中考数学二轮复习专题：反比例函数情景题
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反比例函数情景题（中考）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，．
(1)求与之间的函数关系．
(2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不合理，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答；
（2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答．
【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值，
与之间的函数为反比例函数，
设，
把，代入可得，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，经检验分式成立，
，
故不符合题意，设计不合理．
2．如图1，火力发电厂的大烟囱专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它上、下底面均为圆形，纵截面是如图2所示的轴对称图形，是一个矩形，若以地面上所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分经过测量可知：，，
(1)直接写出点C的坐标_____；
(2)求出CF这一部分反比例函数的解析式；
(3)经过测量冷却塔顶部E点距离地面32m，求上底面圆形的直径EF多少米．
【答案】(1)
(2)
(3)20米
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、矩形的性质等知识点，利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意确定C的横坐标和纵坐标即可解答；
（2）设反比例函数解析式为，将点的坐标为代入求得k即可解答；
（3）先确定点的纵坐标为32，进而确定、，最后确定即可解答．
【详解】（1）解：由题意可知：，，
∴点的坐标为．
（2）解：设反比例函数解析式为，
依题意可知在图象上
．
（3）解：依题意可知：、的函数图象都关于轴对称；
、两点关于轴对称
点的纵坐标为32，
把带入（2）中的解析式可得：，
．
上底面圆形的直径为20米．
3．问题情境：区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如右表．
小型车辆 行驶时间 平均速度
A 0.5 60
B 0.3 100
C 0.6 50
D 0.4 75
建立模型：
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式；
问题解决：
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应大于等于．
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式；
（2）50分钟，将代入，即可求解；
（3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：（1）方法1：根据题意，测速区间的路程是定值．
因为平均速度，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．
根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为．
所以，与之间的函数关系式为．
方法2：根据表格数据，，，，，
表中各组平均速度与行驶时间对应值均满足，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得50分钟，
将代入，
得，
答：它的平均速度是．
（3）方法一：解：将代入，
得，解得．
因为，且，
所以，随的增大而减小，即当时，．
答：行驶时间应大于等于．
方法二：解：根据题意，，
所以．
因为，解得．
即当时，．
答：行驶时间应大于等于．
4．项目式学习
项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量．
项目素材：
素材一：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁BC段滑动（点P不与点B，C重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）．
素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入28g的水后，发现点P移动到PC的长为15cm时，天平平衡．
问题解决：
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为y(g)，OP的长为x(cm)．请直接写出y关于x的函数解析式为______，的取值范围为______；
(2)求这个空矿泉水瓶的质量．
【答案】(1)；
(2)这个空矿泉水瓶的质量为
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
（1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得与的关系式，取值范围是；
（2）设空瓶的质量为，向空瓶中加入的水，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程，求解即可得到空瓶的质量．
【详解】（1）解：由题意可知，即，的取值范围是，即，
故答案为：；；
（2）解：设这个空矿泉水瓶的质量为，
根据题意，得，
解得，
所以这个空矿泉水瓶的质量为．
5．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系：
地面所受压强
接触面积
(1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式．
(2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米
【答案】(1)
(2)这种机器人与地面的接触面积至少为平方米
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解表格中压强与接触面积的关系，运用待定系数法求解是关键．
（1）由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，运用待定系数法即可求解；
（2）把最大压强为，代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，
设与的函数关系式为，
将，代入，
得，
∴与的函数表达式为．
（2）解：当时，（平方米），
答：这种机器人与地面的接触面积至少为平方米．
6．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．
(1)求图③中的函数解析式；
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
（1）根据杠杆原理的公式阻力×阻力臂=动力×动力臂，求解即可得解；
（2）根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为，
则有，
∴图③中的函数解析式为．
（2）由反比例函数解析式可知：当x最大时，y最小，
∵由于支点即为细绳悬挂点，
∴．
∴．
综上，．
∴当时，．
7．综合与实践
【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1：
表1
长度（）
振动频率（）
【探索发现】
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式．
表2 C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
【实际应用】
（3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到）
【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为
【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高；
故答案为：高．
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．
根据表格可知
∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为．
函数图象，如图所示
（3）由题可得，低音区的音频率为
代入
∴
答：低音区的对应吸管长度为
8．下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”．
第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强与受力面积．
第二步，数据整理，收集记录的数据如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4
桌面所受的压强 600 400 300 25 200 150
第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的？并直接写出p关于S的函数表达式．
(2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
(3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为_______．
【答案】(1)第四组，
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）通过观察表中数据即可发现明显错误的数据，根据变量间的关系设，把代入，即可求出的值，进而得出关于的函数表达式；
（2）将格点在坐标系中描点，再连线作图即可；
（3）令，代入，得，由此即可求出的值．
【详解】（1）解：第四组数据是明显错误的，理由如下：
通过观察表中数据可以发现，除第四组外，其余每组与的积都是定值，因此第四组数据明显有误（压强错了），
设，把代入，得：，
，
关于的函数表达式为；
（2）解：画出函数图象如图所示：
（3）解：令，代入，得：，
，
长方体A的受力面积至少为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，画反比例函数图象，求自变量的值，用表格表示变量间的关系等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到4℃时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到20℃时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度与时间满足；当时，温度是时间的反比例函数．
(1)求的值；
(2)若规定温度低于10℃的时间为有效制冷时间，温度从4℃开始，到下一次上升至4℃，记为一次循环，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
【答案】(1)
(2)分钟
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）有函数图像可知当时间为时，温度与时间之间是反比例关系，求出反比例关系式即可求出的值；
（2）分别求出的函数值，分情况讨论．
【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为，
把代入，得，
，
，
当时，，
；
（2）解：当温度下降过程中，，
解得，
当温度在下降过程中，，，
，
答：在一次循环过程中有分钟时间属于有效制冷时间．
10．学习数学，也要善用现代工具．用绘图软件绘制过的双曲线与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．
(1)当时，求：动直线与双曲线的交点坐标；
(2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，动直线与双曲线的交点分别是点A和，为能看到双曲线在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，求：的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解．
（1）设双曲线的解析式为，代入点，求出解析式，结合题意，联立直线和双曲线的解析式，然后列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，得出，结合题意即可得到答案．
【详解】（1）解：设双曲线的解析式为，代入点，
则，
解得：，
∴双曲线的解析式为，
根据题意，得，
∴，
∴当时，动直线与双曲线的交点坐标为：；
（2）解：当时，得，
∴，
∴，
当时，得，
∴，
∴，
∴要能看到在和之间的一整段图象，则，
∵原来的坐标系的单位长度为，
∴．
11．综合与实践
某校“无穷大”社团利用物理中的杠杆原理研究反比例函数．如图，他们制作了一个特殊的天平，其中是一根质地均匀的木杆，支点为中点，两个托盘可沿木杆左右移动，、分别表示左、右托盘离支点的距离．
该社团成员通过改变托盘内砝码质量和托盘与支点的距离，并将平衡时的数据记录如下：
左托盘砝码质量/ 右托盘砝码质量/
... ...
任务：根据实验数据：__________，__________．
任务：以左托盘砝码质量为横坐标，左托盘距离支点的距离的值为纵坐标，在方格内描出上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，根据图像回答下列问题：
这条曲线是反比例函数图象的一支吗？如果是，请写出函数解析式（不标注自变量取值范围），如不是，请说明理由；
若左托盘距离支点的距离可变化的范围为：，求左托盘内砝码质量的变化范围．
任务：某成员希望在的情况下称取食盐．他先将砝码放在左托盘，取出一些食盐放在右托盘使天平平衡；然后将砝码放在右托盘，再取出一些食盐放在左边托盘使天平平衡．该成员得出结论：两次称得的食盐的总质量是．该成员的结论是否正确？请判断并说明理由．（参考公式：当，时，，当且仅当时，等号成立）
【答案】任务一：， 任务二：是，解析式是 任务三：不正确，理由见解析
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
任务：根据杠杆平衡的条件计算即可解答；
任务：画出图象即可判断是反比例函数图象的一支，再根据表格以及杠杆平衡的条件即可求出反比例函数解析式；
分别求出当时和时的值，即可解答；
任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为，根据杠杆平衡原理得：，，解得：，，所以，因为，所以，即可得出结论．
【详解】解：任务：，
，
，
，
故答案为：，；
任务：
这条曲线是反比例函数的一支，解析式为：，即；
当时，，当时，，
可变化的范围为时，左侧砝码质量变化范围是：；
任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为，
根据杠杆平衡原理，有：，，
解得：，，
则，
因为，所以，
所以该成员两次称得的食盐总质量超过了，
（利用作差法：当时，进行判断也可给分）．
12．如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图．
(1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）；
(2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少；
(3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的函数值即可；
（3）求出时的自变量的值即可．
【详解】（1）解：设，
由图象，把代入得：，
∴；
（2）当时，；
答：当“木海马”底面面积为时，压强是；
（3）当时，；
∴当时，，
答：压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要．
13．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
(1)_______，_______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
【答案】(1)2，
(2)①见解析；②函数值逐渐减小
(3)
【分析】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【详解】（1）解：由题意，，
当时，由，解并检验得，
当时，，
故答案为：2，；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，
由图知，当时，，
即当时，的解集为，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根．
(1)求过点D的反比例函数的解析式．
(2)求直线的解析式．
(3)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，过D作轴于点E，根据三角形全等求出点D的坐标，再求反比例函数解析式即可；
（2）过点C作轴于点M，根据三角形全等求出点C的坐标，设直线的解析式为，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，为等腰三角形，然后求解即可．
【详解】（1）解：解方程得，，
∵，
∴，，
过D作轴于点E，
∵四边形是正方形，
∴，，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
设过点D的反比例函数解析式为，
则有，
所以过点D的反比例函数解析式为．
（2）过点C作轴于点M，
同上可证得，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为（，k、b为常数），
代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）在直线上存在点P，使为等腰直角三角形，理由如下：如图，
当点P与点B重合时，，
当点P与点B关于点C对称时，．
综上所述：点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形存在性问题，求反比例函数和一次函数的解析式，解一元二次方程，中心对称，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定．
15．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
(1)问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
(2)探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
【答案】(1)①；②
(2)此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞
【分析】本题考查反比例函数的实际应用；
（1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出；
②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可；
（2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度，代入计算即可．
【详解】（1）解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，
∴，，
∵点C为，
∴，
∵落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，，
∴点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
②设双曲线接解析式为，
把，代入得
∴
解得，，
∴点A在双曲线上；
（2）由（1）可求：，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
设和交于点，过作轴于，过作轴于，则，
若能恰好通过，则，在双曲线上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴点，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高载货2.8米
∵，
∴此船不能通过，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
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试卷第1页，共3页
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反比例函数情景题（中考）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图1，黄河文化的保护与传承是黄河流域生态保护和高质量发展的重要内容．近年来，多地建设黄河国家文化公园，山西省围绕黄河国家文化公园建设项目构建“两廊三带多片”的总体空间布局．如图2，其中一处保护区需利用石板在滩涂上搭建一条矩形小路通行，滩涂起点和终点间的距离为18米，石板的数量一定，即石板搭建的小路面积一定，设小路的长为米，宽为米，当时，．
(1)求与之间的函数关系．
(2)按照小路宽度为4米搭建小路，这种设计是否合理？请说明理由．
【答案】(1)
(2)不合理，理由见解析
【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据题意可得与之间的函数为反比例函数，利用待定系数法即可解答；
（2）把代入函数可得小路的长，得到的结果和起点和终点间的距离比较即可解答．
【详解】（1）解；根据石板搭建的小路面积一定，可得为定值，
与之间的函数为反比例函数，
设，
把，代入可得，
，
解得，
与之间的函数关系式为；
（2）解：当时，，
解得，经检验分式成立，
，
故不符合题意，设计不合理．
2．如图1，火力发电厂的大烟囱专业名字叫双曲线冷却塔，从这里冒出的烟雾其实只是水蒸气，它上、下底面均为圆形，纵截面是如图2所示的轴对称图形，是一个矩形，若以地面上所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，、分别是两个反比例函数图象的一部分经过测量可知：，，
(1)直接写出点C的坐标_____；
(2)求出CF这一部分反比例函数的解析式；
(3)经过测量冷却塔顶部E点距离地面32m，求上底面圆形的直径EF多少米．
【答案】(1)
(2)
(3)20米
【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、矩形的性质等知识点，利用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
（1）根据题意确定C的横坐标和纵坐标即可解答；
（2）设反比例函数解析式为，将点的坐标为代入求得k即可解答；
（3）先确定点的纵坐标为32，进而确定、，最后确定即可解答．
【详解】（1）解：由题意可知：，，
∴点的坐标为．
（2）解：设反比例函数解析式为，
依题意可知在图象上
．
（3）解：依题意可知：、的函数图象都关于轴对称；
、两点关于轴对称
点的纵坐标为32，
把带入（2）中的解析式可得：，
．
上底面圆形的直径为20米．
3．问题情境：区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪搜集了某路段测速区间内若干小型汽车行驶的平均速度与行驶时间的数据如右表．
小型车辆 行驶时间 平均速度
A 0.5 60
B 0.3 100
C 0.6 50
D 0.4 75
建立模型：
（1）根据调查数据可知，该路段测速区间内小型汽车平均速度是行驶时间的函数．求与之间的函数关系式；
问题解决：
（2）若某辆小汽车通过该测速区间的行驶时间为50分钟，求它的平均速度；
（3）已知该测速区间限速要求不超过，小汽车通过该测速区间时，行驶时间应控制在怎样的范围内？
【答案】（1）；（2）它的平均速度是；（3）行驶时间应大于等于．
【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意，测速区间的路程是定值，则汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．根据表格数据，当时，，则测速区间路程为，即可求解函数解析式；
（2）50分钟，将代入，即可求解；
（3）将代入，得到，再根据反比例函数的性质求解．
【详解】解：（1）方法1：根据题意，测速区间的路程是定值．
因为平均速度，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．
根据表格数据，当时，，所以测速区间路程为．
所以，与之间的函数关系式为．
方法2：根据表格数据，，，，，
表中各组平均速度与行驶时间对应值均满足，
所以，汽车在该测速区间内的平均速度是行驶时间的反比例函数．
与之间的函数关系式为；
（2）根据题意，得50分钟，
将代入，
得，
答：它的平均速度是．
（3）方法一：解：将代入，
得，解得．
因为，且，
所以，随的增大而减小，即当时，．
答：行驶时间应大于等于．
方法二：解：根据题意，，
所以．
因为，解得．
即当时，．
答：行驶时间应大于等于．
4．项目式学习
项目主题：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？
项目背景：学习完反比例函数后，某学校“勤学”小组的同学们尝试用反比例函数的知识称量一个空矿泉水瓶的质量．
项目素材：
素材一：如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁BC段滑动（点P不与点B，C重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时，左盘砝码质量右盘物体量（不计托盘与横梁的质量）．
素材二：由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组同学进行了如下操作：左侧托盘放置砝码，向右侧托盘的空矿泉水瓶中加入28g的水后，发现点P移动到PC的长为15cm时，天平平衡．
问题解决：
(1)设右侧托盘中放置物体的质量为y(g)，OP的长为x(cm)．请直接写出y关于x的函数解析式为______，的取值范围为______；
(2)求这个空矿泉水瓶的质量．
【答案】(1)；
(2)这个空矿泉水瓶的质量为
【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
（1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得与的关系式，取值范围是；
（2）设空瓶的质量为，向空瓶中加入的水，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程，求解即可得到空瓶的质量．
【详解】（1）解：由题意可知，即，的取值范围是，即，
故答案为：；；
（2）解：设这个空矿泉水瓶的质量为，
根据题意，得，
解得，
所以这个空矿泉水瓶的质量为．
5．人工智能逐渐融入我们的生活．如图所示，某餐厅购买一个送餐机器人，这种机器人与地面的接触面积是可以调整的．下表记录着地面所受压强、机器人与地面的接触面积之间的关系：
地面所受压强
接触面积
(1)地面所受压强与接触面积满足怎样的函数关系？并求出压强关于接触面积的函数表达式．
(2)若送餐机器人要经过一段玻璃通道，且这段玻璃通道能承受的最大压强为，问这种机器人与地面的接触面积至少为多少平方米
【答案】(1)
(2)这种机器人与地面的接触面积至少为平方米
【分析】本题主要考查反比例函数的运用，理解表格中压强与接触面积的关系，运用待定系数法求解是关键．
（1）由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，运用待定系数法即可求解；
（2）把最大压强为，代入反比例函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由表格可知压强与接触面积的乘积为定值480，则压强与接触面积满足反比例函数系，
设与的函数关系式为，
将，代入，
得，
∴与的函数表达式为．
（2）解：当时，（平方米），
答：这种机器人与地面的接触面积至少为平方米．
6．杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，杠杆原理为：如图①，阻力×阻力臂动力×动力臂．某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：如图②，小明取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个重10的物体（即支点为，阻力为10，阻力臂为），在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化（即动力臂为，动力为），在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图③所示的函数图象．
(1)求图③中的函数解析式；
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体重力的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的小数最小可以是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
（1）根据杠杆原理的公式阻力×阻力臂=动力×动力臂，求解即可得解；
（2）根据反比例函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：已知杠杆原理的公式：阻力×阻力臂=动力×动力臂，阻力为，阻力臂为，动力臂为，动力为，
则有，
∴图③中的函数解析式为．
（2）由反比例函数解析式可知：当x最大时，y最小，
∵由于支点即为细绳悬挂点，
∴．
∴．
综上，．
∴当时，．
7．综合与实践
【问题情境】
排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成，如图1，现要利用若干长为的相同吸管制作简易排箫．
【实验操作】
将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如表1：
表1
长度（）
振动频率（）
【探索发现】
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越 （填“高”或“低”）；
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．观察图象，从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用 函数模型反映（从初中所学函数选择），并求出该函数表达式．
表2 C调音符与频率对照表
音符 不同音区的频率（）
低音区 中音区 高音区
【实际应用】
（3）根据表2，判断这批吸管制作的排箫能否吹出低音区的音，若能，请求出对应吸管长度，若不能，请说明理由．（精确到）
【答案】（1）高；（2）图象见解析；（3）低音区的对应吸管长度为
【详解】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式．
（1）通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高；
故答案为：高．
（2）请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．
根据表格可知
∴从振动频率y与吸管长度x之间的关系可以近似用反比例函数模型反映，该函数表达式为．
函数图象，如图所示
（3）由题可得，低音区的音频率为
代入
∴
答：低音区的对应吸管长度为
8．下面是小明同学的一篇数学日记，请仔细阅读并完成相应的任务．今天是2024年3月28日（星期四），在下午数学活动课上，我们数学兴趣小组的同学参加了一次“探索压力一定时，压强p与受力面积S函数关系的数学活动”．
第一步，如图，将一长方体A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式摆放，相应的记录桌面所受压强与受力面积．
第二步，数据整理，收集记录的数据如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组
受力面积 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.4
桌面所受的压强 600 400 300 25 200 150
第三步，数据分析，以S的数值为横坐标，p的数值为纵坐标建立平面直角坐标系，在该坐标系中描出以表中数对为坐标的各点，并用光滑的曲线顺次连接这些点．
数据分析中，我发现一组数据可能有明显错误，重新实验，证明了我的猜想正确，并对数据进行了修改，实验结束后，大家有很多收获，每人都撰写了数学日记．
任务：
(1)你认为表中哪组数据是明显错误的？并直接写出p关于S的函数表达式．
(2)在平面直角坐标系中，画出此函数的图象．
(3)结合图象，如果要求压强不超过，那么长方体A的受力面积至少为_______．
【答案】(1)第四组，
(2)图见解析
(3)
【分析】（1）通过观察表中数据即可发现明显错误的数据，根据变量间的关系设，把代入，即可求出的值，进而得出关于的函数表达式；
（2）将格点在坐标系中描点，再连线作图即可；
（3）令，代入，得，由此即可求出的值．
【详解】（1）解：第四组数据是明显错误的，理由如下：
通过观察表中数据可以发现，除第四组外，其余每组与的积都是定值，因此第四组数据明显有误（压强错了），
设，把代入，得：，
，
关于的函数表达式为；
（2）解：画出函数图象如图所示：
（3）解：令，代入，得：，
，
长方体A的受力面积至少为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求反比例函数解析式，画反比例函数图象，求自变量的值，用表格表示变量间的关系等知识点，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
9．如图是某型号冷柜循环制冷过程中温度变化的部分示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到4℃时制冷开始，温度开始逐渐下降，当温度下降到20℃时制冷停止，温度开始逐渐上升，当温度上升到时，制冷再次开始，…，按照以上方式循环工作．通过分析发现，当时，温度与时间满足；当时，温度是时间的反比例函数．
(1)求的值；
(2)若规定温度低于10℃的时间为有效制冷时间，温度从4℃开始，到下一次上升至4℃，记为一次循环，那么在一次循环过程中有多长时间属于有效制冷时间？
【答案】(1)
(2)分钟
【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的综合运用，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
（1）有函数图像可知当时间为时，温度与时间之间是反比例关系，求出反比例关系式即可求出的值；
（2）分别求出的函数值，分情况讨论．
【详解】（1）解：设反比例函数的关系式为，
把代入，得，
，
，
当时，，
；
（2）解：当温度下降过程中，，
解得，
当温度在下降过程中，，，
，
答：在一次循环过程中有分钟时间属于有效制冷时间．
10．学习数学，也要善用现代工具．用绘图软件绘制过的双曲线与动直线：，且交于一点，图1为时的视窗情形．
(1)当时，求：动直线与双曲线的交点坐标；
(2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点始终在视窗中心．例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图1中坐标系的单位长度变为原来的，其可视范围就由及变成了及（如图2）．当和时，动直线与双曲线的交点分别是点A和，为能看到双曲线在A和之间的一整段图象，需要将图1中坐标系的单位长度至少变为原来的，求：的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数、反比例函数、分式方程、直角坐标系的性质，从而完成求解．
（1）设双曲线的解析式为，代入点，求出解析式，结合题意，联立直线和双曲线的解析式，然后列分式方程并求解，即可得到答案；
（2）当和时，根据一次函数、反比例函数和直角坐标系的性质，得出，结合题意即可得到答案．
【详解】（1）解：设双曲线的解析式为，代入点，
则，
解得：，
∴双曲线的解析式为，
根据题意，得，
∴，
∴当时，动直线与双曲线的交点坐标为：；
（2）解：当时，得，
∴，
∴，
当时，得，
∴，
∴，
∴要能看到在和之间的一整段图象，则，
∵原来的坐标系的单位长度为，
∴．
11．综合与实践
某校“无穷大”社团利用物理中的杠杆原理研究反比例函数．如图，他们制作了一个特殊的天平，其中是一根质地均匀的木杆，支点为中点，两个托盘可沿木杆左右移动，、分别表示左、右托盘离支点的距离．
该社团成员通过改变托盘内砝码质量和托盘与支点的距离，并将平衡时的数据记录如下：
左托盘砝码质量/ 右托盘砝码质量/
... ...
任务：根据实验数据：__________，__________．
任务：以左托盘砝码质量为横坐标，左托盘距离支点的距离的值为纵坐标，在方格内描出上表中的数对为坐标的各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，根据图像回答下列问题：
这条曲线是反比例函数图象的一支吗？如果是，请写出函数解析式（不标注自变量取值范围），如不是，请说明理由；
若左托盘距离支点的距离可变化的范围为：，求左托盘内砝码质量的变化范围．
任务：某成员希望在的情况下称取食盐．他先将砝码放在左托盘，取出一些食盐放在右托盘使天平平衡；然后将砝码放在右托盘，再取出一些食盐放在左边托盘使天平平衡．该成员得出结论：两次称得的食盐的总质量是．该成员的结论是否正确？请判断并说明理由．（参考公式：当，时，，当且仅当时，等号成立）
【答案】任务一：， 任务二：是，解析式是 任务三：不正确，理由见解析
【分析】本题考查求反比例函数的解析式，反比例函数的性质，根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键．
任务：根据杠杆平衡的条件计算即可解答；
任务：画出图象即可判断是反比例函数图象的一支，再根据表格以及杠杆平衡的条件即可求出反比例函数解析式；
分别求出当时和时的值，即可解答；
任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为，根据杠杆平衡原理得：，，解得：，，所以，因为，所以，即可得出结论．
【详解】解：任务：，
，
，
，
故答案为：，；
任务：
这条曲线是反比例函数的一支，解析式为：，即；
当时，，当时，，
可变化的范围为时，左侧砝码质量变化范围是：；
任务：由于天平的两臂不相等，可设，，，第一次称取的食盐质量为，第二次称取的食盐质量为，
根据杠杆平衡原理，有：，，
解得：，，
则，
因为，所以，
所以该成员两次称得的食盐总质量超过了，
（利用作差法：当时，进行判断也可给分）．
12．如图所示是渔民骑坐“木海马”在滩涂上赶海，这一工具大大提高了渔民赶海时的效率．“木海马”对地面的压强p（）是“木海马”底面面积，的反比例函数，其图象如图．
(1)请求出这一函数解析式（标出自变量的取值范围）；
(2)当“木海马”底面面积为时，压强是多少；
(3)如果要求压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要多少．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的实际应用，正确的求出反比例函数的解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）求出时的函数值即可；
（3）求出时的自变量的值即可．
【详解】（1）解：设，
由图象，把代入得：，
∴；
（2）当时，；
答：当“木海马”底面面积为时，压强是；
（3）当时，；
∴当时，，
答：压强不超过6000，那么“木海马”底面面积至少要．
13．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡（灯丝的阻值）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻之间关系为，通过实验得出如下数据：
… 1 3 4 6 …
… 4 3 2.4 2 …
(1)_______，_______；
(2)【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质．
①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象；
②随着自变量的不断增大，函数值的变化趋势是_________．
(3)【拓展】结合（2）中函数图象分析，当时，的解集为________．
【答案】(1)2，
(2)①见解析；②函数值逐渐减小
(3)
【分析】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．（1）根据解析式求解即可；
（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；
（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．
【详解】（1）解：由题意，，
当时，由，解并检验得，
当时，，
故答案为：2，；
（2）解：①根据表格数据，描点、连线得到函数的图象如图：
②由图象可知，随着自变量的不断增大，函数值逐渐减小，
故答案为：函数值逐渐减小；
（3）解：当时，，当时，，
∴函数与函数的图象交点坐标为，，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，如图，
由图知，当时，，
即当时，的解集为，
故答案为：．
14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B在x轴正半轴上，、的长分别是一元二次方程的两个根．
(1)求过点D的反比例函数的解析式．
(2)求直线的解析式．
(3)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）解一元二次方程求出、的长度，过D作轴于点E，根据三角形全等求出点D的坐标，再求反比例函数解析式即可；
（2）过点C作轴于点M，根据三角形全等求出点C的坐标，设直线的解析式为，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据正方形的性质，点P与点B重合时，为等腰三角形；点P为点B关于点C的对称点时，为等腰三角形，然后求解即可．
【详解】（1）解：解方程得，，
∵，
∴，，
过D作轴于点E，
∵四边形是正方形，
∴，，
，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴；
设过点D的反比例函数解析式为，
则有，
所以过点D的反比例函数解析式为．
（2）过点C作轴于点M，
同上可证得，
∴，，
∴，
∴，
设直线的解析式为（，k、b为常数），
代入，得，
，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）在直线上存在点P，使为等腰直角三角形，理由如下：如图，
当点P与点B重合时，，
当点P与点B关于点C对称时，．
综上所述：点P的坐标为或．
【点睛】此题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形存在性问题，求反比例函数和一次函数的解析式，解一元二次方程，中心对称，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定．
15．根据以下素材，完成设计货船通过双曲线桥的方案：一座曲线桥如图1所示，当水面宽米时，桥洞顶部离水面距离米．已知桥洞形如双曲线，图2是其示意图，且该桥关于对称．如图4，一艘货船露出水面部分的横截面为矩形，测得米．因水深足够，货船可以根据需要运载货物．据调查，船身下降的高度h（米）与货船增加的载重量t（吨）满足函数表达式．
(1)问题解决：确定桥洞的形状．
建立平面直角坐标系如图3所示，落在第一象限的角平分线上．设点C为，
①点A的坐标为______．（用m的代数式表示）；
②求出经过点A的双曲线的函数表达式．
(2)探索应用：
这艘货船运载货物高3米（即米），此时货船能通过该桥洞吗？若能，请说明理由；若不能，至少要增加多少吨货物？（已知，．）
【答案】(1)①；②
(2)此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞
【分析】本题考查反比例函数的实际应用；
（1）①过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，根据落在第一象限的角平分线上，结合和作辅助线可得多个等腰直角三角形，即可表示出；
②设双曲线接解析式为，把，代入计算即可；
（2）求出当能恰好通过，则，在双曲线上，此时设和交于点，过作轴于，过作轴于，由等腰直角三角形求出点，代入得，求出，即此船最高载货2.8米，得到船身下降的高度，代入计算即可．
【详解】（1）解：①如图，过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，过点A作于F， 交轴于P，过点C作轴于Q，则四边形为矩形，
∴，，
∵点C为，
∴，
∵落在第一象限的角平分线上，
∴A、B关于对称，即A、B关于第一象限角平分线对称，，
∴点D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∵过点C、D分别作x轴、y轴的平行线交于E，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
②设双曲线接解析式为，
把，代入得
∴
解得，，
∴点A在双曲线上；
（2）由（1）可求：，，，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
设和交于点，过作轴于，过作轴于，则，
若能恰好通过，则，在双曲线上，且，
∴，
∴，
∴，，
∴点，
把代入得，
解得，
∴
∵
∴，
∴，
∴此船最高载货2.8米
∵，
∴此船不能通过，
∴船身下降的高度，
∵，
∴，
故要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
答：此时货船不能通过该桥洞；要至少增加2吨货物此货船能通过该桥洞．
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