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【解答题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学九年级上册期中试卷
1．计算：
2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义：当点Q满足时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，4）．
（1）在（2，1），（-4，-1），（8，2）中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
（3）已知点和点M（4，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．
3．如图，有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD，长120cm，宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等（AE=BF），另外一边是AE的 倍(即CD与MN之间的距离).求这块台布的长和宽.
4．如图，在平行四边形中，，点、是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点．
（1）求的长；
（2）设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示）
5．如图，在正方形ABCD中，以BC为边在正方形内部作等边△BCE，CE与正方形的对角线BD交于点F，连接DE.
（1）求∠DEC的度数.
（2）求证：DE2=EF·EC.
6．小明在解决问题：已知，求2a2-8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵
∴，∴（a-2）2＝3，a2-4a+4＝3
∴a2-4a＝-1，∴2a2-8a+1＝2（a2-4a）+1＝2×（-1）+1＝-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）＝ ，＝ ．
（2）化简：．
（3）若，请按照小明的方法求出4a2-8a+1的值．
7．如图所示是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，AB⊥BC于点B，CE⊥BC于点C，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，求河宽AB.
8．用纸折出黄金分割点：如图，裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB与线段EA重合，点B落在点B'上，因而EB'=EB．类似地，在AB上折出点B"，使AB"=AB'．这时点B'就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
9．若 ，且x+2y+z=36，分别求x、y、z的值．
10．如图，在中，点D，E分别在边AC，AB上且，连结DE，BD.
（1）求证：.
（2）若点E为中点，的面积为18，求的面积.
11．已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
12．在平面直角坐标系中，已知点．根据下列条件回答问题：
（1）当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标；
（2）当点M在第四象限的角平分线上，求a的值；
（3）若经过点M，的直线与x轴平行，且，求点M，N的坐标．
13．为了加快城市发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得 DE∥BC .经测量BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为90米，已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度
14．已知 ，求 的值．
15．在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标；
（2）将点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点，若点在第三象限，且点到轴的距离为，求点的坐标．
16．如图， ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．
17．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出关于的不等式的解集：___________；
（3）连接，，求的面积．
18．关于的方程．
（1）已知，异号，试说明此方程根的情况；
（2）若该方程的根是，，试求方程的根．
19．已知关于的一元二次方程中，．
（1）解：，，
，
，此时 ．
（2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求方程的根．
20．如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
（1）点表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ▲ ；
②求的值；
（3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。
21．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价x（元） 20 25 30
销售量y（件） 200 150 100
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
22．某商场销售一种名牌衬衣，每天可售出 件，每件盈利 元，为扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降低措施，经调查发现，如果每件衬衣每降 元，商场平均每天可多售出 件，若商场平均每天要盈利 元，每件衬衣应降价多少元？
23．（1）
（2）
（3）
（4）．
24．关于x的方程x2+4x+m+2＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
25．如图，路灯（ 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（ 点 ）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了；变长或变短了多少米．
26．如图，在矩形ABCD中，AB：BC=1：2，点E在AD上，且ED=3AE．
（1）求证：△ABC∽△EAB．
（2）AC与BE垂直吗？请说明理由．
27．已知关于 的一元二次方程 ．
（1） 当 时，求一元二次方程 的解．
（2）求证： 无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
28．用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为的墙，另三边用竹栅栏围成，宽度都是，设与墙垂直的一边长为．
（1）当时，矩形菜园面积是，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？
29．若关于x的一元二次方程有实数根，求m能取的正整数值．
30．用一根长为 的铁丝，围成一个矩形 ，请用所学的方程或函数知识解答：矩形 的面积是否可以为 ？若能，请求出该矩形的边长；若不能，请说明理由．
31．如图，的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的周长．
32．如下图，这是莱校的平面示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），以实验楼、高中楼所在直线为x轴建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示各位置
操场 ．初中楼 ．图书馆 ．实验楼 ．高中楼 ．校门 ．
33．第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其吉祥物“江南忆”为一组机器人，这组机器人分别命名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．而由它们组成的“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款．
某商场经销这种玩具套件，每套成本为55元．经市场调研发现，该套件平均每月的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其中部分对应值如下表所示：
销售单价x（元） 60 66 70 72 86
月销售量y（件） 300 276 260 252 196
（1）求y与x的关系式；
（2）物价部门规定该种玩具套件的销售单价不能超过95元，该商场要想使这种商品的销售利润平均每月达到6300元，套件的销售单价应定为多少元？
（3）该套件平均每月的销售利润可能是6500元吗？请说阴理由．
34．如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果．
35．如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，已知，．
（1）若，求的长．
（2）若，求的长．
36．如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形 的面积为216平方米，求 边各为多少米？
37．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比.
38．解答下列各题
（1）已知y与成正比例，当时，；①求y与x的函数关系式；②当时，求y的值．
（2）已知，，求的值；
39．在解方程x2-9=2(x-3)的过程，嘉洪同学的解答如下：
解：将方程左边分解因式，得(x+3)(x-3)=2(x-3)，……第一步
方程两边都除以(x-3)，得x+3=2，……第二步
解得x=-1.……第三步
（1）已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 ；
（2）请给出正确的解答过程.
40．如图①，在正方形ABCD中，AB＝4．点P从点D出发，沿折线DA-AB以每秒2个单位长度的速度向B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当点P不与点D、B重合时，作点P关于直线DB的对称点P'，连结PP'、P′Q、PQ．设点P的运动时间为t秒．
（1）当PQ∥AB时，求t的值；
（2）当点P′与点Q重合时，求t的值；
（3）当P′Q＝1时，t的值为 ；
（4）如图②，点E为PQ中点，连接P′E，当P′E与正方形ABCD的边平行时，则t的值为 ．
41．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点M，D分别在OA ，AB上，且AD=AM=2．一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y= 的图象经过点D，与BC交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且使四边形OMDP的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
42．在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段；②将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“青一对称点”．例如：点关于轴和直线的“青一对称点”为点．
（1）点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是________；
（2）点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是，求和的值；
（3）若点关于轴和直线的“青一对称点”在第二象限，且满足条件的的整数解有且只有一个，求的取值范围．
43．如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 边想向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒后 和 相似？
44．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）点P是反比例函数上一点，轴交直线于Q，且，直接写出P点坐标．
45．如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当时， ， ；（请直接写出答案）
（2）当为何值时，是直角三角形；（写出解答过程）
（3）求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．
46．如图，在斜坡顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点E处，其影子EF在直线DE上，小华站在点G处，影子GH在直线CD上，他们的影子长分别为2 m和1 m．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华身高均为1.6 m，那么塔高AB为多少？
47．如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．
48．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若AB=AD，EC=1，∠BAE=30°，求AD的长；
（2）如图2，若AD=AE，连接DE，过点A作AF⊥AB交ED于点F，在AB上截取AG=AF，连接DG，交AE于点N，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH=DH；
（3）在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5 ，AH=2 ，请直接写出点C到直线DE的距离．
49．如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接．
（1）如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明；
（2）当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
50．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
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【解答题强化训练·50道必刷题】华东师大版数学九年级上册期中试卷
1．计算：
【答案】解：原式=
=1
【解析】【解答】解：原式=-3+1+2
=1
【分析】根据二次根式的化简以及运算性质，计算得到答案即可。
2．在平面直角坐标系xOy中，对于点P，给出如下定义：当点Q满足时，称点Q是点P的等积点．已知点P（1，4）．
（1）在（2，1），（-4，-1），（8，2）中，点P的等积点是 ．
（2）点Q是P点的等积点，点C在x轴上，以O，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形，求点C的坐标．
（3）已知点和点M（4，m），点N是以点M为中心，边长为2且各边与坐标轴平行的正方形T上的任意一点，对于线段BN上的每一点A，在线段PB上都存在一个点R使得A为R的等积点，直接写出m的取值范围．
【答案】（1），
（2）解：如图1，
设Q（x，y），
∵点Q（x，y）是点P（1，4）的等积点，
∴x＝4y，
∴y＝x，
∴Q（x，x），
作QD⊥x轴于点D，延长OP交y轴于F，故PF⊥y轴于点F，则OF＝4，PF＝1，
∵四边形OCQP是平行四边形，
∴，，CQ＝OP，
∵∠QDC＝∠OFP＝90°，∠QCD＝∠COP＝∠OPF，
∴△QDC≌△OFP（AAS），
∴QD＝OF＝4，CD＝PF＝1，
若点Q在x轴上方，则x＝4，
∴x＝16，
∴＝16-1＝15；
若点Q在x轴下方，则-x＝4，
∴x＝-16，
∴＝-16+1＝-15，
综上所述，点C的坐标为（15，0）或（-15，0）．
（3）解：m的取范围是≤m≤5
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得，，
∴点P的等积点是，.
（2）解：如图1，
设Q（x，y），
∵点Q（x，y）是点P（1，4）的等积点，
∴x＝4y，
∴y＝x，
∴Q（x，x），
作QD⊥x轴于点D，延长OP交y轴于F，故PF⊥y轴于点F，则OF＝4，PF＝1，
∵四边形OCQP是平行四边形，
∴，，CQ＝OP，
∵∠QDC＝∠OFP＝90°，∠QCD＝∠COP＝∠OPF，
∴△QDC≌△OFP（AAS），
∴QD＝OF＝4，CD＝PF＝1，
若点Q在x轴上方，则x＝4，
∴x＝16，
∴＝16-1＝15；
若点Q在x轴下方，则-x＝4，
∴x＝-16，
∴＝-16+1＝-15，
综上所述，点C的坐标为（15，0）或（-15，0）．
（3）设正方形T的四个顶点分别为E、F、G、H，则E（3，m+1），G（5，m-1），
由（2）可知点P的等积点在直线y＝x上，
设B（1，）的等积点的坐标为（x，y），则x＝y，
∴y＝2x，
可知点B的等积点在直线y＝2x上，
∴点R的等积点A应在直线y＝x与直线y＝2x于第一象限交成的锐角的内部或边上，
如图2，
当点G（5，m-1）在直线y＝x上，则m的值最小，
∵m-1＝×5，
∴m＝；
如图3，
当点E（3，m+1）在直线y＝2x上，则m的值最大，
∵m+1＝2×3，
∴m＝5，
∴m的取范围是≤m≤5．
【分析】（1）根据题意列出等式即可求出.
（2）设Q（x，y），点Q（x，y）是点P（1，4）的等积点，表示出Q，作QD⊥x轴于点D，延长OP交y轴于F，故PF⊥y轴于点F，则OF＝4，PF＝1，证明△QDC≌△OFP（AAS），分情况讨论若点Q在x轴上方和点Q在x轴下方.
（3）设正方形T的四个顶点分别为E、F、G、H，则E（3，m+1），G（5，m-1），
由（2）可知点P的等积点在直线y＝x上，当点G（5，m-1）在直线y＝x上，则m的值最小，当点E（3，m+1）在直线y＝2x上，则m的值最大，求出m的取值范围.
3．如图，有一张边AB靠墙的长方形桌子ABCD，长120cm，宽60 cm.有一块长方形台布EFMN的面积是桌面面积的2倍，并且如图所示铺在桌面上时，三边垂下的长度中有两边相等（AE=BF），另外一边是AE的 倍(即CD与MN之间的距离).求这块台布的长和宽.
【答案】解：设下垂长度 为 ，则 ，
由题意可知CD与MN之间的距离为 ，
根据题意得
化简可得：
由十字相乘法可化为：
解得： （不符合题意，舍去）
∴ ；
答：这块台布的长为160cm，宽为90cm.
【解析】【分析】设BF=x，用含x的代数式表示出AE和CD与MN之间的距离，从而可表示出EF，EN的长，再根据矩形EFMN的面积是桌面面积的2倍，列方程，解方程求出x的值，然后求出 这块台布的长和宽。
4．如图，在平行四边形中，，点、是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点．
（1）求的长；
（2）设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示）
【答案】（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD// BC，AD=BC.
∵BE=EF=FD，AD=BC=6
（2）解：∵AD//BC，
∴△BEG∽△DEA， △HFD∽△GFB.
.
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质及平行线分线段成比例的性质可得，再将数据代入求出DH的长即可；
（2）先证出△BEG∽△DEA， △HFD∽△GFB，可得，再将数据代入求出即可.
5．如图，在正方形ABCD中，以BC为边在正方形内部作等边△BCE，CE与正方形的对角线BD交于点F，连接DE.
（1）求∠DEC的度数.
（2）求证：DE2=EF·EC.
【答案】（1）解：∵△BCE是等边三角形，
∴∠BCE=60°，EC=BC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°，BC=CD，
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=30°，
又∵EC=BC=CD，
∴∠DEC=（180°-∠DCE）÷2=（180°-30°）÷2=75°.
（2）证明：∵CE=CD，
∴∠DEC=∠CDE=75°，
∴BD是正方形的对角线，
∴∠CDF=45°，
∴∠DFE=∠DCE+∠CDF=30°+45°=75°，
∴∠DFE=∠CDE，
又∵∠DEF=∠CED，
∴△EDF∽△ECD，
∴，
即：
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三个角是60°，三条边相等可得∠BCE=60°，EC=BC，根据正方形四个角是90°，四条边相等可得∠BCD=90°，BC=CD，求得∠DCE=30°，根据等边对等角和三角形内角和是180°即可求解；
（2）根据正方形的对角线平分对角可得∠CDF=45°，结合（1）中结论求得∠DFE=75°，根据有两个角对应相等的两个三角形是相似三角形，相似三角形的对应边之比相等即可证明.
6．小明在解决问题：已知，求2a2-8a+1的值．
他是这样分析与解的：∵
∴，∴（a-2）2＝3，a2-4a+4＝3
∴a2-4a＝-1，∴2a2-8a+1＝2（a2-4a）+1＝2×（-1）+1＝-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）＝ ，＝ ．
（2）化简：．
（3）若，请按照小明的方法求出4a2-8a+1的值．
【答案】（1）；
（2）解：原式＝
＝（-3+11）
＝4
（3）解：a＝，
∴a-1＝，
∴（a-1）2＝2，a2-2a+1＝2，
∴a2-2a＝1，
∴原式＝4（a2-2a）+1＝4×1+1＝5．
【解析】【解答】（1）；；
故答案为：；；
【分析】（1）利用分母有理化的计算方法分析求解即可；
（2）先利用分母有理化化简可得，再求解即可；
（3）先利用分母有理化求出，再将其代入4a2-8a+1计算即可.
7．如图所示是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，AB⊥BC于点B，CE⊥BC于点C，测得BD＝150m，DC＝75m，EC＝60m，求河宽AB.
【答案】解：∵AB⊥BC，CE⊥BC
∴∠ABD=∠ECD=90°
∵∠ADB=∠CDE
∴△ABD∽△ECD
∴即.
解之：AB=120.
答：河宽为120m.
【解析】【分析】利用垂直的定义可证得∠ABD=∠ECD，图形中隐含对顶角相等，由此可推出△ABD∽△ECD；然后利用相似三角形的对应边成比例，即可求出AB的长.
8．用纸折出黄金分割点：如图，裁一张正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB与线段EA重合，点B落在点B'上，因而EB'=EB．类似地，在AB上折出点B"，使AB"=AB'．这时点B'就是AB的黄金分割点．请你证明这个结论．
【答案】证明：设正方形ABCD的边长为2，则BE=1，
∴AE==．
又∵B'E=BE=1，
∴AB'=AE-B'E=-1．
∴AB"=AB'=-1，
∴AB"： AB=(-1)：2，即点B”是线段AB的黄金分割点．
【解析】【分析】由勾股定理求出AE=，可得AB'=AE-B'E=-1，即得AB"=AB'=-1，从而求出AB"： AB的值，根据结果即可判断.
9．若 ，且x+2y+z=36，分别求x、y、z的值．
【答案】解：设 =k，
∴x=2k，y=3k，z=4k，
代入x+2y+z=36得：2k+6k+4k=36，
解得：k=3，
所以x=6，y=9，z=12．
【解析】【分析】设 =k，可得x=2k，y=3k，z=4k，然后代入x+2y+z=36中求出k的值，即可得出答案．
10．如图，在中，点D，E分别在边AC，AB上且，连结DE，BD.
（1）求证：.
（2）若点E为中点，的面积为18，求的面积.
【答案】（1）
在和中，
（两边对应成比例且夹角相等的三角形相似）
（2）设
又点E是AB的中点
由题（1）知
又
又和的边，且边上对应的高是同一条高
的面积为9.
【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定定理和性质，熟记判定定理和性质是解题关键.
（1）根据可得，又因，由相似三角形的判定定理即可证；
（2）设，根据得，由点E是AB的中点得，可求出的值，根据相似三角形的面积比等于对应边的比的平方可得的面积，因等底等高得，的面积等于的面积，从而可得答案.
11．已知关于x的方程．
（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；
（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长是多少？
【答案】（1）证明：Δ＝（2k+1）2﹣4×4（k）
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，此方程总有实数根
（2）解：①当b＝c时，Δ＝（2k﹣3）2＝0，
解得k，
方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，
∵2+2＝4，
∴此种情况不成立；
②当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k）＝0，
解得：k，
方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，
即三边为4，4，2，能够成三角形，
则周长＝4+4+2＝10，
所以这个等腰三角形的周长是10
【解析】【分析】(1)先计算判别式的值得到Δ=4k2-12k+9，配方得到Δ=(2k-3)2，根据非负数的性质易得Δ≥ 0，则根据判别式的意义即可得到结论；
(2)分类讨论：当b=c时，则Δ=(2k-3)2=0，解得，然后解方程得到b=c=2，根据三角形三边关系可判断这种情况不符合条件；当a=b=4或a=c=4时，把x=4代入方程可解得k的值，则代入方程可解答.
12．在平面直角坐标系中，已知点．根据下列条件回答问题：
（1）当点M在x轴或y轴上时，分别求出点M的坐标；
（2）当点M在第四象限的角平分线上，求a的值；
（3）若经过点M，的直线与x轴平行，且，求点M，N的坐标．
【答案】（1）解：若在轴上，则，
，
，
若在轴上，则，
，
，
在轴上，的坐标是；在轴上，的坐标是；
（2）解：在第四象限的角平分线上，
，
解得，
的值为1.
（3）解：经过点，的直线与轴平行，
，
解得：，
，
，
，
解得或，
或．
【解析】【分析】（1）分类讨论：①若在轴上，则；②若在轴上，则，再求出a的值，从而可得点M的坐标；
（2）利用第四象限的角平分线上点坐标的特征可得，再求出a的值即可；
（3）先求出点M的坐标，再结合MN=5，利用两点之间的距离公式列出方程，求出b的值，从而可得点N的坐标.
（1）解：若在轴上，则，
，
，
若在轴上，则，
，
，
在轴上，的坐标是；在轴上，的坐标是；
（2）解：在第四象限的角平分线上，
，
解得，
的值为1；
（3）解：经过点，的直线与轴平行，
，
解得，
，
，
，
解得或，
或．
13．为了加快城市发展，保障市民出行方便，在流经该市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路.小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该桥AF的长.如图，该桥两侧河岸平行他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选出点B和点C，分别在AB，AC的延长线上取点D，E，使得 DE∥BC .经测量BC=80米，DE=140米，且点E到河岸BC的距离为90米，已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥AF的长度
【答案】解：
如图所示，过E作 于G，
∵AF⊥BC， EG⊥BC，
∴∠EGC=∠AFC=90°，
又∵∠ACF=∠GCE，
∴△ACF∽△ECG，
即：
解得AF=120，
∴桥AF的长度为120米.
【解析】【分析】过E作于G，依据 即可得出 依据，即可得到 进而得出AF的长.
14．已知 ，求 的值．
【答案】解：根据题意得，
解得x=2，
当x=2时，y=，
则
【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件（被开方数是非负数）列出一元一次不等式组，解出x=2，再把x的值代入 所给的等式求出y，即可计算出 的值.
15．在平面直角坐标系中，点的坐标为．
（1）若点在过点且与轴平行的直线上时，求点的坐标；
（2）将点向右平移个单位，再向上平移个单位后得到点，若点在第三象限，且点到轴的距离为，求点的坐标．
【答案】（1）解：点在过点且与轴平行的直线上，
点的横坐标为，
，
解得，
，，
点坐标为；
（2）由题意知的坐标为，
在第三象限，且到轴的距离为，
点的横坐标为，
，
解得，
，
点的坐标为．
【解析】【分析】（1）先利用“点在过点且与轴平行的直线上”可得，求出m的值，再求出，，即可得到点P的坐标；
（2）先求出点M的坐标为，再根据“M在第三象限，且到轴的距离为”可得，求出m的值，即可得到点M的坐标.
16．如图， ABCD中，AE⊥BC于点E，点F在BC的延长线上，且CF＝BE，连接AC，DF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形：
（2）若∠ACD＝90°，AE＝4，CF＝3，求的值．
【答案】（1）证明：∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC．
即 EF＝BC．
在 ABCD中，AD∥BC且AD＝BC，
∴AD∥EF且AD＝EF．
∴四边形AEFD是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEF＝90°．
∴四边形AEFD是矩形
（2）解：∵四边形AEFD是矩形，
∴∠AEC＝∠DFC＝90°，AE＝DF＝4，
∴∠EAC+∠ECA＝90°，
∵∠ACD＝90°，
∴∠ECA+∠DCF＝90°，
∴∠EAC＝∠DCF，
∴△AEC∽△CFD，
∴
∴EC＝2AE＝，
∴
【解析】【分析】（1）根据已知条件先证明四边形AEFD是平行四边形．再证明∠AEF＝90°． 即可求证；
（2）根据矩形的性质以及已知条件证明 △AEC∽△CFD， 利用相似三角形的性质列出比例式求得EC的值，从而求解.
17．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）直接写出关于的不等式的解集：___________；
（3）连接，，求的面积．
【答案】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴点．
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数关系式为；
（2）或
（3）解：如图所示，当时，，所以点；
当时，，所以点．
∴，
∴．
【解析】【解答】
解：（2）当或时．
故答案为：或；
【分析】
（1）、分别将两个点的坐标代入一次函数关系式，可求出两个点的坐标，再将点A代入反比例函数关系式可得答案，解答即可；
（2）、根据反比例函数图象在一次函数的图象上方，可得自变量取值范围，解答即可；
（3）、先求出直线与坐标轴的交点坐标，再根据大三角形的面积减去两个小三角形的面积得出答案，解答即可．
（1）∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴点．
∵反比例函数经过点，
∴，
∴反比例函数关系式为；
（2）当或时．
故答案为：或；
（3）如图所示，当时，，所以点；
当时，，所以点．
∴，
∴．
18．关于的方程．
（1）已知，异号，试说明此方程根的情况；
（2）若该方程的根是，，试求方程的根．
【答案】（1）解：根据题意得：，
∵，异号，，，
∴，
∴此方程有两个不等实数根
（2）解：∵关于的方程的根是，，∴，，
∴，，
∵方程，
∴，即，
∴，
∴或，
解得：或，
∴方程的根为或
【解析】【分析】（1）得到方程的判别式，根据题意得到的取值范围，即可判断方程根的情况；
（2）利用换元法解一元二次方程即可.
（1）解：根据题意得：，
∵，异号，，，
∴，
∴此方程有两个不等实数根；
（2）∵关于的方程的根是，，
∴，，
∴，，
∵方程，
∴，即，
∴，
∴或，
解得：或，
∴方程的根为或．
19．已知关于的一元二次方程中，．
（1）解：，，
，
，此时 ．
（2）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求方程的根．
【答案】（1）1；-2
（2）解：根据题意得，
解得，
原方程化为，
解得．
【解析】【解答】解：（1）∵c-1≥0，1-c≥0，
∴1≤c≤1
∴c=1，b=-2；
（2）根据题意，△=（-2）2-4a×1=0，
解得a=1，
∴原方程化为x2-2x+1=0，即可得到x1=x2=1.
【分析】（1）根据二次根式有意义的条件即可得到c=1，求出b即可；
（2）根据题意，得到方程根的判别式为0，求出a的值，即可得到方程的根。
20．如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点和点，
（1）点表示的数为 ；点B表示的数为 ，线段的长度为 ；
（2）一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，设点表示的数为，
①实数的值为 ▲ ；
②求的值；
（3）在数轴上，还有、两点分别表示，且有与互为相反数，求的平方根。
【答案】（1）；；
（2）解：①；
②
（3）解：因为与互为相反数
所以
因为，
所以
解得或者
当时：没有平方根
当时：
综上，的平方根为
【解析】【解答】解：（1）
面积为2的正方形
点A表示的数为
故第一空填：
面积为3的正方形
点B表示的数为
故第二空填：
线段AB的长度为
故第三空填：
【分析】（1）理解开方的意义，会在数轴上表示数，会求两点间的距离；
（2）掌握用加减法表示数轴上的点的运动，向右为加，向左是减，会借助数轴提示的正负性给绝对值化简；
（3）根据题意，互为相反数的两个数代数和是0，再根据绝对值和算术平方根的非负性计算出m、n的值，代入求平方根即可。
21．当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段．小亮在直播间销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，它们的关系如下表：
销售单价x（元） 20 25 30
销售量y（件） 200 150 100
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）该商家每天想获得2160元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
【答案】（1）解：设商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系y＝kx+b，
根据题意可得：，
解得：，
故y与x之间的函数关系式为：y＝-10x+400；
（2）解：根据题意可得：（-10x+400）（x-10）＝2160，
整理得：x2-50x+616＝0，
（x-28）（x-22）＝0，
解得：x1＝28（不合题意，舍去），x2＝22，
答：应将销售单价定为22元．
【解析】【分析】（1）由于每天的销售量y（件）与销售价格x（元）满足一次函数关系，将表格的值利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）直接利用（1）中所求，再根据每件利润=销售单价－进价，表示出总利润，进而解方程得出答案。
22．某商场销售一种名牌衬衣，每天可售出 件，每件盈利 元，为扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降低措施，经调查发现，如果每件衬衣每降 元，商场平均每天可多售出 件，若商场平均每天要盈利 元，每件衬衣应降价多少元？
【答案】解：设每件衬衣应降价x元，根据题意列方程得，
（40-x）（20+ ×8）=1200，
整理得出：x2-30x+200=0，
（x-20）（x-10）=0，
解得x1=20，x2=10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去），
答：每件衬衣降价20元.
【解析】【分析】根据题中的相等关系“单件衬衣的利润×商场平均每天销售衬衣的数量=商场平均每天的盈利1200 ”列方程，再解这个方程并结合题意即可求解.
23．（1）
（2）
（3）
（4）．
【答案】解：（1）
=
=5－3
=2
（2）
=
=5＋18
=23
（3）
=
=
（4）
=
=5
【解析】【分析】（1）根据平方差公式计算解题；
（2）根据二次根式的乘法公式解答即可；
（3）先利用二次根式的性质化简，再合并同类二次根式解答即可；
（4）先运算完全平方公式和二次根式的化简，然后合并同类二次根式解答即可．
24．关于x的方程x2+4x+m+2＝0有两个不相等的实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】解：由题意得
解得
∵m为正整数
∴
此时，方程为
因式分解得
于是得 或
解得
【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式列出不等式求出m的取值范围，再根据题意列出一元二次方程，利用因式分解法求解求解即可。
25．如图，路灯（ 点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（ 点 ）20米的A点，沿OA所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了；变长或变短了多少米．
【答案】解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，
∴△MAC∽△MOP．
∴ ，即 ，
解得，MA=5米；
同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，
∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米．
【解析】【分析】如图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性质求解．
26．如图，在矩形ABCD中，AB：BC=1：2，点E在AD上，且ED=3AE．
（1）求证：△ABC∽△EAB．
（2）AC与BE垂直吗？请说明理由．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠BAD=∠ABC=90°，
∵ED=3AE ，
∴AE：AD=1：4，
∵AB：BC=AB：AD=1：2 ，
∴AE：AB=1：2，
即，
∵∠BAD=∠ABC=90°，
∴ △ABC∽△EAB．
（2）解：垂直，理由如下：
∵△ABC∽△EAB．
∴∠EBC=∠BAC，
∵∠BAC+∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠EBC=90°，
∴ AC⊥BE.
【解析】【分析】（1）根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行证明即可；
（2）利用相似三角形的性质可得∠EBC=∠BAC，由∠BAC+∠ACB=90°，可得∠ACB+∠EBC=90°，根据三角形内角和顶角即可得解.
27．已知关于 的一元二次方程 ．
（1） 当 时，求一元二次方程 的解．
（2）求证： 无论 为何实数，方程总有两个不相等的实数根．
【答案】（1）当 时，方程可化为 ，
（2）证明： ，
而 ，
对任意实数 ，方程总有两个不相等的实数根．
【解析】【分析】（1）将k=3代入方程，再利用十字相乘法求出一元二次方程的解即可；
（2）利用一元二次方程根的判别式列出不等式求解并证明即可。
28．用长的竹栅栏围一个矩形菜园，菜园的一边靠长为的墙，另三边用竹栅栏围成，宽度都是，设与墙垂直的一边长为．
（1）当时，矩形菜园面积是，求x；
（2）当a足够大时，问矩形菜园的面积能否达到？
【答案】（1）解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，；
当时，．
答：x的值为8或20．
（2）解：令①，
整理得：．
∵，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到．
【解析】【分析】（1）设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为，根据“ 矩形菜园面积是 ”列出方程，再求解即可；
（2）先列出方程，再利用一元二次方程根的判别式（①当△>0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0时，方程有两个相等的实数根；③当△<0时，方程没有实数根）分析求解即可.
（1）解：设与墙垂直的一边长为，则与墙平行的一边长为．
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，；
当时，．
答：x的值为8或20．
（2）令①，
整理得：．
∵，
∴方程①无实数根，
∴矩形菜园的面积不能达到．
29．若关于x的一元二次方程有实数根，求m能取的正整数值．
【答案】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴m能取的正整数值有．
【解析】【分析】由关于x的一元二次方程有实数根，可得△≥0且m-1≠0，据此解答即可.
30．用一根长为 的铁丝，围成一个矩形 ，请用所学的方程或函数知识解答：矩形 的面积是否可以为 ？若能，请求出该矩形的边长；若不能，请说明理由．
【答案】解：设矩形 宽为xm，面积为Sm2
根据题意得，-x2+12x =38，即x2-12x+38=0，
∵△= <0，
∴方程无解，
故矩形 的面积是不可以为 ；
【解析】【分析】设矩形 宽为xm，面积为Sm2，面根据面积公式结合围成矩形的面积是38平方米，即可得出关于x的一元二次方程，根据方程的判别式即可得出结论。
31．如图，的对角线、相交于点，且、、、分别是、、、的中点．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形
（2）解：、分别是、的中点，
，
，
，
的周长．
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，结合中点可得OE=OG，OF=OH，即可得证；
(2)由中位线定理得EF的长，即可得△OEF的周长.
32．如下图，这是莱校的平面示意图（图中每个小正方形的边长为1个单位长度），以实验楼、高中楼所在直线为x轴建立适当的平面直角坐标系，并用坐标表示各位置
操场 ．初中楼 ．图书馆 ．实验楼 ．高中楼 ．校门 ．
【答案】平面直角坐标系如图所示： (1，3)；(-4，2)；(4，1)；(-4，0)；(0，0)；（1，-3）（答案不唯一）
【解析】【分析】先根据题意建立坐标轴，再根据坐标轴读出坐标即可求解。
33．第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其吉祥物“江南忆”为一组机器人，这组机器人分别命名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．而由它们组成的“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款．
某商场经销这种玩具套件，每套成本为55元．经市场调研发现，该套件平均每月的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其中部分对应值如下表所示：
销售单价x（元） 60 66 70 72 86
月销售量y（件） 300 276 260 252 196
（1）求y与x的关系式；
（2）物价部门规定该种玩具套件的销售单价不能超过95元，该商场要想使这种商品的销售利润平均每月达到6300元，套件的销售单价应定为多少元？
（3）该套件平均每月的销售利润可能是6500元吗？请说阴理由．
【答案】（1）解：设y与x的关系式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得：，
∴y与x关系式为：y＝﹣4x+540；
（2）解：由题意得：（x﹣55）（﹣4x+540）＝6300，
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得：x1＝90，x2＝100（不合题意，舍去），
答：套件的销售单价应定为90元；
（3）解：该套件平均每月的销售利润不可能是6500元，理由如下：
由题意得：（x﹣55）（﹣4x+540）＝6500，
整理得：x2﹣190x+9050＝0，
∵Δ＝（﹣190）2﹣4×1×9050＝﹣100＜0，
∴原方程没有实数根，
∴该套件平均每月的销售利润不可能是6500元．
【解析】【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用，熟悉待定系数法求一次函数解析式的方法，解一元二次方程及根的判定等知识。
（1）列出一次函数关系式y＝kx+b（k≠0） ，代入表格的数据，可得解析式；
（2）根据利润=单件商品利润×销售数量，可得方程，求解即可；
（3）列出方程，判断方程的根的情况，可得结论。
34．如图，实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果．
【答案】解：根据图示，可得：，
．
【解析】【分析】根据数轴上点的位置关系，判断a、b、c的大小关系，进而判断（b-a）、（a+b）、（b-c）与0的大小关系，然后化简所求代数式，再合并同类项即可.
35．如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，已知，．
（1）若，求的长．
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：，
，，
，
，，，
，
．
（2）解：，
，，
，
，
，
，，，
，
．
【解析】【分析】本题考查三角形的相似判定与性质，熟悉判定方法是关键。
（1）由 判定得，可知OF长；
（2）由证，得，则，可得．
36．如图利用长25米的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地做鸡场，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上和中间用篱笆的隔离各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆的长度为51米，为了使这个长方形 的面积为216平方米，求 边各为多少米？
【答案】解：设AB的长为x米，根据题意得
，
解得 ，
当 时， ，不符合题意，故舍去；
当 时， ，符合题意，
∴ ，
∴AB边为12米，BC边为18米．
【解析】【分析】设AB的长为x米，根据题意表示出AB、BC的长，再利用长方形ABCD的面积为216平方米，列出一元二次方程求解即可。
37．如图，以原点O为位似中心，把△OAB放大后得到△OCD，求△OAB与△OCD的相似比.
【答案】解：∵点B的坐标是（4， 0），点D的坐标是（6， 0），
∴OB=4，OD=6，
∴ ，
∵△OAB与△OCD关于点O位似，
∴△OAB∽△OCD，
∵相似三角形的对应边的比是相似三角形的相似比，
又∵OB与OD为一组对应边，
∴△OAB与△OCD的相似比为 .
【解析】【分析】由点B，D的坐标可得到OB，OD的长，因此可求出OB与OD的比值；再利用成位似的两个三角形相似，易证△OAB∽△OCD；然后根据相似三角形的相似可求出两三角形的相似比.
38．解答下列各题
（1）已知y与成正比例，当时，；①求y与x的函数关系式；②当时，求y的值．
（2）已知，，求的值；
【答案】（1）解：①y与成正比例，
设，
当时，，
，
解得：，
y与x的函数关系式为，
即；
②当时，；
（2）解：，，
，，
．
【解析】【分析】（1）①根据题意设，再利用待定系数法求出的值，即可得到函数关系式；②结合①所得关系式，将代入，即可求出y的值；
（2）先计算出和的值，再结合完全平方公式计算即可．
（1）解：①y与成正比例，
设，
当时，，
，
解得：，
y与x的函数关系式为；
②当时，；
（2）解：，，
，，
．
39．在解方程x2-9=2(x-3)的过程，嘉洪同学的解答如下：
解：将方程左边分解因式，得(x+3)(x-3)=2(x-3)，……第一步
方程两边都除以(x-3)，得x+3=2，……第二步
解得x=-1.……第三步
（1）已知嘉淇同学的解答是错误的，开始出现错误的步骤是 ；
（2）请给出正确的解答过程.
【答案】（1）第二步
（2）解：正确的解答过程如下：
移项，得(x+3)(x-3)-2(x-3)=0，
将左边因式分解，得(x-3)(x+1)=0，
则x-3=0或x+1=0，
解得x1=3，x2=-1.
【解析】【解答】解：（1） 开始出现错误的步骤是第二步，
故答案为：第二步.
【分析】（1）观察所给的解答步骤判断求解即可；
（2）利用因式分解法解方程求解即可。
40．如图①，在正方形ABCD中，AB＝4．点P从点D出发，沿折线DA-AB以每秒2个单位长度的速度向B运动，同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动．当点P不与点D、B重合时，作点P关于直线DB的对称点P'，连结PP'、P′Q、PQ．设点P的运动时间为t秒．
（1）当PQ∥AB时，求t的值；
（2）当点P′与点Q重合时，求t的值；
（3）当P′Q＝1时，t的值为 ；
（4）如图②，点E为PQ中点，连接P′E，当P′E与正方形ABCD的边平行时，则t的值为 ．
【答案】（1）解：由已知可得ts时，DP＝2t，BQ=t，
∵AD＝4，
∴AP＝AB-DP＝5-2t，
∵在正方形ABCD中，
∴AD∥CB，即AP∥BQ，
当PQ∥AB时，
∴四边形APQB是平行四边形，
∴AP＝BQ，
∴4-2t＝t，
解得：t＝ s，
当PQ∥AB时，t＝ ；
（2）解：∵点P从点D出发，沿折线DA-AB以每秒2个单位长度的速度向点B运动， 同时点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，
∵点P关于直线DB的对称点为P' ，
∴当点P′与点Q重合时，必在CD边上，
当时间为ts时，P点行程为AD+AP＝2t，
∵AB＝AD＝4，
∴AP＝2t-4，
∴BP＝AB-AP＝8-2t ，
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P'，
∴BP＝BQ＝8-2t，
又∵点Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度的速度向点C运动，
∴ts时，BQ＝t，
∴8-2t＝t，
解得：t＝ ，
故当点P′与点Q重合时，t＝ ，
（3） 或3
（4）1或3.2
【解析】【解答】解：（3）当P′Q＝1时，分两种情况：
当P′在CD上时，根据已知可知0＜t≤2，
由已知ts时，DP＝2t， BQ=t，
如图所示：
∵点P点关于正方形对角线DB的对称点P'，
∴DP＝DP′＝2t ，
∵CD＝CB＝4，
∴CP′＝CD-DP′＝4-2t，
此时CQ＝BC-BQ＝4-t ，
∵∠C＝90°，
∴P′Q3＝P′C2+CQ2，
即1＝（4-2t）2+（4-t）2，
∴5t2-24t+31＝0，
∵242-4×5×31＜0，
∴方程无解，故不存在；
当P′在CB边上时又分两种情况：
①P′在Q上方时，即2＜t＜，
如图所示：
由已知可知CD+P′C＝2t，
∴BP′＝CD+BC-（CD+P′C）＝8-2t，
∵BQ＝t，
∴当P′Q＝1时，则P′Q＝BP′-BQ，
∴1＝8-2t-t，
解得：t＝ ；
②当P′在Q下方时，即 ＜t＜4时，
此时同理BP′＝8-2t，BQ＝t，
∴1＝t-（8-2t），
解得：t＝3，
综上所述：P′Q＝1时，t＝ 或3 ，
故答案为： 或3；
（4）分两种情况：当P在AD上时，Q在BC边上，
根据已知ts时，DP＝2t， BQ=t，
∵P与P′关于正方形ABCD的对角线BD对称，
∴P′在CD边上，且DP′＝DP＝2t，
根据已知可得PD∥CQ，
∴四边形DPQC为直角梯形，
当P′E与正方形ABCD的边平行时，
则P′E必平行于DA，即P′E∥PD∥CQ，
∵点E为PQ中点，
∴P′E必为直角梯形DPQC的中位线，
∴P′为CD的中点，
∴DP′＝ CD＝2，
即2t＝2，
∴t＝1，
如图所示：
当P在AB边上时，其对称点P′在BC边上，
且P′点须在Q点下方时，
P′E方可平行正方形ABCD的边，如图所示：′
由题意可得：ts时，BP＝8-2t，BQ＝t，
根据对称的性质，BP′＝8-2t，
此时P′E∥AB，即P′E∥BP，
∵点E为PQ中点，
∴P′E必为△BPQ的中位线，
∴P′为BQ中点，
∴BP′＝ BQ，
∴8-2t＝ t，
解得：t＝3.2，
综上所述：当P′E与正方形ABCD的边平行时，则t＝1或3.2．
故答案为：1或3.2.
【分析】（1）根据题意先求出AP，再根据平行四边形的判定与性质，列方程计算求解即可；
（2）根据题意先求出 当点P′与点Q重合时，必在CD边上， 再求出 BP＝BQ＝8-2t， 最后列方程计算求解即可；
（3）分类讨论，根据正方形的性质以及勾股定理等，列方程计算求解即可；
（4）分类讨论，根据三角形的中位线、梯形中位线等，列方程计算求解即可。
41．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为(0，3)，点A在x轴的负半轴上，点M，D分别在OA ，AB上，且AD=AM=2．一次函数y=kx+b的图象过点D和M，反比例函数y= 的图象经过点D，与BC交点为N．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，且使四边形OMDP的面积与四边形OMNC的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）解：∵C(0，3)，∴OC=3．∵四边形OABC是正方形，∴OA=AB=3．∵AD=2，∴D(-3，2)．∵点D在反比例函数y=的图象上，
∴m=-3×2=-6，∴反比例函数的表达式为y=
∵AM=2，
∴OM=OA-AM=1，∴M(-1，0)．∵点D(-3，2)，M(-1，0)在直线y=kx+b上，
∴解得
∴一次函数的表达式为y=-x-1．
（2）解：如图，过点D作DH⊥y轴于点H，连接MN，
由(1)知，反比例函数的表达式为y= ，
当y=3时，x= =-2，∴N( -2，3) ， ∴S四边形OMNC= (CN+OM) ·OC= -×(2+1) ×3=4.5．设P(0，n)，
∵四边形0MDP的面积与四边形OMNC的面积相等，
∴S四边形OMDP = (OM+DH) ·AD+ DH·PH= ×( 1+3)×2+ ×3×(n-2)=4.5，∴n= ，∴点P的坐标为(0，)
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质求出D坐标，将其代入y=中即可求解；再求出M的坐标，利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）过点D作DH⊥y轴于点H，连接MN，先求出N的坐标，进而求出四边形OMNC的面积，设P(0，n)，根据四边形0MDP的面积与四边形OMNC的面积相等建立方程，据此即可求解.
42．在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线．给出如下定义：①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直于这条线段；②将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“青一对称点”．例如：点关于轴和直线的“青一对称点”为点．
（1）点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是________；
（2）点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是，求和的值；
（3）若点关于轴和直线的“青一对称点”在第二象限，且满足条件的的整数解有且只有一个，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：点关于y轴的点为，再关于直线对称的点为，
∴点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是，
的坐标是，
，
解得：，
∴的值为2，的值为3.
（3）解：∵点关于y轴和直线的“青一对称点”的坐标是，在第二象限，
，
解得：，
且满足条件的的整数解有且只有一个，
，
解得：．
【解析】【解答】（1）解：如图，
∴点关于轴和直线的“青一对称点”的坐标是；
故答案为：.
【分析】（1）根据题干中的定义及计算方法作出图形并求出点A2的坐标即可；
（2）根据题干中的定义及计算方法列出方程组，再求解即可；
（3）根据题干中的定义及计算方法列出方程组，再求解即可.
43．如图，在 中， ， ，点 从点 出发沿 边想向点 以 的速度移动，点 从点 出发沿 边向点 以 的速度移动，如果 、 同时出发，经过几秒后 和 相似？
【答案】解：设经过 秒后 和 相似.
则 ， ，
∵ ， ，
∴ ，
① 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 ，
② 与 边是对应边，则 ，
即 ，
解得 .
综上所述，经过 秒或 秒后 和 相似.
【解析】【分析】设经过 秒后 和 相似. ， ，分两种情况：① 与 边是对应边，② 与 边是对应边进行讨论即可.
44．如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数的图象交于点，．
（1）分别求出两个函数的解析式；
（2）连接，求的面积；
（3）点P是反比例函数上一点，轴交直线于Q，且，直接写出P点坐标．
【答案】（1）解：∵双曲线过点，，∴，
解得．
∴反比例函数的解析式为．
∵直线过点和，
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，即．∴．
如图所示，过点D作轴于点E．
∵，
∴．
∴；
（3）解：∵点P是反比例函数上一点，∴设点P的坐标为，其中，
∵轴交直线于Q，
∴点Q的纵坐标为，
将代入，得，
解得，
∴点Q的横坐标为，
当点Q在点P的右侧时，
由可得，
整理得：，
∵该方程没有实数根，
∴这种情况不存在；
当点Q在点P的左侧时，
由可得，
整理得：，
解得，
经检验是所列分式方程的解．
当时，；
当时，；
∴点P的坐标为或．
【解析】【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合应用，待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，三角形的面积公式，解分式方程.
（1）先将点C、D两点的坐标代入的解析式可列出方程组，解方程组可求出m、n的值，再将点C、D两点的坐标代入的解析式可列出方程组，解方程组可求出k、b的值；据此可求出两个函数的解析式；
（2）令，先求出点B的坐标，据此可求出的长，再求出DE的长，利用三角形的面积公式可求的面积；
（3）设点P的坐标为，利用平行的性质可推出点Q的横坐标为，分两种情况：“点Q在点P的右侧”；“点Q在点P的左侧”，根据可列出分式方程，解分式方程可求出p的值，再进行检验，据此可求出点P的坐标．
（1）解：∵双曲线过点，，
∴，
解得．
∴反比例函数的解析式为．
∵直线过点和，
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为；
（2）解：当时，，即．
∴．
如图所示，过点D作轴于点E．
∵，
∴．
∴；
（3）解：∵点P是反比例函数上一点，
∴设点P的坐标为，其中，
∵轴交直线于Q，
∴点Q的纵坐标为，
将代入，得，
解得，
∴点Q的横坐标为，
当点Q在点P的右侧时，
由可得，
整理得：，
∵该方程没有实数根，
∴这种情况不存在；
当点Q在点P的左侧时，
由可得，
整理得：，
解得，
经检验是所列分式方程的解．
当时，；
当时，；
∴点P的坐标为或．
45．如图，在中，，，，点为边上的动点，点从点出发，沿边往运动，当运动到点时停止，若设点运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度．
（1）当时， ， ；（请直接写出答案）
（2）当为何值时，是直角三角形；（写出解答过程）
（3）求当为何值时，是等腰三角形？并说明理由．
【答案】（1）4；21
（2）解：①∠CDB=90°时，AC BDAB BC，
∴BD，
所以CD=，
∴，
解得：（秒）；
②∠CBD=90°时，点D和点A重合，
∴，
解得：（秒）；
综上所述，当或秒时，△CBD是直角三角形；
（3）解：①CD=BD时，如图1，过点D作DE⊥BC于E，
则CE=BE，DE∥AB，
∴CD=AD=AC=，
∴，
解得：（秒）；
②CD=BC时，CD=15，
∴，
解得：（秒）；
③BD=BC时，如图2，过点B作BF⊥AC于F，
∵S△BCA=AB×BC=AC×BF，
∴×20×15=×25BF，
∴BF=12，
在△BCF中，
∵BC=BD，BF⊥AC，
∴CD=2CF=18，
∴，
解得：（秒）；
综上所述，当或或秒时，△CBD是等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1），
CD=2t=4，AD=AC-CD=21，
故答案为：4；21；
【分析】（1）先根据勾股定理求出AC=25，利用路程=速度×时间得到CD=4，再利用AD=AC-CD可算出AD的长；
（2）分两种情况讨论：①∠CDB=90°时，利用面积法可求出AC边上的高BD的长，再根据勾股定理求出CD长，即可求出时间t；②∠CBD=90°时，当D与A重合时，此时CD=AC=25，可算出t，综合得到或时，三角形CBD是直角三角形；
（3）分三种情况：①CD=BD，过点D作DE⊥BC于E，由等腰三角形的三线合一得CE=BE，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得DE∥AB，由平行线等分线段定理得CD=，由路程、速度、时间三者的关系可求出t；②CD=CB=15，由路程、速度、时间三者的关系可求出t；③BD=BC时，由面积法可得BF=12，根据勾股定理可得CF=9，再根据三线合一得到DF=CF=9，求得CD=18，即可求出t=9，综合即可得到t的三个值.
46．如图，在斜坡顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的．在阳光的照射下，塔影DE留在斜坡面上．在同一时刻，小明站在点E处，其影子EF在直线DE上，小华站在点G处，影子GH在直线CD上，他们的影子长分别为2 m和1 m．已知CD＝12 m，DE＝18 m，小明和小华身高均为1.6 m，那么塔高AB为多少？
【答案】解：如图，过点D作DM⊥CD，交AE于点M，过点M作MN⊥AB，垂足为N，
则四边形BDMN为矩形，∴MN＝BD，BN＝DM.
由题意，得 .
∴DM＝DE×1.6÷2＝14.4(m)．
∵MN＝BD＝ CD＝6 m， ，
∴AN＝1.6×6＝9.6(m)，
∴AB＝AN＋BN＝9.6＋14.4＝24(m)．
答：铁塔AB的高度为24 m.
【解析】【分析】过点D构造矩形，把塔高的影长分解为平地上的BD斜坡上的DE.然后根据影长的比分別求得AN，GB长，把它们相加即可
47．如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OE⊥BC于E，连接DE交OC于点F，作FG⊥BC于G．
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．
【答案】（1）解：∵OE⊥BC，CD⊥BC，
∴OE∥CD．
∵△OEF∽△CDF，
∴ ．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC．
∴ ．
∴G是BC的三等分点
（2）解：依题意画图所示，
【解析】【分析】（1）根据相似三角形与矩形的性质，以及平行线分线段成比例定理求解。（2）连接DG，交AC于P点，做PR⊥BC交BC于R，R点为四等分点。
48．如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E．
（1）如图1，若AB=AD，EC=1，∠BAE=30°，求AD的长；
（2）如图2，若AD=AE，连接DE，过点A作AF⊥AB交ED于点F，在AB上截取AG=AF，连接DG，交AE于点N，∠DAE的角平分线AH与GD相交于点H，求证：GH=DH；
（3）在（2）的条件下，若AN：AD＝2：5 ，AH=2 ，请直接写出点C到直线DE的距离．
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，∠BAE＝30°，∴BE＝AB，
∵四边形ABCD 是平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC，
∵BC＝BE+EC，EC＝1，
∴AB＝AB+1，解得：AB=2
∴AD＝AB＝2，即AD的长为2
（2）证明：连接EG，
∵AE⊥BC，AF⊥AB，
∴∠GAE+∠EAF＝∠EAF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∵AG＝AF，AE＝AD，
∴△AEG≌△ADF（SAS），
∴∠AEG＝∠ADF，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴∠AEG＝∠ADF＝45°，
∴∠DEG＝90°，即DE⊥EG，
延长AH交DE于点M，
∵AH平分∠DAE，
∴AM⊥DE，DM＝AM，
∴AM∥EG，
∴，
∵DM＝EM，
∴GH＝DH；
（3）解：点C到DE的距离为
【解析】【解答】解：（3）∵AN：AD=2：5，AD=AE
∴AN：NE=2：3
由AM∥EG可得
，即
由（2）知：GH=DH，DM=EM
∴HM是的中位线
在中，DM=EM
作GK⊥BC于K，则是等腰直角三角形
由GK∥AE可得
，即
解得：
作CT⊥DE于T，由
∴也是等腰直角三角形
故答案为：
【分析】（1）根据平行四边形性质，菱形的判断定理即可求出答案；
（2） 连接EG， 根据垂线性质，三角形内角和定理，全等三角形判断定理可得△AEG≌△ADF，可得∠AEG＝∠ADF，再根据等腰直角三角形性质可得∠DEG＝90°，即DE⊥EG，延长AH交DE于点M， 根据角平分线性质可得AM⊥DE，DM＝AM，再根据直线平行性质得，整理即可求出答案；
（1）根据相似三角形的判断定理可得，再根据相似比可求出EG的长，再根据三角形中位线定理求出HM，AM，根据勾股定理可求出AD，再根据等腰直角三角形判定定理及性质，相似三角形的判定定理及性质即可求出答案.
49．如图，在中，，，点E在射线上（不与点A，B重合），将线段绕点E顺时针旋转，得到线段，连接，取中点F，连接．
（1）如图1，若点E是中点时，点D，B，C恰好在一条直线上，用等式表示线段和的数量关系，并证明；
（2）当点E在射线上时，（1）中的结论是否成立，在图2，图3中任选一种情况完成证明．
【答案】（1）解：∵=60°
∴是等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵点D，B，C恰好在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，点E是的中点，
∴，
∴；
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
如图1，当点E在上时，
延长至G，使，连接，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，当点E在的延长线上时，
延长至G，使，连接，
同理可得，，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据旋转性质可得，根据角之间的关系可得∠BED=30°，根据三角形外角性质可得∠BDE=30°，则，根据等角对等边可得，根据线段中点可得，则，即可求出答案.
（2）当点E在上时，延长至G，使，连接，根据线段中点可得，再根据旋转性质可得，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据等边三角形性质可得，则，即，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案；当点E在的延长线上时，延长至G，使，连接，同理可得，，根据全等三角形性质即可求出答案.
（1）解：∵是等边三角形，
∴是等边三角形，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∵点D，B，C恰好在一条直线上，
∴，
∴，
∴，
∵点F是的中点，点E是的中点，
∴，
∴；
（2）解：结论仍然成立，理由如下：
如图1，当点E在上时，
延长至G，使，连接，
∵F是的中点，
∴，
∴，
∵线段绕点E顺时针旋转得到线段，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
由（1）知，是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图2，当点E在的延长线上时，
延长至G，使，连接，
同理可得，，
∴，
∴．
50．已知矩形，，，将矩形绕A顺时针旋转，得到矩形，点B的对应点是点E，点C的对应点是点F，点D的对应点是点G．
（1）如图①；当时，连接，求的长；
（2）如图②，当边经过点D时，延长交于点P，求的长；
（3）连接，点M是的中点，连接，在旋转过程中，线段的最大值 ．
【答案】（1）解：连接、，
∵是矩形，
∴，
又∵，，
∴，
由旋转可得，
∴；
（2）解：如图，连接，
由题意可知，在 中，，
根据勾股定理得，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）
【解析】【解答】解：（3）连接，交于点O，连接，，
∵是矩形，
∴，
∵点M是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，
根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，最大为：，
故答案为：．
【分析】（1） 连接、，由勾股定理求出AC=， 由旋转可得， 再利用勾股定理求出CF即可；
（2）连接，由勾股定理求出ED的长，再求出，从而得出DP=DA=5，利用PE=PD-DE计算即可；
（3）连接，交于点O，连接，，易得是的中位线，可得，解得点M在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据直径是圆中最长的弦可知，当为直径时，即点M与点D重合时，最大，求出此时MB的长即可.
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