广东省广州市部分学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·广州期中）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高一上·广州期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·广州期中）函数与的对应关系如下表．
0 1 1 2 3
1 3 2 0 1
则的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．
4．（2024高一上·广州期中）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（ ）．
A．对于实数，有
B．幂函数的图象过定点和点
C．存在幂函数的图象过点
D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小
5．（2024高一上·广州期中）若函数是上的减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·广州期中）若均大于零，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·广州期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：(其中为有理数集，为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念 性质 结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(其中，且)，以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
8．（2024高一上·广州期中）已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·广州期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）．
A．与
B．与
C．与
D．与
10．（2024高一上·广州期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
11．（2024高一上·广州期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
12．（2024高一上·广州期中）已知集合，则集合A真子集个数为 （填数字）
13．（2024高一上·广州期中）命题：，，则是 .
14．（2024高一上·广州期中）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为 ．
15．（2024高一上·广州期中）已知的定义域为集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
16．（2024高一上·广州期中）已知是定义在 上的偶函数，且时，．
（1）求，；
（2）求函数的表达式；
（3）判断并证明函数在区间上的单调性.
17．（2024高一上·广州期中）设函数.
（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
（2）解关于的不等式；
18．（2024高一上·广州期中）某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴.
（1）当时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润； 如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
19．（2024高一上·广州期中）已知幂函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：易知全集，
集合，，
则．
故答案为：D.
【分析】根据集合的特征先求全集，再根据集合的交并补运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
由可推出，反之不成立，
则“”是“”的充分而不必要条件．
故答案为：A.
【分析】先解不等式，再根据集合的关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由表格可得，.
故答案为：A.
【分析】根据图表数据求值即可.
4．【答案】D
【知识点】全称量词命题；命题的真假判断与应用；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、 对于实数，有 是全称量词命题，
且，故A不合题意；
B、幂函数不过点，故B不合题意；
C、 存在幂函数的图象过点 ，不是全称量词命题命题，故C不合题意；
D、当时，幂函数在上单调递减，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据全称量词命题的概念，结合不等式性质以及幂函数的性质逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数是上的减函数，则，解得，
则的取值范围为.
故答案为：
【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数、反比例函数的单调性以及分界点函数值列不等式组求解即可.
6．【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，且，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A正确；
B、的函数值只有两个，的值域为，故B错误；
C、若，则，；若，则，；
所以为偶函数，故C正确；
D、由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D正确.
故答案为：B.
【分析】由题意求函数的定义域即可判断A；根据狄利克雷函数即可判断B；利用函数的奇偶性即可判断C；根据函数的单调性即可判断D.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：函数的对称轴为直线，
因为函数在区间上单调递减，所以，
且，，
则，即，解得，
又因为，所以，则实数t的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】先求函数的对称轴，再根据函数的单调性求出，和最值，不等式转化为求解即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，函数，由，可得，即函数的定义域为，与定义域不同，
不是同一函数，故A错误；
B、由根式指数幂知，且与的定义域都为，函数与是同一函数，故B正确；
C、函数，当时，；当时，；
又当时，；综上：，则函数与是同一函数，故C正确；
D、函数与的解析式一致，则函数与是同一函数，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据同一函数的概念判断即可.
10．【答案】B,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：因为的解集为，
所以，解得，所以A错误；
对B：将代入可得，解得，B正确；
对C：不等式的解集为，所以时，C错误；
对D：将代入可得，即，解得，D正确，
故答案为：BD
【分析】围绕一元二次不等式的解集与对应方程的关系展开，用一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，结合韦达定理求出、、的关系；分别对每个选项，根据求出的关系进行分析判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意：当时，，则，因为是偶函数，
所以，所以，则，
作出函数图象，如图所示：
A、由图可知：当时，函数在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；
B、由图可知：函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
C、由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；
D、由，，即存在实数满足，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】由题意，根据偶函数的性质求出函数解析式，作出函数图象，数形结合判断即可.
12．【答案】511
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意可得：集合
，
有9个元素，则集合A真子集的个数为：.
故答案为：511.
【分析】根据集合的特征先求集合A中的元素，再利用真子集个数计算公式求解即可.
13．【答案】，，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，为全称量词命题，则是，，
故答案为：，，
【分析】明确全称量词命题与存在量词命题的否定关系：全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”，即需将全称量词“”改为存在量词“”，并否定原命题的结论.
14．【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：令，等价于，整理可得，
构造函数，易知函数是上的增函数，
因为，所以不等式等价于，
即，因为函数是上的增函数，所以，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】令，变形可得，构造函数，判断函数为上的增函数，将所求不等式变形为，根据函数的单调性可得关于实数的不等式，求解即可.
15．【答案】（1）解：要使函数有意义，则有，解之可得：，
所以集合.
（2）解：因为，所以，
因为，所以分和两种情况；
若，则，解得：；
若，要使成立，则有，解得：，
综上所述：实数的取值范围.
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合分母、根式列式求解即可；
(2) 由题意可得 ，分和两种情况，结合包含关系列式求解.
16．【答案】解：（1）当时，，则；（2）当时，，，因为函数f(x)为偶函数，所以，即，则；（3），且，则，因为 ，所以，所以 ，则函数)在为单调减函数.
（1）解：当时，，则；
（2）解：当时，，，
因为函数f(x)为偶函数，所以，即，则；
（3）解：，且，
则，
因为 ，所以，所以 ，
则函数)在为单调减函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【分析】（1）由题意，直接代入解析式计算即可；
（2）当时，，利用函数为偶函数求解即可；
（3）利用函数的单调性定义证明即可.
17．【答案】（1）解： 函数，又有且只有一个元素，则方程有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设，
所以的取值集合为.
（2）解： 依题意，，整理得，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【知识点】集合中元素的个数问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据集合中元素个数确定方程根的情况，分一次函数和二次函数讨论，结合判别式求解；
（2）先将不等式整理为标准形式，再根据参数的取值范围分类讨论一元二次不等式的解集.
（1）函数，又有且只有一个元素，
则方程有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设，
所以的取值集合为.
（2）依题意，，整理得，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18．【答案】（1）解：当时，该项目的利润，
，则，故该项目不能获利，
当时，取到最小值，
故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损；
（2）解：当时，平均处理成本，
当时，平均处理成本取到最小值250；
当时，平均处理成本，
当，即时，平均处理成本取到最小值200，
因为，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意，表示时，该项目的利润，结合二次函数的性质求解即可；（2）分类讨论和，结合二次函数的性质和基本不等式求解即可.
（1）当时，该项目的利润，
∵，则，故该项目不能获利，
当时，取到最小值，
故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损.
（2）当时，平均处理成本，
当时，平均处理成本取到最小值250；
当时，平均处理成本，
当，即时，平均处理成本取到最小值200；
∵，故该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
19．【答案】（1）解：因为函数为幂函数，所以，解得或；
当时，函数在上单调递减，不满足；
当时，函数在上单调递增，满足，
则；
（2）解：由（1）可得函数，易知函数在定义域上单调递减，
若实数，（），使函数在上的值域为，
则，两式相减，得，
故，
而，所以，即，
将该式代入，
得，
令，由，知，即，
故，所以，
由于在上单调递减，所以，
故存在实数，（），使函数在上的值域为，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数求得，求得参数p的值，再结合单调性确定的值，即可求得函数解析式；
（2）由（1）可得函数，易知函数在定义域上单调递减，假设存在实数，（），使函数在上的值域为，根据函数单调性可得相应关系式，推出，整理化简后可得，利用换元法结合二次函数性质即可求得n的范围.
（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故．
（2）由题意知，则在定义域上单调递减，
若实数，（），使函数在上的值域为，
则，两式相减，得，
故，
而，所以，即，
将该式代入，
得，
令，由，知，即，
故，所以，
由于在上单调递减，所以，
故存在实数，（），使函数在上的值域为，
此时实数的取值范围为.
1 / 1广东省广州市部分学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷
1．（2024高一上·广州期中）已知全集，集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：易知全集，
集合，，
则．
故答案为：D.
【分析】根据集合的特征先求全集，再根据集合的交并补运算求解即可.
2．（2024高一上·广州期中）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
由可推出，反之不成立，
则“”是“”的充分而不必要条件．
故答案为：A.
【分析】先解不等式，再根据集合的关系，结合充分、必要条件的定义判断即可.
3．（2024高一上·广州期中）函数与的对应关系如下表．
0 1 1 2 3
1 3 2 0 1
则的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 D．
【答案】A
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由表格可得，.
故答案为：A.
【分析】根据图表数据求值即可.
4．（2024高一上·广州期中）下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（ ）．
A．对于实数，有
B．幂函数的图象过定点和点
C．存在幂函数的图象过点
D．当时，幂函数在第一象限内函数值随值的增大而减小
【答案】D
【知识点】全称量词命题；命题的真假判断与应用；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、 对于实数，有 是全称量词命题，
且，故A不合题意；
B、幂函数不过点，故B不合题意；
C、 存在幂函数的图象过点 ，不是全称量词命题命题，故C不合题意；
D、当时，幂函数在上单调递减，故D正确.
故答案为：D．
【分析】根据全称量词命题的概念，结合不等式性质以及幂函数的性质逐项判断即可.
5．（2024高一上·广州期中）若函数是上的减函数，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：函数是上的减函数，则，解得，
则的取值范围为.
故答案为：
【分析】根据分段函数的单调性，结合一次函数、反比例函数的单调性以及分界点函数值列不等式组求解即可.
6．（2024高一上·广州期中）若均大于零，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，且，
则，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故答案为：D.
【分析】利用基本不等式求解即可.
7．（2024高一上·广州期中）历史上第一个给出函数一般定义的是19世纪德国数学家狄利克雷(Dirichlet)，当时数学家们处理的大部分数学对象都没有完全的严格的定义，数学家们习惯借助于直觉和想象来描述数学对象，狄利克雷在1829年给出了著名函数：(其中为有理数集，为无理数集)，狄利克雷函数的出现表示数学家们对数学的理解发生了深刻的变化，数学的一些“人造”特征开始展现出来，这种思想也标志着数学从研究“算”转变到了研究“概念 性质 结构”.一般地，广义的狄利克雷函数可定义为：(其中，且)，以下对说法错误的是（ ）
A．定义域为
B．当时，的值域为；当时，的值域为
C．为偶函数
D．在实数集的任何区间上都不具有单调性
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A、显然无理数集和有理数集的并集是实数集，故A正确；
B、的函数值只有两个，的值域为，故B错误；
C、若，则，；若，则，；
所以为偶函数，故C正确；
D、由于实数具有稠密性，任何两个有理数之间都有无理数，任何两个无理数之间也都有理数，其函数值在之间无间隙转换，所以在实数集的任何区间上都不具有单调性，故D正确.
故答案为：B.
【分析】由题意求函数的定义域即可判断A；根据狄利克雷函数即可判断B；利用函数的奇偶性即可判断C；根据函数的单调性即可判断D.
8．（2024高一上·广州期中）已知函数在区间上递减，且当时，有，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：函数的对称轴为直线，
因为函数在区间上单调递减，所以，
且，，
则，即，解得，
又因为，所以，则实数t的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】先求函数的对称轴，再根据函数的单调性求出，和最值，不等式转化为求解即可.
9．（2024高一上·广州期中）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）．
A．与
B．与
C．与
D．与
【答案】B,C,D
【知识点】同一函数的判定；指数函数的概念与表示
【解析】【解答】解：A、函数的定义域为，函数，由，可得，即函数的定义域为，与定义域不同，
不是同一函数，故A错误；
B、由根式指数幂知，且与的定义域都为，函数与是同一函数，故B正确；
C、函数，当时，；当时，；
又当时，；综上：，则函数与是同一函数，故C正确；
D、函数与的解析式一致，则函数与是同一函数，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据同一函数的概念判断即可.
10．（2024高一上·广州期中）已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集为
C．
D．不等式的解集为
【答案】B,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系
【解析】【解答】解：因为的解集为，
所以，解得，所以A错误；
对B：将代入可得，解得，B正确；
对C：不等式的解集为，所以时，C错误；
对D：将代入可得，即，解得，D正确，
故答案为：BD
【分析】围绕一元二次不等式的解集与对应方程的关系展开，用一元二次不等式解集的端点是对应方程的根，结合韦达定理求出、、的关系；分别对每个选项，根据求出的关系进行分析判断.
11．（2024高一上·广州期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则（ ）
A．的最小值为 B．在上单调递减
C．的解集为 D．存在实数满足
【答案】A,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意：当时，，则，因为是偶函数，
所以，所以，则，
作出函数图象，如图所示：
A、由图可知：当时，函数在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；
B、由图可知：函数在上单调递减，在上单调递增，故B错误；
C、由或，解得或，综上可得的解集为，故C正确；
D、由，，即存在实数满足，故D正确.
故答案为：ACD．
【分析】由题意，根据偶函数的性质求出函数解析式，作出函数图象，数形结合判断即可.
12．（2024高一上·广州期中）已知集合，则集合A真子集个数为 （填数字）
【答案】511
【知识点】子集与真子集
【解析】【解答】解：由题意可得：集合
，
有9个元素，则集合A真子集的个数为：.
故答案为：511.
【分析】根据集合的特征先求集合A中的元素，再利用真子集个数计算公式求解即可.
13．（2024高一上·广州期中）命题：，，则是 .
【答案】，，
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题：，为全称量词命题，则是，，
故答案为：，，
【分析】明确全称量词命题与存在量词命题的否定关系：全称量词命题“”的否定是存在量词命题“”，即需将全称量词“”改为存在量词“”，并否定原命题的结论.
14．（2024高一上·广州期中）已知函数的定义域为，，对任意两个不等的实数，都有，则不等式的解集为 ．
【答案】
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：令，等价于，整理可得，
构造函数，易知函数是上的增函数，
因为，所以不等式等价于，
即，因为函数是上的增函数，所以，解得，
则不等式的解集为.
故答案为：.
【分析】令，变形可得，构造函数，判断函数为上的增函数，将所求不等式变形为，根据函数的单调性可得关于实数的不等式，求解即可.
15．（2024高一上·广州期中）已知的定义域为集合，集合．
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：要使函数有意义，则有，解之可得：，
所以集合.
（2）解：因为，所以，
因为，所以分和两种情况；
若，则，解得：；
若，要使成立，则有，解得：，
综上所述：实数的取值范围.
【知识点】子集与真子集；集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【分析】 (1) 根据题意结合分母、根式列式求解即可；
(2) 由题意可得 ，分和两种情况，结合包含关系列式求解.
16．（2024高一上·广州期中）已知是定义在 上的偶函数，且时，．
（1）求，；
（2）求函数的表达式；
（3）判断并证明函数在区间上的单调性.
【答案】解：（1）当时，，则；（2）当时，，，因为函数f(x)为偶函数，所以，即，则；（3），且，则，因为 ，所以，所以 ，则函数)在为单调减函数.
（1）解：当时，，则；
（2）解：当时，，，
因为函数f(x)为偶函数，所以，即，则；
（3）解：，且，
则，
因为 ，所以，所以 ，
则函数)在为单调减函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的值
【解析】【分析】（1）由题意，直接代入解析式计算即可；
（2）当时，，利用函数为偶函数求解即可；
（3）利用函数的单调性定义证明即可.
17．（2024高一上·广州期中）设函数.
（1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合；
（2）解关于的不等式；
【答案】（1）解： 函数，又有且只有一个元素，则方程有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设，
所以的取值集合为.
（2）解： 依题意，，整理得，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
【知识点】集合中元素的个数问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据集合中元素个数确定方程根的情况，分一次函数和二次函数讨论，结合判别式求解；
（2）先将不等式整理为标准形式，再根据参数的取值范围分类讨论一元二次不等式的解集.
（1）函数，又有且只有一个元素，
则方程有且仅有一个根，
当时，，即，则，满足题设；
当时，，即，则，满足题设，
所以的取值集合为.
（2）依题意，，整理得，
当时，解得；
当时，无解；
当时，解得，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为.
18．（2024高一上·广州期中）某公司为了节约资源，研发了一个从生活垃圾中提炼煤油的项目.该项目的月处理成本（元）与月处理量（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：，每处理一吨生活垃圾，可得到的煤油的价值为 200 元，若该项目不能获利，政府将给予补贴.
（1）当时，判断该项目能否获利.如果获利，求出最大利润； 如果不能获利，则政府每月最多需要补贴多少元，才能使该项目不亏损
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低
【答案】（1）解：当时，该项目的利润，
，则，故该项目不能获利，
当时，取到最小值，
故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损；
（2）解：当时，平均处理成本，
当时，平均处理成本取到最小值250；
当时，平均处理成本，
当，即时，平均处理成本取到最小值200，
因为，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；基本不等式；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由题意，表示时，该项目的利润，结合二次函数的性质求解即可；（2）分类讨论和，结合二次函数的性质和基本不等式求解即可.
（1）当时，该项目的利润，
∵，则，故该项目不能获利，
当时，取到最小值，
故该项目不会获利，政府每月最多需要补贴20000元，才能使该项目不亏损.
（2）当时，平均处理成本，
当时，平均处理成本取到最小值250；
当时，平均处理成本，
当，即时，平均处理成本取到最小值200；
∵，故该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低.
19．（2024高一上·广州期中）已知幂函数满足．
（1）求函数的解析式；
（2）若函数，是否存在实数，（），使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：因为函数为幂函数，所以，解得或；
当时，函数在上单调递减，不满足；
当时，函数在上单调递增，满足，
则；
（2）解：由（1）可得函数，易知函数在定义域上单调递减，
若实数，（），使函数在上的值域为，
则，两式相减，得，
故，
而，所以，即，
将该式代入，
得，
令，由，知，即，
故，所以，
由于在上单调递减，所以，
故存在实数，（），使函数在上的值域为，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数的值域；函数单调性的性质；幂函数的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数求得，求得参数p的值，再结合单调性确定的值，即可求得函数解析式；
（2）由（1）可得函数，易知函数在定义域上单调递减，假设存在实数，（），使函数在上的值域为，根据函数单调性可得相应关系式，推出，整理化简后可得，利用换元法结合二次函数性质即可求得n的范围.
（1）由是幂函数，
可得，解得或；
当时，在上单调递减，不满足；
当时，在上单调递增，满足，
故．
（2）由题意知，则在定义域上单调递减，
若实数，（），使函数在上的值域为，
则，两式相减，得，
故，
而，所以，即，
将该式代入，
得，
令，由，知，即，
故，所以，
由于在上单调递减，所以，
故存在实数，（），使函数在上的值域为，
此时实数的取值范围为.
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