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【解答题强化训练·50道必刷题】湘教版数学八年级上册期中试卷
1．解分式方程：
（1）
（2）
2． 已知，且x，y都是正数，求的值．
3．因式分解：12x2-3y2
4．（1）计算：．
（2）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）．
5．甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3600字的文章与乙打一篇3000字文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打10个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字
6．在①②这两个代数式中选择其中一个，补充在下面问题横线上，并完成问题的解答：
问题：分解因式： ▲
7．中国高铁已成为一张世界名片．经过技术改进，某次列车平均提速20 ，列车提速前行驶540 所用的时间，提速后比提速前可多行驶60 ，求这次列车提速前的平均速度．
8．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进型汽车的数量比2400万元购进型汽车的数量少20辆.
（1）型和型汽车的进价分别为每辆多少万元
（2）该公司决定用不多于3600万元购进型和型汽车共150辆，最多可以购买多少辆型汽车
9．已知关于的分式方程．
（1）若方程的根为，求的值；
（2）若方程有增根，求的值；
10．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每夭生产多少台机器
11．本学期学习了分式方程的解法，下面是晶晶同学的解题过程：
解方程
解：整理，得： …………………………第①步
去分母，得： …………………………第②步
移项，得： ……………………… 第③步
合并同类项，得： ……………………… 第④步
系数化1，得： …………………………第⑤步
检验：当 时，
所以原方程的解是 ． ………………………第⑥步
上述晶晶的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．请你帮晶晶改正错误，写出完整的解题过程．
12．已知，求的值．
13．两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运的化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等．
（1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？
14．甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是3：4，结果甲比乙提前20 min到达目的地.求甲、乙的平均速度.
15．一个长5微米，宽4微米，高3微米的长方体微机零件的体积是多少立方厘米？（1微米= 厘米）
16．在一个边长为（2 +3 ）cm的正方形的内部挖去一个长为（2 + ）cm，宽为（ ﹣ ）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．
17．某校八年二班手工制作小组成员小丽、小影两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗，已知小丽比小影每小时多做2面彩旗，小丽做40面彩旗与小影做30面彩旗所用时间相等，问小影每小时做多少面彩旗？
18．（1）以上变形过程正确吗 如果不正确，那么应怎样改正
（2）对任意非零实数x都成立吗 为什么？
19．（1）分解因式：；
（2）解分式方程：．
20．生活中我们经常用到密码，如到银行取款。有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式.因式分解的结果是(当取x=9，y=9时，各个因式的值是，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码。类似地，对于多项式当取x=10，y=10时，用上述方法可以产生哪些六位数密码
21．在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步：
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步： 检验： 当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
22． 为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费5280元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车每趟运费少200元.
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算
23．小张从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．求小张每小时步行的速度和骑自行车的速度是多少
24．甲乙两车间同时加工一种零件，甲车间加工75个所用的时间与乙车间加工60个所用的时间相等，已知甲车间比乙车间每天多加工5个，求甲、乙车间每天各加工多少个零件．
25．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
26．大理以其秀丽的自然风光、丰富的文物古迹、浓厚的民族风情深深吸引了无数中外游客王华和李强同住一个小区，假期相约一起去大理游玩已知从他们小区到大理的乘车距离约为 ，王华乘大巴车出发5小时后，李强开轿车自驾游，最后他们同时到达目的地．已知轿车的速度是大巴车速度的2倍．求轿车的速度．
27．仔细阅读下面例题，解答问题。
已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式为x+n，得
X2-4x+m=(x+3)(x+n)，
则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴
解得n=-7，m=-21，
∴另一个因式为x-7，m的值为-21.
仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5，求另一个因式以及k的值.
28．若分式的值为整数，试求整数x的值．
29．为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，若将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；现用A4薄型纸双面打印，总质量仅为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）提示：总质量=每页纸的质量×纸张数
30．解分式方程： ﹣1＝ ．
31．已知甲、乙两条路线的长度均为12km，甲路线的平均速度为乙路线的，甲路线的行驶时间比乙路线少10min，求甲路线的行驶时间.
32．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________；
（2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
33．某社区积极响应正在开展的“文明城市创建工作”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300m2的绿化面积比乙工程队完成200m2的绿化面积少用2h.求乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
34．已知分式方程，请解答下列问题：
（1）若该方程无解，则a的值为 ；
（2）若该方程有增根，则a的值为 ；
（3）若该方程的解为-1，则a的值为 ；
（4）若该方程的解为正数，则a的取值范围为 。
35．张明和李晓一起将一个二次三项式分解因式，张明因看错了一次项系数而分解成，李明因看错了常数项而分解成，那么请你将原多项式写出来，并将因式分解正确的结果写出来．
36．小明在解决问题：已知，求2a2-8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴（a-2）2＝3，a2-4a+4＝3，
∴a2-4a＝-1，
∴2a2-8a+1＝2（a2-4a）+1＝2×（-1）+1＝-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简＝ ▲ ；
②当时，求3a2-6a-1的值．
（2）化简．
37．某市政府为了解决雨季时城市内涝的难题，决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
38．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台EFGH，其面积为平方米，长为米．
（1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台ABCD的总面积．
39．某校开设智能机器人编程的活动课，购买了两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用2800元购买型机器人模型和用2000元购买型机器人模型的数量相同．型、型机器人模型的单价分别是多少元？
40．实数a在数轴上的位置如图所示，化简
41．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通” “互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间国道全长为500，经过改修高速公路后，长度减少了100，高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上行驶的平均速度比在国道上行驶的平均速度快30/，从甲地到乙地，由高速公路所需时间是由国道所需时间的一半．求该长途汽车在国道上行驶的平均速度．
42．一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为2.5m的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为1m的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
43．阅读下面例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值
解：设另一个因式为 ，得
则 ∴ 解得： ，
∴另一个因式为 ，m的值为—21
请仿照上面的方法解答下面的问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值。
44．阅读下面的解题过程：
已知 = ，求 的值.
解：由 = 知x≠0，所以 =3，即x+ =3.所以
=x2+ = -2=32-2=7.
故 的值为 .
该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目：
若 = ，求 的值.
45．已知三个不同的实数a，b，c满足
求的值．
46．用配方法解决下列问题：
（1）
（2）分解因式： ．
（3） 当 为何值时，多项式 有最大值 并求出这个最大值．
（4） 当 为何值时，多项式 有最小值， 并求出这个最小值．
47．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
48．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2－2xy＋y2－16；
（2）△ABC三边a，b，c 满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
49．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
（2）若，求的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______．
50．七一建党节前夕，某校决定购买两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件贵25元，预算资金为1700元，其中800元用于购买奖品，其余资金用于购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍．
（1）求两种奖品的单价．
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价打八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于720元，两种奖品共购买100件，求购买，两种奖品的数量，并写出所有购买方案．
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【解答题强化训练·50道必刷题】湘教版数学八年级上册期中试卷
1．解分式方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
方程两边同乘以，
去分母得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，原方程的解为：；
（2）解：
方程两边同乘以，
去分母得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解为：
【解析】【分析】（1）分式方程去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得答案；
（2）分式方程去掉分母转化为整式方程，求出整式方程的解后再检验即得答案．
（1）方程两边同乘以，
去分母得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以，原方程的解为：；
（2）方程两边同乘以，
去分母得，
解得，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解为：
2． 已知，且x，y都是正数，求的值．
【答案】解：∵x，y都是正数，
∴，
∴当时，原式．
【解析】【分析】先利用二次根式的性质和加法法则将所求算式进行化简，再代入求值即可.
3．因式分解：12x2-3y2
【答案】解：12x2-3y2
=3(4x2-y2)
=3(2x+y)(2x-y)．
【解析】【分析】先提取公因式3，再利用平方差公式因式分解即可。
4．（1）计算：．
（2）海王星是太阳系中离太阳最远的行星，太阳光到达海王星需要的时间大约是秒，光在真空中的速度约为米/秒．海王星距离太阳大约有多远？（结果用科学记数法表示）．
【答案】解：（1）解：原式
；
（2）解：（米），
答：海王星距离太阳大约米．
【解析】【分析】（1）先利用0指数幂和负整式指数幂化简，再计算即可；
（2）利用同底数幂的乘法的计算方法和科学记数法的书写格式分析求解即可.
5．甲、乙两同学学习计算机打字，甲打一篇3600字的文章与乙打一篇3000字文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打10个字，问甲、乙两人每分钟各打多少个字
【答案】解：设甲每分钟打字 个，则乙每分钟打字（x-10）个，
根据题意得：
解得x=60
经检验x=60是原方程的解
乙每分钟打字x-10=60-10=50（个）
答：甲每分钟打字为60个，乙每分钟打字为50个.
【解析】【分析】设甲每分钟打字x个，即可表示乙每分钟的打字数，根据题意列出符合条件的分式方程，进行计算即可。
6．在①②这两个代数式中选择其中一个，补充在下面问题横线上，并完成问题的解答：
问题：分解因式： ▲
【答案】解：①；分解因式：；
②；分解因式：（任选一种进行作答）
【解析】【分析】根据完全平方式的结构特征以及完全平方公式进行因式分解，即可得出答案.
7．中国高铁已成为一张世界名片．经过技术改进，某次列车平均提速20 ，列车提速前行驶540 所用的时间，提速后比提速前可多行驶60 ，求这次列车提速前的平均速度．
【答案】解：设这次列车提速前的平均速度为 ．
由题意列方程得，
，
解得 ，
经检验得 是原方程的解，
答：设这次列车提速前的平均速度为180 ．
【解析】【分析】设这次列车提速前的平均速度为， 根据“列车提速前行驶540 所用的时间，提速后比提速前可多行驶60 ”列出方程，解之并检验即可.
8．某公司积极响应节能减排号召，决定采购新能源型和型两款汽车，已知每辆型汽车的进价是每辆型汽车的进价的1.5倍，若用3000万元购进型汽车的数量比2400万元购进型汽车的数量少20辆.
（1）型和型汽车的进价分别为每辆多少万元
（2）该公司决定用不多于3600万元购进型和型汽车共150辆，最多可以购买多少辆型汽车
【答案】（1）解：设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，
依题意得：
解得：，
经检验，是方程的解，且符合题意，
则，
答：型汽车的进价为每辆30万元，型汽车的进价为每辆20万元；
（2）解：设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，
依题意得：，
解得：，
答：最多可以购买60辆型汽车．
【解析】【分析】（1）设型汽车的进价为每辆万元，则型汽车的进价为每辆万元，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）设购买辆型汽车辆，则购买辆型汽车，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可．
9．已知关于的分式方程．
（1）若方程的根为，求的值；
（2）若方程有增根，求的值；
【答案】（1）解：∵，
∴两边同时乘以，得＋＋，
整理得：，
∵方程的根为，
∴，
解得：；
（2）解：∵原分式方程有增根，
∴由（1）得，
解得： 或，
∴当 时，，
解得：；
当 时，，
解得：；
综上所述，若原分式方程有增根，则的值为4或-4．
【解析】【分析】（1）先将分式方程去分母化为整式方程，再把方程的根代入整式方程求出的值；
（2）根据分式方程有增根的性质，首先得分式方程的增根为 或，再代入（1）中的整式方程中求出的值.
（1）解：去分母得：＋＋
整理，得．
当方程的根为，则．得；
（2）若原分式方程有增根，则＋．所以 或．
当 时，．得．
当 时，．得．
所以若原分式方程有增根，则．
10．某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同，现在平均每夭生产多少台机器
【答案】解：设现在平均每天生产 台机器，
根据题意得： ，
解之得： ，
经检验 是原方程的解，
答：现在平均每天生产200台机器
【解析】【分析】设现在平均每天生产 x 台机器，则原来每天生产机器（x-50）台，根据现在生产600台机器所需时间与原计划生产450台机器所需时间相同列出方程，求解并检验即可得出答案。
11．本学期学习了分式方程的解法，下面是晶晶同学的解题过程：
解方程
解：整理，得： …………………………第①步
去分母，得： …………………………第②步
移项，得： ……………………… 第③步
合并同类项，得： ……………………… 第④步
系数化1，得： …………………………第⑤步
检验：当 时，
所以原方程的解是 ． ………………………第⑥步
上述晶晶的解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．请你帮晶晶改正错误，写出完整的解题过程．
【答案】 ；解：去掉分母后应把分子加括号； ， ， ， ， ， 检验：当 时， ， ∴ 使原分式方程无意义，原方程无解.
【解析】【分析】根据解分式方程的步骤逐步分析即可.
12．已知，求的值．
【答案】解：∵，
∴，
两边平方，得，
∴，
∴．
【解析】【分析】先将代数式变形为，再利用完全平方公式可得，最后将其代入计算即可.
13．两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运的化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等．
（1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？
【答案】（1）（1）
解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（），
∴型机器人每小时搬运化工原料90，型机器人每小时搬运化工原料60
（2）（2）
设增加个型机器人，根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最小值为7，
∴至少要增加7个型机器人
【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，需要找准“时间、工作量、工作效率”的关系，解后检验；一元一次不等式应用需明确不等关系，求出解集后取符合实际的最小整数解.
（1）设型机器人每小时搬运，则型每小时搬运，根据时间相等列分式方程，解得x=60，再检验即可.
（2）设增加个型机器人，利用工作总量工作效率工作时间，结合5个小时的工作总量不低于3000，列不等式，解得，结合实际至少7个.
（1）解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（），
∴型机器人每小时搬运化工原料90，型机器人每小时搬运化工原料60．
（2）设增加个型机器人，
根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最小值为7，
∴至少要增加7个型机器人．
14．甲、乙两人分别从距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的平均速度比是3：4，结果甲比乙提前20 min到达目的地.求甲、乙的平均速度.
【答案】解： 设甲的速度为3x千米/时，乙的速度为4x千米/时
由题意可得：
解得：x=1.5
经检验，x=1.5是原方程的解
∴甲的平均速度为4.5千米/时，乙的平均速度为6千米/时.
【解析】【分析】设甲的速度为3x千米/时，乙的速度为4x千米/时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
15．一个长5微米，宽4微米，高3微米的长方体微机零件的体积是多少立方厘米？（1微米= 厘米）
【答案】解： ， ，
所以依题意得：长方体微机零件的体积是： 立方厘米.
【解析】【分析】先转化单位，然后根据长体的体积公式计算即可.
16．在一个边长为（2 +3 ）cm的正方形的内部挖去一个长为（2 + ）cm，宽为（ ﹣ ）cm的矩形，求剩余部分图形的面积．
【答案】解：剩余部分的面积为：（2 +3 ）2﹣（2 + ）（ ﹣ ）
=（12+12 +45）﹣（6 ﹣2 +2 ﹣5 ）
=（57+12 ﹣ ）（cm2）．
【解析】【分析】用大正方形的面积减去长方形的面积即可求出剩余部分的面积．
17．某校八年二班手工制作小组成员小丽、小影两位同学同时为校文化艺术节制作彩旗，已知小丽比小影每小时多做2面彩旗，小丽做40面彩旗与小影做30面彩旗所用时间相等，问小影每小时做多少面彩旗？
【答案】解：设小影每小时做x面彩旗，则小丽每小时做（x＋2）面彩旗，
由题意得：
解得：
经检验： 是原方程的解，
答：小影每小时做6面彩旗．
【解析】【分析】设小影每小时做x面彩旗，则小丽每小时做（x＋2）面彩旗，根据题意列出分式方程求解即可。
18．（1）以上变形过程正确吗 如果不正确，那么应怎样改正
（2）对任意非零实数x都成立吗 为什么？
【答案】（1）解：不正确.
改正如下：
.
（2）解：不成立.
理由：当x为负数时，无意义.
【解析】【分析】（1）根据积的算术平方根性质：（a≥0，b≥0）和二次根式的性质：进行计算即可求解；
（2）根据商的算术平方根的性质：（a≥0，b＞0）即可求解.
19．（1）分解因式：；
（2）解分式方程：．
【答案】解：由（1）
（2）
2x=2
x=1，
经检验：当时，，
故分式方程无解．
【解析】【分析】（1）先提公因式2x，然后再运用完全平方差公式进行因式分解；
（2）运用公式将分式方程变形，确定最简公分母，去分母解出，检验时发现当时最简公分母为0，故分式方程无解．
20．生活中我们经常用到密码，如到银行取款。有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式.因式分解的结果是(当取x=9，y=9时，各个因式的值是，于是就可以把“018162”作为一个六位数密码。类似地，对于多项式当取x=10，y=10时，用上述方法可以产生哪些六位数密码
【答案】解：因为，
所以当时，，
所以可以产生一个六位数的密码为103010或101030或301010.
【解析】【分析】先提取出二项式各项的公因式x，再将剩下的商式利用平方差公式继续分解因式；进而将x与y的值分别代入各个因式计算出结果，即可得出六位数密码.
21．在解分式方程 时，小李的解法如下：
第一步：
第二步： 1-x=-1-2，
第三步： - x=-1-2-1，
第四步： x=4.
第五步： 检验： 当x=4时， x-2≠0.
第六步：∴原分式方程的解为x=4，
小李的解法中哪一步是去分母 去分母的依据是什么 判断小李的解答过程是否正确，若不正确，请写出你的解答过程.
【答案】解：第一步出错
等式的性质：等式的两边同时乘(或除以)同一个不为0的数(或式子)，等式仍然成立.
过程不正确，正确解析如下：
1-x=-1-2x+4
x=2
检验： 当x=2时， x-2=0
∴原分式方程无解.
【解析】【分析】小李解法中的第一步是去分母操作。去分母是将分式方程转化为整式方程的关键步骤，依据是等式的基本性质：等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的数（或式子），等式仍然成立 。在分式方程中，为了消去分母，需要在方程两边同时乘以各分母的最简公分母。小李没有对方程最右边的常数项乘以最简公分母x-2。
22． 为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费5280元.已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车每趟运费少200元.
（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟
（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算
【答案】（1）解：设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，
根据题意得出：，
解得：，
经检验得出：是原方程的解，
则乙车单独运完此堆垃圾需运：，
答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；
（2）解：设甲车每一趟的运费是a元，
根据题意得：，
解得：，
则乙车每一趟的费用是：（元），
单独租用甲车总费用是：（元），
单独租用乙车总费用是：（元），
4320＜5760，
故单独租用一台车，租用乙车合算．
答：单独租用一台车，租用乙车合算．
【解析】【分析】（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运趟，根据“租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成”列出方程，再求解即可；
（2）设甲车每一趟的运费是a元，根据“需支付运费5280元”列出方程，再求解即可.
23．小张从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．求小张每小时步行的速度和骑自行车的速度是多少
【答案】解：设小张步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时
由题意得：
解得：
经检验，是原方程的解，则．．
答：小张步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；
【解析】【分析】设小张步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为千米/小时，根据题意列出方程求解即可。
24．甲乙两车间同时加工一种零件，甲车间加工75个所用的时间与乙车间加工60个所用的时间相等，已知甲车间比乙车间每天多加工5个，求甲、乙车间每天各加工多少个零件．
【答案】解：设乙车间每天加工x个，则甲车间每天加工（x+5）个，依题意得：
解得：x=20
经检验x=20，是所列方程的解，且符合题意．
当x=20时，x+5=25．
答：甲车间每天加工25个，乙车间每天加工20个
【解析】【分析】根据题意找出相等的关系量，由甲车间加工75个所用的时间与乙车间加工60个所用的时间相等，得到分式方程；求出甲车间每天加工的个数和乙车间每天加工的个数.
25．随着我国科技事业的不断发展，国产无人机大量进入快递行业．现有A，B两种型号的无人机都被用来运送快件，A型机比B型机平均每小时多运送20件，A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等，两种无人机平均每小时分别运送多少快件？
【答案】解：设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，
根据题意得：
解这个方程得：x=70．
经检验x=70是方程的解，
∴x-20=50．
∴A型机平均每小时运送70件，B型机平均每小时运送50件．
【解析】【分析】设A型机平均每小时运送x件，则B型机平均每小时运送（x-20）件，根据工作总量除以工作效率等于工作时间并结合“ A型机运送700件所用时间与B型机运送500件所用时间相等 ”建立方程，求解并检验即可.
26．大理以其秀丽的自然风光、丰富的文物古迹、浓厚的民族风情深深吸引了无数中外游客王华和李强同住一个小区，假期相约一起去大理游玩已知从他们小区到大理的乘车距离约为 ，王华乘大巴车出发5小时后，李强开轿车自驾游，最后他们同时到达目的地．已知轿车的速度是大巴车速度的2倍．求轿车的速度．
【答案】解：设大巴车的速度为 ，则轿车的速度为 ．
根据题意，得 ，解得 ．
经检验， 是原分式方程的解，则 ．
答：李强开轿车的速度为 ．
【解析】【分析】根据题意，由等量关系列出分式方程，解出轿车的速度。
27．仔细阅读下面例题，解答问题。
已知二次三项式x2-4x+m有一个因式是x＋3，求另一个因式以及m的值.
解：设另一个因式为x+n，得
X2-4x+m=(x+3)(x+n)，
则x2-4x+m=x2+(n+3)x+3n，
∴
解得n=-7，m=-21，
∴另一个因式为x-7，m的值为-21.
仿照以上方法解答下面问题：
已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式是2x-5，求另一个因式以及k的值.
【答案】解：设另一个因式为(x+n)，得
2x2 + 3x - k =(2x -5)(x +n) = 2x2+(2n - 5)x - 5n
则2n-5=3，-k=-5n
解得：n=4，k=20，
故另一个因式为(x+4)，k的值为20.
【解析】【分析】理解原题中的解答过程，设另一个因式为，仿照解题即可。
28．若分式的值为整数，试求整数x的值．
【答案】解：=，
∵ 分式的值为整数 ，
∴x-1=-1，1，-2，2，
∴x=0，2，-1，3，
又∵x2-1≠0，
∴整数x的值是0，2，3.
【解析】【分析】先化简分式，然后根据已知分式的值为整数，可得x-1=-1，1，-2，2，从而进行计算即可解答．
29．为了响应学校提出的“节能减排，低碳生活”的倡议，班会课上小明建议每位同学都践行“双面打印，节约用纸”．他举了一个实际例子：打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，若将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；现用A4薄型纸双面打印，总质量仅为160克.已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求例子中的A4厚型纸每页的质量.（墨的质量忽略不计）提示：总质量=每页纸的质量×纸张数
【答案】4克
【解析】解答：解： 设例子中的A4厚型纸每页的质量为x克．由题意得：
．（或 ）
解之得： x = 4 ．
经检验得 是原方程的解．
答：例子中的A4厚型纸每页的质量为4克．
【分析】此题的等量关系是：每页薄型纸的质量=每页厚型纸-0.8；400克的A4厚型纸单面打印的页数=160克A4薄型纸单面打印的页数，根据等量关系列方程求解，检验作答即可。
30．解分式方程： ﹣1＝ ．
【答案】解：原式可变为，4x-（x-2）=-3
4x-x+2=-3
3x=-5
x=-
经检验，x=-是原分式方程的解
∴x=-
【解析】【分析】根据题意，由分式的基本性质，解分式方程即可。
31．已知甲、乙两条路线的长度均为12km，甲路线的平均速度为乙路线的，甲路线的行驶时间比乙路线少10min，求甲路线的行驶时间.
【答案】解：设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶时间为，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
甲路线的行驶时间为．
【解析】【分析】设甲路线的行驶时间为，则乙路线的行驶时间为，根据甲路线的平均速度为乙路线的倍，列出分式方程，解方程即可．
32．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．
（1）若与是关于的共轭二次根式，则_______________；
（2）若与是关于4的共轭二次根式，求的值；
（3）若与是关于12的共轭二次根式，求的值．
【答案】（1）
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
【解析】【解答】
（1）解：，
∴.
【分析】
（1）由新定义可得；
（2）由新定义可得，再分母有理化即可；
（3）由新定义可得，再分母有理化，最后各项对应相等即可.
（1）解：，
∴；
（2）解：，
；
（3）解：与是关于12的共轭二次根式，
，
．
33．某社区积极响应正在开展的“文明城市创建工作”，组织甲、乙两个志愿工程队对社区的一些区域进行绿化改造.已知甲工程队每小时能完成的绿化面积是乙工程队每小时能完成的绿化面积的2倍，并且甲工程队完成300m2的绿化面积比乙工程队完成200m2的绿化面积少用2h.求乙工程队每小时能完成多少平方米的绿化面积？
【答案】解：设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，
根据题意得： ＝ ，
解得：x＝25，
经检验，x＝25是分式方程的解，
答：乙工程队每小时能完成25平方米的绿化面积.
【解析】【分析】设乙工程队每小时能完成x平方米的绿化面积，则甲工程队每小时能完成2x平方米的绿化面积，据此结合“甲工程队完成300平方米的绿化面积比乙工程队完成200平方米的绿化面积少用2h”即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论.
34．已知分式方程，请解答下列问题：
（1）若该方程无解，则a的值为 ；
（2）若该方程有增根，则a的值为 ；
（3）若该方程的解为-1，则a的值为 ；
（4）若该方程的解为正数，则a的取值范围为 。
【答案】（1）0或1
（2）0
（3）3
（4）a＜1且a≠0
【解析】【解答】解：（1）当x=2时，
∵分式方程无解，
∴去分母，得ax-3-(x-2)=-3，
将x=2代入，得2a-3=-3，
解得a=0；
当x≠2时，
，去分母，得ax-3-x-2=-3，
ax-x=2，
(a-1)x=2，
当a=1时，(a-1)x=2无解，
综上所述，a=0或1.
故答案为：a=0或1；
(2)∵该方程有增根，
∴x-2=0解得x=2，
，去分母，得ax-3-x-2=-3，
将x=2代入，得2a-3=-3，
解得a=0.
故答案为：a=0；
(3) ∵ 方程的解为-1，
∴，
解得a=3.
故答案为：a=3；
(4)∵ 方程的解为正数，
∴，
解得>0，
解得a＜1且a≠0.
故答案为：a＜1且a≠0.
【分析】（1）含字母参数的分式方程的无解问题，需要从两个方面考虑：①分式方程转化为的整式方程无解，②分式方程转化为的整式方程有解，但这个解使原分式方程的最简公分母为零，据此求解即可；
（2）此题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值，据此可求解；
（3）根据方程根的定义将x=-1代入原分式方程，可得关于字母a的一元一次方程，解该一元一次方程求出a；
（4）将a作为参数将x解出，根据方程的解为正数 ，列出关于字母a的不等式组，求解即可得出a的取值范围.
35．张明和李晓一起将一个二次三项式分解因式，张明因看错了一次项系数而分解成，李明因看错了常数项而分解成，那么请你将原多项式写出来，并将因式分解正确的结果写出来．
【答案】解：∵ ，
，
∴原多项式为 ，
∴
【解析】【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得2(x-9)(x-1)=2x2-20x+18，2(x-4)(x-2)=2x2-12x+16，据此可得多项式，然后分解即可.
36．小明在解决问题：已知，求2a2-8a+1的值．他是这样分析与解的：
∵，
∴，
∴（a-2）2＝3，a2-4a+4＝3，
∴a2-4a＝-1，
∴2a2-8a+1＝2（a2-4a）+1＝2×（-1）+1＝-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）①化简＝ ▲ ；
②当时，求3a2-6a-1的值．
（2）化简．
【答案】（1）解：①a＝＝＝+1；
②3a2-6a+1＝3（a2-2a+1-1）+1
＝3（a-1）2-2
＝3（+1-1）2-2
＝3×2-3
＝3，
故答案为：3；
（2）解：原式＝＝
＝
＝5．
【解析】【分析】（1）①利用二次根式分母有理化的计算方法分析求解即可；
②先利用分母有理化化简求出a的值，再将其代入3a2-6a-1计算即可；
（2）先利用分母有理化化简，再计算即可.
37．某市政府为了解决雨季时城市内涝的难题，决定对部分老街道的地下管网进行改造．在改造一段长3600米的街道地下管网时，每天的施工效率比原计划提高了，按这样的进度可以比原计划提前10天完成任务．
（1）求实际施工时，每天改造管网的长度；
（2）施工进行20天后，为了减少对交通的影响，施工单位决定再次加快施工进度，以确保总工期不超过40天，那么以后每天改造管网至少还要增加多少米？
【答案】（1）解：设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，
由题意得：，
解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意．
此时，（米）．
答：实际施工时，每天改造管网的长度是72米；
（2）解：设以后每天改造管网还要增加米，由题意得：
，解得：．
答：以后每天改造管网至少还要增加36米.
【解析】【分析】（1）设原计划每天改造管网米，则实际施工时每天改造管网米，根据比原计划提前10天完成任务列出方程，解方程并检验即可；
（2）设以后每天改造管网还要增加米，由题意得不等关系“后面20天的施工量≥剩余的工作量”，据此解不等式即可．
38．如图，在某地的清明上河园景区，有一个用于表演豫剧的长方形舞台EFGH，其面积为平方米，长为米．
（1）求这个舞台的宽；（结果化简为最简二次根式）
（2）为了增加舞台效果，准备在舞台的四周铺设宽度均为米的装饰带（图中阴影部分），求装饰后矩形舞台ABCD的总面积．
【答案】（1）解：利用二次根式的除法解得： (米)。
答：这个舞台的宽是 米
（2）解：
(平方米)。
答：舞台装饰后的面积是140平方米
【解析】【分析】(1)利用二次根式的除法解题即可；
(2)利用二次根式的混合运算解题即可.
39．某校开设智能机器人编程的活动课，购买了两种型号的机器人模型．型机器人模型单价比型机器人模型单价多200元，用2800元购买型机器人模型和用2000元购买型机器人模型的数量相同．型、型机器人模型的单价分别是多少元？
【答案】解：设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，
则，
答：型机器人模型的单价是700元，型机器人模型的单价是500元．
型机器人模型的单价是700元，型机器人模型的单价是500元
【解析】【分析】设型机器人模型的单价是元，则型机器人模型的单价是元，根据题意列出分式方程，进而解方程，再检验即可求解。
40．实数a在数轴上的位置如图所示，化简
【答案】解：由数轴可得： ，
∴ .
【解析】【分析】由数轴可得 ，然后根据二次根式的性质及绝对值的性质化简，再合并即可得出答案.
41．截至2021年，高速公路已经贯通云南16个州市，云南省正全力推进县域高速公路“能通全通” “互联互通”工程建设．已知甲、乙两地之间国道全长为500，经过改修高速公路后，长度减少了100，高速公路通车后，一辆长途汽车在高速公路上行驶的平均速度比在国道上行驶的平均速度快30/，从甲地到乙地，由高速公路所需时间是由国道所需时间的一半．求该长途汽车在国道上行驶的平均速度．
【答案】解：设长途汽车在国道上行驶的平均速度为/，则在高速公路上行驶的平均速度为（x+30）/，
由题意得：，
解得：，
经检验：是方程的根，且符合实际，
答：该长途汽车在国道上行驶的平均速度为50/．
【解析】【分析】 设长途汽车在国道上行驶的平均速度为/，则在高速公路上行驶的平均速度为（x+30）/， 根据“ 高速公路所需时间是由国道所需时间的一半 ”列出方程并解之即可.
42．一般固体都具有热胀冷缩的性质，固体受热后其长度的增加称为线膨胀．在（本题涉及的温度均在此范围内），原长为的铜棒、铁棒受热后，伸长量与温度的增加量之间的关系均为，其中为常数，称为该金属的线膨胀系数．已知铜的线膨胀系数（单位：）；原长为2.5m的铁棒从加热到伸长了．
（1）原长为0.6m的铜棒受热后升高，求该铜棒的伸长量（用科学记数法表示）．
（2）求铁的线膨胀系数；若原长为1m的铁棒受热后伸长，求该铁棒温度的增加量．
（3）将原长相等的铜棒和铁棒从开始分别加热，当它们的伸长量相同时，若铁棒的温度比铜棒的高，求该铁棒温度的增加量．
【答案】（1）解：由题意可得：
（2）解：
∴ 该铁棒温度的增加量 40℃
（3）解：设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l
由题意可得：
解得：x=48
则x+20=68
∴ 该铁棒温度的增加量68℃.
【解析】【分析】（1）根据题意列式计算即可求出答案.
（2）根据题意列式计算即可求出答案.
（3）设铜棒增加的温度为x℃，则铁棒增加的温度为(x+20)℃，设它们的长度均为l，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
43．阅读下面例题，并解答问题。
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及m的值
解：设另一个因式为 ，得
则 ∴ 解得： ，
∴另一个因式为 ，m的值为—21
请仿照上面的方法解答下面的问题：
已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值。
【答案】解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
∴ ，
解得：，
∴另一个因式为 ，m的值为65 .
【解析】【分析】设另一个因式为(2x+a) ，根据恒等的关系列等式，根据等式两边x的相同指数项的系数对应相等，列出方程求解即可.
44．阅读下面的解题过程：
已知 = ，求 的值.
解：由 = 知x≠0，所以 =3，即x+ =3.所以
=x2+ = -2=32-2=7.
故 的值为 .
该题的解法叫做“倒数求值法”，请你利用“倒数求值法”解下面的题目：
若 = ，求 的值.
【答案】解：由 = 知x≠0，
所以 =5，即x+ =8.
=x2+ +1= -2+1=82-2+1=63.所以 的值为
【解析】【分析】这是一道阅读题，要求一个式子的值，只需要先求出其倒数的值，根据分式除法的意义，将分式的除法转变为多项式除以单项式，进行化简，再根据互为倒数的两个数的乘积为1，这一性质，用配方的方法将互为相反数的两个数的平方改写成一个完全平方式，得出倒数的平方，最后再倒回来得出答案。
45．已知三个不同的实数a，b，c满足
求的值．
【答案】解：设，则由题意有
因式分解可得：
又因为
故
于是：
【解析】【分析】根据（a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，可得a2+b2+c2=（a+b+c)2-（2ab+2bc+2ac），根据abc=1可得， 设，则由题意有，分解因式可得，计算得不能为0， 可得，再把所求的代数式通分变形后整体代入求解即可。
46．用配方法解决下列问题：
（1）
（2）分解因式： ．
（3） 当 为何值时，多项式 有最大值 并求出这个最大值．
（4） 当 为何值时，多项式 有最小值， 并求出这个最小值．
【答案】（1）9；2
（2）
（3）原式
， 即 ．
故当 时， 多项式 有最大值， 最大值为 10
（4）
当 时，多项式 有最小值，最小值为 4 ．
【解析】【解答】解：（1）∵
∴第一空 9；
又∵
∴第二空2；
故答案为：9；2.
故 当 时，多项式 有最小值，最小值为 4 ．
【分析】（1）①由差的完全平方式可得结果；②由配方法的步骤：先二次项系数化为1再加上一次项系数一半的平方最后凑完全平方式可得结果；
（2）由配方法的步骤：①二次项系数化为1②加上一次项系数一半的平方③凑完全平方式可得把原式分组分解，把（x+2）作为一个整体，再根据平方差公式即可得结果；
（3）由(2)可把原式化为完全平方式和常数的和，根据偶次方结果非负，则偶次方的相反数非正，可得最值；
（4）在多项式中，可分组成两组完全平方式和常数的和，再根据偶次方结果非负，可得最值.
47．某企业承接了27000件产品的生产任务，计划安排甲、乙两个车间的共50名工人，合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备，工人的工作效率为：甲车间每人每天生产25件，乙车间每人每天生产30件.
（1）求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产？
（2）为了提前完成生产任务，该企业设计了两种方案：
方案一甲车间租用先进生产设备，工人的工作效率可提高20%，乙车间维持不变.
方案二乙车间再临时招聘若干名工人（工作效率与原工人相同），甲车间维持不变.
设计的这两种方案，企业完成生产任务的时间相同.
①求乙车间需临时招聘的工人数；
②若甲车间租用设备的租金每天900元，租用期问另需一次性支付运输等费用1500元；乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问：从新增加的费用考虑，应选择哪种方案能更节省开支？请说明理由.
【答案】（1）解：设甲车间有x名工人，则乙车间有（50-x）名工人，根据题意得，
25x×20+30（50-x）×20=27000，
解得：x=30，则50-x=20，
即甲车间有 30 名工人参与生产，乙车间有 20 名工人参与生产
（2）解：①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，
由题意， 得，
解得 . 经检验， 是原方程的解， 且符合题意
. 乙车间需临时招聘5名工人；
②企业完成生产任务所需的时间为：18（天）
选择方案一需增加的费用为 +1500=17700（元）
选择方案二需增加的费用为5×18×200=18000（元）
∵17700<18000，∴选择方案一更节省开支.
【解析】【分析】（1）设甲车间的工人为x名，则乙车间为（50-x）名，根据总生产任务为27000件产品，列出方程，解方程即可；
（2）①设方案二中乙车间需临时招聘 名工人，根据两种方案中企业完成生产任务的时间相同列出分式方程，解方程，验根，即可求解；
②先计算出企业完成生产任务所需的时间，再分别计算方案一和方案二的费用，最后作比较，即可求得方案一更节省开支.
48．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法及十字相乘法，但有更多的多项式只用上述方法就无法分解，如x2－4y2－2x＋4y，我们细心观察这个式子就会发现，前两项符合平方差公式，后两项可提取公因式，前后两部分分别分解因式后会产生公因式，然后提取公因式就可以完成整个式子的分解因式了．过程为：x2－4y2－2x＋4y＝(x＋2y)(x－2y)－2(x－2y)＝(x－2y)(x＋2y－2)．
这种分解因式的方法叫分组分解法．利用这种方法解决下列问题：
（1）分解因式x2－2xy＋y2－16；
（2）△ABC三边a，b，c 满足a2－ab－ac＋bc＝0，判断△ABC的形状．
【答案】（1）解：x2－2xy＋y2－16
＝(x－y)2－42
＝(x－y＋4)(x－y－4)
（2）解：∵a2－ab－ac＋bc＝0
∴a(a－b)－c(a－b)=0，
∴(a－b)(a－c)＝0，
∴a＝b或a＝c，
∴△ABC的形状是等腰三角形或等边三角形
【解析】【分析】(1)由题干中的分组分解法可知，将前三项运用完全平方公式进行因式分解，x2-2xy+y2=(x-y)2，再运用平方差公式即可将（x-y）2-16进行因式分解。
（2）同样也用分组分解法，先将a2、-ab和-ac、bc分成两组，通过提公因式法将a2、-ab和-ac、bc的公因式分别提取出来，然后再次运用提公因式法将（a-b）提取即可进行因式分解，然后判定三角形ABC的形状。
49．有足够多的长方形和正方形卡片（如图1），分别记为1号，2号，3号卡片．
（1）如果选取4张3号卡片，拼成如图2所示的一个正方形，请用2种不同的方法表示阴影部分的面积（用含，的式子表示）．
方法1：__________________________________________________．
方法2：__________________________________________________．
（2）若，求的值．
（3）如图3，选取1张1号卡片，2张2号卡片，3张3号卡片，可拼成一个长方形（无缝隙不重叠），根技图形的面积关系，因式分解：______．
【答案】（1），
（2）∵，，，
∵，，即，，
∴．
（3）
【解析】【解答】（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有；
故答案为：，
（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）从“整体”看阴影部分是一个边长为的正方形，从“部分”看阴影部分面积等于大正方形面积减去四个长方形面积；
（2）根据非负数的性质可得，再根据完全平方公式及变形得到，代入计算即可；
（3）求出所拼成的长方形的长、宽以及总面积不变即可解答．
（1）①方法1：图2中阴影部分是边长为，因此面积为，
方法2：图2阴影部分也可以看作从边长为的正方形减去4个长为，宽为的长方形面积，因此有；
故答案为：，
（2）∵，，，
∵，，即，，
∴．
（3）1张1号，2张2号，3张3号卡片的总面积为，
而1张1号，2张2号，3张3号卡片可以拼成长为，宽为的长方形，
∴．
故答案为：．
50．七一建党节前夕，某校决定购买两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生．已知奖品比奖品每件贵25元，预算资金为1700元，其中800元用于购买奖品，其余资金用于购买奖品，且购买奖品的数量是奖品的3倍．
（1）求两种奖品的单价．
（2）购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价打八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买奖品的资金不少于720元，两种奖品共购买100件，求购买，两种奖品的数量，并写出所有购买方案．
【答案】（1）解：设奖品的单价为元，
则奖品的单价为元，
由题意得，解得x=40，
经检验，x=40是原方程的解，则x-25=15．
答：A奖品的单价为40元，B奖品的单价为15元．
（2）解：设购买A奖品的数量为m件，则购买B奖品的数量为(100-m)件，
由题意得
解得22.5≤m≤25，
∵m为正整数，m的值为23，24，25，
有三种方案：
①购买A奖品23件B奖品77件；②购买A奖品24件B奖品76件；③购买A奖品25件3奖品75件．
【解析】【分析】(1)设奖品的单价为元，则奖品的单价为元，根据购买奖品的数量是奖品的3倍列出方程，解得x=40，故可得A奖品的单价为40元，B奖品的单价为15元．
(2)设购买A奖品的数量为m件，则购买B奖品的数量为(100-m)件，根据题意列出不等式组，解得22.5≤m≤25，故可得有三种方案：①购买A奖品23件B奖品77件；②购买A奖品24件B奖品76件；③购买A奖品25件3奖品75件．
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