进行求解.
38．如图，在平面直角坐标系中， OABC的顶点A在x轴的正半轴上，C为（2，4），CD⊥AB于点D，反比例函数y＝ 恰好经过点C，D，则点D的坐标为 .
【答案】（8，1）
【解析】【解答】解：延长BC，交y轴于H，过D点作EF⊥x轴于F，交BC于E，
∵反比例函数y＝ 经过C（2，4），
∴k＝2×4＝8，
∴y＝ ，CH＝2，OH＝4，
设D（m， ），
∴EH＝m，DF＝ ，
∴CE＝m﹣2，ED＝4﹣ ，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OC∥AB，BC∥OA，
∵CD⊥AB，
∴CD⊥OC，
∴∠OCH+∠ECD＝90°，
∵∠OCH+∠HOC＝90°，
∴∠HOC＝∠ECD，
∵∠OHC＝∠CED＝90°，
∴△HOC∽△ECD，
∴ ，即 ，
解得，m1＝8，m＝2（舍去），
∴D（8，1），
故答案为（8，1）.
【分析】延长BC，交y轴于H，过D点作EF⊥x轴于F，交BC于E， 根据待定系数法求得反比例函数的解析式，设D（m，），根据平行四边形的性质得出EH＝m，DF＝，由线段的构成可得CE＝m 2，ED＝4 ，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得△HOC∽△ECD，可得比例式，即，解方程可求得m的值，即可求得D的坐标．
39．计算 的结果是 .
【答案】
【解析】【解答】解：
故答案为： .
【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
40．方程的两个根为、，则的值等于 ．
【答案】3
【解析】【解答】解：根据题意得，，
所以===3．
故答案为：3．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解.
41．如图，邻边不等的矩形花园ABCD，它的一边AD利用已有的围墙（墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是18m，若矩形的面积为36m2，则AB的长度是 m．
【答案】3
【解析】【解答】解：设AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m．
根据题意可得，x（18﹣2x）＝36．
解得x1＝6（舍去），x2＝3．
∴AB的长为3m．
故答案是：3．
【分析】设AB＝xm，则BC＝（18﹣2x）m，根据题意列出方程x（18﹣2x）＝36，求出x的值即可。
42．如图，矩形中，，点P在对角线上，过点P作，交边于点M，N，过点M作交于点E，连接．下列结论：①；②四边形的面积不变；③当时，；④的最小值是20．其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】②③④
【解析】【解答】解：∵，，
∴NP=MP，
∵点P移动，
∴NP=MP不一定成立，①错误；
延长ME交CB于点P，如图所示：
∴四边形ABPM为矩形，
由勾股定理得，
∵，，
∴∠EDM+∠DEM=∠NME+∠PEM=90°，
∴∠NME=∠EDM，
∴△BAD∽△NPM，
∴，
∴，
∴，②正确；
∵BA∥EM，
∴△BAD∽△EMD，
∴，
∴EM=4，
易证△BAD∽△EPM，
∴，
∴，③正确；
由题意得，
∴要求BM+ND最小，
作B、D关于DA、CB的对称点，如图1所示：
将图1中的平移至图2中的位置，使，连接，如图2所示：
∴BM+ND的最小值为，
由题意得，
∴由勾股定理得，
∴的最小值是20，④正确；
故答案为：②③④
【分析】根据等腰三角形的性质结合题意即可判断①；延长ME交CB于点P，根据矩形的性质结合勾股定理即可得到DB的长，进而结合题意运用相似三角形的判定与性质证明△BAD∽△NPM即可得到，再代入数值即可得到，再根据即可判断②；先证明△BAD∽△EMD，进而得到EM=4，易证△BAD∽△EPM，进而根据相似三角形的性质结合题意即可判断③；先根据题意即可得到要求BM+ND最小，作B、D关于DA、CB的对称点，将图1中的平移至图2中的位置，使，连接，进而即可得到BM+ND的最小值为，，从而运用勾股定理即可判断④。
43．如图，正方形中，E、F分别为、边的中点，连接，将正方形折叠，使点C落在上点P的位置，折痕交于点G，若，则的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2a，
∵ E，F分别AD，BC边的中点，
∴ DE=CF，
∵ DE∥CF，∠D=90°，
∴ 四边形CDEF为矩形，
∴ EF∥CD，
∴，
∴ BG=GQ，
∵ ∠BPQ=90°，
∴ BG=GQ=PG，
∴ 在Rt△BFG中，BG=，BF=a，GF=，
∴ 在Rt△BPF中，BP=2a，BF=a，PF=PG+GF=+，
由勾股定理得，PB2=PF2+BF2，
即4a2=a2+(+)2，
解得，a=-1（舍去）或a=1，
∴ PF=+=+=，
∴ EP=2a-=.
故答案为：.
【分析】设正方形的边长为2a，根据正方形的性质可推出DE=CF， DE∥CF，根据矩形的判定和性质可得 EF∥CD，再根据平行线分线段成比例可得，可得BG=GQ，根据直角三角形的斜边中线性质可得BG=GQ=PG，再根据勾股定理可得GF=，再根据勾股列等式4a2+(+)2，求出a的值，即可得PF，而EP=2a-PF，即可求得.
44．如图，在 中，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD、BE交于点G， ，则S△DGF：S四边形FGEC= ．
【答案】
【解析】【解答】解：连接DE．
∵AD、BE分别是BC、AC边上的中线，
∴BD=DC，AE=EC， DE∥AB，
，
∵GF∥AC，
，
设 则
设 则
为 的中点，
故答案为
【分析】连接DE，由BD=DC，AE=EC，推出DE//AB，推出DG：AG=DE：AB=1：2，由GF//AC，推出△DGF∽△DAC，推出，即可解决问题。
45．如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在c轴上“猫”耳尖E在y轴上.若“猫”尾巴尖A的横坐标为1，则“猫”爪尖F的坐标为 .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，作AH⊥x轴于H，过点F作FJ⊥y轴于J交PQ于K，延长PQ交OB于T．设大正方形的边长为4a，则OC＝a，CD＝2a，
在Rt△ADH中，∠ADH＝45°，
∴AH＝DH＝a，
∴OH＝4a，
∵点A的横坐标为1，
∴4a＝1，
∴，
在Rt△FPQ中，PF＝FQ＝2a，
∴PQPF，
∵FK⊥PQ，
∴PK＝KQ，
∴FK＝PK＝QK，
∵KJ，PT＝1+()，
∴FJ， KT＝PT﹣PK，
∴F(，)．
故答案为：(，)．
【分析】如图，过点A作AH⊥x轴于点H，过点F作FJ⊥y轴于点J交PQ于点K，延长PQ交OB于点T．设大正方形的边长为4a，则OC＝a，CD＝2a，根据点A 的横坐标为1，由4a＝1可求出a，然后再解直角三角形求出FJ，KT，最后根据F在第二象限，从而可确定F点的坐标即可解答．
46．已知矩形AOBC的边AO、OB分别在y轴、x轴正半轴上，点C的坐标为（8，6），点E是x轴上任意一点，连接EC，交AB所在直线于点F，当△ACF为等腰三角形时，EF的长为 ．
【答案】5或 或
【解析】【解答】解：△ACF为等腰三角形有三种情况：
①如图①，当AF＝CF时，点E与点O重合，
由题意得OB＝8，BC＝6，
∴由勾股定理得OC＝10，
∵四边形AOBC为矩形，
∴EF＝5；
②如图②，当AF＝AC＝8时，
由①可知OC＝10，
∵四边形AOBC为矩形，
∴AB＝OC＝10，AC∥OB，
∴△AFC∽△BFE，
∴ ＝ ＝ ，
∴BE＝BF＝10﹣8＝2，
∴在Rt△BCE中，由勾股定理得：CE＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝4，
∴EF＝ CE＝ ；
③如图③，当CF＝AC＝8时，过点C作CD⊥AF于点D，
∴AD＝DF，
∵AC＝8，BC＝6，AB＝10，
∴CD＝ ＝ ，
∴在Rt△ACD中，由勾股定理得：AD＝ ＝ ，
∴BD＝AB﹣AD＝10﹣ ＝ ，DF＝AD＝ ，AF＝ ，BF＝DF﹣BD＝ ，
∵AC∥OE，
∴△AFC∽△BFE，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BE＝ ，
∵CF＝AC，
∴EF＝BE，
∴EF＝ ．
综上所述，EF的长为5或 或 ．
故答案为：5或 或 ．
【分析】△ACF是等腰三角形，需要分三种情况进行讨论求解.
47．如图，在平面直角坐标系中，点，点第次向上跳动个单位至点，紧接着第次向右跳动个单位至点，第次向上跳动个单位，第次向左跳动个单位，第次又向上跳动个单位，第次向右跳动个单位，依此规律跳动下去，点第次跳动至点的坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：设第n次跳动至点An，由图可以得出：A（-1，0），A1（-1，1），A2（1，1），A3（1，2），A4（-2，2），A5（-2，3），A6（2，3），A7（2，4），A8（-3，4），A9（-3，5），A10（3，5），…，
∴A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数），
∵2023＝505×4+3，
∴A2023（505+1，505×2+2），
即A2023的坐标是（506，1012）．
故答案为：（506，1012）.
【分析】设第n次跳动至点An，根据题意得出点运动的规律写出对应点的坐标，然后探究得出An坐标的变化规律：“A4n（-n-1，2n），A4n+1（-n-1，2n+1），A4n+2（n+1，2n+1），A4n+3（n+1，2n+2）（n为自然数）”，由2023＝505×4+3即可得出点A2023的坐标．
48．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，给出如下定义：点M，N之间的“直角距离”为．已知点，，．
（1）A与B两点之间的“直角距离” ；
（2）点为平面直角坐标系内一动点，且满足，则n的取值范围 ．
【答案】5；
【解析】【解答】解：（1）A与B两点之间的“直角距离”；
故答案为：5；
（2），且，
①当时，，
∴，
由绝对值的几何意义得：，
解得：，符合题意；
②时，，
∴，
由绝对值的几何意义得：则，
解得：，符合题意；
③时，则，
∴，
∵，
∴，
当点P在点B上方时，则，
解得：（舍）；
当点P在点B和点C之间时，则，
∴，
解得：，
当点P在点C下方时，则，
解得：（舍），
∴综上：．
故答案为：．
【分析】（1）利用“ 直角距离 ”的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）分类讨论： ①当时，； ②时，； ③时，则， 求出；再分类： 当点P在点B上方时，则； 当点P在点B和点C之间时，则；当点P在点C下方时，则，再求出n的取值范围即可.
49．在正方形ABCD中，AB＝4 ，E为BC的中点，连接AE，点F为AE上一点，且EF＝2.FG⊥AE交DC于G，将FG绕着点G顺时针旋转，使得点F恰好落在AD上的点H处，过点H作HN⊥HG，交AB于N，交AE于M，则S△MNF＝ .
【答案】
【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC=4 ，
∵E为BC的中点，
由勾股定理得：
∵EF=2，
∴AF=10-2=8，
过F作PQ∥BC，交AB于P，交CD于Q，
∴△APF∽△ABE，
∵∠AFG=90°，
易得△APF∽△FQG，
由旋转得：FG=HG，
∴DH2+DG2=QG2+FQ2，
∴DH=4，
∵∠NHG=90°，
同理△NAH∽△HDG，
过M作MK⊥AB于K，
∵∠ANH=∠GHD，
设 ，NK=4x，
∵MK∥BE，
∵AN=AK+KN，
故答案为：
【分析】利用正方形的性质及勾股定理可得AE的长，从而的出AF=8.过F作PQ∥BC，交AB于P，交CD于Q，易证△APF∽△ABE，利用相似三角形的性质可求出PF、AP的长，从而求出BP、CQ、DG的长，根据旋转的性质可勾股定理可求出DH=4，从而可得AH的长，同理求出AN的长.过M作MK⊥AB于K，可得tan∠ANH=tan∠GHD=，设 ，NK=4x，从而可得出MK=x，由AN=AK+KN，可求出x的值，由S△MNF=S△ANF-S△AMN，利用三角形的面积公式计算即可.
50．如图，在中，，，点为线段的三等分点，过点作，交射线于点，连接，则的长为 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：当点是靠近点 的三等分点时，如图，过点作于点，
，，
，
，
，，
，
∽，∽，
，，
，
，
，
四边形是矩形，
；
当点是靠近点的三等分点时，如图，过点作于点，作于点，
，
四边形是矩形，
，，
由知∽，∽，
，，
设，则，
，
，
，
，
在中，，
故答案为：或．
【分析】分两种情况进行分类讨论：当点是靠近点 的三等分点时，如图，过点作于点，利用等腰三角形的性质以及勾股定理求得CH=8，再证明∽，∽，利用相似三角形的性质求得，再证明四边形是矩形，根据矩形的性质即可求解；
当点是靠近点的三等分点时，如图，过点作于点，作于点，先证明四边形是矩形，得到，，再利用相似三角形的性质得到，，设，则，利用线段的和差关系求得，再利用勾股定理即可求解；综上两种情况，从而求解.
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